DETERMINATION OF EARTH RESISTIVITY PROFILE IN MUL TI LAYER SOIL A thesis submitted to the Department of Electrical Engineering, University of Moratuwa in partial fulfillment of the requirements for the Degree of Master of Philosophy by IMAL-I THANUJA DHARMADASA Supervised by: Prof. J.R. Lucas Co-Supervised by: Dr. -V.K.D.L. Vdawatta Mr. W.D.A.S. Wijayapala Department of Electrical Engineering University of Moratuwa, Sri Lanka 2009 93877 Abstract Soil structure investigation is very important in many Engineering applications. The Electrical Engineers extensively use the soil structure information when designing grounding systems. The sub soil structure with its resistivity distribution has a direct impact on the performance of the grounding system, that is, the electrode resistance and the surface voltage distribution. In Applied Geophysics a variety of soil structure investigation methods are used. Among these, the Electrical Resistivity Method has become very popular due to its simplicity. The resistivity method measures apparent resistivity of the ground to a direct current flow. The field data contain apparent resistivity values and geometry information. When the field data is interpreted, it detects the discontinuity of resistivity distribution in a location of interest. This interpretation can be done One dimensionally( lD), Two-dimensionally (2D) or Three-dimensionally (3D) depending on the application's necessity. The interpretation of resistivity field data using inversion techniques may be ambiguous. Conventional ID DC resistivity inversion techniques include graphical methods requiring interpolation and judgment and computer based iterative calculation methods. The work presented in this thesis, investigates a new resistivity data inversion tool, Neural networks(NNs). Neural Networks are capable of solving several types of problems, including parameter estimation, parameter prediction, pattern recognition, classification and optimization. Also recently the use of Neural Networks in the Geophysics parameter estimation problems has Shown strong results. With this recent trend in the applicability of the NN's for the non linear geophysical inversion problems NN's is proposed as the inversion tool for parameter estimation or Sub surface interpretation. The main intention of this study is to investigate the applicability of NNs as a fast and accurate inversion tool for field resistivity data. The study considers the approach and capabilities of the NNs in inversion of field resistivity data to interpret ID, 2D or 3D sub soil Structure with resistivity discontinuities. ' \ 0 . 2 . l - , ' L i s t o f F i g u r e s D e s c r i p t i o n O n e D i m e n s i o n a l I n t e r p r e t a t i o n o f a N - l a y e r h o r i z o n t a l l y s t r a t i f l e d s o i l S t r u c t u r e C u r r e n t f l O \ \ t h r o u g h t h e s o i l S o i L M o c l e l d a s a l o s s y m . e d i a 2 . _ 1 C u r r e n t F l o \ \ ' a n d d e v e l o p e d e q u i p o t e n t i a l surf~tces i n h o m o g e n e o u s s o i l c l u e t o a p o i n t s o u r c e o f c u r r e n t o n t h e s u r f a c e 2 . - + F i e l d S u r v e y E l e c t r o d e a r r a n g e m e n t w i t h t w o c u r r e n t a n d t w o p o t e n t i a l e l e c t r o d e s o n t h e s u r f a c e o f h o m o g e n e o u s s o i l P a g e 7 1 4 1 5 1 6 1 7 2 . : ' \ E q u i p o t e n t i a l s a n d c u r r e n t f l o \ \ ' l i n e s f o r t w o p o i n t s o u r c e s o f c u r r e n t o n t h e surf~tce o f h o m o g e n e o u s s o i l ( a ) v e r t i c a l s e c t i o n ( b ) p l a n v i e w 2 . ( 1 T \ \ O l a y e r m o d e l w i t h l o w r e s i s t i v i t y l a y e r o v e r h i g h r e s i s t i v i t y l a y e r l c - · I 2 . 8 2 ( ) ( a ) f o r s m a l l e l e c t r o d e s p a c i n g ( b ) f o r l a r g e e l e c t r o d e s p a c i J 1 g B e h a \ i o r o f E M f i e l d a t t h e b o u n d a r y b e t w e e n t w o l o s s y m e d i a s 1 V l u l t i l a y e r E a r t h M o d e l S m a l l E l e m e n t o f m a t e r i a l 2 . 1 ( ) D e t e r m i n i n g t h e c u r r e n t d e n s i t y i n u n i f o r m g r o u n d b e l o w t w o s u r f a c e E l e c t r o d e s 1 8 1 9 2 0 2 2 2 6 2 S 2 . 1 I P e r c e n t a g e o f c u r r e n t f l o w i n g b e l o w d e p t h f o r a c u r r e n t e l e c t r o d e s p a c i n g 2 9 2 . 1 2 T \ \ O l a y e r r e s i s t i v i t y s o u n d i n g m a s t e r c u n · e s f o r t h e W e n n e r S p r e a d 3 0 ' . I S i m p l i f l e d b i o l o g i c a l n e u r o n 3 4 ~~ . 2 A n A r t i f i c i a l N e u r a l N e t w o r k 3 5 " , A r t i f i c i a l N e u r o n M o d e l 3 7 _ ' ! . _ ' ! - ' · - + C o m m o n A c t i v a t i o n F u n c t i o n s 3 8 - + . 1 T w o l a y e r m o d e l w i t h h i g h r e s i s t i v i t y l a y e r o v e r l o w r e s i s t i v i t y l a y e r 5 9 - + . 2 F i e l d C u n · c p a t t e r n f o r t w o l a y e r m o d e l w i t h h i g h r e s i s t i v i t y l a y e r O \ e r ] 0 \ v r e s i s t i v i t y l a y e r 5 9 - + . 3 F i e l d C u n e p a t t e r n f o r t w o l a y e r m o d e l , , · i t h l o w r e s i s t i v i t y l a y e r o v e r x i H i g h r e s i s t i v i t y l a y e r - I . - I F i e l d c u n e p a t t e r n s f o r t h r e e l a y e r s t r u c t u r e - - 1 . 5 F o u r l a y e r T y p e H K a n d T y p e K H c u r v e p a t t e r n s - I ( J T h e i n t e r p r e t a t i o n o f a t w o l a y e r a p p a r e n t r e s i s t i v i t y g r a p h b y c o m p a r i s o n w i t h a s e t o f m a s t e r c u n e - - 1 . - : : T h e i n t e r p r e t a t i o n o f a t h r e e l a y e r a p p a r e n t r e s i s t i v i t y g r a p h b y c o m p a r i s o n \ \ i t h a S e t o f m a s t e r c u r v e - - I . S C o m p u t e r b a s e d i t e r a t i v e s o l u t i o n m e t h o d - I ( ) I l l u s t r a t e s t h e p r o b l e m o f a " ' s a n d w i c h e d l a y e r " - - 1 . 1 ( ) A n i s o t r o p y o f s o i l - - 1 . 1 1 ( a ) \ a l i d 1 D i n t e r p r e t a t i o n ( b ) 1 D i n t e r p r e t a t i o n i s n o t v a l i d - - 1 . 1 2 T h r e e l a y e r o n e d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n - - 1 . 1 3 P r o p o s e d : - . J e u 1 a l N e t w o r k S t r u c t u r e - - 1 . 1 - - 1 s a m p l i n g p o i n t s o f a t h r e e l a y e r s y n t h e t i c a l l y g e n e r a t e d a p p a r e n t 5 . 1 5 . 2 - - , ) . . ' r e s i s t i v i t y c u r v e H e m i s p h e r i c a l E l e c t r o d e - C r o s s S e c t i o n a l e l e v a t i o n P l a t e E l e c t r o d e - C r o s s S e c t i o n a l e l e v a t i o n R o d E l e c t r o d e - C r o s s S e c t i o n a l e l e v a t i o n : ' i . - - 1 D i s s i p a t i o n R e s i s t a n c e o f a R o d E l e c t r o d e a s a f u n c t i o n o f i t ' s b u r i e d ) . ) 5 . C J 5 . 7 5 . S 5 ( ) l e n g t h V a r i a t i o n o f E a r t h R e s i s t a n c e a t d i s t a n c e f r o m t h e e l e c t r o d e C o n d u c t o r E l e c t r o d e ( a ) C r o s s S e c t i o n a l e l e v a t i o n ( b ) P l a n R e s i s t i v i t i e s o f s o m e c o m m o n r o c k t y p e s I n t l u e n c e o f m o i s t u r e c o n t e n t I n i l u e n c e o f t c r n p c r a t u r c 5 . 1 ( ) N o t a t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f S u r f a c e P o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n o f a r o d e l e c t r o d e b u r i e d i n a h o m o g e n e o u s m e d i u m 5 . 1 1 3 P o i n t : V 1 e t h o d o f E a r t h R e s i s t a n c e M e a s u r e m e n t 5 . 1 2 ( a ) S u c c e s s f u l p l o t d u e t o c o r r e c t s p a c i n g ( b ) E f f e c t o f r e s i s a t n c e a r e a O v e r l a p d u e t o i n s u f f i c i e n t s p a c i n g b e t w e e n e a r t h e l e c t r o d e a n d c u r r e n t e l e c t r o d e 5 . 1 3 D r i v e n r o d i n m u l t i l a y e r e a r t h 6 0 6 1 ( J 2 6 3 6 4 ( J 5 6 7 6 9 7 0 7 1 7 6 7 7 8 1 8 2 8 3 8 5 8 7 8 7 l ) 1 9 2 9 3 9 6 9 8 9 9 1 0 3 x i i ! 1 . ! A p p a r e n t r e s i s t i v i t y p s e u d o s e c t i o n f o r 1 m s p a c e d 5 6 m u l t i e l e c t r o d e ( 1 . 2 ( l ~ a r r a y M e s h d i s c r e t i z a t i o n t o r t h e i n v e r t e d s u b s u r f a c e m o d e l A n o m a l o u s b o d y a s s i g n m e n t s t o g e n e r a t e s y n t h e t i c d a t a ( , - + S y n h e t i c d a t a g e n e r a t i n g s o f t \ \ a r e o u t p u t s ( a ) S y n t h e t i c M o d e l ( b ) C a l c u l a t e d A p p a r e n t r e s i s t i v i t y p s e u d o s e c t i o n ( c ) d a t a s a v e d i n . s t g f o r m a t - . 1 o n e p o s s i b l e l a y o u t l o r a 3 0 s u r v e y 1 0 8 1 1 0 1 1 2 1 1 3 1 1 9 - ' l : s i n g t h e r o i l - a l o n g m e t h o d t o s u n c y a 1 0 b y 1 0 g r i d w i t h a r e s i s t i v i t y - m e t e r s y s t e m w i t h 5 0 e l e c t r o d e s . ( a ) S u r v e y s u s i n g a I 0 b y 5 g r i d w i t h t h e l i n e s orien~ated i n t h e x - d i r e c t i o n . ( b ) S u r v e y s w i t h t h e l i n e s o r i e n t a t e d i n t h e y - d i r e c t i o n . 1 2 0 - 3 T h e l o c a t i o n o f p o t e n t i a l e l e c t r o d e s c o r r e s p o n d i n g t o a s i n g l e c u r r e n t e l e c - t r o d e i n t h e a r r a n g e m e n t u s e d b y a s u r v e y t o m e a s u r e t h e c o m p l e t e d a t a 1 2 3 - - : - + T h e l o c a t i o n o f p o t e n t i a l e l e c t r o d e s c m T e s p o n d i n g t o a s i n g l e c u r r e n t e l e c t r o d e i n t h e a r r a n g e m e n t u s e d b y a c r o s s d i a g o n a l s u r v e y - ) S a m p l e m o d e l w i t h d i f f e r e n t s i z e d a n d s h a p e d a n o m a l i e s , f o r s y n t h e t i c d a t a g e n e r a t i o n ( a ) 3 0 m e s h ( b ) 2 0 s l i c e s - . ! l A p p a r e n t r e s i s t i v i t y v a l u e s ( e n c i r c l e d ) f o r t h e t r a i n i n g d a t a b a s e ~.1 T r a i n i n g P e r f o r m a n c e i o r t h e T r a i n i n g F u n c t i o n ' T r a i n r p ' a n d ' T r a i n s c g ' \ \ i t h d i f f e r e n t l i O o f h i d d e n n o d e s ( s i n g l e h i d d e n l a y e r ) : \ . 2 T r a i n i n g P e r t o r m a n c e w i t h t w o h i d d e n l a y e r s t o r t h e c u r v e i d e n t i f i c a t i o n n e t \ \ o r k 0 . . ~ T r a i n i n g E r r o r \ a r i a t i o n o f t h e c u r v e i d e n t i f i c a t i o n n e t w o r k w i t h t h r e e H i d d e n L a y e r s : \ . - + T r a i n i n g . \ · a l i d a t i o n a n d T e s t p e r f o n m m c e o f t h e f i n a l i z e d N e t \ v o r k ~.5 T r a i n i n g P e r f o r m a n c e t o r t h e T r a i n i n g F u n c t i o n ' T r a i n r p ' w i t h d i f f e r e n t n o o f h i d d e n n o d e s ( s i n g l e h i d d e n l a y e r a n d t w o h i d d e n l a y e r s ) ~ ( J T r a i n i n g E r r o r v a r i a t i o n o f t h e t w o l a y e r p a r a m e t e r d e t e r m i n a t i o n 1 2 3 1 2 4 1 2 7 1 3 0 1 3 0 1 . . , . . , _ ) _ ) 1 3 3 1 3 4 n e t w o r k w i t h t w o h i d d e n l a y e r s ( h 1 - n o d e s i n t h e f i r s t h i d d e n l a y e r ) 1 3 5 S . 7 T r a i n i n g . \ a l i d a t i o n a n d T e s t p e r f o r m a n c e o f t h e t w o l a y e r p a r a m e t e r d e t e r m i n a t i o n . f i n a l i z e d N e t \ \ · o r k 1 3 8 x i i i ~ ; - . ; T r a i n i n g a n d T e s t i n g P e r f o r m a n c e f o r t h e T r a i n i n g F u n c t i o n ' T r a i n r p ' w i t h d i ! T e r e n t n o o f h i d d e n n o d e s ( s i n g l e h i d d e n l a y e r ) ~ ' ) T r a i n i n g E r r o r \ a r i a t i o n o f t h e t h r e e c u r v e i d e n t i f i c a t i o n n e t w o r k w i t h t \ \ O h i d d e n l a y e r ~ J t l T r a i n i n g . v a l i d a t i o n a n d T e s t p e r f o r m a n c e o f t h e f i n a l i z e d t h r e e l a y e r ~ 1 l ~ 1 2 S . 1 _ 1 : - ; . 1 - \ . - ; ] ) - ; 1 ( ) " 1 ; - ; I S : - ; 1 1 ) ~ 2 ( J ~.21 \ ' ' ' ' . . . , ( ' , _ _ " ) ~ 2 - + ~.25 : - ; . 2 ( 1 : - ; ) / ( _ _ / S . 2 S S . 2 1 J p a r a m e t e r d e t e r m i n a t i o n N e t w o r k T w o l a y e r c u r v e s u s e d f o r e v a l u a t i o n ( t y p e 1 ) l \ i e t \ \ o r k P e r f o r m a n c e f o r t w o l a y e r c u r v e s ( t y p e 1 ) T w o l a y e r c u r , c s u s e d t o r e v a l u a t i o n ( t y p e 2 ) ) ; e t \ \ o r k P e r f o r m a n c e f o r t w o l a y e r c u r v e s ( t y p e 2 ) T h r e e l a y e r T y p e A c u n · e s u s e d f o r e v a l u a t i o n : \ e t \ \ o r k P e r f o r m a n c e f o r T h r e e l a y e r T y p e A c u n T s T h r e e l a y e r T y p e H c u r v e s u s e d f o r e v a l u a t i o n 1 \ ; e t w o r k P e r f o r m a n c e t o r T h r e e l a y e r T y p e H c u r v e s T h r e e l a y e r T y p e K c u r v e s u s e d f o r e v a l u a t i o n N e t \ \ o r k P e r f o r m a n c e f o r T h r e e l a y e r T y p e K c u r v e s T h r e e l a y e r T y p e Q c u r v e s u s e d f o r e v a l u a t i o n : \ e t w o r k P e r f o r m a n c e i o r T h r e e l a y e r T y p e Q c u r v e s D e s i r e d o u t p u t s a n d n e t w o r k o u t p u t s f o r s a m p l e 0 1 D e s i r e d o u t p u t s a n d n e t w o r k o u t p u t s f o r s a m p l e 0 3 D e s i r e d o u t p u t s a n d n e t w o r k o u t p u t s f o r s a m p l e 0 5 D e s i r e d outpu~s a n d n e t w o r k o u t p u t s f o r s a m p l e 0 7 D e s i r e d o u t p u t s a n d n e t \ \ o r k o u t p u t s f o r s a m p l e O C J D e s i r e d o u t p u t s a n d n e t w o r k o u t p u t s f o r s a m p l e 1 1 F l u k e t e s t e r u s e d t o r d a t a a c q u i s i t i o n \ _ 1 ( ) ( a ) S p i k e c o n n e c t i o n t o e a r t h ( b ) c h a n g i n g a r r a y s p a c i n g a l o n g t h e f i e l d l i n e ~ : 1 1 R e s i s t i v i t y c u r v e o f t h e f i e l d d a t a S . : 1 2 C u n e I d e n t i f i c a t i o n n e t \ v o r k o u t p u t f o r f i e l d d a t a \ . ) . . \ ' l - ~ _ " \ T r a i n i n g P e r f o r m a n c e f o r t h e T r a i n i n g F u n c t i o n ' T r a i n r p ' \ v i t h d i f f e r e n t n o o r h i d d e n n o d e s ( s i n g l e h i d d e n l a y e r ) - 2 D C A S E 1 1 3 8 1 3 C J 1 4 0 1 4 2 1 4 2 1 4 3 1 4 3 1 4 4 1 4 4 1 4 5 1 4 5 1 4 6 1 4 6 1 4 7 1 4 7 1 4 8 1 5 0 1 5 1 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 7 1 5 7 1 5 9 1 6 0 1 ( ) 2 ~ : 1 - + T r a i n i n g P e r f o r m a n c e o f t w o h i d d e n l a y e r n c t v v o r k f o r 2 D C A S E I 1 6 3 S . : l : ' i T r a i n i n g . \ a l i d a t i o n a n d T e s t p e r f o r m a n c e o f t h e f i n a l i z e d n e t \ \ o r k - 2 D C A S E I 1 6 4 x i v : - - , _ > ( ) T r a i n i n g P e r f o r m a n c e f o r t h e T r a i n i n g F u n c t i o n ' T r a i n r p ' w i t h d i f f e r e n t n o o r h i d d e n n o d e s ( s i n g l e h i d d e n l a y e r ) - 2 0 C A S E 2 1 6 5 \ n T r a i n i n g P e r f o r m a n c e o f t w o h i d d e n l a y e r n e t w o r k C o r 2 0 C A S E 2 1 6 5 \ . > S T r a i n i n g . v a l i d a t i o n a n d T e s t p e r f o r m a n c e o f t h e f i n a l i z e d n e t \ \ o r k - 2 0 C A S E 2 1 6 ( ) : - ; Y J T r a i n i n g P e r f o r m a n c e f o r t h e T r a i n i n g F u n c t i o n ' T r a i n r p ' w ! t h d i f f e r e n t n o o f h i d d e n n o d e s ( s i n g l e h i d d e n l a y e r ) - 2 0 C A S E 3 1 6 7 \ - W T r a i n i n g P e r f o r m a n c e o f t \ v o h i d d e n l a y e r n e t v , : o r k f o r 2 0 C A S E 3 1 6 8 \ - + I T r a i n i n g P e r f o r m a n c e o f t h r e e h i d d e n l a y e r n e t w o r k f o r 2 0 C A S E 3 1 6 9 \ - + 2 T r a i n i n g , \ a l i d a t i o n a n d T e s t p e r f o r m a n c e o f t h e f i n a l i z e d N e t w o r k - 2 0 C A S E 3 1 7 0 S - 1 - 3 2 0 C A S E 1 T e s t g r i d 1 1 7 1 : - - ; - + - + 2 0 C A S E 1 T e s t g r i d 2 1 7 2 : - - ; . - 1 - 5 2 0 C A S E 1 T e s t g r i d 3 1 7 3 . \ - ) . ( l 2 0 C A S E I T e s t g r i d 4 1 7 4 : - , - ) . 7 2 0 C A S E 1 T e s t g r i d 5 1 7 4 \ 4 S 2 0 C A S E 1 T e s t g r i d 6 1 7 5 \ - ) . l ) 2 0 C A S E I T e s t g r i d 7 1 7 6 : - - ; _ ) ( ) 2 0 C A S E I 1 e s t g r i d 8 1 7 6 \ . . ' i I 2 0 C A S E 1 T e s t g r i d 9 1 7 7 : - - ; 5 2 2 0 C A S E I T e s t g r i d 1 0 1 7 8 \ ) 3 2 0 C A S E 2 T e s t g r i d 1 1 7 9 . \ _ ) 4 2 0 C A S E 2 T e s t g r i d 2 1 7 9 \ ) ) 2 0 C A S E 2 T e s t g r i c 1 3 1 8 0 ~- 5 ( ) 2 0 C A S E 2 T e s t g r i c 1 4 1 8 1 \ . ) 7 2 0 C A S E 2 T e s t g r i d 5 1 8 1 : \ . ) 8 2 0 C A S E 2 T e s t g r i c 1 6 1 8 2 \ . ) 9 2 0 C A S E 2 T e s t g r i d 7 1 8 3 : - , . W 2 0 C A S E 2 T e s t g r i d 8 1 8 3 \ . ( ) I 2 0 C A S E 2 T e s t g r i d 9 1 8 4 \ . C J 2 2 0 C A S E 2 T e s t g r i d 1 0 1 8 5 : \ ( J 3 2 D C A S E 2 1 e s t g r i d 1 1 1 8 5 : - ; _ ( J 4 2 0 C A S E 2 T e s t g r i d 1 2 1 8 6 \ ( J ) 2 D Ci~SE 3 T e s t g r i d I 1 8 7 X V s ( J ( J 2 0 C A S E 3 T e s t g r i d 2 S . C l - ; 2 0 C A S E 3 T e s t g r i d 3 S . C 1 S 2 0 C A S E 3 T e s t g r i d 4 s ( J l ) 2 0 C A S E 3 T e s t g r i d 5 S . - I I 2 0 C A S E 3 T e s t g r i d 6 S 7 1 T r a i n i n g P c r f o n m m c e f o r t h e T r a i n i n g F u n c t i o n ' T r a i n r p ' w i t h d i f l c r e n t n o o f h i d d e n n o d e s ( s i n g l e h i d d e n l a y e r ) - 3 0 l ' - : I , ' ) . - s - : ~ l . / _ " ' l T r a i n i n g P e r f o r m a n c e o f t w o h i d d e n l a y e r n e t w o r k f o r 3 0 C a s e s t u d y T r a i n i n g P e r f o r m a n c e o f t h r e e h i d d e n l a y e r n e t w o r k f o r 3 0 C a s e s t u d y S . 7 - + T r a i n i n g , \ a l i d a t i o n a n d T e s t p e r f o r m a n c e o f t h e f i n a l i z e d s - ; 5 s - ; ( J s ~~ . 1~. I H . 2 ( ( 2 ~ · - ' ( 4 ( . 5 r l . l 1 1 2 1 . 1 n e t \ \ O r k - 3 0 c a s e s t u d y 2 0 S l i c e s o f ' t h e 3 D T e s t S e t I 2 D S l i c e s o f t h e 3 0 T e s t S e t 2 2 D S l i c e s o f t h e 3 0 T e s t S e t 3 O p t i c a l I m a g e a r r a n g e m e n t t o a n a l y z e t h e p o t e n t i a l d e v e l o p m e n t I n f i n i t e s e t o f i m a g e s d u e t o c u r r e n t s o u r c e c ( c ' I c · · I c · · I c " " I " ) ' v \ ' e n n c r A r r a y E l e c t r o d e a r r a n g e m e n t S c h l u m b e r g e r A r r a y E l e c t r o d e A r r a n g e m e n t P o l e - p o l e A r r a y E l e c t r o d e A r r a n g e m e n t P o l e - d i p o l e A r r a y E l e c t r o d e A n a n g e m e n t T h e a r r a n g e m e n t o f t h e e l e c t r o d e s f o r t h e d i p o l e - d i p o l e a r r a y F i r s t h a l f o f t h e m o d e l f i l e S e c o n d h a l f o f t h e m o d e l f ! l c l ' v 1 a t h e m a t i c a E d i t o r c o m m a n d s f o r e l e c t r o d e r e s i s t a n c e c a l c u l a t i o n s 1 8 8 1 8 8 1 8 9 1 9 0 l l ) O 1 9 2 1 9 2 1 9 3 1 9 5 1 9 6 1 9 7 1 9 8 2 1 1 2 1 3 2 1 7 2 1 8 2 1 9 2 2 0 2 2 2 2 5 6 2 5 7 2 6 4 x v i L i s t o f T a b l e s : \ o . D e s c r i p t i o n P a g e A p p l i e d G e o p h y s i c a l M e t h o d s I - 1 - . l G e o l o g i c a l f o r m a t i o n f o r t h r e e l a y e r s t r u c t u r e ( J l - 1 - . 2 R e s i s t i \ · i t y v a i u e c o m b i n a t i o n s o f t h e t w o l a y e r c u r v e g e n e r a t i o n 7 2 -1-.~ R e s i s t i \ i t y \ ' < . d u e c o m b i n a t i o n s o f t h e t h r e e l a y e r c u r v e g e n e r a t i o n 7 3 - 1 - . - 1 - L a y e r h e i g h t c o m b i n a t i o n s o f t h e t h r e e l a y e r c u r v e g e n e r a t i o n 7 3 - 1 - . 5 E r r o r o f c a l c u l a t e d W e n n e r F o u r P r o b e D < . : t a 7 5 5 . 1 R e s i s t i \ · i t i e s o f S o m e m a t e r i a l s 9 0 5 . 2 E r r o r o r c a l c u l a t e d E l e c t r o d e R e s i s t a n c e I 0 5 r 1 . 1 \ 1 o d e l M e s h d i s c r e t i z a t i o n f~1ctors 1 1 0 r 1 . 2 R e s i s t i \ i t y C o m b i n a t i o n s u s e d f o r C A S E 2 t r a i n i n g d a t a b a s e p r e p a r a t i o n 1 1 4 ! d R e s i s t i \ · i t y C o m b i n a t i o n s u s e d f o r C A S E 3 t r a i n i n g d a t a b a s e p r e p a r a t i o n 1 1 5 ( J . - 1 - D a t a s e t s e p a r a t i o n 1 1 6 S . l O n e d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r s o f t h e t e s t s e t s 1 4 1 S . 2 T w o l a y e r t y p e I n e t \ \ O r k o u t p u t f o r s a m p l e s 0 1 w i t h o u t / w i t h n o i s e i n p u t s 1 4 9 S . 3 T \ \ O l a y e r t y p e 2 n e t \ \ O r k o u t p u t f o r s a m p l e s 0 3 w i t h o u t / w i t h n o i s e i n p u t s 1 4 9 S . - 1 - S . 5 ~; . ( ) ' . - - ; { " ' . . ' S . S S ( ) S . 1 0 T h r e e l a y e r t y p e A n e t \ \ o r k o u t p u t C o r s a m p l e s 0 5 T h r e e l a y e r t y p e H n e t w o r k o u t p u t f o r s a m p l e s 0 7 T h r e e l a y e r t y p e K n e t w o r k o u t p u t f o r s a m p l e s 0 9 T h r e e l a y e r t y p e Q n e t w o r k o u t p u t f o r s a m p l e s 1 1 F i e l d d a t a a n d c a l c u l a t e d a \ e r a g e d a p p a r e n t r e s i s t i v i t y v a l u e s . E a r t h p a r a m e t e r s d e t e r m i n e d b y t h e t r a i n e d n e u r a l n e t w o r k M e a s u r e d E l e c t r o d e R e s i s t a n c e f _ : : : ' I ~ . . , , ' · . ' ' ; \ 1 5 1 1 5 2 1 5 5 "''"~-v ' " ' . . = : · . . . : . } 5 ( J 1 5 8 1 6 0 I C J O x v i i l ) . 1 . J . l . 1 . 2 . 1 . 3 S u m m a r i . 1 c d 1 \ : e t \ \ o r k O p t i m i 7 a t i o n r e s u l t s 1 \ : e u r a l n e t \ \ O r k o u t p u t m e s h v a l u e s f o r t e s t g r i d I o f 2 D C A S E ! ( C o l u m n s 1 t o 2 1 ) ~cur~tl n c t \ \ O r k o u t p u t m e s h v a l u e s f o r t e s t g r i d 1 o f 2 D C A S E ! ( C o l u m n s 2 2 t o - + 2 ) N e u r a l n e t \ \ O r k o u t p u t m e s h \ a l u c s f o r t e s t g r i d 1 o f . ? . D C A S E ( C o l u m n s - + 3 t o 5 5 ) . ? . 0 0 2 6 5 2 M 2 ( J 7 x v i i i 1 . 1 B a c k g r o u n d C h a p t e r 1 I n t r o d u c t i o n E a r t h r e s i s t i v i t y s u r v e y m g i s c o m m o n l y c o n d u c t e d t o i n t e r p r e t t h e s u b s u r f a c e c o n d i t i o n s ( s o i l s t r u c t u r e ) f o r e n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n s . S o i l s t r u c t u r e i n v e s t i g a t i o n i s \ c r y i m p o r t a n t i n m a n y E n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n s s u c h a s E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g . C i v i l E n g i n e e r i n g a n d E a r t h R e s o u r c e E n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n s . F o r i n s t a n c e C i v i l E n g i n e e r s i n v e s t i g a t e t h e s o i l s t r u c t u r e f o r p i l e f o u n d a t i o n c o n s t r u c t i o n s . E a r t h R e s o u r c e a n d M i n e s E n g i n e e r s a p p l y t h e m i n m i n e r a l a n d g r o u n d w a t e r e x p l o r a t i o n . S a n d G r a v e l p r o s p e c t i n g a n d o i l e x p l o r a t i o n ; a n d E l e c t r i c a l E n g i n e e r s u s c s o i l s t r u c t u r e k n o w l e d g e f o r d e s i g n i n g o f g r o u n d i n g s y s t e m s a n d f o r l i g h t i n g p r o t e c t i o n d e s i g n . N o w a d a y s t h e y a r e a l s o e x t e n s i v e l y u s e d t o m o n i t o r g r o u n d w a t e r c o n t a m i n a t i o n . l o c a t e s u b s u r f a c e c a v i t i e s a n d f i s s u r e f o r v a r i o u s o t h e r e n g m e e n n g a p p l i c a t i o n s . S u b s o i l s t r u c t u r e i n v e s t i g a t i o n s c a n b e d o n e b y i n d i r e c t m e t h o d s a n d b y d i r e c t m e t h o d s . T h e l a t t e r i n c l u d e s t h e d i r e c t d r i l l i n g o f t h e e a r t h w h i c h i s t i m e c o n s u m i n g a n d c o s t l y . L i m i t a t i o n s d o a r i s e i n p h y s i c a l e x c a v a t i o n s o n s u b s u r f a c e s t u d y c l u e t o d 1 g g i n g . I n d i r e c t m e t h o d s c o m e u n d e r G e o p h y s i c s . w h e r e . a m o n g o t h e r m e t h o d s , t h e y u s e e l e c t r i c a l e n e r g y t o g a i n k n o w l e d g e o f t h e i n t e r i o r o f t h e e a r t h . T h e s e m e t h o d s a r c b a s e d o n s o u n d p r i n c i p l e s o r p h y s i c a l s c i e n c e . w h i c h i s G e o p h y s i c s . a n d i n v o l v e s t h e a p p l i c a t i o n o f p h y s i c a l t h e o r i e s a n d m e a s u r e m e n t s t o d i s c o v e r t h e p r o p e r t i e s o f t h e e a r t h o r t h e s o i l s t r u c t u r e . G e o p h y s i c s c a n b e d i v i d e d i n t o t w o b r o a d c a t e g o r i e s : W h o l e e a r t h g e o p h y s i c s a n d a p p l i e d g e o p h y s i c s . W h o l e e a r t h g e o p h y s i c s i n v o l v e s t h e s t u d y o f p h y s i c a l p r o c e s s e s t h a t s p a n t h e \ V h o l c e a r t h . s u c h a s t h o s e a s s o c i a t e d w i t h p l a t e t e c t o n i c s . e a r t h q u a k e s a n d t h e e a r t h ' s m a g n e t i c f i e l d . A p p l i e d g e o p h y s i c s i s t h e u s e m e t h o d s s u c h a s s e i s m i c . g r a v i t y . m a g n e t i c . e l e c t r i c a L a n d e l e c t r o m a g n e t i c . i n t h e s e a r c h f o r o i l , g a s . m e t a l l i c m i n e r a l d e p o s i t s . a n d w a t e r . I t a l s o i n c I u d e s t h e i 1 w e s t i g a t i o n o f s u b s u r f a c e s t r u c t u r e s a n d m a t c r i a l s t h a t h a v c I e n g 1 n c e n n g i m p l i c a t i o n s . t h e s t u d y o r n e a r - s u r f a c e p r o c e s s e s t h a t i m p a c t t h e e n v i r o n m e n t a n d s o c i e t y . a n d m o r e . w i t h t h e o b j e c t i v e o f e c o n o m i c e x p l o i t a t i o n . T h e v a r i a t i o n i n e l e c t r i c a l c o n d u c t i v i t y a n d n a t u r a l c u n e n t s i n t h e e a r t h . r a t e s o r d e c a y o f a r t i f i c i a l p o t e n t i a l d i f f e r e n c e s i n t r o d u c e d i n t o t h e g r o u n d . l o c a l c h a n g e s o f g r a v i t y . m a g n e t i s m a n d r a d i o a c t i v i t y - a l l t h e s e p r m i d e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e n a t u r e o f s t r u c t u r e b e l o w t h e s u r f a c e . t h u s p e r m i t t i n g g e o p h y s i s t s t o d e t e r m i n e t h e m o s t f a v o r a b l e p l a c e s t o s e a r c h f o r t h e m i n e r a l d e p o s i t s e t c . , t h a t t h e y s e c k . l n s h o r t . g e o p h y s i c a l e x p l o r a t i o n i n t e n d s t o c r e a t e a n i m a g e o r t h e s u b s u r f a c e o f t h e e a r t h i n t e r m s o f i t s p h y s i c a l p r o p e r t i e s . U n l i k e s o l i d e a r t h g e o p h y s i c s . e x p l o r a t i o n g e o p h y s i c s g e n e r a l l y c o n c e n t r a t e s o n f i n d i n g l a t e r a l h e t e r o g e n e i t i e s i n a r e l a t i v e l y s m a l l p a r t o f t h e e a r t h · s c r u s t . A p p l i e d G e o p h y s i c s i n t h e s e a r c h f o r m i n e r a l s . o i l a n d g a s m a y b e d i v i d e d i n t o t h e m e t h o d s o r E x p i o r a t i o n a s g i v e n i n T a b l e 1 . 1 . G e o p h y s i c a l M e t h o d Q u a n t i t a t i v e M e a s u r e ( E x p e r i m e n t a l o r o b s e r v a t i o n a l d a t a ) IG~~~~ty M~thod M e a s u r e s t h e v a r i a t i o n m g r a v i t a t i o n a l f i e l d o f t h e e a r t h M a g n e t i c : v t e t h o d m e a s u r e s t h e e a r t h ' s a m b i e m m a g n e t i c f i e l d S e i s m i c M e t h o d s ( r e f l e c t i o n a n d I m e a s u r e s t h e r e s p o n s e o f s e i s m i c ( s o u n d ) r c f r a c t i o n ) E l e c t r i c a l : V I e t h o d s ~tancous I P o t e n t i a l E l e c t r o m a g n e t i c v v a v e s t h a t a r c i n p u t i n t o t h e e a r t h m e a s u r e s n a t u r a l l y o c c u r r i n g D C c u n e n t s m e a s u r e a p p a r e n t r e s i s t a n c e o f g r o u n d t o I M e t h o d i n d u c e d a l t e r n a t i n g c u r r e n t ( A C ) f l o w r F i e l d r e s i s t i v i t y i M e a s u r e s apparcnt~resistancc/resistivity o f -~-I . m e a s u r e m e n t s I g r o u n d t o d i r e c t c u r r e n t f l o w . ~-~"-----~ I n d u c e d 1 m e a s u r e s e f f e c t o n c u r r e n t f l o w o f c h a r g e I P o l a r i z a t i o n I s t o r a g e i n g r o u n d ~~ ~ --~ C r o u n d - p c n c t r a t i n g r a d a r I M e a s u r e s c h a n g e s i n d i e l e c t r i c p r o p e r t i e s T a b l e 1 . 1 ~Applied G e o p h y s i c a l M e t h o d s l I t s h o u l d b e p o i n t e d o u t t h a t g e o p h y s i c s t e c h n i q u e s c a n d e t e c t o n l y a d i s c o n t i n u i t y , t h a t i s . \ v h e r e o n e r e g i o n d i f f e r s s u f f i c i e n t l y f r o m a n o t h e r i n s o m e p r o p e r t y . T h i s . h m \ e \ e r , i s a u n i v e r s a l l i m i t a t i o n , f o r w e c a n n o t p e r c e i v e t h a t w h i c h i s h o m o g e n e o u s t n n a t u r e : \ \ e c a n c l ! s c c r n o n l y t h a t w h i c h h a s s o m e v a r i a t i o n i n t i m e a n d / o r s p a c e [ I ] . T h e c h o i c e o f t e c h n i q u e s t o l o c a t e a c e r t a i n m i n e r a l d e p e n d s o n t h e n a t u r e o f t h e m m e r a l a n d o f t h e s u r r o u n d i n g r o c k s . S o m e t i m e s a m e t h o d m a y g i v e a d i r e c t t n d J c a t i o n o f t h e p r e s e n c e o f t h e m i n e r a l b e i n g s o u g h t , f o r i n s t a n c e , t h e m a g n e t i c m e t h o d ' ' h e n u s e d t o f i n d m a g n e t i c o r e s o f i r o n o r n i c k e l : a t o t h e r t i m e s t h e m e t h o d m a v i n d i c a t e u n l v w h e t h e r o r n o t c o n d i t i o n s a r e f a v o r a b l e t o t h e o c c u r r e n c e o f t h e . . m i n e r a l s o u g h t . F o r i n s t a n c e , t h e m a g n e t i c m e t h o d i s u s e d i n p e t r o l e u m e x p l o r a t i o n a s a r e c o n n a i s s a n c e t o o l t o d e t e r m i n e t h e d e p t h t o t h e b a s e m e n t r o c k s a n d t h u s d e t e r m i n e t h e s e d i m e n t s a r c t h i c k e n o u g h t o w a r r a n t e x p l o r a t i o n . 1 . 2 E l e c t r i c a l G e o p h y s i c a l M e t h o d s a n d t h e i r a p p l i c a t i o n s E l e c t r i c a l e x p l o r a t i o n m e t h o d s m a y b e s u b d i v i d e d i n t o t w o m a i n g r o u p s . O n e g r o u p i s c o n c e r n e d w i t h m e a s u r e m e n t o f r e s i s t i v i t y , o r c o n d u c t i v i t y , o f r o c k s , w h i l e t h e o t h e r g r o u p i s c o n c e r n e d w i t h m e a s u r e m e n t o f t h e i r c a p a c i t a n c e . T h e r e s i s t i v i t y , i n d u c t i o n a n d m a g n e t o - t e l l u r i c m e t h o d s b e l o n g t o t h e f i r s t g r o u p , a n d t h e i n d u c e d p o l a r i z a t i o n m e t h o d s b e l o n g t o t h e s e c o n d g r o u p . 1 . 2 . 1 S p o n t a n e o u s P o t e n t i a l M e t h o d T h e S p o n t a n e o u s P o t e n t i a l o r S e l f P o t e n t i a l m e t h o d m e a s u r e s t h e n a t u r a l v a r i a t i o n o f t h e g r o u n d v o l t a g e b e t w e e n t \ v o e l e c t r o d e s . T h e v o l t a g e v a r i a t i o n i s c a u s e d b v e l e c t r o c h e m i c a l r e a c t i o n s a t a c o n d u c t i v e b o d y . N a t u r a l o x t d a t t o n - r c d u c t i o n p r o c e s s e s g e n e r a t e s m a l l e l e c t r i c a l p o t e n t i a l s t h a t c a n b e m e a s u r e d a n d m a p p e d . O x i d a t i o n o f a m i n e r a l s u c h a s p y r i t e , t r a n s f o r m s i r o n s u l f i d e I n t o i r o n o x i d e : t h a t l i b e r a t e s e l e c t r o n s . w h i c h p r o d u c e a n e g a t i v e l y c h a r g e d e l e c t r i c a l c u r r e n t t h a t i s n o r m a l l y u n d e r o n e v o l t . S p o n t a n e o u s P o t e n t i a l m e t h o d s t a k e a d v a n t a g e o f t h i s p h e n o m e n o n t h a t c o n t r a s t s z o n e s w i t h h i g h e r c o n c e n t r a t i o n o f s u l f i d e s i n o . x i d a t i o n w h i c h p r o d L t C e n e g a t i v e p o t e n t i a l a n o m a l i e s t h a t s t a n d o u t w e l l b e l o w t h e l o c a l b a s e l c \ c l . ~ _ , T o m e a s u r e s m a l l c u r r e n t s o n t h e g r o u n d o n e n e e d s s p e c i a l e l e c t r o d e s t h a t d o n o t p o l a r i z e a s t h e y a r e i n t r o d u c e d i n t h e s o i l . S p o n t a n e o u s p o t e n t i a l ( S P ) i s m e a s u r e d b y a n e l e c t r o d e i n a b o r e h o l e r e l a t i v e t o a f i x e d r e f e r e n c e e l e c t r o d e o n t h e s u r f a c e . I n t h e f i e l d o n e p r o b e o f a v o l t m e t e r i s p l a c e d a t t h e E a r t h ' s s u r f a c e ( c a l l e d s u r f a c e e l e c t r o d e ) a n d t h e o t h e r p r o b e i n t h e b o r e h o l e ( c a l l e d d o w n h o l e e l e c t r o d e ) , w h e r e t h e S P i s t o b e m e a s u r e d . I n f a c t . l o g g i n g t o o l s e m p l o y e x a c t l y t h i s m e t h o d . S i n c e t h i s m e a s u r e m e n t i s r e l a t i v e l y s i m p l e . u s u a l l y t h e S P d o w n - h o l e e l e c t r o d e i s b u i l t i n t o o t h e r l o g g i n g t o o l s . 1 . 2 . 2 E l e c t r o m a g n e t i c i n d u c t i o n M e t h o d T h e e l e c t r o m a g n e t i c i n d u c t i o n ( E M ) m e t h o d m e a s u r e s t h e r e s p o n s e o f a n i n d u c e d a l t e r n a t i n g c u r r e n t . A c u r r e n t i s i n d u c e d i n t o t h e g r o u n d b y a t r a n s m i t t i n g c o i l . A r e c e i v i n g c o i l i s p l a c e d a s h o r t d i s t a n c e a w a y t o m e a s u r e t h e i n d u c e d e a r t h c u r r e n t . T h e s i z e o f t h e i n d u c e d c u r r e n t d e p e n d s o n t h e g e o l o g i c m a t e r i a l ( l i t h o l o g y ) b e n e a t h t h e t r a n s m i t t e r a n d r e c e i v e r . B y m a p p i n g c h a n g e s i n t h e i n d u c e d c u r r e n t , i t i s p o s s i b l e t o m a p o u t c h a n g e s i n l i t h o l o g y , i n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e p o t e n t i a l p r e s e n c e o f a n a q u i f e r . A m a p o f s u b s u r f a c e c o n d u c t i v i t y c a n b e p r o d u c e d f r o m t h e d a t a o b t a i n e d i n a n e l e c t r o m a g n e t i c i n d u c t i o n s u r v e y . T h e m a p s h o w s a r e a s o f d i s t u r b e d s o i L b u r i e d m e t a l l i c o b j e c t s . a n d c h a n g e s i n s o i l c o n d u c t i v i t y t h a t m a y b e r e l a t e d t o d i s p o s a l o f h 1 g h l y c o n d u c t i \ e s u b s t a n c e s . T h e E M m e t h o d i s a l s o v e r y s e n s i t i v e t o m e t a l . T h u s . t h e l o c a t i o n o f b u r i e d m e t a l o b j e c t s , s u c h a s d r u m s o r p i p e s , c a n b e m a p p e d w i t h t h i s t e c h n i q u e . 1 . 2 . 3 R e s i s t i v i t y M e t h o d A l l r e s i s t i \ · i t y m e t h o d s e m p l o y a n a r t i f i c i a l s o u r c e o f c u r r e n t , w h i c h i s i n t r o d u c e d t o t h e g r o u n d t h r o u g h p o i n t e l e c t r o d e s . I n p r a c t i c e . t h e c u r r e n t i s i n t r o d u c e d i n t o t h e g r o u n d t h r o u g h o n e p a i r o f e l e c t r o d e s . C u r r e n t f l o w b e t w e e n t h e s e e l e c t r o d e s s p a n o u t t h r o u g h t h e g r o u n d i n a p a t t e r n a n d i n t e n s i t y t h a t d e p e n d s o n t h e c o n d u c t i v i t y o f t h e g r o u n d a n d a n y s t r a t i f i c a t i o n o r o b s t a c l e s t h a t l i e i n t h e v i c i n i t y o f t h e e l e c t r o d e s . A s e c o n d p a i r o f e l e c t r o d e s i s t h e n u s e d t o q u a n t i t a t i v e l y m e a s u r e t h e v o l t a g e p a t t e r n o n t h e s u r f a c e r e s u l t i n g f r o m t h e c u r r e n t f l o w p a t t e r n o f t h e f i r s t s e t o f e l e c t r o d e s . F i n a l l y a n e f f e c t i v e o r a p p a r e n t r e s i s t i v i t y o f t h e s u b s u r f a c e i s d e t e r m i n e d . 4 S e a r c h f o r g e o t h e r m a l r e s e r v o i r s n o r m a l l y i n v o l v e s r e s i s t i v i t y s u r v e y i n g a n d i s a l s o e m p l o y e d r o u t i n e l y i n g r o u n d w a t e r e x p l o r a t i o n a n d i n c i v i l e n g i n e e r i n g . T h e c h i e f d n t \ \ b a c k c f t h e m e t h o d i s i t s h i g h s e n s i t i v i t y t o m i n o r v a r i a t i o n s r n c o n d u c t i v i t y n c a r t h e s u r f a c e ; i n e l e c t r o n i c p a r l a n c e t h e n o i s e l e v e l i s h i g h . T h i s l i m i t a t i o n a d d e d t o t h e p r a c t i c a l d i f f i c u l t i e s i n v o l v e d i n d r a g g i n g s e v e r a l e l e c t r o d e s a n d l o n g \ \ i r e s t h r o u g h r o u g h a r e a s a n d d u e t o c u l t u r a l p r o b l e m s c a u s i n g i n t e r f e r e n c e . e . g . , p o w e r l i n e s . p i p e l i n e s . b u r i e d c a s i n g s , f e n c e s h a s m a d e t h e e l e c t r o m a g n e t i c m e t h o d p o p u l a r t h a n r e s i s t i v i t y i n m i n e r a l e x p l o r a t i o n . T h e r e s i s t i v i t y m e t h o d i s n o t p a r t i c u l a r l y s u i t a b l e f o r o i l p r o s p e c t i n g . T h e r a p i d d e v e l o p m e n t o f t h e i n d u c e d p o l a r i z a t i o n t e c h n i q u e . w h i c h i n c l u d e s r e s i s t i v i t y d a t a . h a s g u a r a n t e e d t h e r e s i s t i v i t y m e t h o d ' s c o n t i n u o u s u s e i n s p i t e o f i t s l i m i t a t i o n s . 1 . 2 . - t . - t I n d u c e d P o l a r i z a t i o n M e t h o d I n d u c e d P o l a r i z a t i o n ( l P ) i s a n E l e c t r i c a l m e t h o d o f g e o p h y s i c a l s u r v e y i n g e m p l o y i n g a n e l e c t r i c a l c u r r e n t t o d e t e r m i n e i n d i c a t i o n s o f m i n e r a l i z a t i o n . T h e i n d u c e d p o l a n z a t i u n m e t h o d h a s b e e n d e v e l o p e d f o r d e t e c t i n g s m a l l c o n c e n t r a t i o n s o f d i s s e m i n a t e d m i n e r a l i z a t i o n i n b a s e m e t a l e x p l o r a t i o n . W i t h t h e I P s u r v e y s s u b s u r f a c e m a t e r i a l s . s u c h a s o r e ' s c a n b e e a s i l y i d e n t i f i e d . T h i s m e t h o d h a s a l s o f o u n d l i m i t e d u s c f o r d e t e c t i n g o t h e r e x p l o r a t i o n t a r g e t s . e . g . , i n g r o u n d w a t e r e x p l o r a t i o n . g e o t e c h n i c a l a n d c r 1 \ ' i r o n m e n t a l a p p l i c a t i o n s . T h e m e t h o d i s s i m i l a r t o e l e c t r i c a l r e s i s t i v i t y s u r v e y s . i n t h a t a n e l e c t r i c c u r r e n t i s i n d u c e d i n t o t h e s u b s u r f a c e t h r o u g h t w o e l e c t r o d e s , a n d v o l t a g e i s m o n i t o r e d t h r o u g h l \ \ O o t h e r e l e c t r o d e s . I n t h e T i m e d o m a i n I P m e t h o d t h e s l o w d e c a y o f v o l t a g e o r c h a r g e a b i l i t y 0 \ C r a s p e c i f i e d t i m e i n t e r v a l a f t e r t h e i n d u c e d v o l t a g e i s r e m o v e d . T h e i n t e g r a t e d v o l t a g e i~. u s e d a s t h e m e a s u r e m e n t , v v h e n t h e i n j e c t e d c u r r e n t i s s t o p p e d . T h e I P m e t h o d t h e r e f o r e m e a s u r e s t h e b u l k e l e c t r i c a l c h a r g e a b i l i t y o f t h e r o c k s . F r e q u e n c y d o m a i n I P m e t h o d s u s c a l t e r n a t i n g c u r r e n t s ( A C ) t o i n d u c e e l e c t r i c c h a r g e s i n t h e s u b s u r f a c e . a n d t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y i s m e a s u r e d a t d i f f e r e n t A C f r e q u e n c i e s . ) T h e i n d u c e d p o l a r i z a t i o n ( I P ) m e t h o d \ v a s d e v e l o p e d o r i g i n a l l y f o r o r e e x p l o r a t i o n . T h e t r a n s i t i o n f r o m e l e c t r o n i c t o e l e c t r o l y t i c c o n d u c t i o n c a u s e s s t r o n g p o l a r i z a t i o n c i ' f e c t s i n o r e s . H o w e v e r , o t h e r p o r o u s m a t e r i a l s a l s o e x h i b i t p o l a r i z a t i o n e f f e c t s . T h e y a r e c a u s e d h y e l e c t r o c h e m i c a l p r o c e s s e s a t t h e i n t e r n a l i n t e r f a c e b e t w e e n t h e p o r e f l u i d a n d t h e m i n e r a l g r a i n s . A l t h o u g h t h e s e e f f e c t s a r c o n e t o t w o o r d e r s s m a l l e r i n s i z e . m o d e r n I P e q u i p m e n t i s a b l e t c r e s o l v e . 1 . 3 R e s i s t i v i t y M e t h o d - T h e I n v e r s e P r o b l e m T h e i n v e r s i o n o f f i e l d d e r e s i s t i v i t y m e a s u r e m e n t s t o i n t e r p r e t t h e a c t u a l s u b s o i l s t r u c t u r e i s p r e s e n t l y a p o p u l a r g e o p h y s i c a l m e t h o d . T h e s c i e n t i f i c p r o c e d u r e f o r t h e s t u d y o f s u c h a p h y s i c a l s y s t e m c a n b e d i v i d e d i n t o t h e f o l l o w i n g t h r e e s t e p s [ : 2 ] . • P o n l l n c l c r i : : . a r i o n o f " t h e S \ ' S t c n z : T h e d i s c l l \ e r y o f a m i n i m a l s e t o f m o d e l p a r a m e t e r s w h o s e v a l u e s c o m p l e t e l y c h a r a c t e r i z e t h e s y s t e m . • F o r \ \ ' o r d n w d e l i n o '~ T h e d i s c o v e r y o f t h e p h y s i c a l l a w s . w h i c h a l l o w s u s t o m a k e p r e d i c t i o n s o n t h e r e s u l t s o f m e a s u r e m e n t s o n s o m e o b s e r v a b l e p a r a m e t e r s . w h e n t h e m o d e l p a r a m e t e r s a r e g i v e n . • f l l \ ' C I " S C 1 1 1 0 d c f i n g T h e u s c o f t h e a c t u a l r e s u l t s o f s o m e m e a s u r e m e n t s o f t h e o b s e r v a b l e p a r a m e t e r s t o i n f e r t h e a c t u a l v a l u e s o f t h e m o d e l p a r a m e t e r s . S t r o n g f e e d b a c k e x i s t s b e t w e e n t h e s e s t e p s . a n d a d r a m a t i c a d v a n c e i n o n e o f t h e m i s u s u a l l y f o l l o \ \ e d b y a d v a n c e s i n t h e o t h e r t w o . W h i l e t h e f i r s t t w o s t e p s a r e m a i n l y i n d u c t i v e . t h e t h i r d s t e p i s d e d u c t i v e . I n v e r s e m o d e l i n g o f t h e G e o p h y s i c a l R e s i s t i v i t y M e t h o d c o n s t i t u t e t o t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e a c t u a l v a r i a t i o n o f t h e S o i l r e s i s t i v i t y f r o m t h e c o l l e c t e d a p p a r e n t r e s i s t i v i t y ( d i s c u s s e d i n s e c t i o n : 2 . 8 . 1 ) d a t a f r o m t h e f i e l d . T h e f i e l d d a t a c o n t a i n a p p a r e n t r e s i s t i v i t y v a l u e s t o g e t h e r w i t h t h e g e o m e t r y i n f o r m a t i o n . 6 I n S u b s u r f a c e i n t e r p r e t a t i o n s , t h r e e m a i n t o p o g r a p h i e s a r e u s e d , n a m e l y O n e D i m e n s i o n a l ( I D ) i n t e r p r e t a t i o n . T w o D i m e n s i o n a l ( 2 D ) i n t e r p r e t a t i o n a n d T h r e e D i m e n s i o n a l ( 3 D ) i n t e r p r e t a t i o n . I n e a c h o f t h e s e i n t e r p r e t a t i o n s t h e a m o u n t o f s u b s o i I c o n d i t i o n s r e \ e a l e d i s d i f f e r e n t . I n t h e p r e s e n t s t u d y i n t h e c o n t e x t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g w e a r e i n t e r e s t e d m a i n l y i n I D a n d 2 D i n t e r p r e t a t i o n s t o a c h i e v e s u c c e s s l ' u l e a r t h i n g o r a s y s t e m . I n a 1 0 s t u d y t h e \ e r t i c a l v a r i a t i o n b e n e a t h a p o i n t o f i n t e r e s t i s ( l b t a i n e d . T h e f i e l d a p p a r e n t r e s i s t i v i t y v a l u e s a r e i n v e r t e d t o p r o d u c e a o n e d i m e n s i o n a l p l o t o f r e s i s t i v i t y \ a l u e s ( F i g u r e 1 . 1 ) i . e . t h i c k n e s s a n d e a r t h r e s i s t i v i t y o f e a c h l a y e r i n a h o r i z o n t a l l y s t r a t i f i e d m u l t i l a y e r e a r t h s t r u c t u r e . E a r l y p r a c t i t i o n e r s u s e d s e v e r a l q u a n t i t a t i v e g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n m e t h o d s s u c h a s C u r v e m a t c h i n g , O h m - m e t e r m e t h o d . M o o r e - c u m u l a t i v e m e t h o d a n d B a r n e s l a y e r m e t h o d [ 3 ] . O t h e r c o n v e n t i o n a l I D D C r e s i s t i v i t y i 1 w e r s i o n t e c h n i q u e s i n c l u d e g r a p h i c a l m e t h o d s r e q u i r i n g i n t e r p o l a t i o n a n d j u d g m e n t a n d c o m p u t e r b a s e d i t e r a t i v e c a l c u l a t i o n m e t h o d s [ 4 ] , [ 5 ] . [ 6 ] , [ 7 ] . R e c e n t l y A r t i f i c i a l I n t e l l i g e n c e a p p r o a c h e s s u c h a s G e n e t i c A l g o r i t h m s [ 8 ] a n d A r t i f i c i a l N e u r a l \ " e t w o r k s [ 9 ] . [ 1 0 ] . [ 1 1 ] h a v e b e e n u s e d . L a v e r I f 1 1 h i L a y e r 2 p . _ h , L a y e r 3 P~ h , L a y e r N - 1 P \ - 1 h \ - I L a v e r N p \ h \ F i g u r e 1 . 1 - O n e D i m e n s i o n a l I n t e r p r e t a t i o n o f a N - l a y e r h o r i z o n t a l l y s t r a t i f i e d s o i l s t r u c t u r e B u t a I D i n t e r p r e t a t i o n w i l l n o t g e n e r a l l y r e v e a l t h e a c t u a l s u b s o i l s t r u c t u r e o f a c o m p l e x e a r t h m o d e l . H o w e v e r l D i n v e r s i o n r e s u l t s a r e v e r y u s e f u l i n c o n s t r u c t i n g 7 . . . . i n i t i a l m o d e l s f o r m u l t i d i m e n s i o n a l i n t e r p r e t a t i o n s . T h e n p r e s e n t l y . t w o - d i m e n s i o n a l ( 2 0 ) i n t e r p r e t a t i o n s a r c a l s o w i d e l y u s e d . I n o r d e r t o a d e q u a t e l y r e s o l v e c o m p l e x s o i l s t r u c t u r e s w i t h a r b i t r a r y r e s i s t i v i t y d i s t r i b u t i o n s . t h e r e g u l a r i z e d l e a s t s q u a r e s o p t i m i z a t i o n i s f r e q u e n t l y u s e d [ 1 . 2 ] i n t h e . 2 0 i n v e r s i o n o f e l e c t r i c a l i m a g i n g d a t a . S 1 m u l a t c d a n n e a l i n g [ 1 3 ] . M a x i m u m e n t r o p y [ 1 4 ] . C o n j u g a t e G r a d i e n t [ 1 5 ] a n d ! \ ' e u r a l N e t w o r k s [ 1 1 ] . [ 1 6 1 a r c o t h e r t e c h n i q u e s u s e d i n t h e c o m p l e x s t r u c t u r e . 2 0 i l l \ e r s i o n s o f g e o p h y s i c a l d a t a . I n a r e a s w h e r e t h e g e o l o g i c a l s t r u c t u r e s a r c a p p r o x i m a t e l y t w o - d i m e n s i o n a l ( 2 0 ) . c o n \ e n t i o n a l . 2 0 e l e c t r i c a l i m a g i n g s u r v e y s h a v e b e e n s u c c e s s f u l l y u s e d . T h e m a i n l i m i t a t i o n o f s u c h s u r v e y s i s p r o b a b l y t h e a s s u m p t i o n o f a . 2 0 s t r u c t u r e . I n a r e a s w i t h c o m p l e x s t r u c t u r e s . t h e r e I S n o s u b s t i t u t e f o r a f u l l 3 0 s u r v e y . R e s e a r c h e r s h a v e o h s e n c d t h a t 2 0 a n d 3 D r e s i s t i v i t y s u r v e y s a t t h e s a m e l o c a t i o n p r o d u c e d v e r y d J i l c r e n t i m a g e s o n t h e s a m e c r o s s s e c t i o n . T h i s d i s c r e p a n c y c a u s e s m u c h c o n f u s i o n a m o n g p r a c t i t i o n e r s a b o u t e l l e c t i v c n c s s o f r e s i s t i v i t y i m a g i n g m e t h o d s . \ ' e u r a l N e t \ \ o r k s a r c c a p a b l e o f s o l v i n g s e v e r a l t y p e s o f p r o b l e m s . i n c l u d i n g p a r a m e t e r c s t i m a t i u n . p a r a m e t e r p r e d i c t i o n . p a t t e r n r e c o g n i t i o n . c l a s s i f i c a t i o n a n d o p t i m i z a t i o n . A l s o r e c e n t l y t h e u s c o f N e u r a l N e t w o r k s i n t h e G e o p h y s i c s p a r a m e t e r e s t i m a t i o n p r o b l e m s h a s s h o w n s t r o n g r e s u l t s [ 1 0 [ . I n t h e p a s t d e c a d e a n d e v e n e a r l i e r . t h e r e h a s b e e n r e s e a r c h d o n e o n t h e a p p l i c a t i o n o f N e u r a l N e t w o r k s i n t h e a r e a o f g e o p h y s i c s . E x a m p l e s o f s u c h r e s e a r c h a r c . E l e c t r o m a g n e t i c [ 1 7 ] , S e i s m i c d a t a p r o c e s s i n g [ 1 8 ] . S e i s m i c v e l o c i t y e s t i m a t i o n [ 1 9 ] . a n d 3 D r e s i s t i v i t y i n t e r p r e t a t i o n o f c o n t r o l l e d - s o u r c e a u d i o - m a g n e t o t e l l u r i c ( C S A M T ) d a t a [ . 2 0 ] . i n v e r s i o n s o f m a g n e t o t e l l u r i c ( Y I . T ) d a t a [ . 2 1 ] . W i t h t h e s e r e s e a r c h s h o w i n g a g r e a t p o t e n t i a l i n : - . . J e u r a l N e t w o r k s a s a i n v e r s i o n t o o l f o r g e o p h y s i c s a p p l i c a t i o n s l a t e l y N e u r a l N e t w o r k s w e r e a p p l i e d f o r 1 D a n d 2 0 1 1 1 \ C r s i o n o f r e s i s t i \ i t y d a t a [ 9 ] [ 1 0 1 [ 1 1 ] [ 1 6 ] . I n t h e p r e s e n t s t u d y I\'eur~d N e t w o r k s i s p r o p o s e d a s t h e i n v e r s i o n t o o l f o r p a r a m e t e r e s t 1 m a t i o n i n t h e r e s i s t i v i t y p r o b l e m ( d i s c u s s e d i n C h a p t e r 3 ) . 8 1 . - l O b j e c t i v e s o f t h e P r e s e n t S t u d y T h e o b j e c t i v e o f t h i s s t u d y i s t o a d d r e s s t h e i n v e r s e p r o b l e m o f t h e g e o p h y s i c a l r e s i s t i v i t y m e t h o d t o i m p l e m e n t t h e o n e d i m e n s i o n a l ( I D ) . t w o d i m e n s i o n a l ( 2 0 ) a n d t h r e e d i m e n s i o n a l ( 3 D ) e a r t h s t r u c t u r e s f r o m a s e t o f f i e l d r e s i s t i v i t y m e a s u r e m e n t s . T h i s i s p r o p o s e d t o h e a c h i e v e d b y d e v e l o p i n g a u s e r f r i e n d l y s o f t w a r e t o o l w i t h f a s t r e s p o n s e . a t l o w c o s t t o s u i t c u r r e n t r e q u i r e m e n t s u s i n g A r t i f i c i a l I n t e l l i g e n t c o n c e p t s . S o i l R e s i s t i \ i t y I S a m a j o r f a c t o r i n f l u e n c i n g t h e p e r f o r m a n c e o f a n e a r t h i n g s y s t e m . I n t h e p r e s e n t s t u d y s p e c i a l a t t e n t i o n i s g i v e n t o e v a l u a t e t h i s w i t h t h e u s e o f t h e r e s i s t i v i t y m e t h o d . P r e l i m i n a r y a s t u d y o n t h e r e s i s t i v i t y m e t h o d s F o r w a r d M o d e l i n g p r o b l e m w a s c a r r i e d o u t t o s t u d y h m \ t h e c u r r e n t s f l o w i n g i n t h e d i f f e r e n t e a r t h s t r u c t u r e s g i v e r i s e t o t h e m e a s u r a b l e p o t e n t i a l s o n t h e e a r t h ' s s u r f a c e . t h a t i s . h o w t h e c u r r e n t f l o w i n s i d e d i f f e r e n t e a r t h s t r u c t u r e s b e h a v e s . S e c o n d l y . t h e i n v e r s e p r o b l e m f o r ! D . 2 D a n d 3 D c a s e s i s i m p l e m e n t e d w i t h t h e a p p l i c a t i o n o f N e u r a l N e t w o r k s . 1 . 5 O r g a n i z a t i o n o f t h e C h a p t e r s T h e r e s t o f t h e t h e s i s i s d i v i d e d i n t o e i g h t c h a p t e r s . C h a p t e r 2 d e a l s w i t h t h e R e s i s t i v i t y M e t h o d ' s F o r w a r d M o d e l i n g e q u a t i o n s a n d t h e g e n e r a l t h e o r i e s / t e r m i n o l o g i e s i n a c q u i r i n g f i e l d m e a s u r e m e n t s . C h a p t e r 3 d e a l s w i t h a g e n e r a l d i s c u s s i o n o n N e u r a l N e t w o r k a r c h i t e c t u r e , a l g o r i t h m s a n d t r a i n i n g . C h a p t e r 4 d i s c u s s e s t h e O n e D i m e n s i o n a l I n t e r p r e t a t i o n o f t h e r e s i s t i v i t y p r o b l e m . A l i t e r a t u r e s u n e y o f t h e o n e d i m e n s i o n a l p r o b l e m a n d N e u r a l N e t w o r k p r o g r a m s a n d o p t i m i z a t i o n s t o g e t h e r w i t h t h e i n t e r p r e t a t i o n r e s u l t s a r e g i v c n . C h a p t e r 5 d i s c u s s e s t h e p r a c t i c a l i m p o r t a n c e ( f o r E a r t h i n g ) o f t h e r e s i s t i v i t y i n t e r p r e t a t i o n . 9 C h a p t e r 6 g i v e s t h e T w o D i m e n s i o n a l r e s i s t i v i t y d a t a i n v e r s i o n i s p r e s e n t e d . T h e c h a p t e r o u t l i n e s p r a c t i c a l f i e l d m e a s u r e m e n t t e c h n i q u e s a n d e x i s t i n g f o r w a r d m o d e l i n g a p p r o a c h e s a n d i n v e r s i o n s t r a t e g i e s . C h a p t e r s 7 d i s c u s s t h e c a p a b i l i t y o r N e u r a l N e t w o r k s f o r T h r e e D i m e n s i o n a l r e s i s t i v i t y i n \ c r s i o n s w i t h t h e u s c o f s y n t h e t i c e x a m p l e s . P r a c t i c a l f i e l d m e a s u r e m e n t t e c h n i q u e s a n d e x i s t i n g f o m a r d m o d e l i n g a p p r o a c h e s a n d i n v e r s i o n s t r a t e g i e s a r c o u t l i n e d . C h a p t e r 8 p r e s e n t s t h e r e s u l t s o r t h e N N o p t i m i z a t i o n a n d t h e o r e t i c a l a n d p r a c t i c a l r e s u l t s o b t a i n e d \ \ i t h N N I n v e r s i o n . C h a p t e r 9 g i v e s t h e c o n c l u s i o n o f t h e s t u d y a n d f u r t h e r r e c o m m e n d a t i o n s t o b e a d d e d i n f u t u r e \ \ o r k . ] ( ) 2 . 1 I n t r o d u c t i o n C h a p t e r 2 R e s i s t i v i t y M e t h o d F o r w a r d M o d e l i n g I n t h e c o n t e x t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g , t h e p u r p o s e o f r e s i s t i v i t y t e s t i n g i s t o o b t a i n a s e t o f m e a s u r e m e n t s v , h i c h m a y b e i n t e r p r e t e d t o y i e l d a n e q u i v a l e n t m o d e l f o r t h e e l e c t r i c a l p e r f o r m a n c e o f t h e e a r t h , a s s e e n b y t h e p a r t i c u l a r e a r t h i n g s y s t e m . W h e n d e f i n i n g t h e p r o p e r t i e s o f a p o r t i o n o f t h e e a r t h , a d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e g e o e l e c t r i c a n d t h e g e o l o g i c m o d e l i s r e q u i r e d . I n t h e g e o e l e c t r i c m o d e l t h e b o u n d a r i e s b e t w e e n t h e l a y e r s a r e d e t e r m i n e d b y c h a n g e s i n r e s i s t i v i t y , b e i n g p r i m a r i l y d e p e n d e n t u p o n ' ' a t e r a n d c h e m i c a l c o n t e n t a s w e l l a s t e x t u r e . T h e g e o l o g i c m o d e l b a s e d u p o n s u c h c r i t e r i a a s f o s s i l s a n d t e x t u r e m a y c o n t a i n s e v e r a l g e o e l e c t r i c s e c t i o n s . T h e c o n v e r s e i s a l s o c o m m o n . E l e c t r i c a l r e s i s t i v i t y i n v e s t i g a t i o n s a r c b a s e d o n t h e p r i n c i p l e o f a p p l y i n g e l e c t r i c c u r r e n t t o t h e e a r t h t h r o u g h t w o e l e c t r o d e s a n d m e a s u r i n g t h e p o t e n t i a l d i f f e r e n c e b e t w e e n t \ \ O o r m o r e o t h e r e l e c t r o d e s . T h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e e l e c t r o d e s a n d t h e m e a s u r e d p o t e n t i a l d i f f e r e n c e a r e t h e d a t a u s e d t o m a k e i n t e r p r e t a t i o n s o f s u b s u r f a c e c o n d i t i o n s . \ V h e n a s e t o f o b s e r v a t i o n a l d a t a o r e x p e r i m e n t a l d a t a f r o m t h e p h y s i c a l w o r l d a r c s y s t e m a t i c a l l y c o l l e c t e d t h e r e m u s t h e w a y s o f e x p l a i n i n g o r c o o r d i n a t i n g t h e m . F o r t h a t I t i s r e q u i r e d t o u n d e r s t a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s e p r o p e r t i e s o f t h e p h y s i c a l s y s t e m a n d t h e o b s e r v a b l e g e o p h y s i c a l r e s p o n s e . T h e s y s t e m o f e q u a t i o n s t h a t d e s c r i b e s t h i s r e l a t i o n s h i p c o n s t i t u t e s t h e f o r w a r d t h e o r y . T h i s c h a p t e r d e a l s w i t h h o w t h e D i r e c t c u n e n t i n t r o d u c e d t o e a r t h w o u l d d i s t r i b u t e i n t h e e a r t h a n d t h e t h e o r e t i c a l e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e c u r r e n t f l o w a n d t h e p o t e n t i a l b u i l d u p i n t h e s o i l . i . e . t h e g e o p h y s i c a l r e s p o n s e f o r t h e d i r e c t c u r r e n t i n j e c t i o n i n t o t h e e a r t h . A l s o t h e c h a p t e r i n c l u d e s a s t u d y o n s o i l m e c h a n i c s . t h e p r a c t i c a l f i e l d m e a s u r e m e n t t e c h n i q u e s a n d t e r m i n o l o g i e s . 1 1 . . . 2 . 2 S o i l R e s i s t i v i t y R e s i s t a n c e i s t h a t p r o p e r t y o r a c o n d u c t o r w h i c h o p p o s e s e l e c t r i c c u r r e n t f l o w w h e n a \ O i t a g e i s a p p l i e d a c r o s s t h e t w o e n d s . I n e l e c t r i c a l c i r c u i t , t h e e l e c t r i c a l r e s i s t a n c e R o f a w i r e i n w h i c h c u r r e n t I i s f l o w i n g i s g i v e n b y O h m ' s L a w ( 2 . 1 ) . \ / / R = l ! W h e r e . \ ' - P o t e n t i a l d i i " f e r e n c e a c r o s s w i r e . R - M e a s u r e d i n o h m s . V i n v o l t s , a n d I t n a m p s . ( 2 . 1 ) R e s i s t a n c e i s n o t a f ; _ : i 1 d a m e n t a l c h a r a c t e r i s t i c o f t h e m a t e r i a l . T h e R e s i s t a n c e o r a c o n d u c t o r d e p e n d s o n t h e a t o m i c s t r u c t u r e o f t h e m a t e r i a l o r i t s R e s i s t i v i t y w h i c h i s t h a t p r o p e r t y o r a m a t e r i a l \ V h i c h m e a s u r e s t h e a b i l i t y t o c o n d u c t e l e c t r i c i t y . T h e R e s i s t a n c e o f a b l o c k o f m a t e r i a l o f l e n g t h L a n d c r o s s s e c t i o n A , c a n b e d e r i v e d f r o m t h e r e s i s t i v i t y a s ( 2 . 2 ) . H . = p L / I ! \ W h e r e . p - R e s i s t i v i t y ( O l l l ) o f t h e c o n d u c t o r m a t e r i a l ( 2 . 2 ) R e s i s t i v i t y i s a n i n t r i n s i c p r o p e r t y o f a m a t e r i a l . T h i s a f f o r d s a n o p p o r t u n i t y o f d i s t i n g u i s h i n g o n e t y p e o f m a t e r i a l f r o m a n o t h e r . R e s i s t i v i t y i s a l s o s o m e t i m e s r e f e r r e d t o a s · s p e c i f i c R e s i s t a n c e ' s i n c e f r o m ( 2 . 2 ) , R e s i s t i v i t y i s t h e R e s i s t a n c e i n o h m s h e t \ \ e e n o p p o s i l ; : : l a c e s o f a u n i t c u b e o f m a t e r i a l . C o n s e q u e n t l y · s o i l R e s i s t i v i t y ' i s t h e m e a s u r e o r t h e r e s i s t a n c e b e t w e e n t h e o p p o s i t e s i d e s o r a \ \ i t h a c u b e o f s o i l w i t h a s i d e d i m e n s i o n o f l m . F a c t o r s t h a t e t l e c t S o i l R e s i s t i v i t y m a y b e s u m m a r i z e d a s , • T y p e o f E a r t h ( e . g . c l a y . g r a n i t e . s a n d s t o n e , l o a m ) • S t r a t i f i c a t i o n i . e . l a y e r s o r d i f f e r e n t t y p e s o f s o i l ( c g . L o a m b a c k f i l l o n a c l a y b a s e ) • M o i s t u r e c o n t e n t • T e m p e r a t u r e • C h e m i c a l c o m p o s i t i o n a n d c o n c e n t r a t i o n o f d i s s o l v e d s a l t 1 2 • P r e s e n c e o r m e t a l o r c o n c r e t e s t r u c t u r e s ( e . g . p i p e s , c a b l e d u c t s , r a i l t r a c k s ) W h e n d e s i g n i n g a n e a r t h i n g s y s t e m t o m e e t s a f e t y a n d r e l i a b i l i t y , a n a c c u r a t e r c i s i t i v i t y m o d e l o f s o i l i s r e q u i r e d ( d i s c u s s e d u n d e r C h a p t e r 5 ) . 2 . 3 S o i l M e c h a n i c s I n o r d e r t o m o d e l t h e s o i L i t w a s c r i t i c a l t o k n o w h o w t h e c u n c n t f l o w s t h r o u g h s o i l . T o s t u d y t h e c u r r e n t f l o v v t h r o u g h s o i l , a s t u d y o f S o i l m e c h a n i c s w a s c l o n e . 2 . 3 . 1 C u r r e n t f l o w i n s o i l T h e t h r e e m a i n m e c h a n i s m s o f c u n c n t f l o w c a n b e s t a t e d a s f o l l o w s . l ) E l e c t r o l y t i c C o n d u c t i o n • O c c u r s h y r e l a t i v e l y s l o w m i g r a t i o n o f i o n s i n a f l u i d e l e c t r o l y t e . • C o n t r o l l e d b y t y p e o f i o n . i o n c o n c e n t r a t i o n , a n d i o n i c m o b i l i t y . 2 ) E l e c t r o n i c C o n d u c t i o n ( a s i n m e t a l w i r e ) • O c c u r s i n m e t a l s b y r a p i d m o v e m e n t o f e l e c t r o n s . • F o u n d i n n a t i v e m e t a l s a n d s o m e m e t a l o x i d e s a n d s u l p h i d e o r e s -~) D i e l e c t r i c C o n d u c t i o n • O c c u r s i n w e a k l y c o n d u c t i n g m a t e r i a l s , o r i n s u l a t o r s , i n p r e s e n c e o f e x t e r n a l a l t e r n a t i n g c u r r e n t • A t o m i c e l e c t r o n s a r e s h i f t e d s l i g h t l y r e l a t i v e t o n u c l e u s E l e c t r i c a l c u r r e n t c a n f l o w , ( i . e . e l e c t r i c a l c h a r g e s c a n m o v e ) , i n r o c k s a n d s o i l s , b u t p r o c e s s i s u s u a l l y d i f f e r e n t f r o m t h e c u r r e n t f l o w i n g i n a m e t a l w i r e . R o c k s a r e u s u a l l y p o r o u s a n d p o r e s a r c f i l l e d w i t h f l u i d s . m a i n l y w a t e r . A s a r e s u l t . r o c k s a r e e l e c t r o l y t i c c o n d u c t o r s . T h e f l o w o r e l e c t r i c i t y t h r o u g h a s o i l i s a c o m p o s i t e o f • F l o w t h r o u g h t h e s o i l p a r t i c l e s a l o n e ( s m a l l d u e t o s o l i d p h a s e i s a p o o r c o n d u c t o r ) • F l o w t h r o u g h t h e p o r e f l u i d a l o n e • F l o w t h r o u g h b o t h p o r e f l u i d a n d s o l i d s 1 3 S c · h d I ' c u t 1 d e s ( I n s u l a t ( , r s ) S ( , l i d h f , ) l s t u r e 1(C~ 1 ) n d u c t i v e ) \ . . . . . . - - , , . - - . ( - i - - - - · . . L 1 1 1 e o · , _ , t _ . U l l e l l t ()V~"' F i g u r e 2 . 1 - C u r r e n t f l o w t h r o u g h t h e s o i l E l e c t r i c a l c u r r e n t i s c a n i e d t h r o u g h a r o c k m a i n l y b y t h e p a s s a g e o f i o n s i n p o r e w a t e r s ( F i g u r e 2 . 1 ) . I n m o s t r o c k s a d e c u n e n t f l o v v i s b y e l e c t r o l y t i c c o n d u c t i o n r a t h e r t h a n o h m i c p r o c e s s e s . T h e t o t a l e l e c t r i c a l f l o w i s i n f l u e n c e d b y . • T h e p o r o s i t y o f f l o w p a t h s ( p o r e f l u i d a n d p o r e g e o m e t r y ) • C o n d i t i o n o l t h e i n t e r f a c e s b e t w e e n s o l i d a n d l i q u i d p h a s e s . 2 . 3 . 1 . 1 A r c h i e ' s L a w I n s e d i m e n t a r y r o c k s , r e s i s t i v i t y o f p o r e f l u i d i s p r o b a b l y t h e s i n g l e m o s t i m p o r t a n t f a c t o r c o n t r o l l i n g r e s i s t i v i t y o f t h e w h o l e r o c k . A r c h i e ( 1 9 4 2 ) d e v e l o p e d e m p i r i c a l f o r m u l a f o r e f f e c t i v e r e s i s t i v i t y o f r o c k ( 2 . 3 ) / " · I , : · · . j ( 2 . 3 ) p = a ¢ - " ' s - " p , W h e r e . - . . : . , : - : . p - P o r o s i t y s - V o l u m e f r a c t i o n o f p o r e s w i t h w a t e r p , - R e s i s t i v i t y o f p o r e f l u i d . u . n z . a n d n a r e e m p i r i c a l l y d e t e r m i n e d c o n s t a n t s . ( 0 . 5 < a < 2 . 5 . 1 . 3 < 1 1 1 < 2 . 5 . 1 1 ~ 2 ) . 1 - 1 - ! ) i s c o n t r o l l e d h y d i s s o l v e d s a l t s a n d c a n v a r y b e t w e e n 0 . 0 5 o h m - m f o r s a l i n e g r o u n d w a t e r t o l O O O o h m - m f o r g l a c i a l m e l t w a t e r . A r c h i e ' s L a w i g n o r e s t h e e f f e c t o f p o r e g e o m e t r y . h u t i s a r e a s o n a b l e a p p r o x i m a t i o n i n m a n y s e d i m e n t a r y r o c k s . W i t h t h e s e c u r r e n t f l o w p r o p e r t i e s , s o i l i s t h e r e f o r e t r e a t e d ( m o d e l e d ) a s a L o s s y m e d i a . 2 . 4 S o i l l \ l o d e l S o i l s h e h a \ i n g a s L o s s y m e d i a c a n b e m o d e l e d a s a c o n d u c t o r o f r e s i s t a n c e r a n d a s a d i e l e c t r i c ( F i g u r e 2 . 2 ) . T h e r e f o r e t h e b e h a v i o r o f c u r r e n t f l o w f o r b u r i e d g r o u n d e l e c t r o d e s i n s o i l c a n b e a n a l y z e d b y m e a n s o f t h e s o i l m o d e l b e l o w . • l - · . • > r I I . c c r - < I - - - , - - - - - - _ j c ' c ~ _ j _ c ~T ' C _ j L F i g u r e 2 . 2 - S o i l , M o d e l e d a s a l o s s y m e d i a E x c e p t f o r h i g h f r e q u e n c y a n d s t e e p f r o n t w a v e s p e n e t r a t i n g a v e r y r e s i s t i v e s o i l m a t e r i a l , t h e c h a r g i n g c u r r e n t i s n e g l i g i b l e i n c o m p a r i s o n t o t h e l e a k a g e c u n e n t a n d t h e e a r t h c a n b e r e p r e s e n t e d b y a p u r e r e s i s t a n c e . 2 . 5 C u r r e n t f l o w a n d P o t e n t i a l s i n H o m o g e n e o u s m e d i a d u e t o s i n g l e e l e c t r o d e a t s u r f a c e C u r r e n t s p r e a d o u t i n h o m o g e n e o u s s o i l v e r t i c a l l y a n d h o r i z o n t a l l y ( r a d i a l l y ) . s o m e w h a t i n t h e m a n n e r i n w h i c h w a t e r f r o m a g a r d e n h o s e w o u l d f l o w i n t o p o r o u s s a n d l a y e r . I f t h e s o i l w a s h o m o g e n e o u s t h e n h e m i s p h e r i c a l e q u i p o t e n t i a l s u r f a c e s w i l l d n e l o p a n d a p o i n t s o u r c e c u r r e n t f l o w i n e a r t h c a n b e s h o w n a s i n F i g u r e 2 . 3 . 1 5 ~ / / ' L i n e s o f r a d i a l C u r r e n t F I O \ v F i g u r e 2 . 3 - C u r r e n t F l o w a n d d e v e l o p e d e q u i p o t e n t i a l s u r f a c e s i n h o m o g e n e o u s s o i l d u e t o a p o i n t s o u r c e o f c u n e n t o n t h e s u r f a c e T h e p o t e n t i a l a t a n y p o i n t o f e a r t h d u e t o a c u r r e n t I f l o w i n g t h r o u g h a p o i n t E l e c t r o d e s i t u a t e d o n t h e s u r f a c e o f a h a l f s p a c e c a n b e e x p r e s s e d w i t h S p h e r i c a l C o o r d i n a t e s S \ S t e m a s . \ ' = _ E } _ ( 2 . 4 ) 2 m · \ V h i c h i s t h e \ ' O l t a g e a t a d i s t a n c e r f r o m a p o i n t s o u r c e o f c u r r e n t ( e l e c t r o d e ) a t t h e s u r r a c e o r a h a l f - s p a c e . T h e s a m e c a n b e e x p r e s s e s w i t h t h e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s [ 8 1 a s . p i ' I - i . l - 1 ( ' ) I J \ ' = _ _ e - . / 0 A x ( / , 2 ; T I I ( 2 . 5 ) T h e d e r i v a t i o n o f e q u a t i o n ( 2 . 4 ) a n d ( 2 . 5 ) a r e g i v e n i n A p p e n d i x A . I n t h e r e s i s t i v i t y m e a s u r i n g a r r a n g e m e n t s ( d i s c u s s e d u n d e r A p p e n d i x C ) t w o c u n e n t e l e c t r o d e s a r e u s e d ( F i g u r e 2 . 4 ) . I n s u c h a s i t u a t i o n c u n e n t f l o w p a t h s a n d t h e f l e l d l l l l c s i n h o m o g e n e o u s s o i l c a n b e s h o w n a s i n F i g u r e . 2 . 5 . 1 6 / r - - - - - - - - - c V ! - - - ] c ~ I [ ' I ! ' , c ~--- -----~--------------------------~ 1 ' , / ' , - - - _ _ : _ _ _ _ - - - - - - - - ------~-------=------------------ r r " F i g u r e 2 . - 1 - - F i e l d S u r v e y E l e c t r o d e a r r a n g e m e n t \ V i t h t w o c u n e n t a n d t w o p o t e n t i a l e l e c t r o d e s o n t h e s u r f a c e o f h o m o g e n e o u s s o i l . W h e n t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t w o c u r r e n t e l e c t r o d e s i s f i n i t e , t h e p o t e n t i a l a t a n y n e a r b y s u r f a c e p o i n t w i l l b e a f f e c t e d b y b o t h c u r r e n t e l e c t r o d e s . R e f e r r i n g F i g u r e 2 . 4 t h e p o t e n t i a l d u e t o c l a t ~ i s . \ ' = - ~\ 1 - - r I \ \ h e r e A - I P ~ --- 2 i T ( 2 . 6 ) B e c a u s e t h e c u r r e n t s a t t h e t w o e l e c t r o d e s a r e e q u a l a n d o p p o s i t e i n d i r e c t i o n t h e p o t e n t i a l d u e t o C a t :~ I S . \ ' , = - A = r l p w h e r e r L = - = - A ( 2 . 7 ) - / I _ 1 [ T h u s . t h e p o t e n t i a l a t ~ d u e t o b o t h t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s i s , \ ' , + \ ' , = } _ _ _ £ _ ( I I . - ! l - - - _ ; 7 r r I ' ( 2 . 8 ) S i m i l a r l y \ \ i t h a s e c o n d p o t e n t i a l e l e c t r o d e a t P 2 , t h e p o t e n t i a l d i f f e r e n c e b e t w e e n ~ a n d P , i s g i \ c n b y . " ' \ ' = I p J ( _ ! _ 1 2 i T 1 1 r - - ; \ I , - , 1 , ·,~)} ( 2 . 9 ) 1 7 1 c l l ' --7\:--~--~~ - . . . r : J ' , , · . : - . . , , _ , . / ' \ ' ' \ ' - , . . _ _ / / ' \ , , _ _ J l i . / - ' l . . ~- " ' " ! . • • ! . . . ' ' I ' ' , , -~--' . . . . ~ . . / - 4 - - - . . . . . . . . . - ( a ) ( b ) . / _ . / . / 1 6 / / /~ / / I I , - - " ' 1 I _ . : : ~ \ ~ l ' ' , I I ) ' F i g u r e 2 . 5 - E q u i p o t e n t i a l s a n d c u r r e n t f l o w l i n e s f o r t w o p o i n t s o u r c e s o f c u n e n t o n t h e s u r f a c e o f h o m o g e n e o u s s o i l ( a ) v e r t i c a l s e c t i o n ( b ) p l a n v i e w 1 8 I l , , , , , p , ! i y Ci~lVI.-ii:S•; ' • i f i V I O R A T U W A . S H l l A W M O R A T U W A 2 . 6 C u r r e n t F l o w i n N o n - H o m o g e n e o u s E a r t h O f t e n . t h e e a r t h s t r u c t u r e w i l l h a v e r e s i s t i v i t y l a y e r s r e l a t e d t o t h e p h y s i c a l l a y e r s s u c h a s t o p s o i L s u b - s o i L a n d b e d r o c k . C l e a r l y t h e s e l a y e r s o r d i v i s i o n s i n s o i l s t r u c t u r e w i l l h a \ c a c o n s i d e r a b l e i m p a c t o n b o t h s o i l r e s i s t i v i t y a n d e a r t h r e s i s t a n c e / i m p e d a n c e . D e v i a t i o n f r o m u n i f o r m t o a p l a t y s t r u c t u r e d s o i l w i l l c a u s e c h a n g e s i n t h e p a t t e r n o f c u n e n t f l o w . A t t h e b o u n d a r y o f t w o d i f f e r e n t r e s i s t i v i t y l a y e r s t h e c u n e n t t e n d s t o d e \ i a t e i t ' s f l o w p a t h , a n d t h e e q u i p o t e n t i a l s u r f a c e s d e v e l o p e d w i l l b e a f f e c t e d b y t h e c u r r e n t d e n s i t i e s d i s t r i b u t i o n . C o n s i d e r i n g t h e f a c t t h a t c u r r e n t f l o w i n t h e d i r e c t i o n o f a g o o d c o n d u c t o r a m o d e l c a n b e d r a w n a s i n F i g u r e 2 . 6 t o s h o w h o w t h e c u r r e n t f l o w i s e x p e c t e d t o c h a n g e i n n o n - u n i f o r m s o i L ( ' I ( ' , ( ' I ( ' , _ j , _ - / 1 ~~ --:_--:-~!':'~' I I ' ' ' - / I f \ I . " / \ \ - I I ' / I I ' ' I I R c : s i s \ i 1 i t ) l r p c : r I <~) c r p , I l i g h R c : s i s t i 1 i t ) B o t t o m I ~l) c : r 1 ' - . \ c t u a l C m r . : n t l · l o 1 1 I . i l K S I l o m o g c n c o u s S m a l l 1 - : l c c t w d c S p a c i n g L a r g e : U c c t r o d c S p a c i n g F i g u r e 2 . 6 - T w o l a y e r m o d e l w i t h l o w r e s i s t i v i t y l a y e r o v e r h i g h r e s i s t i v i t y l a y e r ( a ) f o r s m a l l e l e c t r o d e s p a c i n g ( b ) f o r l a r g e e l e c t r o d e s p a c i n g 2 . 6 . 1 C u r r e n t d e n s i t y v a r i a t i o n b e t w e e n b o u n d a r i e s F o r s i m p l i c i t y . w e c o n s i d e r h a r m o n i c E M f i e l d w i t h t i m e d e p e n d e n c e o f e x p ( j ( o t ) a t t h e i n t e r f a c e b e t w e e n t w o l o s s y m e d i a . T h e f i r s t m e d i u m i s c h a r a c t e r i z e d b y a r e a l p o s i t i v e p e r m i t t i v i t y & 1 a n d a r e a l p o s i t i v e c o n d u c t i \ i t y C f 1 _ T h e s e c o n d m e d i u m i s c h a r a c t e r i z e d b y a r e a l p o s i t i v e p e r m i t t i v i t y 1 " 1 . . . . , . . . • . , , . . . , ~ , _ , U I I 1 9 r . a n d a r e a l p o s i t i v e c o n d u c t i v i t y C J " c . . T h e f i r s t m e d i u m i s e q u i v a l e n t t o a d i e l e c t r i c \ \ i t h c o m p l e x p e r m i t t i v i t v D 1 - C J " 1 / . • T h e s e c o n d m e d i u m i s e q u i v a l e n t t o a d i e l e c t r i c ~ / j o J \ \ i t h c o m p l e x p e r m i t t i v i t y D . - C J " c . / . - / . i w . / I { ) I . f I n _ _ _ _ _ . . . . . . . . . . . _ . , , _ _ _ _ _ , . . . . . . . . . . . . J l r F i g u r e 2 . 7 - B e h a v i o r o f E M f i e l d a t t h e b o u n d a r y b e t w e e n t w o l o s s y m e d i a s S m c e t h e n o r m a l c o m p o n e n t o r e l e c t r i c f l u x d e n s i t y i s c o n t i n u o u s a c r o s s t h e i n t e r f a c e . i t i s e a s y t o k n o w t h e n o r m a l c o m p o n e n t o f e l e c t r i c c u n e n t d e n s i t y i s a l s o c o n t i n u o u s a c r o s s t h e i n t e r f a c e . 1 = 1 . . I n _ , , ( 2 . 1 0 ) T h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t o f c u r r e n t d e n s i t y i s n o t c o n t i n u o u s i f C J " 1 i s n o t e q u a l t o C J " , s i n c e t h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t o f E i s c o n t i n u o u s . . J l r / C J " l = . f c , ! C J " c . I l l ( } l . 1 2 1 ( } ' 1 l r _ p , . 1 2 1 P t D i v i d i n g t h e a b c w e 2 e x p r e s s i o n s w e h a v e . ( 2 . 1 1 ) 2 0 J l ! p , J P I J c ! ! t a n ( ) I / = P : : / / t a n ( ) 2 / P 1 ( 2 . 1 2 ) T h u s t h e c u r r e n t l i n e s a r e b e n t \ V h e n c r o s s i n g t h e b o u n d a r y . C l e a r l y i f t h e c u r r e n t f l o w i s d i s t o r t e d i n p a s s i n g f r o m a m e d i u m o f o n e r e s i s t i v i t y i n t o a n o t h e r , t h e e q u i p o t e n t i a l s a l s o w i l l b e d i s t o r t e d . 2 . 6 . 2 P o t e n t i a l a t a p o i n t o n t h e s u r f a c e o f a h a l f - s p a c e w i t h h o r i z o n t a l b e d s T o d e t e r m i n e t h e p o t e n t i a l f i e l d o f a n o n h o m o g e n e o u s e a r t h , m a n y m a t h e m a t i c a l m e t h o d s e x i s t i n c l u d i n g t h e s o l v i n g o f t h e L a p l a c e e q u a t i o n . B u t a s i m p l e r a p p r o a c h \ \ I l l b e t o u s c t h e a n a l o g y o f o p t i c a l i m a g e s t o s o l v e t h e p r o b l e m . W i t h t h e o p t i c a l J m a g c t e c h n i q u e i t c a n b e s h o w n t h a t t h e p o t e n t i a l a t a p o i n t o n t h e s u r f a c e ( w i t h t w o l a y e r s ) w h e r e t h e c u r r e n t e l e c t r o d e i s f i x e d , i s a f f e c t e d b y i n f i n i t e s e t o f i m a g e s a b o v e a n d b e l o w t h e c u r r e n t e l e c t r o d e ( d i s c u s s e d i n A p p e n d i x B ) . T h e e x p r e s s i o n ( 8 . 8 ) f o r t h e p o t e n t i a l o f a p o i n t o n s u r f a c e o v e r t w o b e d s m a y b e e x p r e s s e d i n t h e i n t e g r a l f o r m a s [ 7 J , \ . = ~p~ ~ 1 + 2 a f J ( / , ) . 1 1 1 ( / , a ) c U . : . . ( / ; , I I \ V h e r c . . / , 1 - Z e r o o r d e r B e s s e l F u n c t i o n o f f i r s t k i n d 1 2 1 1 / 1 \ C j ( / c ) = ' ! - k c - ' ' / ( 2 . 1 3 ) T h e e q u a t i o n ( 2 . 1 3 ) c a n b e i l l u s t r a t e d a s t h e g e n e r a l e q u a t i o n f o r t h e s u r f a c e \ O l t a g e a t a p o i n t o n t h e s u r f a c e o f a h o r i z o n t a l l y s t r a t i f i e d f o r N - l a y e r s o i l s t r u c t u r e ( F i g u r e 2 . 8 ) \ \ h e r e i n t h a t c a s e J U ) w i l l b e g e n e r a l i z e d a s f o l l o w s . 2 1 K \ I ( ' / ( } ) = 1 - K , I c - 2 ; ; , , - ' / ! r , k + K , 2 c - I " i / 1 , K \ I = I + k l K \ 2 ( ' - K c k , + \ , + 1 -~/:/1 I / \ ' , , I + k , K ,,,~c-c;;,,, K ' ' - I = k ' - I u n d k = p , - P I I ) - j J j J - j ) " , - 1 ' k · . \ . \ - 1 I p " + p l I \ I ~ . \ - I P , - 1 + p , p , + p , I 1 2 . 1 - l - ) L a y e r I p , L a y e r 2 p " L a y e r 3 p , L a y c r N - 1 p , _ , L a y e r N p , h h , / 7 _ h h \ F i g u r e 2 . 8 - M u l t i l a y e r E a r t h M o d e l 2 . 7 F i e l d P r o c e d u r e s o f S o i l R e s i s t i v i t y T e s t s I n p r a c t i c e t h e s o i l r e s i s t i v i t y m e a s u r e m e n t s a r c c o l l e c t e d w i t h a c o l l i n e a r a n a y . W i t h t h e s e a r r a y s \ v h a t i s a c t u a l l y m e a s u r e d i s a n ' A p p a r e n t R e s i s t i v i t y ' . 2 . 7 . 1 A p p a r e n t r e s i s t i v i t y R e a r r a n g i n g t h e e q u a t i o n ( 2 . 9 ) , 2 ; r 6 V p = I - c - - f ( 1 - / _ - J / - ) _ ( - ! / - _ 1 / - - - - - - : : - ; - l } ( / l i I r c / 1 ; I 1 ~ ) T J 2 m ' . \ I J / ) = i - - J 7 . I ( 2 . 1 5 ) \ V h e r e . J 7 - p a r a m e t e r d e p e n d i n g o n t h e e l e c t r o d e g e o m e t r y B v m e a s u r i n g t h e p o t e n t i a l d i f l e r e n c e L ' . V a n d c u r r e n t I a n d k n o w i n g t h e e l e c t r o d e c o n f i g u r a t i o n a \ a l u e f o r p c a n b e o b t a i n e d . T h e r e s t s t i v i t y o f t h e s o i l v a r i e s w i d e l y f r o m s i t e t o s i t e . I r t h e s o i l w a s h o m o g e n o u s a n d i s o t r o p i c i t w o u l d b e e x p e c t e d t h a t t h i s r e s i s t i v i t y \ V i i i b e c o n s t a n t f o r a n y c u r r e n t a n d e l e c t r o d e a r r a n g e m e n t i r r e s p e c t i v e o f t h e l o c a t i o n c o n s i d e r e d . U n f o r t u n a t e l y . i n p r a c t i c e . t h e e a r t h e x h i b i t s a f a r f r o m u n i f o r m s t r u c t u r e . T h e r e f o r e i n n o n - h o m o g e n e o u s s o i l w h e n t h e e l e c t r o d e s p a c i n g i s v a r i e d o r t h e s p a c i n g r e m a i n e d f i x e d w h i l e t h e w h o l e a r r a y i s m o v e d , t h e r a t i o i n g e n e r a l w i l l c h a n g e . T h i s r e s u l t s i n d ! l l e r e n t v a l u e s o f p f o r e a c h m e a s u r e m e n t . T h e m a g n i t u d e i s i n t i m a t e l y r e l a t e d t o t h e e l e c t r o d e g e o m e t r y . T h i s m e a s u r e d q u a n t i t y i s k n o w n a s t h e ' A p p a r e n t R e s i s t i v i t y ' . p<~. O t h e r i m p o r t a n t f a c t s o n r e s i s t i v i t y f i e l d p r o c e d u r e s s u c h a s t y p e s o f r e s i s t i v i t y s u n e y s a n d e l e c t r o d e s a r r a y s a r e d i s c u s s e d i n A p p e n d i x C . 2 . 8 B a s i c F o r m u l a f o r W e n n e r a r r a y A p p a r e n t R e s i s t i v i t y i n h o r i z o n t a l l y s t r a t i f i e d ! \ ' - l a y e r s o i l F o r t h e p r e s e n t s t u d y t h e W e n n e r a r r a y i s c o n s i d e r e d . S t a r t i n g w i t h t h e i n t e g r a l f o r m g i \ e n i n e q u a t i o n ( 2 . l l ) f o r t h e v o l t a g e a t a p o i n t o n t h e s u r f a c e i n h o r i z o n t a l l y s t r a t i f i e d N - l a y e r S o i L a f o r m u l a f o r a p p a r e n t r e s i s t i v i t y i s d e r i v e d a s f o l l o w s . R e f e r r i n g F i g u r e C . I t h e p o t e n t i a l d u e t o C 1 a t ~ i s , \ . I P I J I ' f / . , ) 1 , ) I , 1 1 = - - - · 1 + - a . ( / c 1 1 ( / c o c / c 2 c u r { ) ( 2 . 1 6 ) \ . = ~ ( 1 + F , ( a ) } 1 1 2 a l 7 ( 2 . 1 7 ) 2 3 W h e r e . F \ ( u ) = 2 o J J ( ) , ) J 1 1 ( i o ) d A . ( ( / . l 1 s i n t h e s a m e f o r m a s i n e q u a t i o n ( 2 . 1 4 ) . B e c a u s e t h e c u r r e n t s a t t h e t w o e l e c t r o d e s a r e e q u a l a n d o p p o s i t e i n d i r e c t i o n t h e p o t e n t i a l d u e t o c 2 a t ~ i s , ( - / ) p i I J + F \ ( 2 c t ) } \ . \ 1 \ 2 = 4 ( / J l " T h u s . t h e p o t e n t i a l a t ~ d u e t o b o t h t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s i s , V 1 = V 1 1 + V 1 2 I P 1 J J _ + F \ ( o ) \ ' - I 1 1 2 o f f l - F , ( 2 a ) l I f ( 2 . 1 8 ) ( 2 . 1 9 ) S 1 m i l a r l y \ \ i t h a s e c o n d p o t e n t i a l e l e c t r o d e a t ? 2 , t h e p o t e n t i a l d i f f e r e n c e b e t w e e n /~ a n d P , i s g i v e n b y . ; _ ! . . i ! J _ I 1 ; _ , I l .~\ _ 1 1 + _ 1 \ ( a ) f \ ( _ o ) r 2 o ; T ( 2 . 2 0 ) S u b s t i t u t i n g e q u a t i o n ( 2 . 2 0 ) i n t o e q u a t i o n ( C . I ) t h e t h e o r e t i c a l e x p r e s s i o n f o r t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y p " i s o b t a i n e d . 2 ; r u r \ ! . . i ! J _ I l + 2 F ( u ) - F \ ( 2 o ) } l l = - - \ \ ) 1 ' I \ 2 u ; r / 1 = p 1 [ I + 2 F \ ( a ) - i ' \ ( 2 o ) } ( 2 . 2 1 ) E q u a t i o n ( 2 . 2 1 ) i s t h e g e n e r a l e q u a t i o n f o r c a l c u l a t i n g t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y i n t h e c a - , e o f a h o r i z o n t a l l y s t r a t i f i e d m u l t i l a y e r e a r t h f o r a w e n n e r a r r a y . 2 . X . l B a s i c F o r m u l a f o r S c h l u m b e r g e r a r r a y A p p a r e n t R e s i s t i v i t y i n h o r i z o n t a l l y s t r a t i f i e d N - l a y e r s o i l F o r t h e S h l u m b e r g e r a r r a y t h e a b o v e e q u a t i o n ( 2 . 2 1 ) i s w r i t t e n a s , 2 c \ . ! ) , = p 1 ] I + 2 L ' f J ( ) , ) . / 1 ( ) , L ) c U J ; ( / , r ) = - . / I I ( ) " L ) \ \ . h e r e . . / ( ; _ L ) - F i r s t o r d e r B e s s e l F u n c t i o n } 1 1 ( / r ) - F i r s t d e r i v a t i v e o f . / 0 ! " - H a l f t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s e p a r a t i o n 2 . 9 C u r r e n t D e n s i t y ( . 2 . . 2 . 2 ) T h e g e n e r a l t h e o r y a s d e v e l o p e d a b o v e h a s c o n s i d e r e d t h e e a r t h h o m o g e n e o u s a n d o f t h e s a m e r e s i s t i v i t y . T h e a c t u a l c o n d i t i o n e n c o u n t e r e d i n t h e f i e l d i s a h e t e r o g e n e o u s m a t e r i a l v e r t i c a l l y a n d o f t e n l a t e r a l l y a s w e l l . T h e a c t u a l m e a s u r e m e n t s a s m a d e i n t h e f i e l d o n l y i l l \ o l v c a s m a l l e l e m e n t o f m a t e r i a l b e t w e e n t h e p o t e n t i a l e l e c t r o d e s ( F i g u r e 2 . 9 ) . R e s i s t i v i t y t h e o r y s t a t e s t h a t t h e l i n e s o f c u r r e n t f l o w w i l l b e d e f l e c t e d t o w a r d a g o o d c o n d u c t o r . t h a t i s . o n e \ V i t h a l o w e r r e s i s t a n c e o r h i g h e r c o n d u c t a n c e . T h i s i s s i m i l a r t o g r o u n d - \ \ a t e r f l o w w h e r e t h e f l o w l i n e s a r c d e n s e r i n t h e a q u i f e r o f h i g h e r p e r m e a b i l i t y . T h e p o t e n t i a l d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e p o t e n t i a l e l e c t r o d e s i s p r o p o r t i o n a l t o t h e c u r r e n t d e n s i t y a n d t h e t r u e r e s i s t i v i t y o f t h e s m a l l n e a r s u r f a c e c l e m e n t o f m a t e r i a l b e t w e e n t h e p o t e n t i a l e l e c t r o d e s [ 3 ] . S t a t e d m a t h e m a t i c a l l y : \ ' X P o l W h e r e . \ 1 - V o l t a g e d r o p P o - T r u e r e s i s t i v i t y I - C u r r e n t d e n s i t y T h i s e q u a t i o n i s s u b s t i t u t e d t o e q u a t i o n ( C . l ) , s i n c e 2 r w i s a c o n s t a n t , P x ( f j ) P o ( . 2 . . 2 3 ) ( . 2 . . 2 4 ) . 2 5 W h i c h s t a t e s t h a t , t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y p " i s p r o p o r t i o n a l t o t h e t r u e r e s i s t i v i t y m u l t i p l i e d b y t h e r a t i o o f t h e c u n e n t d e n s i t y t o t h e c u r r e n t . T h e c u r r e n t d e n s i t y i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e t o t a l c u r r e n t : t h e r e f o r e . t h e m e a s u r e d a p p a r e n t r e s i s t i v i t y i s I n d e p e n d e n t o f t h e t o t a l c u r r e n t a p p l i e d . c l ~ p 2 c I I + - -~ ~J-~~: - ~-i- 1 / " . ' \ ' , / . / / " ' ·~, \ ' . . \ l~\ / 1 ' " " / C : u r r c n t F l o w L i n e s / F i g u r e 2 . 9 - S m a l l E l e m e n t o f m a t e r i a l A c c o r d i n g t o [~ 1 t h e e q u a t i o n ( 2 . 2 4 ) c o n t a i n s t h e k e y t o t h e q u a l i t a t i v e i n t e r p r e t a t i o n o f r e s i s t i \ i t y e f f e c t s . T h i s k e y m a y a l s o b e s t a t e d i n t h e s e w o r d s : ' ' D i f f e r e n t s u b s u r f a c e c o n d i t i o n s w i l l p r o d u c e d i f f e r e n t a p p a r e n t r e s i s t i v i t y r e a d i n g s . l f a s m a l l v o l u m e e l e m e n t i s i m a g i n e d a s e x t e n d i n g a l o n g t h e e a r t h s u r f a c e b e t w e e n t h e t w o p o t e n t i a l e l e c t r o d e s s h o w n i n F i g u r e 2 . 9 . t h e n i t w i l l h a v e a c e r t a i n c u n e n t d e n s i t y i . a n d a c e r t a i n t r u e r e s i s t i v i t y p 1 1 • T h e m e a s u r e d a p p a r e n t r e s i s t i v i t y w i l l h e d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e s e t w o q u a n t i t i e s . " S o . d e v i a t i o n f r o m a h o m o g e n e o u s e a r t h s t r u c t u r e , t h e c u r r e n t d e n s i t y w i l l b e e f f e c t e d b y t h e a c t u a l s u b s u r b c c c o n d i t i o n . T h i s w i l l i n t u r n a f f e c t t h e c u r r e n t d e n s i t y i n t h e s m a l l \ o l u m c c l e m e n t c o n s i d e r e d b e t w e e n t h e p o t e n t i a l e l e c t r o d e s . S i m i l a r l y t h e 2 6 a c t u a l s u b s u r f a c e c o n d i t i o n s w i l l a f f e c t t h e t r u e r e s i s t i v i t y b c t \ \ ' C e n t h e p o t e n t i a l e l e c t r o d e s . 2 . 1 0 D e p t h o f c u r r e n t p e n e t r a t i o n F o r a h o m o g e n e o u s m a t e r i a L c o n s i d e r a v e r t i c a l p l a n e a t t h e m i d p o i n t b e t w e e n e l e c t r o d e s . O n e h a l f t h e c u r r e n t f l o w s t h r o u g h t h i s p l a n e a t a d e p t h e q u a l t o o n e h a l f t h e e l e c t r o d e s p a c i n g a n d o n e h a l f l ' l o w s a t a g r e a t e r d e p t h . J r \ \ e c o n s i d e r a w e n n e r a r r a y t h e r e s i s t i v i t y d e t e r m i n e d b y t h e e q u a t i o n ( C . I ) a p p l i e s t o a \ o l u m c o f m a t e r i a l t h a t d e p e n d s o n t h e e l e c t r o d e s p a c i n g , a n d a s t h e s p a c i n g i s 1 1 1 c r e a s e d . t h e c u r r e n t p e n e t r a t e s d e e p e r i n t o t h e e a r t h . A s t h e e l e c t r o d e s p a c i n g i s i n c r e a s e d . t h e c u r r e n t f l o w s t h r o u g h a g r e a t e r v o l u m e o f m a t e r i a l b o t h h o r i z o n t a l l y a n d v e r t i c a l l y a n d t h e d e e p e r m a t e r i a l s w i l l h a v e a n e f f e c t o n t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y . T h u s . i f t h e d e e p e r m a t e r i a l i s o f h i g h e r r e s i s t a n c e t h e c u r r e n t f l o \ \ l i n e s w i l l b e d e l ' l e c t e d u p w a r d a n d t h e c u n e n t d e n s i t y i n t h e n c a r s u r f a c e \ O l u m c c l e m e n t i s i n c r e a s e d . I f t h e d e e p e r m a t e r i a l i s o f l o w e r r e s i s t i v i t y t h e c u r r e n t C l e m l i n e s w i l l b e d e f l e c t e d d o w n w a r d a n d t h e c u r r e n t d e n s i t y w i l l b e d e c r e a s e d . T h e 1 1 1 c r e a s c o r d e c r e a s e i n c u n c n t d e n s i t y i s m e a s u r e d b y t h e r e s i s t i v i t y a p p a r a t u s . I n t e r p r e t a t i o n o f t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y c h a n g e s w i t h c h a n g e i n e l e c t r o d e s p a c i n g w i l l 1 1 1 d i c a t c c h a n g e s i n a n d t y p e s o f m a t e r i a l a t c e r t a i n d e p t h s . [ m p i r i c a l o b s e r v a t i o n s h a v e s h o w n t h a t f o r t h e W e n n e r e l e c t r o d e c o n f i g u r a t i o n c h a n g e s i n a p p a r e n t r e s i s t i v i t y a r e c o n s i d e r e d t o o c c u r a t t h e d e p t h e q u a l t o t h e s p a c i n g b e t w e e n a d j a c e n t e l e c t r o d e s . T o f i n d o u t t h e d e p t h ( l i . c u n e n t p e n e t r a t i o n a s a f u n c t i o n o f c u r r e n t e l e c t r o d e s p a c i n g . I~ ( F i g u r e 2 . 1 0 ) l e t s c o n s i d e r t h e c u n c n t r i o w i n a h o m o g e n e o u s m e d i u m b e t w e e n t w o p 0 1 n t e l e c t r o d e s C 1 a n d C 2 • T h e h o r i z o n t a l c u r r e n t d e n s i t y a t p o i n t P i s , . ! =(~ li)D\1~ / P lc~x ( 2 . 2 5 ) 2 7 P O \ v e r - - - - _ L _ L _ _ _ _ r _ _ = - : _ _ _ _ I C , _ _ _ - - _ r - - / _ - _ \ - - C - > · - · I t-~. · y - - - - - y - 7 - - - y - y - - / l / - / - - - - - ; - y - 7 ;-~- 2 - - / - • 7 / ~ r I I I - I I _ , I p _ _ _ l _ _ _ / I . - - - r - 1 r , f i g u r e 2 . 1 0 - D e t e r m i n i n g t h e c u r r e n t d e n s i t y i n u n i f o r m g r o u n d b e l o w t w o s u r f a c e e l e c t r o d e s S u b s t i t u t i n g f o r \ o l t a g e V a t d u e t o b o t h t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s f r o m e q u a t i o n ( 2 . 8 ) , f = ( - 1 1 ) c 1 / ( I / _ 1 / l · ' / 2 J T l c ' . r \ j 1 / 1 ~) = ( _ I I ) f . \ / , _ ( r - L ) ( l 12~7 l / ' i / r 2 ' [ ( 2 . 2 6 ) I f p o i n t P i s o n t h e v e r t i c a l p l a n e m i d w a y b e t w e e n C 1 a n d C 2 , n o w ' i = r , _ = r a n d , . l I I " ( 2 . 2 7 ) . . , 7 [ ( - /)>~ _ , _ ' + L - / - , _ /~ T h e t o t a l c u r r e n t f l o w i n g i n t h e x d i r e c t i o n t h r o u g h a c r o s s s e c t i o n d y d : : . i s , ~-! = J d r d - = - 1 - L d v d - , ' · , 2 J T ( 1 : % ' + \ ' 2 + : : . 2 ) X · , ( 2 . 2 8 ) T h e t o t a l c u r r e n t f a l l i n g b e l o w s o m e d e p t h Z 1 i s , ' ' I L I = I I X d w l : : . / 2 ; 7 ( J - ' / ' ' ) 2 . , - - ' _ / + \ ' _ + _ _ ~~ . - i 2 _ 1 2 Z 1 J l = / I I - - t a n - \ ; 7 L ( 2 . 2 9 ) F i g u r e 2 . 1 1 s h m v s t h e p e r c e n t a g e o f c u r r e n t f l o w i n g b e l o w d e p t h / : 1 f o r e l e c t r o d e ~pacing L . O n l y a b o u t I Y l i o f t h e c u r r e n t p e n e t r a t e s b e l o w a d e p t h o f t w i c e t h e 2 8 e l e c t r o d e s p a c i n g . A l s o w e s e e t h a t w h e n L = 2 Z 1 h a l f t h e c u r r e n t f l o w s i n t h e t o p l a v e r a n d h a l f b e l c m i t . 1 0 0 ' - 9 0 8 0 7 0 ~ N 6 0 ; ; : 0 0 " " 5 0 E ~ 4 0 : J u 0 a · 3 0 2 0 1 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 Z 1 / L D e p t h / E l e c t r o d e S p a c 1 n g F i g u r e 2 . 1 1 - P e r c e n t a g e o f c u r r e n t f l o w i n g b e l o w d e p t h Z 1 f o r c u r r e n t e l e c t r o d e s p a c i n g L S i n c e t h e v a r i a t i o n i n p o t e n t i a l m e a s u r e d a t s u r f a c e a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e c u n e n t l l t m b e l o w . i t i s d e s i r a b l e t o g e t m u c h c u r r e n t i n t o t h e g r o u n d a s p o s s i b l e . F o r g o o d p e n e t r a t i o n w e m u s t u s l a r g e e n o u g h s p a c i n g t h a t s u f f i c i e n t c u n e n t r e a c h e s t h e t a r g e t d e p t h . 2 . 1 1 ! \ l a s t e r c u r v e s T h e m a s t e r c u r v e s a r e p r e p a r e d i n a d i m e n s i o n l e s s f o r m f o r a n u m b e r o f r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t s k = ( P c - 1 - % : : . + P t J o r f o r p 2 I p 1 • F i g u r e 2 . 1 2 s h o w s t h e m a s t e r c u r v e s r e p r e s e n t e d o n a s i n g l e p l o t f o r a l \ V O l a y e r e a r t h s t r u c t u r e . 2 9 3 . 1 I n t r o d u c t i o n C h a p t e r 3 N e u r a l N e t w o r k s a s t h e I n v e r s i o n T o o l I l l \ e r s e t h e o r y i s t h e u s c o f t h e a c t u a l r e s u l t s o f s o m e m e a s u r e m e n t s o f t h e o b s e r v a b l e d a t a t o i n f e r t h e a c t u a l v a l u e s o f t h e m o d e l p a r a m e t e r s ( p r o p e r t i e s o f t h e p h y s i c a l S ) S t e m ) . T h e f i e l d d a t a c o n t a i n a p p a r e n t r e s i s t i v i t y v a l u e s a n d g e o m e t r y i n f o r m a t i o n . T h e s e d a t a a r c t h e n i n v e r t e d t o p r o d u c e a p l o t o f r e s i s t i v i t y v a l u e s . T h i s r e s i s t i v i t y i m c r s i o n s e c t i o n i s t h e n u s e d t o i n t e r p r e t s u b s u r f a c e l i t h o l o g y . D i ! l e r e n t s u b s u r f a c e c o n d i t i o n s w i l l p r o d u c e d i f f e r e n t a p p a r e n t r e s i s t i v i t y r e a d i n g s . I n v e r s e m o d e l i n g o f t h e G e o p h y s i c a l R e s i s t i v i t y M e t h o d i s d e t e r m i n a t i o n o f t h e a c t u a l v a r i a t i o n l l i " t h e S o i l r c s i s t i \ i t y f r o m t h e c o l l e c t e d a p p a r e n t r e s i s t i v i t y d a t a f r o m t h e f i e l d . H o w e v e r . t h e o n e - d i m e n s i o n a l ( I D ) a n d t \ v o - d i m e n s i o n a l ( 2 0 ) i n v e r s i o n i n t e r m s o f v e r t i c a l \ a r i a t i o n o f r e s i s t i v i t y i s a d i f f i c u l t t a s k . P r a c t i t i o n e r s u s e m a n y s o f t w a r e p a c k a g e s a s t h e i l l \ c r s i o n t o o l w i t h c o m p l e x m a t h e m a t i c a l a l g o r i t h m s a n d h u g e s e q u e n t i a l c o d e s w h e n i t c o m e s t o i n t e r p r e t a t i o n o f t h e f i e l d d a t a . S e c t i o n 1 . 3 d i s c u s s e s s o m e o f t h e m e t h o d s \ \ h e r e m o s t o f t h e m b a s e d o n i t e r a t i v e c a l c u l a t i o n m e t h o d s . : \ r t J I " i c i a l N e u r a l N e t w o r k s ( A N N s ) a r e c a p a b l e o f s o l v i n g s e v e r a l t y p e s o f p r o b l e m s . l l l c l u d i n g p a r a m e t e r e s t i m a t i o n . p a r a m e t e r p r e d i c t i o n , p a t t e r n r e c o g n i t i o n . c l a s s i f i c a t i o n a n d o p t i m i z a t i o n . A l s o r e c e n t l y t h e u s e o f n e u r a l n e t w o r k s i n t h e g e o p h y s i c s p a r a m e t e r e s t i m a t i o n p r o b l e m s h a s s h o w n s t r o n g r e s u l t s ( d i s c u s s e d u n d e r U ) . W i t h t h i s r e c e n t t r e n d i n t h e a p p l i c a b i l i t y o f t h e A N N ' s f o r t h e n o n l i n e a r g e o p h y s i c a l i n v e r s i o n p r o b l e m s A N N ' s i s p r o p o s e d a s t h e i n v e r s i o n t o o l f o r p a r a m e t e r e s t i m a t i o n o r s u b s u r f a c e i n t e r p r e t a t i o n i n t h e r e s i s t i v i t y p r o b l e m . M a t L a b i s u s e d a s t h e s o f t w a r e t o o l f o r t h e m o d e l i n g o f t h e n e u r a l n e t w o r k a n d g e n e r a t i o n o f s y n t h e t i c d a t a . S e v e r a l M a t L a b c o m m a n d s a n d f u n c t i o n s a v a i l a b l e i n t h e N e u r a l N e t w o r k T o o l B o x a r c u s e d f o r t h e p r o g r a m s w r i t t e n . T h i s c h a p t e r c a r r i e s a g e n e r a l d i s c u s s i o n a b o u t t h e :\cur~tl N e t w o r k s ( N N ' s ) a n d t h e f u n c t i o n s e l e c t i o n f o r t h e N e u r a l N e t w o r k m o d c l m g a n d o p t i m i z a t i o n . 3 1 ~: 3 . 2 S e l e c t i o n o f N e u r a l N e t w o r k s f o r t h e P r e s e n t S t u d y A s d i s c u s s e d e a r l i e r m a n y g e o p h y s i c a l a p p l i c a t i o n s h a v e u s e d n e u r a l n e t w o r k s a s a n i n \ e r s i o n t o o L a n d h a v e s h o v v n s t r o n g r e s u l t s . I n s p i t e o f t h i s l a t e s t t r e n d i n a p p l y i n g \ieur~tl N e t w o r k s f o r i n v e r s i o n f o l l o w i n g d i s c u s s e d a r e s o m e m o r e r e a s o n s f o r c h o o s i n g l \ N ' s a s t h e i n v e r s i o n t o o l f o r p r e s e n t s t u d y . • E l i m i n a t i o n o f l e n g t h y s e q u e n t i a l c o d e s A n e u r a l n e t w o r k c a n b e t r a i n e d w i t h a s e t o f e x a m p l e d a t a p a i r s . S o t h i s w i l l e l i m i n a t e c o m p l e x m a t h e m a t i c a l a l g o r i t h m s a n d h u g e s e q u e n t i a l c o d e s r e q u i r e d f o r c o m e r t i n g a n i n p u t t o o u t p u t . R a t h e r t o t r a i n t h e n e t w o r k a l l w h a t w e n e e d i s a c o l l e c t i o n o f r e p r e s e n t a t i v e e x a m p l e s o f t h e d e s i r e d t r a n s l a t i o n . T h e N N t h e n a d o p t s i t s e l f t o p r o d u c e t h e d e s i r e d o u t p u t s w h e n p r e s e n t e d w i t h t h e e x a m p l e i n p u t s . I n a d d i t i o n . t h e N N w i l l a l s o p r o d u c e a n o u t p u t f o r t h e i n p u t s , w h i c h i t h a s n e v e r s e e n . T h i s i s b e c a u s e o f t h e i n h e r e n t a b i l i t y o f t h e n e t w o r k t o d e a l w i t h n o i s e o r o b s c u r e d p a t t e r n s . T h i s h a s s i g n i f i c a n t a d v a n t a g e o f a s N N a p p r o a c h o v e r a t r a d i t i o n a l a l g o r i t h m i c approac~1. S o . n o \ v i f w e c o n s i d e r t h e l D i n v e r s i o n c a s e t h e b a s i c i n t e n t i o n b e h i n d t h e u s e o f n e u r a l n e t w o r k s i s t o f i r s t t r a i n t h e p r o g r a m w i t h a s y n t h e t i c d a t a s e t g e n e r a t e d u s i n g t h e e q u a t i o n s ( 2 . 5 0 ) . T h e n i n p u t a s e t o f f i e l d c o l l e c t e d r e s i s t i v i t y m e a s u r e m e n t d a t a t o t h e n e t w o r k t o o b t a i n t h e a c t u a l e a r t h s t r u c t u r e w i t h t h e l a y e r p a r a m e t e r s i . e . t h e l a y e r t h i c k n e s s e s a n d t h e i n d i v i d u a l l a y e r r e s i s t i v i t i e s . • O m i s s i o n o f a i n i t i a l m o d e l e s t i m a t i o n N N " s d o n o t n e e d a ' g o o d ' i n i t i a l s o l u t i o n s e t o f p a r a m e t e r s a s a n i n p u t f o r t h e i r p r o g r a m . w h e r e i n o t h e r i n v e r s e a l g o r i t h m b a s e d p r o g r a m s d e v e l o p e d t h e y n e e d t o d e t e r m i n e t h e i n i t i a l v a l u e s p r o p e r l y . f o r t h e s p e e d o f c o n v e r g e n c e o f t h e i t e r a t i v e s o l u t i o n [ 5 1 . I n [ 5 J t h e i n i t i a l g u e s s f o r a t h r e e l a y e r m o d e l i s b a s e d o n t h e t v v o - e n d l i m i t p r o p e r t y . W i t h t h i s d e t e r m i n e s t h e t o p l a y e r a n d b o t t o m l a y e r r e s i s t i v i t i e s , w i t h t h e a r g u m e n t t h a t s e l e c t e d p r o b e s p a c i n g ( a ) i s s m a l l e n o u g h a n d l a r g e e n o u g h t o o b t a i n a l m o s t u n c h a n g i n g a p p a r e n t r e s i s t i v i t y w i t h f u r t h e r c h a n g e o f u . ' " ' ' ) _ ) _ • P o s s i b i l i t y o f t r a i n i n g t h e n c t v v o r k i n p l a c e o f h u m a n v i s u a l i n s p e c t i o n O n e t h i n g n o t e d i n l i t e r a t u r e w a s t h a t a f t e r e v e r y m e a s u r e m e n t s e t i s t a k e n b e f o r e a p p l y t n g i t t o a n i n v e r s e a l g o r i t h m b a s e d p r o g r a m f o r p a r a m e t e r o p t i m i z a t i o n , t h e nw~tSurcd d a t a i s p l o t w i t h a p p a r e n t r e s i s t i v i t y V s p r o b e s p a c i n g . S o w i t h t h e c u r v e s h a p e o r t h e t r e n d o f t h e c u r v e a m o d e l t o f i t n a m e l y t w o l a y e r s , t h r e e l a y e r s . f o u r l a y e r s i s d e t e r m i n e d f i r s t . T h i s i s d o n e w i t h a v i s u a l i n s p e c t i o n o f t h e c u r v e s a n d b y m a t c h i n g t h e m a p p r o x i m a t e l y w i t h t h e s t a n d a r d c u r v e s h a p e s . So~~ s i m i l a r c l a s s i f i c : l t i o n b a s e c a n b e u s e d f o r t h e n e u r a l n e t w o r k a p p r o a c h . W h e r e t h e n e u r a l n e t w o r k c a n b e t r a i n e d t o c l a s s i f y t h e a p p a r e n t r e s i s i t i v i t y m e a s u r e m e n t s e t u n d e r t h e s u i t a b l e r w c l e l f i r s t a s t w o l a y e r s , t h r e e l a y e r s a n d s o o n . H e r e a g a i n w i t h t h e r e f e r e n c e t o t h e s t a n d a r d c u r v e t y p e s a b r o a d c l a s s i f i c a t i o n c a n b e g i v e n b a s e d o n t h e r e s i s t i \ i t y v a r i a t i o n o f s o i l m o d e l s m o r e t h a n t w o l a y e r s ( e . g . f o r t h r e e l a y e r s L o w - h i g h - l o w m o d e L h i g h - m e d i u m - l o w m o d e l e t c . ) S u a f t e r t r a i n i n g t h e n e t w o r k f o r a d e t e r m i n e d w e l l s e l e c t e d s e t o f s u c h c u r v e t y p e s t h e t i m e c o n s u m i n g v i s u a l i n s p e c t i o n a n d i n i t i a l g u e s s d e t e r m i n a t i o n c a n b e t a k e n o f f f r o m t h e h u m a n s . A r t e r t r a i n i n g t h e n e u r a l n e t w o r k s t h e y w i l l p e r f o r m e x c e l l e n t a t r e a l t 1 m e s o l e l v f o r t h e m e a s u r e d f i e l d d a t a . 3 . 3 B i o l o g i c a l N e u r a l N e t w o r k s T h e h u m a n b r a i n i s a h i g h l y c o m p l i c a t e d m a c h i n e c a p a b l e o f s o l v i n g v e r y c o m p l e x p r o b l e m s . A l t h o u g h w e h a v e a g o o d u n d e r s t a n d i n g o f s o m e o f t h e b a s i c o p e r a t i o n s t h a t d r i v e t h e b r a i n . w e a r e s t i l l f a r f r o m u n d e r s t a n d i n g e v e r y t h i n g t h e r e i s t o k n o w a b o u t t h e b r a i n . I n o r d e r t o u n d e r s t a n d A r t i f i c i a l N e u r a l N e t w o r k s ( A N N ) , i t i s n e c e s s a r y t o h a v e a h a s t e k n O \ \ l e d g e o f h O \ \ t h e i n t e r n a l s o f t h e b r a i n w o r k . T h e b r a i n i s p a r t o f t h e c e n t r a l n t : T \ o u s s y s t e m a n d c o n s i s t s o f a v e r y l a r g e N N . T h e N N i s a c t u a l l y q u i t e c o m p l i c a t e d , b u t I w i l l o n l y i n c l u d e t h e d e t a i l s n e e d e d t o u n d e r s t a n d A N N , i n T h e N N ~~ a n e t w o r k c o n s i s t i n g o f c o n n e c t e d n e u r o n s . T h e c e n t e r o f t h e n e u r o n i s c a l l e d t h e n u c l e u s . T h e n u c l e u s i s c o n n e c t e d t o o t h e r n u c l e u s e s b y m e a n s o f t h e d e n d r i t e s a n d t h e a x o n . T h i s c o n n e c t i o n i s c a l l e d a s y n a p t i c c o n n e c t i o n . 3 3 ~: (~ell b c . . : l y . - ' ' ' i / - - 1 L \ iL~Nudeuc I , J L / ,~ l F i g u r e 3 . 1 - S i m p l i f i e d b i o l o g i c a l n e u r o n T h e n e u r o n c a n f i r e e l e c t r i c p u l s e s t h r o u g h i t s s y n a p t i c c o n n e c t i o n s . w h i c h i s r e c e i v e d a t t h e d e n d r i t e s o f o t h e r n e u r o n s . F i g u r e 3 . 1 s h o w s h o w a s i m p l i f i e d n e u r o n l o o k s l i k e . W h e n a n e u r o n r e c e i v e s e n o u g h e l e c t r i c p u l s e s t h r o u g h i t s d e n d r i t e s . i t a c t i v a t e s a n d f i r e s a p u l s e t h r o u g h i t s a x o n , v v h i c h i s t h e n r e c e i v e d b y o t h e r n e u r o n s . I n t h i s w a y i n f o r m a t i o n c a n p r o p a g a t e t h r o u g h t h e N N . T h e s y n a p t i c c o n n e c t i o n s c h a n g e t h r o u g h o u t t h e l i f e t i m e o f a n e u r o n a n d t h e a m o u n t o f i n c o m i n g p u l s e s n e e d e d t o a c t i \ a t e a n e u r o n ( t h e t h r e s h o l d ) a l s o c h a n g e . T h i s b e h a v i o r a l l o w s t h e N N t o l e a r n . T h e h u m a n b r a i n c o n s i s t s o f a r o u n d 1 0 1 1 n e u r o n s w h i c h a r e h i g h l y i n t e r c o n n e c t e d \ \ i t h a r o u n d 1 0 1 ' c o n n e c t i o n s [ 2 2 ] t h e s e n e u r o n s a c t i v a t e s i n p a r a l l e l a s a n e f f e c t t o i n t e r n a l a n d e x t e r n a l s o u r c e s . T h e b r a i n i s c o n n e c t e d t o t h e r e s t o f t h e n e r v o u s s y s t e m . \ \ h i c h a l l o w s i t t o r e c e i v e i n f o r m a t i o n b y m e a n s o f t h e f i v e s e n s e s a n d a l s o a l l o w s i t t o c o n t r o l t h e m u s c l e s . 3 A : \ r t i f i c i a l N e u r a l N e t w o r k s ( A N N ) B a s i c a l l y t h e n e u r a l n e t w o r k c o n c e p t c a n b e r e f e r r e d t o a s t h e " c o m p u t e r l e a r n i n g b y e x p e r i e n c e ' ' . C o n v e n t i o n a l l y a c o m p u t e r p r o g r a m i s a s e t o f s e q u e n t i a l s e t o f 3 4 i · i n s t r u c t i o n s c a r r i e d o u t b y t h e c o m p u t e r , w h i c h i s w r i t t e n b y a h u m a n . B u t t h e s e s e q u e n t i a l c o m p u t e r s y s t e m s w i l l h e e x p e r i e n c i n g d i f f i c u l t i e s i n p e r f o r m i n g i n h e r e n t l y p a r a l l e l t a s k s . T h e c a s e o f v i s u a l p a t t e r n s r e c o g n i t i o n c a n b e g i v e n a s a n e x a m p l e . C u m p a r a t i \ e t o t h e c o n v e n t i o n a l c o m p u t e r t h e i n d i v i d u a l n e u r a l c e l l i s c a p a b l e o f h a n d l i n g m a s s i \ e p a r a l l e l i s m a n d i n t c r c o n n e c t i \ i t y , t o g e t h e r w i t h a h i g h r e s p o n s e t i m e t o t y p i c a l l y a f e w t e n s o f m i l l i s e c o n d s . T h e r e f o r e t h e b i o l o g i c a l s y s t e m a c c o m p a n y i n g t h e b r a i n h a s t h e a b i l i t y t o p e r f o r m c o m p l e x p a t t e r n r e c o g n i t i o n i n h u n d r e d s o f m t l l i s e c o n d s . W e \ \ i l l n e e d o u r c o m p u t e r s t o p e r f o r m c o m p l e x p a t t e r n r e c o g n i t i o n p r o b l e m s i n t h e r e a l \ \ O r l d a p p l i c a t i o n s . B u t s i n c e t h e c o n v e n t i o n a l c o m p u t e r s a r e n o t s u i t e d f o r t h e s e a p p l i c a t i o n s . \ V e t h e r e f o r e b o r r o w f e a t u r e s f o r m t h e p h y s i o l o g y o f t h e b r a i n a s t h e b a s i s o f a n e w p r o c e s s i n g m o d e l . H e n c e t h e t e c h n o l o g y i s k n o w n a s A r t i f i c i a l N e u r a l S y s t e m s ( A N S ) o r N e u r a l N e t w o r k s . U l t i m a t e l y t h e c o n v e n t i o n a l c o m p u t e r i s n o w c a p a b l e o f h a n d l i n g a n d i n t e r p r e t i n g t h e c o m p l e x p a t t e r n r e c o g n i t i o n - ( - I n p u t s . \ " f l I n p u t L a y e t · ( n ) \ . _ _ _ ) H i d d e n L a y e r ( I ) P r o c c s s m g E l e m e n t s ( N e u r o n s ) I O u t p u t s - ( ) p - O u t p u t L a y e r ( m ) C o n n e c : i o n W e i g h t s F i g u r e 3 . 2 - a n A r t i f i c i a l N e u r a l N e t w o r k 3 5 ~: F i g u r e 3 . 2 s h c l \ \ s a G e n e r a l N e u r a l N e t w o r k . T h e N e u r a l n e t w o r k s h o w n a b o v e h a s t h n : e l a y e r s . n a m e l y t h e i n p u t l a y e r , h i d d e n l a y e r a n d o u t p u t l a y e r . T h e l a y e r s c o n s i s t o f n e u r o n s o r P r o c e s s i n g E l e m e n t s ( P E ' s ) . P E ' s a r e s i m p l e e l e m e n t s o p e r a t i n g i n p a r a l l e l a n d t h e y a r c i n s p i r e d b y b i o l o g i c a l n e r v o u s s y s t e m s . T h e n u m b e r o f i n p u t a n d o u t p u t l a y e r n e u r o n s i s d e c i d e d o n t h e a p p l i c a t i o n a n d t h e h i d d e n n e u r o n s a r e d e c i d e d o n a t r i a l a n d e r r o r b a s i s . A \ ! \ " i s s p e c i f i e d b y a r c h i t e c t u r e : a s e t o f n e u r o n s a n d l i n k s c o n n e c t i n g n e u r o n s . E a c h l i n k h a s a w e i g h t . a n e u r o n m o d e l : t h e i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g u n i t o f t h e N N . a l e a r n i n g a l g o r i t h m : u s e d f o r t r a i n i n g t h e N N b y m o d i f y i n g t h e w e i g h t s i n o r d e r t o s o h c t h e p a r t i c u l a r l e a r n i n g t a s k c o r r e c t l y o n t h e t r a i n i n g e x a m p l e s . T h e l a y e r s a r e i n t e r c o n n e c t e d w i t h a s e t o f c o n n e c t i o n s . W h e r e e a c h n e u r o n i n t h e i n p u t l a y e r i s c o n n e c t - : d t o e a c h n e u r o n i n t h e h i d d e n l a y e r i . e . t h e n e t w o r k i s f u l l y m t e r c o n n e c t c d . T h e s e c o n n e c t i o n s a r c a s s i g n e d w i t h a v a l u e c a l l e d w e i g h t s . T h e n e t w o r k f u n c t i o n i s d e t e r m i n e d l a r g e l y b y t h e c o n n e c t i o n s b e t w e e n c l e m e n t s . T h e i n p u t l a y e r i s c o n n e c t e d t o t h e e x t e r n a l w o r l d o r t h e r a w d a t a . A n , \ N N i s n o t p r o g r a m m e d : r a t h e r . i t i s t r a i n e d b y s h o w i n g i t a r a n g e o f e x a m p l e i n p u t s . T h e A \ I N b u i l d s u p a c o n f i g u r a t i o n b a s e d o n t h e e x a m p l e s t h a t a l l o w s i t t o f u n c t i o n a s a n a d a p t i v e f i l t e r . T h i s c o n f i g u r a t i o n i s a n i n t e r n a l r e p r e s e n t a t i o n o r g e n e r a l i z a t i o n o f t h e e x a m p l e s . b a s e d o n r e g r e s s i o n . T h e A N N u s e s t h e g e n e r a l i z a t i o n t n m a t c h o t h e r i n p u t p a t t e r n s a g a i n s t , w i t h i n a r a n g e o f t o l e r a n c e . F o r e x a m p l e . a n A \ " : \ ' c o u l d b e t r a i n e d o n a v a r i e t y o f d a t a s e t s t h a t r e p r e s e n t a k n o w n s a m p l e . W i t h e n o u g h t r a i n i n g . t h e A N N c a n r e c o g n i z e a n d i d e n t i f y d a t a f r o m u n k n o w n s a m p l e s . T h e l e \ e l o f resolu~ion v a r i e s w i t h t h e t h r e s h o l d a n d t h e r e s o l u t i o n o f t h e t r a i n i n g e x a m p l e s . E a c h n o d e i n a n A N N s e e s a d i f f e r e n t c o m p o n e n t o f t h e d a t a s e t . T h e c o m p o n e n t s m a : m e r l a p . T h e d i f f e r e n t n o d e s m a k e d e c i s i o n s b a s e d o n t h e i r c o m p o n e n t s . T h e n a c o n s e n s u s o f t h e s e d e c i s i o n s r e s u l t s i n a f i n a L g l o b a l d e c i s i o n . r e c o g n i t i o n . o r i d e n t i f i c a t i o n . 3 . 4 . 1 N e u r o n : : \ l o d e l F i g u r e 3 . 3 s h o w s a n a r t i f i c i a l n e u r o n . T h e n e u r o n i s t h e b a s i c i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g u n i t o l a n A N N . 3 6 I b ) ( - · w ~'"'''',,, X , -~ 1 \ ' l - - ~' - - " I n p u t s I X -~ -;l.~ . / / / / r ! - - ~rll r W e i g h t s F i g u r e 3 . 3 - A r t i f i c i a l N e u r o n M o d e l \ I L o c a l f i e l d I A c t i v a t i o n F u n c t i o n - y E q u a t i o n 3 . 1 r e p r e s e n t s t h e m a t h e m a t i c s o f t h e b e h a v i o r o f a s i n g l e n e u r o n . I n p u t s X t t h r o u g h X " a r e m u l t i p l i e d b y w e i g h t s W 1 t h r o u g h W 1 1 f o r t h i s s p e c i f i c n o d e a n d t h e n s u m m e d . T h i s v v e i g h t e d s u m i s r e f e n e d t o a s t h e i n d u c e d f i e l d o f t h e n e u r o n . O u t p u t o f t h e s u m m i n g f u n c t i o n i s t h e n s e n t i n t o a t r a n s f e r f u n c t i o n . T h i s f u n c t i o n t h e n t u r n s t h i s n u m b e r i n t o a r e a l o u t p u t v i a s o m e a l g o r i t h m . T h e o u t p u t , Y , r e s u l t s w h e n t h e v v e i g h t e d s u m o f t h e i n p u t s e x c e e d s t h e g i v e n t h r e s h o l d d e f i n e d b y a n o n l i n e a r t r a n s f e r ! u n c t i o n . B i a s i s a c o n s t a n t i n p u t w i t h c e r t a i n w e i g h t . T h e b i a s b h a s t h e e f f e c t o f a p p l y i n g a n a f f i n e t r a n s f o r m a t i o n t o t h e w e i g h t e d s u m . I t c a n b e m o d e l e d b y a d d i n g a n e x t r a i n p u t . \ ' = H ' l X X I + w e X X c + w , X X , + . . . . . . . . + ~~~ X X I I + h ( 3 . 1 ) T h e l \ ' e u r o n t r a n s f e r f u n c t i o n o r t h e A c t i v a t i o n f u n c t i o n ( s q u a s h i n g f u n c t i o n ) i s f o r l i m i t i n g t h e a m p l i t u d e o f t h e n e u r o n o u t p u t . T h e m o s t c o m m o n a c t i v a t i o n f u n c t i o n s u s e d a r c s h o w n i n F i g u r e 3 . 4 . T h c r e s u l t o f t h e t r a n s f e r f u n c t i o n i s u s u a l l y t h e d i r e c t o u t p u t o f t h e p r o c e s s i n g e l e m e n t . T h e H a r d L i m i t e r f u n c t i o n c a n h e g i v e n m a t h e m a t i c a l l y a s , l i f l ' 2 : 0 ( ( l ' ) = i 0 i f \ ' < ( ) T h e P i e c e - W i s e L i n e a r f u n c t i o n c a n b e g i v e n m a t h e m a t i c a l l y a s , 3 7 ~: j ( \ ' ) = 1 \ ' I ( ) i l ' \ ' : : ; > 1 / 2 i f 1 / 2 > \ ' : : ; > - 1 / 2 i f \ ' ~ 1 / 2 T h e S 1 g m o i c l F u n c t i o n i s s i m i l a r l y g i v e n a s , . I / ( r ) = - - - - - 1 + c x p ( - m · ) T h e h y p e r b o l i c T a n g e n t i s s i m i l a r l y g i v e n m a t h e m a t i c a l l y a s , j ( l ' ) = t a n h ( l ' ) j ( \ ' ) ' i I 2 f ( l ' ) L 2 H - . : ' _ ! l ~ l - ] I I - I I ' 1 - - - + - _ _ , - - - - - - - , - - ~- - - - I J I ) ~ 1 { ) 1 : ' . : ' _ ( ) \ ' / T I J 2 ~~ _,_"~ ~ -~ "~""- ~ _ _ L _ _ _ _ l _ - - + · - - - - - - - , - - - - - - - - t - - - - - t - - - - 2 I I - I 5 - 1 . 1 1 - 0 . < I J I J 5 I I I I ' 2 I J \ ' - - : ' - ( ! . : ' _ - - - - ; - " ' - - - - - - - - - - t - - - - - - ' - - - - - - ' - " _ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , H a r d L i m i t e r P i c c e - w i c e L i n e a r / ( I ' ) ' 1 . 0 ! - - - - - - = - - = f ( l ' ) - · - - - ~·~·-,. ~ - (~ ~----;~ I 0 - - - - r~~· . / / / ' . . . I _ / ' , 1 ~--~-'~-- t:;:r<~;. : .Y-~- _ . . · · ~,.,.- . . . . -------r---~ -~- - - - - - - - \ ' \ ' - 1 . 0 - - - - + - 1 . 0 S i g m o i d H y p e r b o l i c T a n g e n t F i g u r e 3 . 4 - C o m m o n A c t i v a t i o n F u n c t i o n s 3 8 ~: 3 . - U L e a r n i n g A l g o r i t h m T h e r e a r e s c \ c r a l t y p e s o f n e t w o r k s b a s e d o n t h e a l g o r i t h m u s e d b y t h e m t o ! c a m ( o r t o t r a i n t h e n e t \ \ o r k ) . T h e t e r m ' l e a m ' r e f e r s t o t h e a d j u s t i n g o r u p d a t i n g t h e c o n n C L ' t J o n w e i g h t s . E v e r y n e u r a l n e t w o r k p o s s e s s e s k n o w l e d g e w h i c h i s c o n t a i n e d i n t h e \ ; d u e s o f t h e c o n n e c t i o n s w e i g h t s . M o d i f y i n g t h e k n o w l e d g e s t o r e d i n t h e n e t w o r k a s a ! u n c t i o n o f e x p e r i e n c e i m p l i e s a l e a m i n g r u l e f o r c h a n g i n g t h e v a l u e s o f t h e ' ' e i g h t s . T h e A d a p t i v e n e t w o r k l e a r n s u n d e r s u p e r v i s e d o r u n s u p e r v i s e d l e a r n i n g . 3 . - U . l S u p e n i s e d l e a r n i n g S u p e n i s c c l l c a m i n g i s a t e c h n i q u e f o r l c a m i n g a f u n c t i o n f r o m t r a i n i n g d a t a . T h e t r a i n i n g d a t a c o n s i s t o f p a i r s o f i n p u t o b j e c t s ( t y p i c a l l y v e c t o r s ) , a n d d e s i r e d o u t p u t s . T h e o u t p u t o f t h e f u n c t i o n c a n b e a c o n t i n u o u s v a l u e o r c a n p r e d i c t a c l a s s l a b e l o f t h e ! l l p u t o b j e c t ( c a l l e d c l a s s i f i c a t i o n ) . T h e t a s k o f t h e s u p e r v i s e d l e a r n e r i s t o p r e d i c t t h e \ a l u c o f t h e f u n c t i o n f o r a n y v a l i d i n p u t o b j e c t a f t e r h a v i n g s e e n a n u m b e r o f t r a i n i n g e \ a m p l c s ( i . e . p a i r s o f i n p u t a n d t a r g e t o u t p u t ) . T o a c h i e v e t h i s , t h e I e a m e r h a s t o g e n e r a l i z e f r o m t h e p r e s e n t e d d a t a t o u n s e e n s i t u a t i o n s i n a " r e a s o n a b l e " w a y . T h i s p a r a l l e l t a s k i n h u m a n a n d a n i m a l p s y c h o l o g y i s o f t e n r c f e n e d t o a s c o n c e p t l e a r n i n g . P a r a c l i g m s o f s u p e r v i s e d l e a m i n g i n c l u d e e r r o r - c o r r e c t i o n l e a m i n g , r e i n f o r c e m e n t l e a r n i n g a n d s t o c h a s t i c l e a m i n g . A n i m p o r t a n t i s s u e c o n c e r n i n g s u p e r v i s e d l e a r n i n g i s t h e p r o b l e m o r e r r o r c o n v e r g e n c e , i . e . t h e m i n i m i z a t i o n o f e 1 T o r b e t w e e n t h e d e s i r e d a n d c o m p u t e d u n i t v a l u e s . T h e a i m i s t o d e t e r m i n e a s e t o f w e i g h t s w h i c h m i n i m i z e s t h e e r r o r . O n e \ \ e l l - k n o w n m e t h o d , w h i c h i s c o m m o n t o m a n y l e a r n i n g p a r a d i g m s , i s t h e l e a s t m e a n s q u a r e ( L M S ) c o n v e r g e n c e . 3 . - U . 2 L n s u p e r v i s e d l e a r n i n g L n s u p c r v i s c d l e a m i n g s t u d i e s h o w s y s t e m s c a n l e a m t o r e p r e s e n t p a r t i c u l a r i n p u t p a t t e r n s i n a \ \ a y t h a t r e f l e c t s t h e s t a t i s t i c a l s t r u c t u r e o f t h e o v e r a l l c o l l e c t i o n o f i n p u t p a t t e r n s . B y c o n t r a s t w i t h s u p e r v i s e d l e a m i n g , t h e r e a r c n o e x p l i c i t t a r g e t o u t p u t s o r e n \ m l l l m c n t a l e v a l u a t i o n s a s s o c i a t e d \ V i t h e a c h i n p u t : r a t h e r t h e u n s u p e r v i s e d l e a r n e r h n n g s t o h e a r p r i o r b i a s e s a s t o w h a t a s p e c t s o f t h e s t r u c t u r e o f t h e i n p u t s h o u l d b e c a p t u r e d 1 1 1 t h e o u t p u t . 3 9 l k . L ' n s u p e r v i s c d l e a r n i n g i s i m p o r t a n t s i n c e i t i s l i k e l y t o b e m u c h m o r e c o m m o n i n t h e b r a i n t h a n s u p e r v i s e d l e a r n i n g . T h e o n l y t h i n g s t h a t u n s u p e r v i s e d l e a r n i n g m e t h o d s h a \ e t o w o r k w i t h a r e t h e o b s e r v e d i n p u t p a t t e r n s , w h i c h a r c o f t e n a s s u m e d t o b e m d e p e n d e n t s a m p l e s f r o m a n u n d e r l y i n g u n k n o w n p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n . W i t h u n s u p e r v i s e d l e a r n i n g i t i s p o s s i b l e t o l e a r n l a r g e r a n d m o r e c o m p l e x m o d e l s t h a n \ \ i t h s u p c n i s e d l e a r n i n g . l f t h e c a u s a l r e l a t i o n b e t w e e n t h e i n p u t a n d o u t p u t o b s l ' n a t i o n s i s c o m p l e x , i t i s o f t e n e a s i e r t o b r i d g e t h e g a p u s i n g u n s u p e r v i s e d l e a r n i n g i n s t e a d o r s u p e r v i s e d l e a r n i n g . T h i s i s b e c a u s e i n s u p e r v i s e d l e a r n i n g o n e i s t r y i n g t o f i n d t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t w o s e t s o f o b s e r v a t i o n s . T h e d i f f i c u l t y o f t h e l e a r n i n g t a s k i n c r e a s e s e x p o n e n t i a l l y i n t h e n u m b e r o f s t e p s b e t w e e n t h e t w o s e t s a n d t h a t i s w h y s u p e r v i s e d l e a r n i n g c a n n o t , i n p r a c t i c e , l e a r n m o d e l s w i t h d e e p h i e r a r c h i e s . I n u n s u p e r v i s e d l e a r n i n g , t h e l e a r n i n g c a n p r o c e e d h i e r a r c h i c a l l y f r o m t h e o b s e n a t i o n s i n t o e v e r m o r e a b s t r a c t l e v e l s o f r e p r e s e n t a t i o n . E a c h a d d i t i o n a l h i e r a r c h y n e e d s t o l e a r n o n l y o n e s t e p a n d t h e r e f o r e t h e l e a r n i n g t i m e m c r e a s e s ( a p p r o x i m a t e l y ) l i n e a r l y i n t h e n u m b e r o f l e v e l s i n t h e m o d e l h i e r a r c h y . U n s u p e r v i s e d c o m p e t i t i v e l e a r n i n g i s u s e d i n a w i d e v a r i e t y o f f i e l d s u n d e r a w i d e \ a r i e t y o f n a m e s . t h e 1 n o s t c o m m o n o f w h i c h i s " c l u s t e r a n a l y s i s " . H e b b i a n l e a r n i n g i s t h e o t h e r m o s t c o m m o n v a r i e t y o f u n s u p e r v i s e d l e a r n i n g . H e b b i a n l e a r n i n g m i n i m i z e s t h e s a m e e r r o r f u n c t i o n a s a n a u t o - a s s o c i a t i v e n e t w o r k w i t h a l i n e a r h i d d e n l a y e r , t r a i n e d b y l e a s t s q u a r e s . a n d i s t h e r e f o r e a f o r m o f d i m e n s i o n a l i t y r e d u c t i o n . P e r h a p s t h e m o s t n o v e l f o r m o r u n s u p e r v i s e d l c a m i n g i n t h e N N l i t e r a t u r e i s K o h o n c n ' s s e l f - o r g a n i z i n g ( f e a t u r e ) m a p . S O M s c o m b i n e c o m p e t i t i v e l e a r n i n g w i t h d i m e n s i o n a l i t y r e d u c t i o n b y s m o o t h i n g t h e c l u s t e r s w i t h r e s p e c t t o a n a p r i o r i g r i d . 3 . 5 B a c k p r o p a g a t i o n L e a r n i n g T h e l e a r n i n g a l g o r i t h m u s e d f o r t h e p r e s e n t s t u d y i s t h e ' F e e d f o r w a r d b a c k p r o p a g a t i o n ' a l g o r i t h m w h e r e t h e G e n e r a l i z e d D e l t a R u l e i s u s e d . I t a d j u s t s t h e \ \ e t g h t s o f t h e N N i n o r d e r t o m i n i m i z e t h e a v e r a g e s q u a r e d e r r o r . D u r i n g t h e F e e d F o r v v d r d S t e p . a n i n p u t p a t t e r i s a p p l i e d t o t h e n e t w o r k a s a s t i m u l u s a t t h e f i r s t l a y e r . o f t h e n e t w o r k i t i s p r o p a g a t e d t h r o u g h e a c h s u c c e s s i v e l a y e r u n t i l a n o u t p u t i s g e n e r a t e d . T h i s o u t p u t i s c o m p a r e d t o t h e d e s i r e d o u t p u t a n d a n e r r o r s i g n a l 1 s c o m p u t e d f o r e a c h u n i t . 4 0 • 0 T h i s e r r o r s i g n a l i s t r a n s m i t t e d b a c k w a r d s t o e a c h u n i t i n t h e i n t e r m e d i a t e l a y e r s . T h e u n i t s r e c e i \ e o n l y a p o r t i o n o f t h e t o t a l e r r o r b a s e d o n t h e i r c o n t r i b u t i o n m a d e t o t h e o r i g i n a l o u t p u t . B a s e d o n e r r o r s i g n a l r e c e i v e d , c o n n e c t i o n w e i g h t s a r e u p d a t e d h y e a c h u n i t t o c a u s e t h e n e t w o r k t o c o n v e r g e t o w a r d s a s t a t e t h a t a l l t r a i n i n g p a t t e r s t o b e e n c o d e d . T h i s i s t h e b a c k w a r d s t e p . 3 . 5 . 1 F e e d F o r w a r d S t e p L e t · s c o n s i d e r t h e i n p u t v e c t o r a s , X , , = ( · \ · 1 · x 1 . 2 . . . . . . , x 1 , 1 • • • • • • • x / ' 1 1 ) ( 3 . 2 ) W h e r e \ 1 , i s t h e i n p u t t o t h e i 1 1 ' u n i t o f t h e i n p u t l a y e r . T h e n t h e s e i n p u t s a r e a c t i v a t e d b y a n a c t i v a t i o n f u n c t i o n , a n d p r e s e n t e d a s t h e a c t i \ a t i o n \ e c t o r o f t h e l a y e r . L e t u s a s s u m e t h a t a c t i v a t i o n f u n c t i o n s a t a l l t h e c a s e s a r c e q u a l t o i t s n e t i n p u t . \ J O \ \ t h e i n p u t t o t h e / ' h i d d e n u n i t . l r n e t 1 , 1 c a n b e c a l c u l a t e d a s f o l l o w s f r o m e q u a t i o n ( ] . l ) . I l l ' I = " \ ' \ ' \ / ; , X + ( _ / ' ~ / 1 f ! l / \ \ ' h e r e . c j W . ' ' - W e i g h t s f r o m / ' i n p u t u n i t t o / ' h i d d e n u n i t 8 ' - B i a s i n p u t t o / ' h i d d e n u n i t T h e o u t p u t o r t h e n o d e i s , i . . = f ( n e r ; ; 1 ) W h e r e . ( ' - t h e t r a n s f e r f u n c t i o n o f t h e / ' h i d d e n u n i t . S i m i l a r l y e q u a t i o n s f o r t h e o u t p u t n o d e s a r c , ( ] . ] ) ( ] . 4 ) 4 1 ·~, I n d ' = " ' " " ' H ' + ( } " , , , L z ; ' ( 3 . 5 ) 0~', = J~"(ner;;,) ( 3 . 6 ) W h e r e · · o " s u p e r s c r i p t r e f e r s t o q u a n t i t i e s i n t h e o u t p u t l a y e r . N m \ a f t e r t h e o u t p u t f o r t h e 1 / 1 i n p u t i s c a l c u l a t e d a n e r r o r m e a s u r e i s t a k e n . W h e r e t h e e r r o r f o r t h e ,l~ i n p u t v e c t o r o f t h e k 1 1 1 u n i t o f t h e o u t p u t l a y e r c ' P ' i s g i v e n b y , c . · . = d . - 0 . :' 1 ~ I , ; , I ' ' ' ( 3 . 7 ) W h e r e . d f ! A - D e s i r c c l o u t p u t o f t h e e l l o u t p u t n o d e f o r / / 1 t r a i n i n g v e c t o r T h e e r r o r t h a t i s m i n i m i z e d b y t h e G e n e r a l i z e d D e l t a R u l e i s t h e s u m o f t h e s q u a r e s o f t h e e n o r f o r a l l o u t p u t u n i t s . T h e M e a n s q u a r e e n o r f u n c t i o n f o r t h e 1 / 1 t r a i n i n g \ e c t o r c a n t h u s b e g i v e n b y , 1 I l l ' E , , = - : : ; - I ( d , , , - 0 1 > 1 , ) - - !~I 3 . 5 . 2 B a c k P r o p a g a t i o n S t e p ( 3 . 8 ) I n o r d e r t o a d J · u s t t h e w e i g h t s t o m i n i m i z e E , t h e w e i g h t s a r e c h a n g e d i n t h e n e g a t i v e ~ ~ I ' ~ ~ ~ g r a d i e n t o f t h e a b o v e e r r o r f u n c t i o n . T h i s i s d o n e f i r s t w i t h r e s p e c t t o t h e o u t p u t l a y e r ( ; L \ \ e i g h t s , w h e r e _ _ ,_~ i s e v a l u a t e d . ~ l W / ) c ! ; 3 . 5 . 2 . 1 W e i g h t u p d a t e f o r t h e O u t p u t l a y e r B y u s i n g t h e c h a i n r u l e f o r p a r t i a l d e r i v a t i v e s , c~E C ' - f " " c ( n e t " ) _ _ _ ! ! = ( d I - 0 . ) · . ! f ! A f W . " I " I " r ( n e r ' ) ) C ' - W " I I I ' A A / ( 3 . 9 ) F r o m e q u a t i o n ( 3 . 5 ) . ? ( n e t ' , ' . ) c ' 1 · _ _ _ _ _ _ ! . _ , ' ' : . . _ _ _ = - - " ' " " ' w 0 i + ( j " I - I - : ' : l J T I I : l , V ( I L l J ! ' ! 4 - j J f ( ~ ~ / 1 ( V i>~ I · I ( : \ . 1 0 ) 4 2 I l T h e f u n c t i o n s I > u u l f t c a n t a k e m a n y f o r m s a s d i s c u s s e d u n d e r t h e s e c t i o n 3 . 2 . 1 t w o c o m m o n l y u s e d f o r m s a r e . ( n c r " ) = n e t ' ' . j ! A . j ! / , ( 3 . 1 1 ) ( , ) I " " r " ) - t n c r . = ( + e , . , I " ( 3 . 1 2 ) W h e r e ( 3 . 1 1 ) a n d ( 3 . 1 2 ) a r e l i n e a r t r a n s f e r f u n c t i o n a n d s i g m o i d t r a n s f e r f u n c t i o n r e s p e c t i v e l y . l n t h e s i g m o i d f u n c t i o n t h e o u t p u t i s \ V i t h i n z e r o a n d o n e . F r o m e q u a t i o n ( 3 . 1 1 ) . = I ( 3 . 1 3 ) F r o m e q u a t i o n ( 3 . 1 2 ) . = j ' " I I - f . , , ) = o ( I - o ) · / , \ · Z I ; J . J ! J . ~ ( 3 . 1 4 ) C o m b i n i n g e q u a t i o n s ( 3 . 1 0 ) a n d ( 3 . 1 1 ) t h e n e g a t i v e g r a d i e n t i s . _ c " E 1 , = ( d , , _ o 1 , , ) C ( n e r ; ; , ) i 1 , 1 ? H ' . ' ' , , , ( 3 . 1 ) ) F i n a l l v t h e w e i g h t c h a n g e v a l u e 6 W , " c a n b e g i v e n b y . ; L - ' - - j ! 1 \ f ; , _ . . - ( : £ ~ w.~' = = _ , _ · _ ! _ ' , , ! J 7 [ ' ~t'.ll ' I ( 3 . 1 6 ) W h e r e . 1 7 i s t h e l e a r n i n g r a t e p a r a m e t e r T h e r e f o r e t h e u p d a t e c l w e i g h t s c a n b e g i v e n b y . I F " ( r + 1 ) = H ' " ( t ) + L ' . W " ( t ) ; , ; f ; I ' f ; ( 3 . 1 7 ) C o m b i n i n g e q u a t i o n s ( 3 . 1 ) ) . ( 3 . 1 6 ) a n d ( 3 . 1 7 ) t h e g e n e r a l w e i g h t u p d a t e e q u a t i o n i s g i \ e n a s . w . · : ( l + l ) = H ' , · : ( t ) + l J ( d j i k - o f ! A ) f ; . " ( n e r ; ; , ) i f ! / ( 3 . 1 8 ) N o \ \ c o m b i n i n g e q u a t i o n ( 3 . 1 8 ) a n d ( 3 . 1 3 ) t h e w e i g h t u p d a t e e q u a t i o n f o r l i n e a r o u t p u t u n i t s i s . 4 3 i~. w ; · · u + 1 J = w , · , ' u J + , 7 c d 1 1 , - 0 1 1 1 ) i 1 ! / ( 3 . 1 9 ) T h e \ \ e i g h t u p d a t e e q u a t i o n f o r s i g m o i d o u t p u t u n i t s c o m b i n i n g ( 3 . 1 8 ) a n d ( 3 . 1 4 ) i s . l l ' 1 1 + 1 ) = H ' . " ( t ) + I J ( d . - 0 . ) o . ( t - o , ) i • 1 . " 1 f ! A j J A j J ! , f ! h j ) / ( 3 . 2 0 ) T h e a b m e e q u a t i o n i s s u m m a r i z e d b y d e f i n i n g a q u a n t i t y . { : ! = ( d / I A - o , . , z ) f ; " ( n f ' t ; ; / , ) / . , , ( " ) = D . , . . n e t . t " - ' " ! 1 1 ' ( 3 . 2 1 ) C o m b i n i n g e q u a t i o n ( 3 . 1 8 ) a n d ( 3 . 2 1 ) t h e w e i g h t u p d a t e e q u a t i o n c a n b e f i n a l l y s u m m a r i z e d a s . I I ' ' ( t + I ) = w , · ! ' ( t ) + I J c ' ; ; , i ! ' ! ( 3 . 2 2 ) 3 . 5 . 2 . 2 \ V e i g h t u p d a t e f o r t h e H i d d e n l a y e r s T h e w e i g h t u p d a t e f o r t h e h i d d e n l a y e r i s d o n e i n a s i m i l a r m a n n e r b y e v a l u a t i n g t h e e r r o r g r a d i e n t w i t h r e s p e c t t o t h e h i d d e n l a y e r w e i g h t s w : ; f E 1 ~ I ' ~ C , t W ; , = 2 L . . c l W 1 1 ( d ; , z - 0 ; 1 1 . r . z / 1 ~£ " ' " ' ( " ) " ' · ; : ' ) ( / 1 ) c · c o , c n e t . o t c n t ' t ! ' . ~ ( I . ) . 1 1 ' I ' ' 1 ' 1 / 1 1 ~=-L,. ( ; , / , - ( ) ! ' ' ~( 0 ) ~· ~( / 1 ) " ' W ! r c n · , o n t ' t 1 , , c t 1 ! / o n e t 1 , 1 c 1 1 ( 3 . 2 3 ) R e f e r r i n g s e c t i o n 3 . 3 . 2 . 1 f o r t h e e v a l u a t i o n o f s i m i l a r p a r t i a l d e r i v a t i v e s , a b o v e e q u a t i o n c a n b e g i v e n a s , i ' E _ I ' = -~ ( d - ( } . ) r ( n e t " ) w " t 1 ( n e f 1 1 ) \ ' ? I F L . . j ! l . . / , I ' ' . A I . I j ! ! . j J I A ( 3 . 2 4 ) T h e h i d d e n l a y e r w e i g h t s a r c u p d a t e s i n p r o p o r t i o n t o t h e n e g a t i v e o f e q u a t i o n ( 3 . 2 4 ) , \ 1 1 . . · 1 / · 1 1 · ( / 1 ) I ( I ) / ' " ( " ) 1 X ! 0 __~ • · = 1 7 n e t . . r c . - o . , . n e t , v v 1 , : J . ' ! • f l i j ! i j l r , · j ! A . . r . / h . , " f ( 3 . 2 5 ) L S i n g e q u a t i o n ( 3 . 2 1 ) , ( 3 . 2 5 ) c a n b e w r i t t e n a s , 4 4 ' " ~WI! = I / ' 1 ' . ( n c r ' ' ) x " \ ' D " W " / 1 l / 1 . , 1 1 / f l l ~ f1~ J ; ( 3 . 2 6 ) ' F r o m e q u a t i o n ( 3 . 2 5 ) i t i s e v i d e n t t h a t e v e r y w e i g h t u p d a t e o n t h e h i d d e n l a y e r d e p e n d s o n a l l t h e e r r o r t e r m s D ; ; , o n t h e o u t p u t l a y e r . T h i s r e s u l t i s w h e r e t h e n o t a t i o n o f b a c k p r o p a g a t i o n a r i s e s . T h e k n o w n e r r o r s o n t h e o u t p u t l a y e r a r c p r o p a g a t e d b a c k t o t h e h i d d e n l a y e r t o d e t e r m i n e t h e a p p r o p r i a t e w e i g h t c h a n g e s o n t h a t l a y e r . T o m a k e t h e h i d d e n l a y e r w e i g h t u p d a t e e q u a t i o n a n a l o g o u s t o e q u a t i o n ( 3 . 2 2 ) . t h e \ \ e i g h t u p d a t e e q u a t i o n o f t h e o u t p u t l a y e r . a h i d d e n l a y e r e r r o r t e r m i s d e f i n e d , . 1 · ( 1 ' ) L " T T ' " c · = / I C { E n I · ' / I f j d 4 ! ( 3 . 2 7 ) ' F i n a l l y t h e w e i g h t u p d a t e e q u a t i o n f o r t h e h i d d e n l a y e r b e c o m e s . \ \ ' 1 ( I + I ) = W / , ' ( l ) + '7<>~ ( 3 . 2 8 ) 3 . 6 ~eural N e t w o r k M o d e l i n g P r o c e s s T h e l ' v l a t L a b 7 \ V a s u s e d a s t h e s o f t w a r e t o o l f o r t h e m o d e l i n g o f t h e N e u r a l N e t w o r k . S e \ e r a l \ 1 a t L a b 7 c o m m a n d s a n d f u n c t i o n s i n a c c o r d a n c e w i t h t h e a b o v e d e s c r i b e d h a c k p r o p a g a t i o n t h e o r y : a v a i l a b l e i n t h e N e u r a l N e t w o r k T o o l B o x i s u s e d f o r t h e p r o g r a m s w r i t t e n . T h e n e t w o r k a r c h i t e c t u r e o p t i m i z a t i o n , i m p r o v i n g t h e g e n e r a l i z a t i o n a n d d a t a b a s e p r o c e s s i n g a r c s o m e i m p o r t a n t s e c t i o n s p a i d s p e c i a l a t t e n t i o n d u r i n g t h e m o d e l i n g p r o c e s s a n d f i n a l i z a t i o n p r o c e s s . T h e f o l l m \ i n g s e c t i o n s c a n y a g e n e r a l d i s c u s s i o n a b o u t t h e s e l e c t i o n o f f u n c t i o n s f o r t h e m o d e l i n g . 3 . 6 . 1 ~eural : N e t w o r k A r c h i t e c t u r e A s d e s c r i b e d e a r l y i n t h e c h a p t e r t h e n e u r a l n e t w o r k c o n s i s t s o f a n i n p u t l a y e r , o u t p u t l a y e r a n d o n e o r m o r e i n t e r m e d i a t e l a y e r s r e f e n e d t o a s h i d d e n l a y e r s . 3 . 6 . 1 . 1 I n p u t a n d O u t p u t N e u r o n s T h o u g h t h e n o o f i n p u t n e u r o n s a n d t h e n o o f o u t p u t n e u r o n s a r c d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e s p c c i l i c p r o b l e m . h i d d e n l a y e r s a n d h i d d e n n e u r o n d e t e r m i n a t i o n i s n o t s o s t r a i g h t 4 5 ·~j f o r w a r d . B u t t h i s i s t h e s e c t i o n w h i c h h a s t o b e d o n e w i t h a l o t o f e m p h a s i s , s i n c e t h e p e r f o r m a n c e o f a N e u r a l N e t w o r k m o d e l i s e s s e n t i a l l y d e t e r m i n e d b y a s u c c e s s f u l o p t i m i z a t i o n o f t h e n u m b e r o f n e u r o n s i n t h e n e t w o r k s o t h a t a m i n i m u m e r r o r l e v e l i s a c h i e v a b l e i n l e a s t c o m p u t a t i o n a l t i m e l 2 3 ] . 3 . 6 . 1 . 2 O p t i m i z i n g t h e N e t w o r k A r c h i t e c t u r e D e t e ; m i n a t i o n o f t h e n u m b e r o f h i d d e n l a y e r s a n d h i d d e n u n i t s i n l a y e r s a r e l o o k e d i n t o i n t h i s s e c t i o n . H e u r i s t i c s e x i s t f o r d e t e r m i n i n g t h e n u m b e r o f u n i t s i n t h e h i d d e n l c l \ ' C r S . 3 . 6 . 1 . 2 . 1 . E f f e c t o f t h e s i z e o f h i d d e n l a y e r s T h e f u n c t i o n o f a h i d d e n l a y e r o f a w e l l t r a i n e d t h r e e l a y e r n e t w o r k i s t h a t i t v i e w s t h e i n p u t p a t t e r n t o d e t e r m i n e w h i c h f e a t u r e s a r e p r e s e n t i n t h e p a t t e r n , a n d t h e o u t p u t l a y e r c o n s i d e r s w h a t o u t p u t s h o u l d b e g e n e r a t e d f o r t h e p a r t i c u l a r c o m b i n a t i o n o f f e a t u r e s i d e n t i f i e d b y t h e h i d d e n l a y e r l 2 3 ] . I n c r e a s i n g t h e s i z e o f h i d d e n l a y e r u s u a l l y i m p r o v e s t h e n e t w o r k ' s a c c u r a c y o n t h e t r a i n i n g s e t . A l s o t h e h i d d e n l a y e r m a y m e m o r i e s t h e i n p u t p a t t e r n s r a t h e r t h a n l e a r n i n g t h e f e a t u r e s , e s p e c i a l l y t h e n u m b e r o f n e u r o n s i n t h e h i d d e n l a y e r e x c e e d s t h e n u m b e r o f t r a i n i n g c a s e s . T h u s \ V i i i l o s e t h e p r e d i c t a b i l i t y o n a n u n s e e n s e t . i . e . t h e n e t w o r k \ \ i l l l o s e i t s g e n e r a l i z a t i o n c a p a b i l i t y . F o r a n e t w o r k w i t h a s i n g l e h i d d e n l a y e r i t i s c o m m o n p r a c t i c e t o i n i t i a l l y m a k e t h e n u m b e r o f n e u r o n s e q u a l t o a b o u t t w o - t h i r d o f t h e n u m b e r i n t h e i n p u t l a y e r . F o r a w e l l g e n e r a l i z e d n e u r a l n e t w o r k m o d e l . t h e r e s h o u l d b e a b o u t 1 0 t i m e s a s m a n y t r a i n i n g d a t a p o i n t s a s t h e r e a r c \ \ e i g h t s i n t h e n e t w o r k . B y u s i n g t h i s h e u r i s t i c w e c a n s e t a n u p p e r l i m i t o n t h e n u m b e r o f h i d d e n u n i t s i n t h e m o d e l . D e c r e a s i n g t h e s i z e o f t h e h i d d e n l a y e r g e n e r a l l y i m p r o v e s g e n e r a l i z a t i o n a n d h e n c e t h e p e r f o r m a n c e o n t h e n e w c a s e s . B u t a p c r l " c c t f i t o f h i d d e n n e u r o n s i . e . a j u s t l a r g e e n o u g h n e t w o r k d e s i g n i s h o v v e v c r l o r e a c h a p p l i c a t i o n i s b a s i c a l l y a p r o c e s s o f t r i a l a n d e r r o r . I n t h e p r e s e n t s t u d y t h e N o o l h i d d e n n e u r o n s a n d n o o f h i d d e n l a y e r s a r c d e t e r m i n e d b y m o n i t o r i n g t h e t r a i n i n g e r r o r . T h e s e l e c t i o n c r i t e r i a i s g i v e n i n t h e u n d e r t h e r e s u l t s . 4 6 c . . • ~. ; . ' i~ 3 . 6 . 2 I n p u t s a n d o u t p u t s t o t h e n e t w o r k ( T h e D a t a b a s e ) P r e s e n t i n g d a t a f o r t r a i n i n g t h e N N i s a c r i t i c a l f a c t o r , w h e n c o n s i d e r i n g t h e N N ' s f i n a l p e r f o r m a n c e . T h e t r a i n i n g d a t a b a s e s h o u l d b e s u f f i c i ( ' n t h · a n d p r o p N h · s e l e c t e d [2~]. B u t t h i s s e l e c t i o n h a s n o h a r d a n d f a s t r u l e s . l n g e n e r a l o n e c a n u s e a s m a n y d a t a a \ a i I a b l e t o t r a i n t h e n e t w o r k , a l t h o u g h i t i s n o t n e c e s s a r y t o u s c t h e m a l l . l f t h e n e t \ \ O r k i s t r a i n e d t o p e r f o r m i n a n o i s y e n v i r o n m e n t t h e n i n c l u d i n g s o m e n o i s y i n p u t \ e c t o r s i n t h e d a t a s e t w i l l h e l p t h e n e t w o r k t o c o n v e r g e e v e n i f n o P o i s e i s e x p e c t e d a t t h e i n p u t . F r o m t h e a v a i l a b l e t r a i n i n g d a t a . a s m a l l s u b s e t i s o f t e n s u f f i c i e n t t o t r a i n a n e t w o r k s u c c e s s f u l l y . T h e r : : : m a i n i n g d a t a c a n b e u s e d t o t e s t t h e n e t w o r k t o v e r i f y t h e n e t \ \ O r k " s g e n e r a l i z a t i o n c a p a b i l i t y . O f t e n t h e a v a i l a b l e d a t a b a s e i s s p l i t t c d i n t o t h r e e s u b s e c t i o n s s u c h a s . • T h e t r a i n i n g s e t - w h i c h i s u s e d f o r c o m p u t i n g t h e g r a d i e n t a n d u p d a t i n g t h e n e t w o r k w e i g h t s a n d b i a s e s • T h e \ a l i d a t i o n s e t - T h e e r r o r o n t h e v a l i d a t i o n s e t i s m o n i t o r e d d u r i n g t h e t r a i n i n g p r o c e s s W i t h e a r l y s t o p p i n g ( d i s c u s s e d i n s e c t i o n 3 . 6 . 3 . 2 ) , t h e c h o i c e o f t h e \ a l i d a t i o n s e t i s i m p o r t a n t . T h e v a l i d a t i o n s e t s h o u l d b e r e p r e s e n t a t i v e o f a l l p o i n t s i n t h e t r a i n i n g s e t . • T h e t e s t s e t T h e t r a i m n g s e t i s u s e d t o t r a i n t h e n e t w o r k a n d t h e v a l i d a t i o n s e t i s u s e d a s a c h e c k i n g d a t a s e t w h i c h i s u s e d t o m o n i t o r t h e o v e r f i t t i n g o f t h e n e t w o r k t o t h e t r a i n i n g d a t a . A s e p a r a t e T e s t i n g s e t ( p r e v i o u s l y u n s e e n b y t h e n e t w o r k d u r i n g t r a i n i n g ) g e n e r a t e d d i l t h e s a m e s a m p l i n g s t r a t e g y w a s u s e d t o e v a l u a t e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e n e t w o r k . 3 . 6 . 2 . 1 P r e - P o s t P r o c e s s i n g o f d a t a I n n e u r a l N e t w o r k l e a r n i n g , d a t a w i t h d i f f e r e n t s c a l e s o f t e n l e a d s t o i n s t a b i l i t y o f n e u r a l n e t w o r k s [ 2 5 j . T h i s c a n b e a d d r e s s e d b y m a k i n g t h e t r a i n i n g d a t a s e t r e p r e s e n t a t i \ c o f t h e k i n d o f p a t t e r n s t h e o p e r a t i o n a l n e t w o r k \ v i i i h a v e t o r e c o g n i z e [ 2 ( 1 ] . S i n e e t h e y a r e s e n s i t i v e t o a b s o l u t e m a g n i t u d e s a l l i n p u t s t o t h e n e u r a l n e t w o r k 4 7 I • • • · : ; . . ~~ u s u a l l y t h e i n p u t v a r i a b l e s a r e s t a n d a r d i z e d s o t h a t t h e y a r c a l l o n t h e s a m e o r d e r o f m a g n i t u d e [ 2 6 1 . D a t a m a y h a v e t o b e c o n v e r t e d i n t o a n o t h e r f o r m t o b e m e a n i n g f u l t o t h e n e t w o r k i . e . q n c e n e u r o n s o p e r a t e \ V i t h n u m e r i c i n p u t s a n d o u t p u t s t h a t c o r r e s p o n d s t o t h e a c t i v a t i o n v a l u e s o r t h e n e u r o n s u s u a l l y 0 t o 1 o r - I t o + L v a r i a b l e s a r e s t a n d a r d i z e d t o r a n g e s b e t w e e n t h e s e v a l u e s . T h e g e n e r a l d a t a p r o c e s s i n g t e c h n i q u e s i n c l u d e . • D a t a N o r m a l i z a t i o n D i v i d i n g a l l v a l u e s o f a s e t b y t h e m a x i m u m v a l u e i n t h e s e t . T h i s c a n r e s u l t i n l o s s o f i n f o r m a t i o n w i t h a n o m a l o u s s p i k e s [ . 2 6 ] . • D a t a S c a l i n g M a p p i n g t h e v a r i a b l e w i t h a r a n g e b e t w e e n t h e m i n i m u m a n d m a x i m u m v a l u e s t o t h e f u l l w o r k i n g r a n g e o f t h e n e t w o r k i n p u t . ' . r - x 1 1 1 1 1 1 x \ ( 1 / / n i x - x I l l , ! \ 1 1 1 1 1 1 " , . . . , h . . . iAfli"~ J ~-~ -~. ··~. ,~)_}•' ~~?.!:~ • Z - S c o r e s C o m e r t s e a c h e x a m p l e v a l u e t o a Z s c o r e b y s u b t r a c t i n g t h e m e a n a n d d i v i d i n g t h e d i f f e r e n c e b y t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n . T h i s c o m p e n s a t e s f o r b o t h d i f f e r e n t m a g n i t u d e s a n d v a r i a b i l i t y . I t h a s b e e n f o u n d t h a t s t a n d a r d i z i n g t h e i n p u t v a r i a b l e s t o m e a n s o f z e r o a n d u n i t s o f s t a n d a r d d e v i a t i o n s n a s c o n s i s t e n t l y l e d t o b e t t e r r e s u l t s i n N e u r a l N e t w o r k s s o t h a t i n t h e p r e s e n t s t u d y Z S c o r e s t a n d a r d i z a t i o n i s u s e d [ 2 7 ] . N o t o n l y t h e m a g n i t u d e s a n d t h e v a r i a b i l i t y . b u t a l s o t h e e x i s t e n c e o f h i g h d e g r e e o r r e d u n d a n c y i n t h e d a t a f r o m t h e m o n i t o r e d v a r i a b l e s o f a s y s t e m c a n h a v e a n a d v e r s e e f f e c t o n t h e r e s u l t s o f n e u r a l n e t w o r k m o d e l i n g . 4 8 · : ; . ' i~ . . . 3 . 6 . 3 A Y o i d i n g O v e r t r a i n i n g ( I m p r o v i n g G e n e r a l i z a t i o n ) 0 \ e r t r a i n i n g i s p r o b a b l y t h e m o s t c o m m o n c n o r i n n e u r a l n e t v , o r k s . T h e r e i s n o p e r f e c t m e t h o d f o r d e t e r m i n i n g t h e n u m b e r o f t r a i n i n g i t e r a t i o n s o r w h e r e t o s t o p tr~u111ng. o , · e r t r a i n i n g w i l l r e s u l t i n t h e n e t w o r k t o a d j u s t i t s e l f t o t h e m i n o r d e t a i l s i n t h e t r a i n i n g s e t s i m i l a r l y a s i n t h e c a s e o f a v e r y l a r g e n e t w o r k c o m p a r e d t o t h e t r a i n i n g s e t . T h e m o s t b a s i c m e t h o d t o i m p r o v e g e n e r a l i z a t i o n i s t o s e l e c t a n e t w o r k t h a t i s j u s t l a r g e cn~1ugh t o p r u v i d c a n a d e q u a t e f i t ( a l s o d i s c u s s e d i n s e c t i o n 3 . 6 . 2 . 2 . l ) . l f t h e n e t w o r k i s t o o l a r g e t h e n i t c a n l e a r n o r c r e a t e c o m p l e x f u n c t i o n s . I f \ \ e u s c a s m a l l e n o u g h n e t w o r k . i t w i l l n o t h a v e e n o u g h p o w e r t o o v e r f i t t h e d a t a . \ ' a r i o u s m e t h o d s c a n h e u s e d t o d e t e r m i n e \ V h e n t o s t o p t r a i n i n g i n n e u r a l n e t w o r k s . I . E a r l y s t o p p i n g b a s e d o n c r o s s v a l i d a t i o n 1 S t o p p t n g a f t e r a u s e r d e f i n e d e n o r l e v e l i s r e a c h e d o r a f t e r t h e e r r o r l e v e l s o f f 3 . U s c o f a t e s t d a t a s e t T h e p r o b l e m w i t h t h e s e c o n d m e t h o d i s t h a t i t i s d i f f i c u l t t o d e c i d e o n w h a t t h i s e r r o r l n e l i s . O f t e n t h i s l e v e l i s c h o s e n v v h e n t h e e n o r l e v e l s o f f a n d d o e s n o t c h a n g e . T h e e r r o r d u r i n g t r a i n i n g u s u a l l y d r o p s u n t i l a c e r t a i n n u m b e r o f i t c r a t i · . ) n S w h e r e i t l e v e l s o f f a n d d o e s n o t g e t m u c h s m a l l e r , h o w e v e r a t t h i s p o i n t t h e n e t w o r k m a y b e m e r t r a i n e d . U s c o f a t e s t d a t a s e t i s n o t i n d e p e n d e n t o f m o d e l d e v e l o p m e n t . T h o u g h t h i s m e t h o d m a y g i v e t h e b e s t m o d e l f o r t h a t s e t o f d a t a i t d o c s n o t g i v e t h e g e n e r a l i z a b i l i t y o f t h e s \ ' s t e m . T h e r e a r e t \ \ o o t h e r m e t h o d s f o r i m p r o v i n g g e n e r a l i z a t i o n • R e g u l a r i z a t i o n • E a r l y s t o p p i n g B o t h t h e s e g e n e r a l i z a t i o n t e c h n i q u e s a r e i m p l e m e n t e d i n t h e M a t l a b 7 N e u r a l N e t w o r k t o o l B o x . T h e r e a r c u s e d i n c o m b i n a t i o n w i t h t h e d i f f e r e n t t r a i n i n g f u n c t i o n s a n d e l i m i n a t e s t h e g u e s s w o r k r e q u i r e d i n d c t e r m i n m g t h e o p t i m u m n e t w o r k s i z e . T h e t w o - ' 1 - 9 . ~ '~' m e t h o d s w i t h t h e i m p l e m e n t e d s t r a t e g i e s i n t h e M a t l a b 7 N e u r a l N e t w o r k t o o l b o x a r e d i s c u s s e d b e l o w . 3 . 6 . 3 . 1 R e g u l a r i z a t i o n B a y e s i a n r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d o f i m p r o v i n g t h e g e n e r a l i z a t i o n i s i m p l e m e n t e d i n t h e f u n c t i o n ' t r a i n b r ' w h i c h i s a n i n b u i l t t r a i n i n g f u n c t i o n i n t h e N e u r a l n e t w o r k s t o o l 8 0 \ . T h i s i m o l v e s m o d i f y i n g t h e p e r f o r m a n c e f u n c t i o n , w h i c h i s n o r m a l l y c h o s e n t o b e t h e s u m o f s q u a r e s o f t h e n e t w o r k e r r o r s o n t h e t r a i n i n g s e t . T h i s f u n c t i o n u p d a t e s t h e w e i g h t a n d b i a s v a l u e s a c c o r d i n g t o L e v e n b e r g - M a r q u a r d t o p t i m i z a t i o n . T t m i n i 1 n i z e s a c o m b i n a t i o n o f s q u a r e d e r r o r s a n d w e i g h t s , a n d t h e n d e t e r m i n e s t h e c o r r e c t c o m b i n a t i o n s o a s t o p r o d u c e a n e t w o r k t h a t g e n e r a l i z e s w e l l . T h e p r o c e s s i s c a l l e d B a y e s i a n r e g u l a r i z a t i o n . O n e r e a t u r e o f t h i s a l g o r i t h m i s t h a t i t p r o v i d e s a m e a s u r e o f h o w m a n y n e t w o r k p a r a m e t e r s ( w e i g h t s a n d b i a s e s ) a r c b e i n g e f f e c t i v e l y u s e d b y t h e n e t w o r k . T h i s e f f c c t i \ e n u m b e r o r p a r a m e t e r s s h o u l d r e m a i n a p p r o x i m a t e l y t h e s a m e , n o m a t t e r h o w l a r g e t h e t o t a l n u m b e r o r p a r a m e t e r s i n t h e n e t w o r k b e c o m e s . ( T h i s a s s u m e s t h a t t h e n e t \ \ o r k h a s b e e n t r a i n e d f o r a s u f f i c i e n t n u m b e r o f i t e r a t i o n s t o e n s u r e c o n v e r g e n c e . ) T h e t r a i n b r a l g o r i t h m g e n e r a l l y w o r k s b e s t w h e n t h e n e t w o r k i n p u t s a n d t a r g e t s a r e s c a l e d s o t h a t t h e y f a I I a p p r o x i m a t e ! y i n t h e r a n g e [ - I , I ] . W h e n u s i n g t r a i n b r , i t i s i m p o r t a n t t o l e t t h e a l g o r i t h m r u n u n t i l t h e e f f e c t i v e n u m b e r o f p a r a m e t e r s h a s c o n v e r g e d . Y o u c a n a l s o t e l l t h a t t h e a l g o r i t h m h a s c o n v e r g e d i f t h e s u m s q u a r e d e r r o r ( S S E ) a n d s u m s q u a r e d w e i g h t s ( S S W ) a r e r e l a t i v e l y c o n s t a n t o v e r s e 1 e r a i i t e r a t i o n s . W h e n t h i s o c c u r s w e c a n s t o p t r a i n i n g m a n u a l l y . 3 . 6 . 3 . 2 E a r l y S t o p p i n g W i t h e a r l y s t o p p i n g m e t h o d s s o m e o f t h e d a t a i s r e m o v e d b e f o r e t r a i n i n g b e g i n s . T h e n 1 1 h e n t r a i n i n g i s d o n e , t h e d a t a t h a t 1 v a s r e m o v e d c a n b e u s e d t o t e s t t h e p e r f o r m a n c e u l t h e l e a r n e d m o d e l o n " n e v / ' d a t a . T h i s i s t h e b a s i c i d e a f o r a w h o l e c l a s s o f m o d e l e 1 a l u a t i o n m e t h o d s c a l l e d c r o s s l ' a l i d a t i m z . 5 0 , . . . , , ~ . . i~ T h e e n o r r e d u c e s o n t h e t r a i n i n g d a t a a s t h e t r a i n i n g p r o c e e d s . T o e v a l u a t e t h e n c m o r k t r a m i n g i s s t o p p e d p e r i o d i c a l l y a n d s u b s t i t u t e t h e t e s t s e t f o r o n e e p o c h a n d r e c o r d t h e s u m s q u a r e d e n o r . T h e e r r o r a l s o i n i t i a l l y g o e s d o w n o n t h e h o l d o u t d a t a ( \ a l i c l a t i o n s e t ) b u t t h e n t h e e r r o r l e v e l r i s e s a g a i n a s t h e m o d e l b e c o m e s o v e r t r a i n e d . I n t h e M a t l a b 7 N e u r a l N e t w o r k t o o l b o x e a r l y s t o p p i n g c a n b e u s e d w i t h a n y o f t h e m b u i l t t r a i n i n g f u n c t i o n s . Y o u s i m p l y n e e d t o p a s s t h e v a l i d a t i o n d a t a t o t h e t r a i n i n g f u n c t i o n . W h e n t h e \ a l i d a t i o n e r r o r i n c r e a s e s f o r a s p e c i f i e d n u m b e r o f i t e r a t i o n s . t h e t r a i n i n g i s a u t o m a t i c a l l y s t o p p e d , a n d t h e \ v e i g h t s a n d b i a s e s a t t h e m i n i m u m o f t h e v a l i d a t i o n e J T o r a r c r e t u r n e d . R e q u i r e m e n t o f a l a r g e e x a m p l e d a t a s e t i s o n e d r a w b a c k o f t h i s m e t h o d . A n o t h e r p r o b l e m i s t h a t i t d o c s n ' t g u a r a n t e e t h a t t h e m i n i m u m e r r o r f o u n d i s a g l o b a l m i n i m u m r a t h e r t h a n a l o c a l m i n i m u m . T \ \ O m a i n a p p r o a c h e s e x i s t f o r e v a l u a t i o n ( t e s t i n g ) m o d e l p e r f o r m a n c e w i t h t h e e a r l y s t o p p i n g t e c h n i q u e . I . L s e a s i n g l e s e t t o t r a i n a n d t e s t t h e m o d e l u s i n g c r o s s v a l i d a t i o n , l e a v e - o n e - o u t , j a c k - k n i f e o r b o o t s t r a p p i n g \ v h e n a l a r g e s e t o f e x a m p l e d a t a a r c n o t a v a i l a b l e . I U s e o f a n i n d e p e n d e n t d a t a s e t f o r t e s t i n g . I f t h e d a t a s e t i s s p l i t i n t o t w o p a r t s w i t h o n e p a r t f o r t e s t i n g . i t i s c a l l e d a s p l i t - s a m p l e a p p r o a c h o r h o l d o u t m e t h o d . H o w e v e r t h e i n d e p e n d e n t t e s t i s o p t i m a l i f t h e t w o d a t a s e t s o r i g i n a t e f r o m t w o d i f f e r e n t s a m p l i n g s t r a t e g i e s . 3 . 6 . 3 . 2 . 1 H o l d - o u t m e t h o d S p l i t - s a m p l e o r h o l d - o u t m e t h o d i s c o m m o n l y u s e d f o r e a r l y s t o p p i n g i n N e u r a l \ c t \ \ O r k s . T h i s i s t h e s i m p l e s t k i n d o f c r o s s v a l i d a t i o n . T h e d a t a s e t i s s e p a r a t e d i n t o t \ \ O s e t s . c a l l e d t h e t r a i n i n g s e t a n d t h e t e s t i n g s e t . T h e f u n c t i o n a p p r o x i m a t o r f i t s a ! u n c t i o n u s i n g t h e t r a i n i n g s e t o n l y . T h e n t h e f u n c t i o n a p p r o x i m a t o r i s a s k e d t o p r e d i c t t h e o u t p u t \ a l u e s f o r t h e d a t a i n t h e t e s t i n g s e t ( i t h a s n e v e r s e e n t h e s e o u t p u t v a l u e s h e l o r e ) . T h e a d v a n t a g e o f t h i s m e t h o d i s t h a t i t i s u s u a l l y p r e f e r a b l e t o t h e r e s i d u a l 5 1 ' . ·~ ; , . ( m e t h o d a n d t a k e s n o l o n g e r t o c o m p u t e . H o w e v e r , i t s e v a l u a t i o n c a n h a v e a h i g h \ a n a n c e . T h e e v a l u a t i o n m a y d e p e n d h e a v i l y o n w h i c h d a t a p o i n t s e n d u p i n t h e t r a i n i n g s e t a n d w h i c h e n d u p i n t h e t e s t s e t , a n d t h u s t h e e v a l u a t i o n m a y b e s i g n i f i c a n t l y d i l l c r e n t d e p e n d i n g o n h o w t h e d i v i s i o n i s m a d e . 3 . 6 . 3 . 3 R e g u l a r i z a t i o n V s E a r l y S t o p p i n g B o t h r e g u l a r i z a t i o n a n d e a r l y s t o p p i n g c a n e n s u r e n e t w o r k g e n e r a l i z a t i o n w h e n p r o p e r l y a p p l i e d . W h e n u s i n g B a y e s i a n r e g u l a r i z a t i o n , i t i s i m p o r t a n t t o t r a i n t h e n e t w o r k u n t i l i t r e a c h e s c o n v e r g e n c e . T h e s u m s q u a r e d e r r o r . t h e s u m s q u a r e d w e i g h t s , a n d t h e e f f e c t i v e n u m b e r o f p a r a m e t e r s s h o u l d r e a c h c o n s t a n t v a l u e s w h e n t h e n e t w o r k h a s C O n \ · c r g e d . F o r e a r l y s t o p p i n g . y o u m u s t b e c a r e f u l n o t t o u s c a n a l g o r i t h m t h a t c o n v e r g e s t o o r a p i d l y . • W h e n u s i n g a f a s t a l g o r i t h m t r a i n l m ( t r a i n i n g w i t h L e v e n b e r g - M a r q u a r d t b a c k p r o p a g a t i o n ) s e t t h e t r a i n i n g p a r a m e t e r s s o t h a t t h e c o n v e r g e n c e i s r e l a t i v e l y s l o w • T h e t r a i n i n g f u n c t i o n s t r a i n s c g ( S c a l e d c o n j u g a t e g r a d i e n t b a c k p r o p a g a t i o n ) a n d t r a i n r p ( R e s i l i e n t b a c k p r o p a g a t i o n ) u s u a l l y w o r k w e l l w i t h e a r l y s t o p p i n g B a s e d o n e x p e r i e n c e , B a y e s i a n r e g u l a r i z a t i o n g e n e r a l l y p r o v i d e s b e t t e r g e n e r a l i z a t i o n p e r f o r m a n c e t h a n e a r l y s t o p p i n g , w h e n t r a i n i n g f u n c t i o n a p p r o x i m a t i o n n e t w o r k s . T h i s i s b e c a u s e B a y e s i a n r e g u l a r i z a t i o n d o e s n o t r e q u i r e t h a t a v a l i d a t i o n d a t a s e t b e s e p a r a t e d o u t o f t h e t r a i n i n g d a t a s e t . I t u s e s a l l o f t h e d a t a . T h i s a d v a n t a g e i s e s p e c i a l l y n o t i c e a b l e w h e n t h e s i z e o f t h e d a t a s e t i s s m a l l . I n t h e p r e s e n t s t u d y s i n c e d a t a i s s y n t h e t i c a l l y g e n e r a t e d a l a r g e e x a m p l e d a t a b a s e i s a \ a i l a h l e . T h e r e f o r e E a r l y s t o p p i n g w i t h a H o l d o u t c r o s s v a l i d a t i o n i s u s e d . A l s o t h e a u t o m a t e d t r a i n i n g t e r m i n a t i o n i s m o r e r e l i a n t t h a n m o n i t o r i n g c o n v e r g e n c e i n t h e R e g u l a r i z a t i o n m e t h o d . 5 2 ' . " ( ' 3 . 6 . 4 D e t e r m i n i n g N e t w o r k P a r a m e t e r t \ c t \ \ o r k . p a r a m e t e r s a r e t h e L e a m i n g R a t e , W e i g h t R a n g e s t h a t i n f l u e n c e t h e m o d e l p e r f o r m a n c e b y a f f e c t i n g t h e w e i g h t s . T h e 11~ight s h o u l d b e i n i t i a l i z e d t o s m a l l p o s i t i v e r a n d o m v a l u e s . S e l e c t i o n o f a v a l u e ! " o r t h e l e a r n i n g r a t e p a r a m e t e r ' 7 h a s a s i g n i f i c a n t e f f e c t o n t h e n c t 1 1 o r k p e r f o r m a n c e . U s u a l l y ' 7 m u s t b e a s m a l l n u m b e r o n t h e o r d e r o f 0 . 0 5 - 0 . 2 5 t o e n s u r e t h a t t h e n e t w o r k w i l l s e t t l e t o a s o l u t i o n 1 2 4 ] . I f a s m a l l v a l u e o f ' 7 i s s e l e c t e d t h e n e t 1 1 o r k 1 1 i l l h a v e t o m a k e a l a r g e n u m b e r o f i t e r a t i o n s t o c o n v e r g e . I t i s p o s s i b l e t o i n c r e a s e t h e v a l u e o f ' 7 w h i l e t r a i n i n g p r o c e e d s , t o s p e e d c o n v e r g e n c e b y i n c r e a s i n g t h e s t e p s i z e a s t h e e r r o r r e a c h e s a m i n i m u m , b u t t h e n e t w o r k m a y b o u n c e a r o u n d t o o f a r f r o m t h . : : c a c t u a l m i n i r . m m v a l u e i f ' 7 g e t s t o o l a r g e . · : v 1 o m e n t u m · i s a n o t h e r t e c h n i q u e t o i n c r e a s e t h e s p e e d o f c o n v e r g e n c e . F o r t h a t a m o d i f i c a t i o n i s d o n e t o t h e \ v c i g h t u p d a t e e q u a t i o n : w h e n c a l c u l a t i n g w e i g h t c h a n g e 1~tlue. \ , . \ \ ' a f r a c t i o n o f t h e p r e v i o u s c h a n g e i s a d d e d . T h i s a d d i t i o n a l t e r m t e n d s t o k e e p t h e 1 1 e i g h t c h a n g e s g o i n g i n t h e s a m e d i r e c t i o n . W i t h t h e m o m e n t u m t e r m t h e 1 1 e i g h t c h a n g e e q u a t i o n ( 3 . 2 2 ) o f t h e o u t p u t l a y e r b e c o m e , \ \ ' ( 1 + 1 ) = v V ' ' ( t ) + I J 6 · " , i + a i l W , 1 1 ( t - 1 ) ' · " I " 1 ' 1 I ' ' i ( 3 . 2 9 ) W h e r e a i s t h e m o m e n t u m p a r a m e t e r a n d i s u s u a l l y s e t t o a p o s i t i v e v a l u e l e s s t h a n I . 3 . 7 : \ l a t L a b F u n c t i o n S e l e c t i o n i n t h e M o d e l i n g I n t h e e a r l i e r s e c t i o n s s o m e M a t L a b 7 N e u r a l N e t w o r k f u n c t i o n s u s e d f o r t h e p r o g r a m de~elopment w a s m e n t i o n e d a n d d i s c u s s e d . I n t h i s s e c t i o n t h e T r a i n i n g f u n c t i o n s e l e c t i o n e t c . w i l l b e d i s c u s s e d . T h e M a t L a b i n b u i l t f u n c t i o n s p r o v i d e a c o m p a c t s e t o f f u n c t i o n s w h i c h e l i m i n a t e s t h e l e n g t h y p r o g r a m s w r i t t e n i n t h e C o r C + + l a n g u a g e . 3 . 7 . 1 P r e a n d P o s t p r o c e s s i n g o f t h e t r a i n i n g d a t a b a s e T h e r e a r c s e v e r a l p r e a n d p o s t p r o c e s s i n g t e c h n i q u e s a v a i l a b l e . 5 3 ' . ' ·~ • P o s t m n m x . U n n o r m a l i z e d a t a w h i c h h a s b e e n n o r m a l i z e d b y p r e m n m x • P o s t r e g P o s t p r o c e s s n e t w o r k r e s p o n s e w i t h l i n e a r r e g r e s s i o n a n a l y s i s • P o s t s t d U n n o r m a l i z e d a t a w h i c h h a s b e e n n o r m a l i z e d b y p r e s t d • P r e m n m x . N o r m a l i z e d a t a f o r m a x i m u m o f 1 a n d m i n i m u m o f - 1 • P r e p c a P r i n c i p a l C o m p o n e n t a n a l y s i s o n i n p u t d a t a • P r e s t d N o r m a l i z e d a t a f o r u n i t y s t a n d a r d d e v i a t i o n a n d z e r o m e a n • T r a m n m x . T r a n s f o r m d a t a w i t h p r e c a l c u l a t e d m i n i m u m a n d m a x • T r a p c a • T r a s t d T r a n s f o r m d a t a w i t h P C A m a t r i x . c o m p u t e d b y p r e p c a T r a n s f o r m d a t a \ V i t h p r e c a l c . m e a n & s t a n d a r d d e v i a t i o n 3 . 7 . 2 C r e a t i n g a N e u r a l N e t w o r k ' \ e \ d f C r e a t e a f e e d - f o r w a r d b a c k p r o p a g a t i o n n e t w o r k . T h e f u n c t i o n s w i t h i n p u t p a r a m e t e r s a r e . n e t = n e \ \ f f ( P R . [ S 1 S 2 . . . S N I ] . { T F 1 T F 2 . . . T F N I ) . B T F , B L F , P F ) T h i s r e t u r n s a n \ ! l a y e r f e e d - f o r w a r d b a c k p r o p a g a t i o n n e t w o r k ( n e t ) . W h e r e . P R - R . \ . 2 m a t r i x . o f m i n a n d m a x v a l u e s f o r R i n p u t e l e m e n t s S 1 - S i z e o f i t h l a y e r , f o r N l l a y e r s T F i - T r a n s f e r f u n c t i o n o f i t h l a y e r , d e f a u l t = ' t a n s i g ' B T F - B a c k p r o p a g a t i o n n e t w o r k t r a i n i n g f u n c t i o n . d e f a u l t = ' t r a i n g d x ' B L F - B a c k p r o p a g a t i o n w e i g h t / b i a s l e a r n i n g f u n c t i o n . d e f a u l t = ' l e a r n g d m ' P F - P e r f o r m a n c e f u n c t i o n . d e f a u l t = ' m s e ' 3 . 7 . 3 T r a n s f e r F u n c t i o n s T h e t r a n s f e r f u n c t i o n s T F i c a n b e a n y d i f f e r e n t i a b l e t r a n s f e r f u n c t i o n s u c h a s , 5 4 * ' · ' ' ' i · • T a n s i g H y p e r b o l i c t a n g e n t s i g m o i d t r a n s f e r f u n c t i o n • L o g s i g L o g s i g m o i d t r a n s f e r f u n c t i o n • P u r e l i n L i n e a r t r a n s f e r f u n c t i o n 1 7 . - 1 T r a i n i n g A l g o r i t h m s A l a r g e n u m b e r o f b a c k p r o p a g a t i o n a l g o r i t h m s e x i s t [ 7 ] t h e t r a i n i n g f u n c t i o n B T F c a n b e a n y o f t h e b a c k p r o p a g a t i o n t r a i n i n g f u n c t i o n s s u c h a s , • T r a i n 1 m • T r a i n b f g • T r a i n b r • T r a i n r p • T r a i n g d • T r a i n g d m • T r a i n g d a • T r a i n g d x • t r a i n c • t r a i n c g b • t r a i n c g f • t r a i n c g p • t r a i n o s s • t r a i n r • t r a i n s • t r a i n s c g L e v e n b e r g - M a r q u a r d t b a c k p r o p a g a t i o n B F G S q u a s i - N e w t o n b a c k p r o p a g a t i B a y e s i a n r e g u l a r i z a t i o n b a c k p r o p a g a t i o n R e s i l i e n t b a c k p r o p a g a t i o n ( n e t w o r k t r a i n i n g f u n c t i o n t h a t u p d a t e s w e i g h t a n d b i a s v a l u e s a c c o r d i n g t o t h e r e s i l i e n t b a c k p r o p a g a t i o n a l g o r i t h m ( R P R O P ) ) G r a d i e n t d e s c e n t b a c k p r o p a g a t i o n G r a d i e n t d e s c e n t w i t h m o m e n t u m b a c k p r o p a g a t i o n G r a d i e n t d e s c e n t w i t h a d a p t i v e l e a r n i n g r a t e b a c k p r o p a g a t i o n G r a d i e n t d e s c e n t w i t h m o m e n t u m a n d a d a p t i v e l e a r n i n g r a t e B a c k p r o p a g a t i o n . C y c l i c a l o r d e r i n c r e m e n t a l u p d a t e P o w e i i - B e a l c c o n j u g a t e g r a d i e n t b a c k p r o p a g a t i o n F l e t c h e r - P o w e l l c o n j u g a t e g r a d i e n t b a c k p r o p a g a t i o n P o l a k - R i b i e r e c o n j u g a t e g r a d i e n t b a c k p r o p a g a t i o n O n e s t e p s e c a n t b a c k p r o p a g a t i o n r a n d o m o r d e r i n c r e m e n t a l u p d a t e S e q u e n t i a l o r d e r i n c r e m e n t a l u p d a t e S c a l e d c o n j u g a t e g r a d i e n t b a c k p r o p a g a t i o n · T r a i n l m ' i s t h e d e f a u l t t r a i n i n g f u n c t i o n b e c a u s e i t i s v e r y f a s t , b u t i t r e q u i r e s a l o t o f m e m o r y t o r u n . F u n c t i o n ' t r a i n b r g · , i s s l o w e r b u t m o r e m e m o r y - e f f i c i e n t t h a n · t r a i n l m · . · T r a i n r p · . i s s l o w e r b u t m o r e m e m o r y - e f f i c i e n t t h a n t r a i n b l " g . 5 5 ' . ' ·~ F u n c t i o n C h a r a c t e r i s t i c s a s d e s c r i b e d i n [ 2 8 ] a r e , • O n f u n c t i o n a p p r o x i m a t i o n p r o b l e m s , f o r n e t w o r k s t h a t c o n t a i n u p t o a f e w h u n d r e d w e i g h t s , t h e L e v e n b e r g - M a r q u a r d t a l g o r i t h m w i l l h a v e t h e f a s t e s t c o m e r g e n c e t h i s a d v a n t a g e i s e s p e c i a l l y n o t i c e a b l e i f v e r y a c c u r a t e t r a i n i n g i s r e q u i r e d . l n m a n y c a s e s , t r a i n l m i s a b l e t o o b t a i n l o w e r m e a n s q u a r e e r r o r s t h a n a n y o f t h e o t h e r a l g o r i t h m s t e s t e d . H o w e v e r , a s t h e n u m b e r o f \ V e i g h t s i n t h e n e t w o r k i n c r e a s e s , t h e a d v a n t a g e o f t h e t r a i n l m d e c r e a s e s . • I n a d d i t i o n , t r a i n l m p e r f o r m a n c e i s r e l a t i v e l y p o o r o n p a t t e r n r e c o g n i t i o n p r o b l e m s . T h e s t o r a g e r e q u i r e m e n t s o f t r a i n l m a r c l a r g e r t h a n t h e o t h e r a l g o r i t h m s t e s t e d . B y a d j u s t i n g f u n c t i o n p a r a m e t e r s t h e s t o r a g e r e q u i r e m e n t s c a n b e r e d u c e d , b u t a t a c o s t o f i n c r e a s e d e x e c u t i o n t i m e . • T h e t r a i n r p f u n c t i o n i s t h e f a s t e s t a l g o r i t h m o n p a t t e r n r e c o g n i t i o n p r o b l e m s . H o w e v e r , i t d o e s n o t p e r f o r m w e l l o n f u n c t i o n a p p r o x i m a t i o n p r o b l e m s . I t s p e r f o r m a n c e a l s o d e g r a d e s a s t h e e r r o r g o a l i s r e d u c e d . T h e m e m o r y r e q u i r e m e n t s f o r t h i s a l g o r i t h m a r e r e l a t i v e l y s m a l l i n c o m p a r i s o n t o t h e o t h e r a l g o r i t h m s c o n s i d e r e d . T h e p e r f o r m a n c e o f R p r o p i s n o t v e r y s e n s i t i v e t o t h e s e t t i n g s o f t h e t r a i n i n g p a r a m e t e r s . • T h e c o n j u g a t e g r a d i e n t a l g o r i t h m s , i n p a r t i c u l a r t r a i n s c g , s e e m t o p e r f o r m \ \ e l l m e r a w i d e v a r i e t y o f p r o b l e m s , p a r t i c u l a r l y f o r n e t w o r k s w i t h a l a r g e n u m b e r o f w e i g h t s . T h e S C G a l g o r i t h m i s a l m o s t a s f a s t a s t h e L M a l g o r i t h m o n f u n c t i o n a p p r o x i m a t i o n p r o b l e m s ( f a s t e r f o r l a r g e n e t w o r k s ) a n d i s a l m o s t a s f a s t a s t r a i n r p o n p a t t e r n r e c o g n i t i o n p r o b l e m s . I t s p e r f o r m a n c e d o e s n o t d e g r a d e a s q u i c k l y a s t r a i m - p p e r f o r m a n c e d o e s w h e n t h e e n o r i s r e d u c e d . T h e c o n j u g a t e g r a d i e n t a l g o r i t h m s h a v e r e l a t i v e l y m o d e s t m e m o r y r e q u i r e m e n t s . • T h e t r a i n h f g p e r f o r m a n c e i s s i m i l a r t o t h a t o f t r a i n l m . I t d o e s n o t r e q u i r e a s m u c h s t o r a g e a s t r a i n l m , b u t t h e c o m p u t a t i o n r e q u i r e d d o c s i n c r e a s e g e o m e t r i c a l l y w i t h t h e s i z e o f t h e n e t w o r k , s i n c e t h e e q u i v a l e n t o f a m a t r i x i n v e r s e m u s t b e c o m p u t e d a t e a c h i t e r a t i o n . • T h e v a r i a b l e l e a r n i n g r a t e a l g o r i t h m t r a i n g d x i s u s u a l l y m u c h s l o w e r t h a n t h e o t h e r m e t h o d s , a n d h a s a b o u t t h e s a m e s t o r a g e r e q u i r e m e n t s a s t r a i n r p , b u t i t c a n s t i l l b e u s e f u l f o r s o m e p r o b l e m s . T h e r e a r c c e r t a i n s i t u a t i o n s i n w h i c h i t i s b e t t e r t o c o n v e r g e m o r e s l o w l y . F o r e x a m p l e , w h e n u s i n g e a r l y s t o p p i n g y o u m a v h a v e i n c o n s i s t e n t r e s u l t s i f y o u u s e a n a l g o r i t h m t h a t c o n v e r g e s t o o 5 6 ··~ ' · ' q u i c k l y . Y o u m a y o v e r s h o o t t h e p o i n t a t w h i c h t h e e n o r o n t h e v a l i d a t i o n s e t i s m i n i m i z e d . 3 . 7 A . l C h o o s i n g a t r a i n i n g A l g o r i t h m \ l u l t i l a y e r n c t v , o r k s t y p i c a l l y u s c s i g m o i d t r a n s f e r f u n c t i o n s i n t h e h i d d e n l a y e r s . T h e s e f u n c t i o n s a r e o f t e n c a l l e d " s q u a s h i n g " f u n c t i o n s , s i n c e t h e y c o m p r e s s a n i n f i n i t e i n p u t i a n g e i n t o a f i n i t e o u t p u t r a n g e . S i g m o i d f u n c t i o n s a r e c h a r a c t e r i z e d b y t h e f a c t t h a t t h e i r s l o p e m u s t a p p r o a c h z e r o a s t h e i n p u t g e t s l a r g e . T h e h a s i c b a c k p r o p a g a t i o n a l g o r i t h m a d j u s t s t h e w e i g h t s i n t h e s t e e p e s t d e s c e n t d i r e c t i o n ( n e g a t i v e o f t h e g r a d i e n t ) . T h i s c a u s e s a p r o b l e m w h e n u s i n g s t e e p e s t d e s c e n t t o t r a i n a m u l t i l a y e r n e t w o r k w i t h s i g m o i d f u n c t i o n s , s i n c e t h e g r a d i e n t c a n h a v e a \ e r y s m a l l m a g n i t u d e : a n d t h e r e f o r e . c a u s e s m a l l c h a n g e s i n t h e w e i g h t s a n d b i a s e s . e \ e n t h o u g h t h e w e i g h t s a n d b i a s e s a r e f a r f r o m t h e i r o p t i m a l v a l u e s . T h e p u r p o s e o f t h e r e s i l i e n t b a c k p r o p a g a t i o n ( R p r o p ) t r a i n i n g a l g o r i t h m i s t o e l i m i n a t e t h e s e h a r m f u l e f f e c t - ; o f t h e m a g n i t u d e s o f t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s . O n l y t h e s i g n o f t h e d e r i v a t i v e i s u s e d t o d e t e r m i n e t h e d i r e c t i o n o f t h e w e i g h t u p d a t e : t h e m a g n i t u d e o f t h e d e r i v a t i v e h a s n o e f f e c t o n t h e w e i g h t u p d a t e . A l s o i t t u r n s o u t t h a t . a l t h o u g h t h e f u n c t i o n d e c r e a s e s m o s t r a p i d l y a l o n g t h e n e g a t i v e o f t h e g r a d i e n t . t h i s d o e s n o t n e c e s s a r i l y p r o d u c e t h e f a s t e s t c o n v e r g e n c e . I n t h e c o n j u g a t e g r a d i e n t a l g o r i t h m s a s e a r c h i s p e r f o r m e d a l o n g c o n j u g a t e d i r e c t i o n s , w h i c h p r o d u c e s g e n e r a l l y f a s t e r c o n v e r g e n c e t h a n s t e e p e s t d e s c e n t d i r e c t i o n s . I n m o s t o f t h e t r a i n i n g a l g o r i t h m s a l e a r n i n g r a t e i s u s e d t o d e t e r m i n e t h e l e n g t h o f t h e \ \ e i g h t u p d a t e ( s t e p s i z e ) . I n m o s t o f t h e c o n j u g a t e g r a d i e n t a l g o r i t h m s , t h e s t e p s i z e i s a d j u s t e d a t e a c h i t e r a t i o n . A s e a r c h i s m a d e a l o n g t h e c o n j u g a t e g r a d i e n t d i r e c t i o n t o d c t e n m n e t h e s t e p s i z e , w h i c h m i n i m i z e s t h e p e r f o r m a n c e f u n c t i o n a l o n g t h a t l i n e . 5 7 · ' . . , . r C h a p t e r 4 O n e D i m e n s i o n a l R e s i s t i v i t v I n v e r s i o n ~ - 1 . 1 I n t r o d u c t i o n I n a U n e D i m e n s i o n a l ( I D ) s t u d y t h e \ e r t i e a l v a r i a t i o n b e n e a t h a p o i n t o f i n t e r e s t i s o b t a i n e d . T i l t s I s r e f e r r e d t o a s V e r t i c a l E l e c t r i c a l S o u n d i n g ( Y E S ) b y m o s t p r a c t i t i o n e r s . T h e l l e l d a p p a r e n t r c s i s t i \ · i t y v a l u e s a r c i n v e r t e d t o p r o d u c e a o n e d i m e n s i o n a l p l o t o f r e s i s t i v i t y \ a l u e s i . e . t h i c k n e s s a n d e a r t h r e s i s t i v i t y o f e a c h l a y e r i n a h o r i z o n t a l l y s t r a t i l i e d m u l t i l a y e r e a r t h s t r u c t u r e a s s h o w n i n F i g u r e . ! . ! . - 1 . 2 L i t e r a t u r e S u r v e y F o l l c m i n g i s a b r i e f o u t l i n e o f t h e m e t h o d s u s e d i n I D i n t e r p r e t a t i o n , a s d i s c u s s e d u n d e r s e c t i o n 1 . 3 . - 1 . 2 . 1 Q u a l i t a t i v e I n t e r p r e t a t i o n T h e q u a l i t a t i \ c i n t e r p r e t a t i o n d e p e n d s o n t \ \ O p r i n c i p l e s : t h e l i n e s o f c u n e n t w i l l b e d e l k c t e d t O \ \ a r d s a g o o d c o n d u c t o r a n d p o t e n t i a l d i f T e r e n c e b e t w e e n t h e p o t e n t i a l e l e c t r o d e s i s p r o d u c e d b y t h e c u r r e n t f l o w a l o n g t h e l i n e s j o i n i n g t h e m ( d i s c u s s e d u n d e r s e c t i o n 2 . 0 ) . - 1 . 2 . 1 . 1 T w o L a y e r S t r u c t u r e - H i g h R e s i s t i v i t y l a y e r o v e r l o w r e s i s t i v i t y l a y e r C o n s i d e r t h e e a r t h m o d e l s h o w n i n F i g u r e 4 . 1 , a h i g h r e s i s t i v i t y l a y e r o v e r a l o w e r r c s i s t i \ i t y l a y e r . ' v V h e n t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s a r e c l o s e l y s p a c e d . i n t h e r e g i o n s u r r o u m l i n g t h e p o t e n t i a l e l e c t r o d e p o s i t i o n s ( b e t \ \ · e c n t h e t \ V O c u n e n t e l e c t r o d e s ) . m o s t u r · t h e c u r r e n t f l O \ \ ' S t h r o u g h t h e u p p e r l a y e r a l o n g p a t h s t h a t a r c cl~se t o t h o s e th<~t t h e y \ \ o u l d h a n ? ! l o w n a l o n g i f t h e m o d e l w e r e h o m o g e n e o u s . T h a t i s , i n t h i s c l c c t m d e c o n l l g u r a t i o n , c u r r e n t f l o w i s n o t s i g n i f i c a n t l y p e r t u r b e d n e a r t h e p o t e n t i a l e l e c t r o d e s t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h i s l a y e r m o d e l a n d a h o m o g e n e o u s E a r t h m o d e l \ \ i t h a r c s i s t i \ i t y e q u a l t o t h e r e s i s t i v i t y o f t h e t o p l a y e r . T h u s , t h e c o m p u t e d a p p a r e n t r c s 1 s t i \ i t y \ \ i l l b e c l o s e t o t h e r e s i s t i v i t y o f t h e u p p e r l a y e r , p 1 • 5 8 1 ' . . • ( ' ( ' , , , / ~---- / - ; ( \ " - - ' 1 I ~~' - - / f f \ \ I I \ ' ' - - / / I I \ ' " / \ \ - I I ' / I . \ . . 1 - ' I ' I \1~h R c \ 1 ' - l \ \ ' ' ' 1~1.'\21. , , 1 : \ 2 1 ' \ 1 , , , \\,_:,,<,-~\ , \ · , \ \ \ < , , \ > \ Y 1 \ ' - , : , ; : . ; \ ' c l ( ' ' - / - - - _ . . . . : \ c t u a l C u r r e n t F l m \ I . i n e s C u r r e n t l ' h l \ \ L i n e s i f t l { s o i l \ \ C I S l l o n w g e n e o u s Sm~llll . k c t r u d c Sp~1cing I , , u - g c U c c t r o J e S p a c i n g F i g u r e - t 1 - T \ \ o l a y e r m o d e l w i t h h i g h r e s i s t i v i t y l a y e r o v e r l o w r e s i s t i v i t y l a y e r ' e P - f - - - - - - - - / - - 9 I - - - - - - - - : : - - i ? - ' r ' r ' < P t E l e c t r o d e D i s t a n c e F i g u r L ' - 1 - . 2 - F i e l d C u n - c p a t t e r n f o r t w o l a y e r m o d e l ' v v i t h h i g h r e s i s t i v i t y l a y e r o v e r l o w r e s i s t i v i t y l a y e r \ m \ . ' ' h e n i n c r e a s i n g t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s p a c i n g , t h e c u r r e n t f l o w n e a r t h e p o t e n t i a l e l e c t r o d e s i s s i g n i f i c a n t l y a l t e r e d b y t h e p r e s e n c e o f t h e subsurf~1ce b o u n d a n . I n t h i s c a s e , c u r r e n t i s p r e f e r e n t i a l l y d r a w n d o w n w a r d i n t o t h e l o w e r r e s i s t i \ i t y l a y e r , d e c r e a s i n g t h e c u r r e n t d e n s i t y b e t w e e n t h e t w o c u r r e n t e l e c t r o d e s . T i l l S d e c r e a s e i n c u r r e n t d e n s i t y w i l l c a u s e t h e c o m p u t e d v a l u e o f a p p a r e n t r e s i s t i v i t y t o g r a d u a l l y d e c r e a s e f r o m p 1 • . ' \ t ' c r y l a r g e c u r r e n t e l e c t r o d e s p a c i n g , u n d e r n e a t h t h e p o t e m i a l e l e c t r o d e s , t h e p a t t e r n o r c u r r e n t f l m v i s a g a i n s i m i l a r t o t h a t w h i c h w e w o u l d o b s e r v e i n a 5 9 ~~ h o m o g e n e o u s E a r t h m o d e l . I n t h i s c a s e , h o \ \ e v e r , t h e m e d i a h a s a r e s i s t i v i t y o f p , . T h u s . t h e e x p e c t e d r e s i s t i v i t y c u r v e \ \ i \ \ h a v e a p a t t e r n a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 2 . - U . 1 . 2 T w o L a y e r S t r u c t u r e - L o w R e s i s t i v i t y l a y e r o n r h i g h r e s i s t i v i t y l a y e r C o n s i d e r t h e e a r t h m o d e l s h o w n i n F i g u r e 2 . 6 . I n t h i s c a s e , a l o w r e s i s t i v i t y l a y e r O \ c r l i c s a h i g h e r r e s i s t i v i t y h a l f s p a c e . T h e b e h a v i o r o f a p p a r e n t r e s i s t i v i t y i s s h o w n i n F i g u r e - + . 3 . S i m i l a r t o t h e a b O \ e d i s c u s s i o n . w h e n t h e e l e c t r o d e s p a c i n g i s s m a l l c o m p a r e d t o t h e d e p t h o f t h e t o p l a y e r t h e c u r r e n t d e n s i t y i s u n a f f e c t e d b y t h e b o t t o m l a v e r . T h c r c C o r c . t h e e r e s i s t i v i t v r e a d i n u s w i l l b e u n a f f e c t e d b v t h e h i u h r e s i s t i v i t Y • . - 1 0 . ; b . . / l a y e r a n d t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y w i l l g i v e a r e a d i n g e q u a l t o p 1 , t h e r e s i s t i v i t y o f t h e t o p l a y e r . \ \ " h e n t h e e l e c t r o d e s p a c i n g i s g r a d u a l l y i n c r e a s e d t h e c u r r e n t s t a r t s t o e n t e r t h e h i g h r e s i s t i v i t y b o t t o m l a y e r . T h e c u r r e n t i s d e f l e c t e d a w a y f r o m t h e h i g h r e s i s t i v i t y s u b s t r a t u m a s t h e c u i T e n t s e e k s t o f o l l o w a l o w r e s i s t a n c e p a t h . T h e c u r r e n t d e n s i t y i n t h e t o p l a y e r w i l l i n c r e a s e . w h e r e t h e c u r r e n t d e n s i t y b e t w e e n t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s i s i n c r e a s e d . T h c r e f o r · e ~he c o r r e s p o n d i n g a p p a r e n t r e s i s t i v i t y r e a d i n g w i l l g r a d u a l l y i n c r e a s e d f r o m p 1 • F i n a l l y a t v e r y l a r g e e l e c t r o d e s p a c i n g c o m p a r e d t o t h e t o p l a y e r h e i g h t t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y r e a d i n g w i l l g r a d u a l l y a p p r o a c h t h e b o t t o m l a y e r r e s i s t i \ i t y . p~ a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 3 . T h u s \ \ i t h r e s p e c t t o g e o l o g i c a l f o r m a t i o n o f e a r t h , c e r t a i n f i e l d c u r v e s c a n b e d r a w n . ? F f O J : : : : : : 2 ; ? 2 : < ' p , , J , E l e c t r o d e D i s t a n c e F i g u r e - + . 3 - F i e l d C u r v e p a t t e r n f o r t w o l a y e r m o d e l w i t h I O \ v r e s i s t i v i t y l a y e r o v e r h i g h r e s i s t i v i t y l a y e r 6 0 1 ' - 1 . 2 . 1 . 3 T h r e e l a y e r S t r u c t u r e s t a n d a r d c u r v e s T h e g e o l o g i c a l f o r m a t i o n o f a t h r e e l a y e r s t r u c t u r e d e f i n e s 4 c u r v e t y p e s n a m e l y T y p e A . Q . I ( a n d H ( F i g u r e 4 . 4 ) . T a b l e - U g i v e s t h e r e s i s t i v i t y c o m b m a t i o n o f t h e f o u r t y p e s . C u n e T \ p e ] T o p l a y e r I I n t e n n e d i a t e l a y e r I B o t t o m l a v e r I -~ A ~---- Q - - - - · K - - · · H ~ I r e s i s t i v i t y ~ ~ . . ! L o w ' M e d i u m H i g h · · - · · H i g h M e d i u m L o w : L o w H i g h M e d i u m I H i g h L o w I M e d i u m . . T a b l e 4 . 1 - G e o l o g i c a l f o n n a t i o n f o r t h r e e l a y e r s t r u c t u r e ; 7 , I ' ! ! / Y : : _ _ _ _ / ' . T : p e A a : l z : > / z 1 • p , < < p , b : l z . < l z , . p , < p , l~~ T : p e K a : l z . < l z , . p , > > p , b : h . > l z , . p > > p , c : f z : > l z , . p , > p , d : h : > h , . p , < p . ! p,~ ! f ) ' j ) I 1 - - - - = : : : : : " b a ~ . . p , T y p e Q a : l z : < h , . p , > p , b : l z : > h , . p , > p , d - c r ~ T : p e ! I a : l z : > l z , . p , > p , b : h . > h , . p , < p , c : l z : > / z , . j ) , < < p . d : f z : < / z ! . p , < p , - F i g u r e 4 . 4 - F i e l d c u r v e p a t t e r n s f o r t h r e e l a y e r s t r u c t u r e T y p e s I I & I ( h a n : d i s t i n c t m a x i m u m / m m i m u m a n d i n d i c a t e a n o m a l o u s l y h i g h / l o w r c s 1 s t i \ i t y r e s p e c t i v e l v . T y p e s A & Q s h m v s t e a d y c h a n g e i n d i c a t i n g m i d d l e l a y e r h a s 6 1 1 ' p i n t e r m e d i a t e r e s i s t i \ i t y b e t \ \ c c n u p p e r a n d l O \ \ e r l a y e r . A s \ \ i t h t h e t w o l a y e r c a s e , t h e c u r r e n t d e n s i t y w i l l b e a f f e c t e d b y t h e m u l t i p l e l a y e r s a s t h e e l e c t r o d e s p a c i n g m c r e a s e s . l i r s t p a r t o f e u n e a t s m a l l e l e c t r o d e s e p a r a t i o n s c a n b e a n a l y z e d a s t \ v o l a y e r c a s e t o s e e i f r " i n c r e a s e o r d e c r e a s e s i n t o s e c o n d l a y e r . C o m p a r i n g c u r v e a t s m a l l a n d l a r g e s p a c i n g i n d i c a t e s r e s i s t i v i t y o f l o w e r l a y e r r e l a t i v e t o u p p e r . C h a r a c t e r o f m i d - p a r t o f c u n e i n d i c a t e s n a t u r e o f m i d d l e l a y e r . B u t t h e d r a \ \ b a c k i s t h a t l a y e r o n l y s h o w s u p i n c u r v e i f i t i s s u ! T i c i e n t l y t h i c k a n d r e s i s t i \ i t y s u f f i c i e n t l y d i f f e r e n t f i · o m o t h e r s . - 1 . 2 . 1 . - t F o u r l a y e r s t r u c t u r e S t a n d a r d C u r v e s O b \ i o u s l y t h e a b o v e t o u r c u r v e s a l s o m a y b e c o m b i n e d . I t i s g e n e r a l l y p o s s i b l e t o s a y ! ] · o m t h e s h a p e s o f t h e a d j a c e n t p a r t s o f t h e p r o f i l e w h i c h l a y e r c o n · e s p o n d s t o t h e m a \ i m u m o r m i n i m u m o n t h e K a n d H c u n ' C t y p e s . T h e r e f o r e t h e s t a n d a r d c u r v e s f o r a f o u r l a y e r m o d e l c a n b e c l a s s i f i e d i n t o s i x c u n - c t y p e s a s H K , H A K H , K Q , Q H a n d A K r e p r e s e n t i n g d i f f e r e n t g e o l o g i c a l f o r m a t i o n s . F i g u r e 4 . 5 s h o v v s t w o e x a m p l e C l l J " \ C S . i H - I 1 - K r - H _ , ! 1 - ! I I I'~ I \ K p , T y p e H K T ] p e K H p , > p . < p , > p , p , < p . > p , < p , F i g u r e 4 . 5 - F o u r l a y e r T y p e H K a n d T y p e K H c u r v e p a t t e r n s I n g e n e r a l . n u m b e r o f d e t e c t a b l e l a y e r s e q u a l t o n u m b e r o f t u r n i n g p o i n t s i n s o u n d i n g c u n e p l u s o n e . T u r n i n g p o i n t c l u e t o a n i n t e r f a c e , s o n u m b e r o f l a y e r s i s o n e g r e a t e r . 6 2 j · . . E l e c t r o d e s e p a r a t i o n , a t w h i c h t u r n i n g p o i n t s o c c u r , h a s n o c o n n e c t i o n \ v i t h d e p t h t o interl~1ce - U . 2 Q u a n t i t a t i v e I n t e r p r c t a t i o n O h m - m e t e r m e t h o d , M o o r e - c u m u l a t i v e m e t h o d a n d B a r n e s l a y e r m e t h o d a r c s o m e e a r l i e s t u s e d I D i n t e r p r e t a t i o n t e c h n i q u e s . O h m - m e t e r m e t h o d i s t h e e a r l i e s t , s i m p l e s t a n d p o o r e s t m e t h o d o f i n t e r p r e t a t i o n [ 3 ] . T h e f i e l d c o l l e c t e d a p p a r e n t r e s i s t i v i t y v a l u e s a r e p l o t t e d \ e r s u s d e p t h i n f e e t a n d a c u n - c i s d r a w n t h r o u g h t h e p o i n t s . I n t e r p r e t a t i o n c o n s i s t s o f ' n o t i n g t h e d e p t h s a t w h i c h b r e a k s o c c u r i n t h e s h a p e o f c u r v e . - U . 2 . 1 C u r v e m a t c h i n g B e f o r e t h e a \ a i l a b i l i t y o f p e r s o n a l c o m p u t e r s , t h e c u n · e - m a t c h i n g p r o c e s s w a s d o n e . T h e u s e o r s t a n d a r d o r m a s t e r c u r v e s ( d i s c u s s e d i n s e c t i o n 2 . 1 1 ) r e q u i r e s a n i d e n t i f i c a t i o n o f t h e c u r v e t y p e f o l l o w e d b y a c o m p a r i s o n w i t h s t a n d a r d c u r v e s o f t h a t t y p e t o o b t a i n t h e b e s t m a t c h . T I \ O - I a y e r a n d t h r e e - l a y e r c u r v e s c a n b e u s e d f o r c o m p l e t e i n t e r p r e t a t i o n o r Y E S c u n c s o f m o r e l a y e r s b y t h e A u x i l i a r y P o i n t M e t h o d , ' ' h i c h r e q u i r e s t h e u s - . : o f a s m a l l s e t o f a u x i l i a r y c u r v e s a n d s o m e c o n s t r u c t i o n s . ~ I ; ' . , ' 1 1 < . / ; " / ~ ~' " · , . . A I ~. t J / ' · ' I / / / ; //~o''' ///~ _ , - " l / _ , . . . I Iii.~ . . ·--~~QI-j ' " ' ' " _ ' l [ ! I . : · i 4 1 \ ( • ! ] 8 1 [ ) / 0 ~ 0 .~ ( J r ) n i ' t i : " ' " " " " - - - u m . . l _ I _ ] ( I L ' l r ' j . : . . : . . . 1 0 4 0 S U M l 8 0 i O C I - ~ - " " ' " - 1 ~~.!. r n f i O : : I d z r J r ' , J t • I : l ( i l ) I . J ' \ G O J U O 1 ~;{) 1 u o 1 ' 1 1 ' ) i } ; o n n ! ' l F i g u r e - 1 - . C l - T h e i n t e r p r e t a t i o n o f a t \ \ o l a y e r a p p a r e n t r e s i s t i v i t y g r a p h b y c o m p a r i s o n 1 1 i t h a s e t o f m a s t e r c u r v e . T h e u p p e r l a y e r r e s i s t i v i t y i s 6 8 a n d i t s t h i c k n e s s i s 1 9 . 5 m . 6 3 1 ' T h e f i e l d c u n c t o b e i n t e r p r e t e d i s p l o t t e d o n t r a n s p a r e n t l o g a r i t h m i c p a p e r w i t h t h e s a m e m o d u l u s a s t h e m a s t e r c u r v e . I t i s t h e n s h i f t e d o v e r t h e m a s t e r c u r v e k e e p i n g t h e c o o r d i n a t e a \ : e s p a r a l l e l , u n t i l a r e a s o n a b l e m a t c h i s o b t a i n e d \ v i t h o n e o f t h e m a s t e r c u n c s o r \ \ i t h a n i n t e r p o l a t e d c u r v e a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 6 . T h e n t h e E l e c t r o d e s p a c i n g o n t r a n s p a r e n c y a t w h i c h a / : : : = 1 t o g e t i n t e r f a c e d e p t h I J . A p p a r e n t r c s i s t i \ i t y o n t r a n s p a r e n c y a t \ \ h i c h p ) p 1 = 1 t o g e t r e s i s t i v i t y o f l a y e r l . p , . R e a d t h e \ a l u e o f k , i . e . t h e r e f l e c t i o n c o e f T i c i e n t a n d c a l c u l a t e p 2 , t h e r e s i s t i v i t y u i " l a y e r 2 u s i n g e q u a t i O n ( 8 . 3 ) . ] ! I i i ~'":' I ! c . : , ~-~· , , c . : ; . , F \ i i t ' ' ' o ! Uectrut1~ I n hr~1 L t Y ' ' i rhiL~cHl\') . . . . . " " " ' 1 \ } 1 0 , ' , . ® ~ ® . . . . ...._.,,._.,~ ~ 1 1 f i H i l i 1 : . 1 ~· ~- . - i - " " I I ~ . ~ ' . · 1 1 1 1 ~- • . . • . • . ~·-r ; : : - , _ e e : ' f - \ . , / " '",{~ . . 1 1 1 1 0 u : u n o , I H i l t ! S e p J t t : ! n n b c l w e < · n C u r r w : 1 f l e w o c k s i m d r e : ; i H . l t : J ' . · D ? - - ; '/~) . , . , . , \ " l , . ) c . : i'!~ ( ! . : : a : . 1 = : : ' · " , · r I i g u r e - t 7 - t h e i n t e r p r e t a t i o n o f a t h r e e l a y e r a p p a r e n t r e s i s t i v i t y g r a p h b y c o m p a r i s o n w i t h a S e t o f m a s t e r c u r v e . . 1 l a y e r c a s e : M u c h l a r g e r s e t s o f c u r v e s a r e r e q u i r e d t o r e p r e s e n t t h e i n c r e a s e d n u m b e r : 1 f p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s o f r e s i s t i \ i t i e s a n d l a y e r t h i c k n e s s e s . D i r e c t c u r v e f i t t i n g i s t i m e c o n s u m i n g . b e t t e r u s e a u x i l i a r y p o i n t t e c h n i q u e s . F i g u r e 4 . 7 s h o w s a 3 l a y e r c u n e m a t c h i n g e x a m p l e p r o b l e m . D a s h e d l i n e s a r e t h e a x e s o f t h e t h e o r e t i c a l c u r v e s . T h i c k l i n e s a r c t h e a x e s o f t h e f i e l d C U I " \ e , T h e n u m b c r o n c u r v e s a r e v a l u e s o f : : : ' I : : . 1 t h e p o i n t s 0 r i n t e r s e c t i o n 0 r t h e s e [ \ \ 1 1 : . t x e s g i n : t h e l i c k ! v a l u e s o f p 1 a n d : : . 1 • p , a n d p , f o l l o w f r o m t h e r a t i o s g i v e n 6 4 1 ' f r o m t h i s !~tmih o f c u n c s \ \ h e r e p . j p 1 = 0 . 2 a n d p ) p 1 = 3 . : : : , i s r o u n d f r o m t h e r a t i o s g i \ e n o n t h e b e s t f i t t i n g c u n c . I n t h i s c a s e a n i n t e r p o l a t i o n h a s b e e n m a d e b c t \ \ e e n c u n c s C o r - + a n d 6 . F i n a l r e s u l t s t h e r e f o r e g i v e : p 1 = 1 3 0 . m , p~ = ! . 6 0 . 1 1 1 . ! ' -~ YJ~2nz . . : : - 1 = 2 . 2 1 1 1 a n c l . : : - 2 = 1 1 m - 1 . 2 . 2 . 2 C o m p u t e r b a s e d i t e r a t i v e c a l c u l a t i o n m e t h o d s \ \ ' i t h t h e i n t r o d u c t i < . • n o f ' l i n e a r f i l t e r t h e o r y [ 2 9 ] [ 3 0 ] [ 3 1 ] t o d e v e l o p a f~1St n u m e r i c a l m e t h o d f o r c o m p u t i n g a p p a r e n t r c s i s t i \ i t y \ " < - l i u e s f i · o m t h e r e s i s t i v i t y t r a n s f o r m s . a n d \ i c e \ C r s a m a n y c o m p u t e r b a s e d i n t e r p r e t a t i o n p r o g r a m s \ \ e r e d e v e l o p e d . W i t h t h e s e m e t h o d s . n C \ \ s t a n d a r d c u r v e s o r t r i a l Y E S c u n · e s c a n b e c o m p u t e d a s n e e d e d , w i t h a c o m p u t e r . e i t h e r t o m a t c h t h e c u n e s o r t o c h e c k t h e v a l i d i t y o f a n i n t e r p r e t a t i o n o f t h e t l c l d d a t a . T h u s . t r i a l - a n d - e r r o r i n t e r p r e t a t i o n o f Y E S d a t a i s C e a s i b l e . T r i a l v a l u e s o f t h e l a y e r p a r a m e t e r s c a n b e g u e s s e d , c h e c k e d w i t h a c o m p u t e d a p p a r e n t r e s i s t i v i t y c u n c . a n d a d j u s t e d t o m a k e t h e f i e l d a n d c o m p u t e d c u r v e s a g r e e ( F i g u r e 4 . 8 ) . A f t e r a s u i t e o r s o u n d i n g c u n · e s h a s b e e n i n d i v i d u a l l y i n t e r p r e t e d i n t h i s m a n n e r . a s e c o n d p a s s c a n b e m a d e \ \ h e r e c e r t a i n l a y e r t h i c k n e s s e s a n d / o r r e s i s t i v i t i e s c a n b e f i x e d t o g i \ c a m o r e c o n s i s t e n t p r o j e c t - w i d e i n t e r p r e t a t i o n . I ' \ k c h u r c : d \ p p c l r c l l t Rcsi~ti\ i t i c s l~l'l'l s S L 1 r l ~lmkl I n i t i a l ( i u c : s s 1e~ I , , r c 1 t h r e e L l \ c r c : a : - c : ) 1 1 1 . I I i I ' . / 1 I ' I N \ ' I . R S I O ' - J I ' l ' a k u l a t c d . \ p p a r c : n t R c : s i s t i \ i t i e s < J l i T J > l ' l S I · i n e l l M o d e l h t i m a t c d L a r t h p a r a m d c : r : - 1 ' , . h , 1 > • • I I I ' F i g l ' . n ' - 1 - . 8 - C o m p u t e r b a s e d i t e r a t i v e s o l u t i o n m e t h o d . ( ) 5 1 ' I n o r d e r t o e s t i m a t e o n t h e c o r r e c t p a r a m e t e r s o f t h e m o d e l t h r o u g h i n v e r s i o n f i r s t a n e r r o r f u n c t i o n i s d c \ c l o p e d . I I · " -r~[ F . . = I · \ 1 ( 4 . 1 ) • I \ \ ' h e r e . \ I l l / · t i t f ' I . I , . - t m e a s u r e m e n t o e e c t n c a p r o p e r t y f J - C a l c u l a t e d v a l u e o f t h e e l e c t r i c a l p r o p e r t y i n a f o r w a r d m o d e l i n g c a l c u l a t i o n . T h e c a l c u l a t i o n o f p a r a m e t e r s o f t \ v o l a y e r e a r t h i s a t h r e e p a r a m e t e r o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . p a r a m e t e r s b e i n g t h e r e s i s t i v i t y o f b o t h l a y e r s a n d t h e d e p t h o f t h e t o p l a y e r 1 1 h i l c t h e d e p t h o r t h e l o w e r l a y e r i s t a k e n a s i n f i n i t y . A l s o p a r a m e t e r c a l c u l a t i o n f o r t h r e e l a y e r s o i l i s a f i v e p a r a m e t e r o p t i m i z a t i o n p r o b l e m , t h e p a r a m e t e r s b e i n g . r c s i s t i 1 i t i c s o f t h e t h r e e l a y e r s a n d t h e d e p t h o f t h c u p p e r l a y e r s w h i l e t h e d e p t h o f t h c t h i r d l a y e r i s t a k e n a s i n f i n i t y . S i m i l a r l y l o r N l a y e r s t h e p r o b l e m i s a n o p t i m i z a t i o n o f ( 2 \ - l ) p a r a m e t e r s . C o m p u t e r p r o g r a m s h a v e b e e n w r i t t e n b y [ 4 ] [ 5 ] [ 6 J [ 7 ] [ 3 2 ] [ 3 3 ] a n d s e v e r a l c o m m e r c i a l s o ! l : \ \ a r c c o m p a n i e s f o r t h e u s c o f t h i s m e t h o d t o o b t a i n t h e l a y e r p~1ramctcrs a u t o m a t i c a l l y b y i t e r a t i o n . s t a r t i n g w i t h a n i n i t i a l e s t i m a t e o b t a i n e d b y a n ~1pproximatc m e t h o d . T h e p r o c e s s w i l l b e m u c h f a s t e r . o f c o u r s e , i f t h e i n i t i a l g u e s s i s g u i d e d b y a s e m i q u a n t i t a t i v e c o m p a r i s o n w i t h t w o - a n d t h r e e - l a y e r c u n c s . M o s t c o m p u t e r p r o g r a m s r e q u i r e a u s e r - s u p p l i e d i n i t i a l e s t i m a t e ( m o d e l ) , w h e r e a s s o m e p r o g r a m s c a n o p t i o n a l l y g e n e r a t e t h e i n i t i a l m o d e l . I n g e n e r a l a l l t h e c o m p u t e r b a s e d s o l u t i o n s p r e s e n t e d i s b a s e d o n m i n i m i z a t i o n o f t h e ~thll\e e r r o r r u n c t i o n ( 4 . 1 ) w h i c h u l t i m a t e l y l e a d s t o r e c o v e r y o f u n k n o w n p a r a m e t e r s g 1 1 m g a n o p t i m a l s o l u t i o n . ~.3 L i m i t a t i o n s o f t h e 1 D I n t e r p r e t a t i o n T h e m a j o r l i m i t a t i o n s o f t h e e l e c t r i c a l r e s i s t i v i t y m e t h o d a r c r e s o l u t i o n . s u p p r e s s i o n ~md c q u i \ a l c n c c . T h e y a r e a l l a s s o c i a t e d 1 v i t h t h e c o n c e p t o f r e l a t i v e t h i c k n e s s ( R T ) . 1 1 h i c h i s d e l i n e d a s t h e r a t i o o f t h e t h i c k n e s s o f a l a y e r t o t h e d e p t h t o t h e t o p o f t h e l d \ e L ( J ( ) : 1 ' ~.3.1 R e s o l u t i o n A s a g e n e r a l r u l e , t h e r e s i s t i v i t y m e t h o d c a n n o t r e s o l v e t h i n l a y e r s ( R T < 0 . 1 ) . I t f o l i o \ \ s t h a t t h e mcth~.xl c a n r e s o l v e c o n s i d e r a b l e d e t a i l n e a r t h e s u r f a c e , b u t c a n s e e o n l y b u l k ; o n e s a t d e p t h . ~.3.2 E q u i n l l e n t m o d e l s T h e i n t e r p r e t a t i o n o f r e s i s t i v i t y d a t a i s a m b i g u o u s . f t i s p o s s i b l e t o f i n d d i f f e r e n t c o m b i n a t i o n s o f t h i c k n e s s e s a n d r e s i s t i v i t i e s w h i c h w h e n s u b s t i t u t e d i n e q u a t i o n ( 2 . 2 1 l \ \ o u l d v i e l d t h e s a m e t h e o r e t i c a l r e s i s t i v i t y s o u n d i n g c u r v e 1 . e . a n a p p a r e n t r e s i s t i v i t y c u n e c a n b e i n t e r p r e t e d b y d i f f e r e n t r e s i s t i v i t y m o d e l s . T h e p r i n c i p l e o f e q u i v a l e n c e s t a t e s : T h e t h i c k n e s s a n d r e s i s t i v i t y c a n n o t b e d e r i v e d i n d e p e n d e n t l y . T h e g e o p h y s i c i s t h a s t o s e l e c t t h e m o d e L w h i c h a g r e e s b e s t w i t h t h e k n l ) \ \ 1 1 g e o l o g i c a l a n d h y d r o g e o l o g i c a l s t r u c t u r e s o f t h e g r o u n d . A n o t h e r s e l e c t i v e c r i t e r i o n i s t h e c o m p a r i s o n w i t h n e i g h b o r i n g s o u n d i n g s . ~.3.3 S u p p r e s s i o n L · s u a l l y . s o u n d i n g s c a n r e s o l v e n o m o r e t h a n s i x t o e i g h t l a y e r s . E v e n a r e a s o n a b l y t h i c k l a y e r ( 0 . 1 < R T < 1 ) m a y n o t b e d e t e c t e d i f r e s i s t i v i t y c o n t r a s t i s i n a d e q u a t e . T h i s i s l i k e l y t o h a p p e n w i t h a l a y e r o f i n t e r m e d i a t e r e s i s t i v i t y \ v h i c h i s s a n d Y v i c h e d b c t \ \ e e n o n e l a y e r w h i c h i s m o r e c o n d u c t i v e ( l e s s r e s i s t i v e ) a n d a n o t h e r l a y e r \ v h i c h i s m o r e r e s i s t i \ e . S u c h a l a y e r i s s a i d t o b e s u p p r e s s e d , a s t h e r e m a y b e n o h i n t o f t h e l a w r i n t h e f i e l d d a t a . \ I l l p \ 1 e P . < < p I I I ; , ! ' . p , ~> / 1 - l i p , ' . . I I ' I ' ( J 7 j , ! F i g u r e 4 . 9 - I l l u s t r a t e s t h e p r o b l e m o f a " s a n d w i c h e d l a y e r " T o i l l u s t r a t e t h e a b m · e p r o b l e m , F i g u r e 4 . 9 i s u s e d , c o n s i d e r i n g r e f r a c t i o n a t t h e b o u n d a r y . I f p > > p t h e c u r r e n t 1 1 m v s n e a r l y p a r a l l e l t h e n t h e r e s i s t a n c e o f t h e l a y e r 1~. R = ! ' , : ' : ! . . _ h ! 1 . . 1 1 1 s = h u , ! ' J . m = s f ! ' J . m ! ' - . ! ! ' - . ! \ \ " h e r e . . S " ; - l o n g i t u d i n a l c o n d u c t a n c e ( 4 . 2 ) ( 4 . 3 ) I f p , < < p t h e c u r r e n t f l m v s n e a r l y p e r p e n d i c u l a r ( s h o r t e s t p a t h t h r o u g h l a y e r ) . T h e n t h e l a y e r r e s i s t a n c e i s , p h R H = - = - ( 4 . 4 ) . . ' 1 . . 1 \ . · 1 \ \ ' h e r e . R 1 - T r a n s \ · e r s e R e s i s t a n c e I t i s e \ i d c n t t h a t C o r a n y c o m b i n a t i o n o f P , a n d l z w i t h t h e s a m e r a t i o f o r e q u a t i o n a n d f o r s a m e p r o d u c t l o r e q u a t i o n g i v e s t h e s a m e r e s u l t . - U A T h e e f f e c t o f A n i s o t r o p y I n s e d i m e n t s s u c h a s c l a y o r s h a l e t h e r e s i s t i v i t y p e r p e n d i c u l a r t o t h e l a y e r i n g t s u s u a l l y g r e a t e r t h a n p a r a l l e l t o t h e d i r e c t i o n o f l a y e r i n g . O t h e r t h a n t h e e r r o r o f e q u i v a l e n c e o n e o t h e r r e a s o n f o r t h e a m b i g u i t y i s , t h a t i n d c r i \ i n g e q u a t i o n ( 2 . 2 1 ) i t w a s a s s u m e d t h a t t h e e a r t h i s m a d e o f N h o m o g e n e o u s . J s o t r o p t c , a n d h o r i z ( > n t a l l y c o n t i n u o u s l a y e r s o f r e s i s t i v i t i e s p 1 , p c , . . . . . , p 1 . I f t h e l a \ c r s a r c a n i s o t r o p i c ( i . e . , t h e r e s i s t i v i t y o f e a c h l a y e r i n t h e v e r t i c a l d i r e c t t o n p d i f f e r s f l · o m t h a t i n t h e d i r e c t i o n p a r a l l e l t o b e d d i n g p , 1 ) a s s h o w n i n F i g u r e 4 . 1 0 . I n s u c h a c a s e t h e i n t e r p r e t e d r e s i s t i v i t y f i · o m s o u n d i n g d a t a , o f e a c h l a y e r i s e q u a l t o n e i t h e r p n o r p . b u t e c j u a l t o , ' I ( J 8 ~I n = I n j J t ~II 1 , f . ' \ m l i t s t h i c k n e s s i s e q u a l t o . h = i . l z \ \ ' h e r e . l z - t h e i n t e r p r e t e d t h i c k n e s s (~.5) P . C J ) 1 . - A n i s o t r o p y c o e ! T i c i e n t e q u a l t o ~ p , j P , , e . g . f o r s a n d . g r a v e l ; , = 1 . 3 , c o a l ; = I S i n c e p , i s g e n e r a l l y g r e a t e r t h a n P , , f o r h o r i z o n t a l l y l a y e r e d m e d i a . t h e i n t e r p r e t e d t h i c k n e s s \ \ o u l d b e g r e a t e r t h a n t h e t r u e t h i c k n e s s . • • • • • • P . ; • • • • - - • • • p , I • • • J • • • • F i g u r e 4 . 1 0 - A n i s o t r o p y o f s o i l T h e t r a n s \ e r s c r e s i s t a n c e T a n d t h e l o n g i t u d i n a l c o n d u c t a n c e S o f t h i s m o d e l a r c g i n ; n b y : " T = L P J l , ' h . / S = L / P . I ( 4 . 7 ) ( 4 . 8 ) C l e a r l y . t h e r e i s a n i n f i n i t e n u m b e r o f h o m o g e n e o u s a n d a n i s o t r o p i c s i n g l e l a y e r e d m o d e l s p o s s e s s i n g t h e s a m e v a l u e s o f T a n d , ) ' . T h u s . d e p e n d i n g o n t h e c h o s e n t h i c k n e s s h o f t h e m o d e l . i t i s p o s s i b l e t o f i n d v a l u e s f o r P r n o r P , , w h i c h s a t i s f y t h e ! ( J i l o w i n g r e l a t i o n s : T = ; ) h ( 4 . 9 ) / I ) ( 4 . 1 0 ) . \ = 6 9 ~I \ \ ' h e r e . I I I ! = _ L h i = l ~.3.5 N o n H o r i z o n t a l l a y e r i n g I D i n t e r p r e t a t i o n i s \ a ! i d . i C t h e d i p o f t h e l a y e r s i s n o t g r e a t e r t h a n 1 5 ° . F i g u r e 4 . 1 1 s h m \ s a s i t u a t i o n \ \ h e r e t h e 1 0 i n t e r p r e t a t i o n i s n o t v a l i d . a b F i g u r e 4 . 1 1 - ( a ) v a l i d I D i n t e r p r e t a t i o n ( b ) I D i n t e r p r e t a t i o n i s n o t v a l i d ~A S y n t h e t i c D a t a g e n e r a t i o n I n o r d e r t o t r a i n t h e ) . i e u r < - 1 1 n e t w o r k a n a v a i l a b l e e x a m p l e s e t i s e s s e n t i a l . S i n c e n o ! i e l d m e a s u r e m e n t s \ \ · e r e m a i l a b l e t h e n e u r a l n e t w o r k \ v a s d e c i d e d t o b e t r a i n e d \ v i t h s y n t h e t i c d a t a . T h e d a t a w a s g e n e r a t e d b y s o l v i n g t h e i n f i n i t e i n t e g r a l ( 2 . 2 1 ) o f t h e a p p a r e n t r e s i s t i \ i t y n 1 e a s u r e c l b y a w e n n e r a r r a y f o r t h e N - l a y e r s , w h i c h i s i n t h e g e n e r a l i z e d i n t e g r a l f o r m g i v e n b y , p = p 1 : I + 2 F , ( u ) - F , ( 2 c l ) 1 \ \ ' h e r e . . \ m i . f I \ -~/_hi / . · - ' J \ ] e J ( 1 I ' , ( U ) - _ C I I - K , - ' / . I I , ' " / o U ) c / , I I \ I ( ( - + . 1 1 ) 7 0 ~t' / \ =kl+f\\~c~;;,, \ I . - · l + k f \ ( , - · ; ; , , 1 \ : . : - 1 \ k , + K , c c / l r \ I ' \ - 1 1 + k 1 \ ( ' • ; ; , , ' \ \ - l f \ \ \ I = k \ - I i l l l d I ) - j ) j ) - j 7 j ) . - j ) k , = ' I k = 1 + l ' k = \ \ - 1 I • ' • \ P c + P I P , . l + p , P \ + P \ 1 . J ( / . o ) - B e s s e l f u n c t i o n o C F i r s t k i n d o f o r d e r z e r o F i g u r e - L 1 s h o \ \ S t h e r e p r e s e n t a t i o n o f a t \ \ o l a y e r o n e d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n , D u r i n g t h e t \ \ O l a y e r c u n e g e n e r a t i o n l a y e r r e s i s t i v i t i e s a r e v a r i e d b e t w e e n l O D m a n d I ( ) ( ) ( ) O m . T h e t o p !a~.'Cr h e i g h t i s v a r i e d b e t w e e n 1 - 1 O m , T h e r e s i s t i v i t y v a l u e s u s e d l o r d a t a b a s e p r e p a r a t i o n a r e g i v e n i n T a b l e . . : J - , 2 \ \ h e r e p , i s t h e U p p e r l a y e r r e s i s t i v i t y a n d ; J i s t h e B o t t o m l a y e r r e s i s t i v i t y . F o r e a c h c o m b i n a t i o n o f r e s i s t i v i t y t h e f i r s t l a y e r h e i g h t i s \ a r i e d a s . 1 m . 2 . 5 m . 5 m , 3 m , 7 , 5 m , 4 . 2 5 m , 6 m . 8 . 3 m , 9 . 2 m a n d 1 0 m . P~1 p 2 r / i , p , X F i g u r e L 1 2 - T h r e e l a y e r o n e d i m e n s i o n a l represent<~tion F i g u r e 4 . 1 2 s h o \ \ s a t h r e e l a y e r o n e d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n . F o r t h e t h r e e l a y e r c u n e g e n e r a t i o n d i ! T e r e n t r e s i s t i v i t y c o m b i n a t i o n s a n d l a y e r h e i g h t c o m b i n a t i o n s w e r e u s e d . T a b l e 4 . 3 g i v e s t h e l a y e r r e s i s t i v i t y v a l u e s u s e d f o r t h e f c J L t r t y p e s o f c u r v e g e n e r a t i o n . H e r e p , i s t h e F i r s t l a y e r r e s i s t i v i t y . p . i s t h e s e c o n d l a y e r r e s i s t i v i t y a n d ; 1 i s t h e b o t t o m l a y e r r e s i s t i \ · i t y . 7 1 I . 7 3 . i 4 . I ! 5 . 6 . i 7 . 8 . I 9 . 1 ! I 1 0 . I I . ] 1 2 . . 1 3 . 1 4 . 1 5 . I C J . 1 7 . 1 8 . 1 9 . 2 0 . ( ! , p 1 0 1 0 0 9 8 3 0 0 1 7 5 5 2 0 3 2 5 6 0 0 4 7 5 5 0 0 5 4 5 6 5 0 7 2 5 ] ( ) ( ) ( ) 8 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 0 0 2 2 0 6 0 0 4 2 0 7 5 0 5 0 2 5 0 9 3 5 ] ( ) ( ) ( ) 6 2 0 7 0 0 2 5 0 5 0 0 3 0 0 2 5 0 4 5 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 2 0 2 0 5 0 0 3 5 0 6 5 0 4 0 0 9 0 0 3 0 0 1 2 3 . 1 7 2 s s o o ~~4·_1 I 0 0 0 2 0 0 2 5 . 1 8 5 0 4 0 0 I 2 6 . ! 2 7 . . 2 8 . 2 9 . i I 3 0 . 1 L _ _ _ _ j 6 0 0 3 0 0 7 0 0 1 0 0 5 0 0 1 7 5 3 5 0 2 0 0 ] ( ) ( ) ( ) 3 0 0 T a b l e 4 . 2 - R e _ ; i s t i v i t y v a l u e c o m b i n a t i o n s o f t h e t w o l a y e r c u r v e g e n e r a t i o n 7 ' " 1 ; _ T y p e ; \ T y p e H p p p p p I ' I . I ( ) J o n 1 1 o o o ' 3 o o 1 1 o o --~---~ l l ( ) ( ) • ! ~) . J 2 ( ) i t - + . ' I ( ) I - ! 2 3 5 - · - · - H J O 4 5 ( J _ ) ( ) ( ) 4 5 0 1 0 0 5 2 0 5 0 0 1 0 0 i ( J 0 0 2 2 0 2 0 I ! T y p e K T y p e Q p I P , I p i p , P , p p 7 0 0 2 4 5 I 5 ( J o I 1 0 0 I 8 0 0 J O O I 1 0 0 ! -+--~ 8 0 0 3 5 0 4 5 0 2 0 7 5 0 4 2 0 I 2 5 0 I 1 0 0 7 2 5 1 0 0 0 4 0 0 1 0 0 0 6 o o 1 3 4 5 i i 4 6 7 1 2 0 8 0 0 I 1 0 I 9 7 5 7 5 o I 4 7 2 I I 5 . _ ) ( ) ( ) J 5 0 . 5 0 0 : 5 0 0 3 5 0 I 8 7 9 6 8 5 I 9 5 0 i J 5 0 I I 0 0 0 6 o o I 5 6 o - 5 4 J c ) s o . C J 5 0 I 4 0 0 I 7 4 J I 4 o o I 5 7 5 I 1 o o f 9 9 8 I 8 o o - f 6 J o i ' I I - 1 7 5 7 0 0 I ( ) ( ) ( ) 9 0 0 3 0 0 1 0 0 0 1 0 0 J O O 2 5 8 o o I 4 5 0 : 2 0 0 I ' ' S . 5 0 0 i 6 4 2 1 0 0 0 7 2 5 5 0 0 8 6 5 1 9 5 6 6 0 7 8 : 7 o o : 1 o o , 2 0 I J s o l 3 n · 4 o o 1 4 5 2 1 ) . 2 0 0 6 7 8 7 2 0 1 0 0 0 I 2 0 0 6 7 5 J 5 0 I 7 0 I I ' ! : · · - ! l ( ) . 4 7 5 5 J 2 i ( J I ) O I 8 5 0 : 4 0 0 9 7 5 5 0 0 7 5 0 3 4 0 9 0 0 6 7 5 I 3 0 0 ' ' ~----· I I . 2 5 0 5 0 0 7 5 0 6 0 0 I 3 0 0 7 0 0 8 3 o I 9 5 o 2 5 0 7 0 0 1 0 0 1 0 I ! - - · 1 2 . 2 2 ( ) 2 4 0 I 2 5 0 7 0 0 1 0 0 1 0 0 0 9 0 0 1 0 0 0 6 2 0 : 1 0 0 0 i 7 5 0 4 2 0 I I _ . . , I ) 4 2 0 i 8 0 0 1 I 0 0 0 I 5 0 0 1 7 5 ' 7 7 5 2 0 0 6 2 o I 2 0 7 0 0 I 5 0 0 1 5 0 u - - s o - l 4 0 ( ) 7 0 0 J 5 0 2 0 0 9 2 0 ! 4 7 5 8 0 0 I J O O 1 0 0 0 7 0 0 : 4 8 5 . - 1 5 . I i 4 0 0 1 ( J 7 5 : 8 0 0 7 5 0 ! J O O 1 o o o ! 5 4 o I 7 2 o 2 1 0 7 5 0 5 6 o l 1 o o I T a b l e 4 . J - R e s i s t i \ · i t y v a l u e c o m b i n a t i o n s o f t h e t h r e e l a y e r c u r v e g e n e r a t i o n [ T y p e A I T y p e H T y p e K T y p e Q I - - - - - - - - - - - - - , h i h . I h , h . h I h . I I . l I : 4 2 I 4 I I ' I~· I 2 s 5 = 6 . 7 5 5 . 5 1 . 5 I 6 1 . 5 I I 3 . 8 I 8 4 7 . 2 4 ) i I l / '"·~ 4 . - , I 9 . 4 ; 1 . 5 2 I I I ' · _ ) l ' ' I - : & i _ . . ! . , 7 . ) 7 9 . 2 5 5 1 0 ) I - i I - - l I ( J . I 4 . 2 5 I 1 0 6 . 4 I 2 0 I 7 . 5 2 0 I I I I i I 7 I ( ) 3 . 5 J . 6 I 1 5 I 3 . 2 5 1 5 J I I ! 8 8 . 3 7 . 4 ! 4 . 4 9 I 4 . 4 I 3 0 I I c . l J . 9 . 2 8 . 3 7 : 1 0 0 I 5 I 1 0 0 I I I 1 { \ 1 { \ 1 n I l f \ I C f \ " " / . . . , ~c I _ _ _ L _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ L _ _ _ _ . L _ _ _ _ _ _ L _ _ _ _ L _ _ T a b l e 4 . 4 - L a y e r h e i g h t c o m b i n a t i o n s o f t h e t h r e e l a y e r c u r v e g e n e r a t i o n 7 - , _ ) : l . ' T h e l a y e r h e i g h t c o m b i n a t i o n s a r c g i v e n i n T a b l e 4 . 4 . F o r e a c h c o m b i n a t i o n o f r e s i s t i \ i t y . t h e l a y e r h e i g h t c o m b i n a t i o n s a r c v a r i e d f r o m 1 - 1 0 . H e r e h 1 i s t h e f i r s t l a y e r h e i g h t a n d h . i s t h e h e i g h t o f t h c s e c o n d l a y e r . - l A . I H a n k e l T r a n s f o r m ' s f o r s o h · i n g t h e i n f i n i t e i n t e g r a l T h e e q u a t i o n t h a t a p p e a r s i n t h e i n t e g r a l f o r m , [ = J C ! ( / c ) . / , U r ) c U . ' \ r c r e f e r r e d t o a s H a n k e l T r a n s f o r m ( H T ) o r a B e s s e l T r a n s f o r m : H e r e . J . ( ) r ) - B e s s e l f u n c t i o n o f r e a l o r d e r , . o f t h e f i r s t k i n d G ( / " ) - k e r n e l f u n c t i o n ( 4 . 1 2 ) D i g i t a l l i n e a r f i l t e r o p e r a t o r s a r c w i d e l y u s e d f o r c a r r y i n g o u t t h e a b o v e t y p e o f n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n s [ 3 4 ] . A d i g i t a l l i n e a r f i l t e r c o n s i s t o f , • 1 7 a b s c i s s a \ ' a l u c s t o s a m p l e t h e i n p u t d e f i n e d w i t h t w o c o n s t a n t s . S a m p l i n g i n t e r v a l o r s p a c i n g ( s ) a n d s h i f t ( u ) . T h e s h i f t s p e c i f i e s t h e p l a c i n g o f t h e s t a r t i n g p o i n t r o r s a m p l i n g t h e i n p u t f u n c t i o n w h i l e t h e s p a c i n g s p e c i f i e s t h e i n t e n a l w h i c h t h e r e m a i n i n g s a m p l e s a r c t o b e t a k e n . • 1 7 f i l t e r \ v c i g h t s T h e \ a l u c o f ' t h e o u t p u t f u n c t i o n i s d e t e r m i n e d b y t h e s u m o f p r o d u c t s o f n s a m p l e s o f t h e i n p u t f u n c t i o n w i t h t h e c o n e s p o n d i n g f i l t e r w e i g h t s . T h e s a m p l i n g p o i n t s a r c c a l c u l a t e d a s f o l l o w s , / . = ( I r ) x l ( ) ' H ' 1 1 ' 1 . i = 1 , 2 , . . . , 1 1 ( 4 . U l T h e f u n c t i o n ( i ( / c ) c o m p u t e d f r o m . i s t h e n e \ a l u a t e c l f o r t h e s e v a l u e s o f ; " a n d t h e v a l u e s o f E ' 7 4 J = L (;(;~, ) W , ( 4 . 1 4 ) \ \ ' h e r e I I a r c t h e n f i l t e r \ \ e i g h t s , b y d i v i d i n g t h e s u m o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h e e q u a t i o n ( 4 . 1 4 ) b y r . B a s e d o n D r . B r i < m B o r c h e r s ' s M a t L a b i m p l e m e n t e d r o u t i n e s [ 3 5 ] f o r n u m e r i c a l a p p r o : . ; i m a t i o n o f H a n k e l t r a n s f o r m s o f o r d e r 0 a n d I d e s c r i b e d f r o m W a l t A n d e r s o n ' s F O R T R A J \ c o d e [ 3 6 ] , t h e r o u t i n e s a r e m o d i f i e d a s t o s u i t e t h e p r e s e n t r e s i s t i v i t y f o m a r d m o d e l i n g p r o b l e m w i t h s o m e a d d i t i o n a l r o u t i n e s . A p p e n d i x D g i v e s t h e d e s c r i p t i n : \ ' l a t L a b f u n c t i o n s f o r t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y c u r v e g e n e r a t i o n f o r t w o l a y e r c a s e a n d t h r e e l a y e r c a s e s . T a b l e 4 . 5 c o m p a r e s t h e r e s u l t s o b t a i n e d f o r t h e e q u a t i o n ( 4 . 1 1 ) e \ · a l u a t e d \ v i t h t h e \ 1 . \ T L A B p r o g r a m s \ \ h i c h u s e s t h e 8 0 1 A n d e r s o n f i l t e r w e i g h t s ; w i t h t h e r e s u l t s g i n : n i n r 4 l t o c a l c u l a t e t h e e r r o r . I t i s e v i d e n t t h a t i t r e v e a l s c l o s e a g r e e m e n t w i t h t h e r e s u l t s o b t a i n e d i n [ 4 ] \ \ i t h m a x i m u m e r r o r i n t h e o r d e r o f 0 . 0 8 % . T h u s t h r o u g h t h e u s c o f t h e p r o g r a m s I p r o c e e d e d t o c a l c u l a t e t h e s y n t h e t i c d a t a . I E l e c t r o d e R e s u l t s f r o m U s i n g 8 0 1 ( R - R l ) / R [ 4 ] A n d e r s o n ' S p a c i n g : S P E F : R W e i g h t s : R 1 ( o f < , ) I 1 . 0 I 6 9 3 . 7 4 ' 6 9 4 . 0 1 I - 0 . 0 3 9 i l 2 . 0 2 5 1 . 6 2 2 5 1 . 8 0 - 0 . 0 7 2 c l S C 1 3 . 0 8 4 . 5 6 8 4 . 6 2 - 0 . 0 7 1 4 . 0 3 7 . 6 4 3 7 . 6 7 I - 0 . 0 8 0 5 . 0 2 5 . 3 2 I 2 5 . 3 4 - 0 . 0 7 9 I 2 . 0 1 2 3 . 3 3 1 2 3 . 3 3 0 . 0 0 0 4 . 0 1 8 9 . 9 9 1 8 9 . 9 9 0 . 0 0 0 tsc2~ 2 5 8 . 9 3 2 5 8 . 9 9 - 0 . 0 2 3 8 . 0 I 3 2 0 . 2 7 ' 3 2 0 . 3 5 - 0 . 0 2 5 • l 0 . 0 ! 3 7 4 . 1 3 3 7 4 . 2 1 I - 0 . 0 2 1 c C a ~- 2 . 0 I 1 0 2 . 2 6 I 0 2 . 2 6 0 . 0 0 0 ~ 4 . 0 I 1 1 3 . 0 7 1 1 3 . 0 7 0 . 0 0 0 s e 3 6 . 0 1 2 9 . 7 7 1 2 9 . 7 7 0 . 0 0 0 8 . 0 1 4 7 . 5 2 1 4 7 . 5 2 0 . 0 0 0 l 1 0 . 0 I 1 6 3 . 9 5 1 6 3 . 9 5 0 . 0 0 0 T a b l e 4 . 5 - E r r o r o C c a l c u l a t e d W e n n e r F o u r P r o b e D a t a \ \ h e r e . C a s e l : P ; = 1 O O O O n z , p . = 2 0 0 1 1 1 , l z = 1 . 0 1 1 1 7 5 C a s e . 2 : p 1 = I 0 0 0 1 1 1 , P : _ = I 0 0 0 0 1 1 1 , l z = 2 . 5 m Ca~e J : p 1 = I O C K 2 1 1 1 , p , = 3 0 C K 2 1 1 1 , h = 5 . 0 1 1 1 - U . 2 \ " r t w o r k S t r u c t u r e f o r 1 D i n t e r p r e t a t i o n T \ \ O \ J c u r a l : \ c t w o r k s a r c p r o p o s e d i n t h e i n v e r s i o n p r o c e d u r e ( F i g u r e 4 . 1 4 ) . F i r s t \ e t \ \ O r k \ \ i l l i d e n t i f y t h e c u r v e t y p e a n d w i l l p a s s o n t h e i n p u t s t o t h e s e c o n d n e t w o r k t o d e t e r m i n e t h e I D p a r a m e t e r s . F i g u r e u r e 4 . 1 3 s h o w s t h e g e n e r a l N e t w o r k s t r u c t u r e u s e d r o r i m c r s i o n . ~ -<~-~:- n = 4 D _ . .-----=:Zf~~:: . . : . _ F t P ! d ' ~-----:- ,:/··~; ·:)~-----~ • I n d t v t d u . , - J h f e z ; s l : u - e d • .{£~·~~~~;~_~: l a y e r _ _ ' t p p ' t r P n t : \ • ' ; , - \ A - , _ : , , . . . _ ~- . . . r~" ' " t ' " t t ' n t w · = ' _ - _ _ -_ _ ' : · ' - ~-=1(~; . . ;-~~-j·_,-:1::1,, ~ --~--- - · -~-~ ~- 1 t ; ~-Ltfl., r t ; l ~t> ~;:\-1.,-~:-~---- n~'-:)e . . . c U J , J L t : l r t C U t " " ' ; l t t y p e d a t a -trS~~:< 1 d e p t h s T v , , , : , l a y e r p z u · z m 1 e t e r d e t e r n u n a t t , ) n n e t ' N ( ' r k . n = c m _ _ _ _ _ _ _ .---::az~~p;~;~.=~~ - - " - - F t f ] , - 1 • ~- _ _ . / -:;<,.,§,.;;q~ I w _ ! t , , t d u c t ! - · · - ~~::~:<~~?-~~~:/ 1,:;~~~: ' / , 1 . · I E - l d e a s u r e d .,,~::,.t..c:..::.,sm~.~ l a v e r :~~h 1 1 - u · e e l a y e r p z u · a n ] J e t e r d e t e r n m 1 a t 1 < : ' n n e r , , , r , ) r k F i g u r e 4 . 1 3 - P r o p o s e d N e u r a l N c t v • o r k S t r u c t u r e - t . - U I n p u t s a n d o u t p u t s t o t r a i n t h e N e t w o r k ( T h e D a t a b a s e ) T h e s y n t h e t i c a l l y g e n e r a t e d d a t a f o r d i f f e r e n t c u r v e t y p e s a r e u s e d a s t h e t r a i n i n g d a t a r o r t h e \ l e u r a l N e t w o r k . 9 0 0 e x a m p l e s o f a p p a r e n t r e s i s t i v i t y c u n e s a r e g e n e r a t e d a t - 1 - 0 e l e c t r o d e s p a c i n g ( u ) o r t h e W e n n e r a r r a y r a n g i n g f r o m ( ) . ( ) ( ) 1 m t o 3 9 0 m i n 7 6 s u c c e s s i v e 1 O m s t e p s . T h u s n o f F i g u r e 3 . 2 i s s e t t o 4 0 . A n e x a m p l e t h r e e l a y e r c u r v e w i t h t h e 4 0 s a m p l i n g p o i n t s i s s h o w n i n F i g u r e 4 . 1 4 . 1 0 " E ~ E Q > . 2 • ) " " = ' 1 0 > i l U l ( [ ) 0 : : c [ l J C 1 l 0 . . . 2 5 . ; { 1 0 1 0 2 4 1 0 " A p p a r e n t R e s i s t i v i t y V s E l e c t r o d e S p a c i n g 1 0 1 W e n n e r E l e c t r o d e S p a c i n g ( m ) F i g u r e 4 . 1 4 - s a m p l i n g p o i n t s o f a t h r e e l a y e r s y n t h e t i c a l l y g e n e r a t e d a p p a r e n t r e s i s t i v i t y c u r v e . p 1 = 4 0 0 0 m , p 2 = 1 O O O O n z , p 3 = 1 O O O m , h 1 = 3 m , h , _ = 5 m T h e d a t a b a s e i n c I u d e s 1 5 0 e x a m p l e s f o r e a c h t v v · o l a y e r a n d t h r e e l a y e r c u r v e t y p e s , w i t h d i f f e r e n t r e s i s t i v i t i e s a n d t h i c k n e s s e s . A 6 0 0 e x a m p l e t r a i n i n g s e t a n d a 3 0 0 e x a m p l e y a \ i d a t i o n s e t i s s e p a r a t e d . T h e t r a i n i n g s e t i s u s e d t o t r a i n t h e n e t w o r k a n d t h e v a l i d a t i o n s e t i s u s e d a s a c h e c k i n g d a t a s e t w h i c h i s u s e d t o m o n i t o r t h e o v e r f i t t i n g o f t h e n e t w o r k t o t h e t r a i n i n g d a t a . A s e p a r a t e T e s t i n g s e t o f 1 5 0 t e s t s e t s ( p r e v i o u s l y u n s e e n b y t h e n e t w o r k d u r i n g t r a i n i n g ) g e n e r a t e d o n t h e s a m e s a m p l i n g s t r a t e g y w a s u s e d t o e v a l u a t e t h e p e r f o m 1 a n c e o f t h e n e t w o r k . S i x C \ . \ l ' \ C \ . y p e s \ \ · \ \ \ o e \ n \ l e n t \ 1 \ e \ 1 D ) ' t \ 1 e c u r v e 1 \ l e n t \ f \ c a t l o n n e t w o r K . \ ' h e c u r v e i d e n 1 . i f 1 c a t i o n n e t w o r k w \ \ \ a c t a s a c \ a s s i f l e r , t h e r e f o r e 6 o u t p u t n e u r o n s a r e s e \ e c t e \ 1 , i . e . m o f F i g u r e 3 . 2 i s s e t t o 6 . H e r e a s i n g l e n e u r o n w i l l s w i t c h t o g i v e a ' l ' o u t p u t a n ( \ \ \ 1 e o t \ 1 e > t s a ' C Y c m t p u t . \ \ 1 e n , n o \ ' \ C 2 e > t o 0 \ . \ \ P \ . \ \ \ \ · \ \ \ t e \ \ t \ 1 e C \ . \ \ ' Y e t ) ' p e . T h e m o d e l p a r a m e t e r d e t e r m i n a t i o n n e t w o r k s w i l l g i v e r e s i s t i v i t i e s a n d t h i c k n e s s e s a s o u t p u t s . T h e t w o l a y e r m o d e l p a r a m e t e r o p t i m i z a t i o n n e t w o r k h a s 3 o u t p u t n e u r o n s \ \ h i l e t h e t h r e e l a y e r m o d e l p a r a m e t e r d e t e r m i n a t i o n n e t w o r k h a s 5 o u t p u t n e u r o n s . 7 7 ' · . . . . , ' ! 5 . 1 I n t r o d u c t i o n C h a p t e r 5 E a r t h E l e c t r o d e R e s i s t a n c e I n g e n e r a l r c s i s t i \ i t y m e t h o d s c a n b e a p p l i e d f o r s t u d y i n g v a r i a t i o n s o f r e s i s t i v i t y w i t h d e p t h ( d e p t h s o u n d i n g m e t h o d s ) o r f o r s t u d y i n g l a t e r a l c h a n g e s i n r e s i s t i v i t y ( h o r i l ' o n t a l p r o f i l i n g m e t h o d s ) a s l o n g a s t h e u n i t s h a v e a r e s i s t i v i t y c o n t r a s t . O f t e n t h i s i s c o n n e c t e d t o r o c k p o r o s i t y a n d f r a c t i o n o f w a t e r s a t u r a t i o n o f t h e p o r e s p a c e s . T h e e l e c t r i c a l r e s i s t i v i t y m e t h o d i s o n e o f t h e m o s t u s e f u l t e c h n i q u e s i n g r o u n d w a t e r h y d r o l o g y e x p l o r a t i o n b e c a u s e t h e r e s i s t i v i t y o f a r o c k i s v e r y s e n s i t i v e t o i t s w a t e r c o n t e n t . I n t u r n . t h e r e s i s t i v i t y o f w a t e r i s v e r y s e n s i t i v e t o i t s i o n i c c o n t e n t . O t h e r a p p l i c a t i o n s i n c l u d e s t u d i e s o n W a t e r t a b l e d e p t h , G r o u n d w a t e r q u a l i t y , A q u i f e r e \ p l o r a t i o n . m i n e r a l E x p l o r a t i o n . D e t e c t i o n o f c a v i t i e s , W a s t e s i t e e x p l o r a t i o n a n d G e n e r a l s t r a t i g r a p h i c m a p p i n g . I n t h e c o n t c \ t o f ' E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g S o i l R e s i s t i v i t y s t u d i e s h a v e b e c o m e u t m o s t i m p o r t a n t i n t h e d e s i g n o f E a r t h i n g o r G r o u n d i n g S y s t e m s . T h i s c h a p t e r d i s c u s s e s a b o u t t h e p r a c t i c a l c o n s i d e r a t i o n s o n E a r t h i n g a n d t h e i m p a c t o f a M u l t i l a y e r s o i l o n t h e E a r t h E l e c t r o d e R e s i s t a n c e . 5 . 2 R e q u i r e m e n t s o f a n E a r t h i n g S y s t e m E a r t h i n g o r G r o u n d i n g m a y b e d e s c r i b e d a s a s y s t e m o f e l e c t r i c a l c o n n e c t i o n s t o t h e g e n e r a l m a s s o f e a r t h . T h i s s y s t e m o f e l e c t r i c a l c o n n e c t i o n s c o n s i s t s o f c o m p o n e n t s o f < 1 1 1 e l e c t r i c a l s y s t e m a n d m e t a l w o r k s a s s o c i a t e d w i t h e q u i p m e n t , a p p a r a t u s a n d < l p p l i a n c e s . E a r t h i s a c o n d u c t o r c o v e r e d w i t h t h e r e s i s t i v e m a t e r i a l , s o i l . T h e p u r p o s e o r g r o u n d i n g i s t o p r o v i d e d ! r e c t p a t h f o r t h e f a u l t c u r r e n t s t o t h e s o i l w h i l e m a i n t a i n i n g t h e s t e p a n d t o u c h v o l t a g e s a t a c c e p t a b l e v a l u e s , i . e . f o r l i m i t i n g p o t e n t i a l \ \ i t h r e s p e c t t o t h e g e n e r a l m a s s o f e a r t h i n o r d e r t o e n s u r e s a f e t y . A g o o d g r o u n d i n g s y s t e m i s i m p o r t a n t f o r t h e p r o t e c t i o n o f a n o v e r a l l s y s t e m f~Kility. F r o m a g o o d e a r t h i n g s y s t e m w e a n t i c i p a t e o n P r o t e c t i o n o f b u i l d i n g s a n d i n s t a l l a t i o n s ' 1 g a i n s t l i g h t n i n g . S a f e t y o f h u m a n a n d a n i m a l l i f e b y l i m i t i n g t o u c h a n d s t e p v o l t a g e s t u s a f C \ a l u e s . E l e c t r o m a g n e t i c c o m p a t i b i l i t y ( E M C ) i . e . l i m i t a t i o n o f e l e c t r o m a g n e t i c 7 8 d i s t u r b a n c e s a n d C o r r e c t o p e r a t i o n o f t h e e l e c t r i c i t y s u p p l y n e t w o r k a n d t o e n s u r e s O O d p O ' v \ C r q u a l i t y . . \ I I t h e s e f u n c t i o n s a r c p r O \ i d e d b y a s i n g l e e a r t h i n g s y s t e m t h a t h a s t o b e d e s i g n e d t o i ' u l i l l l a l l t h e r e q u i r e m e n t s . S o m e e l e m e n t s o f a n e a r t h i n g s y s t e m m a y b e p r o v i d e d t o i ' u l l l l l a s p e c i f i c p u r p o s e . b u t a r c n e v e r t h e l e s s p a r t o f o n e s i n g l e e a r t h i n g s y s t e m . S t a n d a r d s r e q u i r e a l l e a r t h i n g m e a s u r e s w i t h i n a n i n s t a l l a t i o n t o b e b o n d e d t o g e t h e r , f o r m i n g o n e s y s t e m . A c o m p l e t e g r o u n d i n g s y s t e m m i g h t i n c l u d e o n l y o n e e a r t h e l e c t r o d e . a n e n t i r e g r o u p o f e l e c t r o d e s w i t h a g r o u n d i n g g r i d , o r a n y t h i n g i n b e t w e e n a n d b c v o n d . T h e r e a r e m a n y t~1ctors t h a t d e t e r m i n e h o w w e l l a g r o u n d i n g s y s t e m p e r f o r m s . T w o m a j o r p a r a m e t e r s a r c i t s r e s i s t a n c e t o r e m o t e e a r t h a n d t h e r e s i s t i v i t y o f t h e l o c a l s o i l . E a c h o f t h e s e v a l u e s c a n b e m e a s u r e d t o h e l p d e t e r m i n e a n d d e s i g n t h e b e s t s o l u t i o n f u r t h e g r o u n d i n g s y s t e m . T h e r e s i s t a n c e t o r e m o t e e a r t h o f t h e g r o u n d i n g s y s t e m n e e d s t o b e a t a m i n i m u m i n o r d e r t o s u s t a i n i t s e f f e c t i v e n e s s . A f e w o f t h e c o m p o n e n t s t h a t m a k e u p t h i s r e s i s t a n c e a r e t h e p h y s i c a l p r o p e r t i e s o f t h e m a t e r i a l u s e d t o m a k e t h e e l e c t r o d e a n d c o n d u c t o r . a l l c o n n e c t i o n s m a d e , c o n t a c t r e s i s t a n c e b e t w e e n t h e e l e c t r o d e a n d t h e s o i l , a n d t h e s o i l r e s i s t i v i t y . I n m a n y o f t h e a p p l i c a t i o n s o f g r o u n d i n g , l o w e a r t h r e s i s t a n c e i s e s s e n t i a l t o m e e t e l e c t r i c a l s a C c t y s t a n d a r d s . T h e i n t e n t i o n o f k e e p i n g t h e e a r t h r e s i s t a n c e l o w i s t o p r o v i d e a p a t h b a c k t o t h e s u p p l y o f s u f f i c i e n t l y l o v v i m p e d a n c e t o p e m 1 i t t h e p r o t e c t i \ e d e v i c e s t o o p e r a t e p r o p e r l y . T h e r e s i s t a n c e f i g u r e s a l s o v a r y f r o m i n d u s t r y t o i n d u s t r y . A c c c p t e d i n d u s t r y s t a n d a r d s s t i p u l a t e t h a t t r a n s m i s s i o n s u b s t a t i o n s s h o u l d b e d e s i g n e d n o t t o e x c e e d 1 n . I n d i s t r i b u t i o n s u b s t a t i o n s , t h e m a x i m u m r e c o m m e n d e d r e s i s t a n c e i s f o r 5 Q o r e v e n 1 n . I n m o s t c a s e s , t h e b u r i e d g r i d s y s t e m o f a n y s u b s t a t i o n \ \ i l l p r o v i d e t h e d e s i r e d r e s i s t a n c e . I n l i g h t i n d u s t r i a l o r i n t e l e c o m m u n i c a t i o n c e n t r a l o f f i c e s . 5 Q i s o f t e n t h e a c c e p t e d v a l u e . F o r l i g h t n i n g p r o t e c t i o n . t h e a r r e s w ; · s s h o u l d b e c o u p l e d w i t h a m a x i m u m g r o u n d r e s i s t a n c e o f I Q . 5 . 3 E l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f t h e e a r t h i n g s y s t e m T h e e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f e a r t h i n g s y s t e m d e p e n d e s s e n t i a l l y o n t w o p a r a m e t e r s : E a r t h i n g r e s i s t a n c e a n d C o n f i g u r a t i o n o f t h e e a r t h e l e c t r o d e . E a r t h i n g r e s i s t a n c e d e t e r m i n e s t h e r e l a t i o n b e t w e e n e a r t h v o l t a g e a n d t h e e a r t h c u i T c n t v - a l u e . T h e 7 9 c o n t i g : u r a t i o n o f t h e e a r t h e l e c t r o d e d e t e r m i n e s t h e p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n o n t h e e a r t h surt~lCc. \ \ h i c h o c c u r s a s a r e s u l t o f c u r r e n t f l m v i n t h e e a r t h . T h e p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n o n t h e e a r t h s u r L 1 c e i s a n i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n i n a s s e s s i n g t h e d e g r e e o f p r o t e c t i o n a g a i n s t e l e c t r i c s h o c k b e c a u s e i t d e t e r m i n e s t h e t o u c h a n d s t e p p o t e n t i a l s . 5 . 3 . 1 E a r t h i n g r e s i s t a n c e T h i s h a s t \ \ O c o m p o n e n t s : t h e D i s s i p a t i o n R e s i s t a n c e R n . w h i c h i s t h e r e s i s t a n c e o f t h e e a r t h b e t \ \ e c n t h e e a r t h e l e c t r o d e a n d t h e r e f e r e n c e e a r t h a n d r e s i s t a n c e R L o f t h e m e t a l p a r t s o r t h e e a r t h e l e c t r o d e a n d o f t h e e a r t h i n g c o n d u c t o r . T h e r e s i s t a n c e R 1 . i s u s u a l l y m u c h s m a l l e r t h a n t h e d i s s i p a t i o n r e s i s t a n c e R n . T h u s , u s u a l l y t h e e a r t h i n g r e s i s t a n c e i s e s t i m a t e d t o b e e q u a l t o t h e d i s s i p a t i o n r e s i s t a n c e R n . A l s o I n A C c i r c u i t s o n e m u s t c o n s i d e r e s s e n t i a l l y t h e i m p e d a n c e o f a n e a r t h i n g Z 1 . , \ \ h i c h i s t h e i m p e d a n c e b e t w e e n t h e e a r t h i n g s y s t e m a n d t h e r e f e r e n c e e a r t h a t a g i v e n o p e r a t i n g f r e q u e n c y . T h e r e a c t a n c e o f t h e e a r t h i n g s y s t e m i s t h e r e a c t a n c e o f t h e e a r t h i n g c o n d u c t o r a n d o f m e t a l p a r t s o f t h e e a r t h e l e c t r o d e . A t l o w f r e q u e n c i e s s u c h a s t h e 5 0 H z s u p p l y f r e q u e n c y a n d a s s o c i a t e d h a r m o n i c s , r e a c t a n c e i s u s u a l l y n e g l i g i b l e i n c o m p a r i s o n t o e a r t h i n g r e s i s t a n c e , b u t m u s t b e t a k e n i n t o a c c o u n t f o r h i g h f r e q u e n c i e s s u c h a s l i g h t n i n g t r a n s i e n t s . T h u s , f o r l o w f r e q u e n c i e s , i t i s a s s u m e d t h a t t h e e a r t h i n g i m p e d a n c e Z 1 • i s e q u a l t h e d i s s i p a t i o n R e s i s t a n c e R n , w h i c h i s i n t u r n a s s u m e d t o b e a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o t h e e a r t h i n g r e s i s t a n c e . R . l : : : R 1 , : : : R ( 5 . 1 ) T h e e a r t h i n g r e s i s t a n c e R . o f a n e a r t h e l e c t r o d e d e p e n d s o n t h e e a r t h r e s i s t i v i t y p a s \ \ e l l a s t h e e l e c t r o d e g e o m e t r y . 5 . 3 . 2 E l e c t r o d e c o n f i g u r a t i o n I n o r d e r t o a c h i e \ e l o \ \ v a l u e s o f E a r t h R e s i s t a n c e t h e c u r r e n t d e n s i t y f l o w i n g f r o m t h e e l e c t r o d e m e t a l t o e a r t h s h o u l d b e l o \ V , i . e . t h e v o l u m e o f e a r t h t h r o u g h w h i c h t h e c u r r e n t l l m \ s i s a s l a r g e a s p o s s i b l e . O n c e t h e c u r r e n t f l o w s f r o m m e t a l t o e a r t h i t s p r e a d s o u t . r e d u c i n g c u r r e n t d e n s i t y . I f t h e e l e c t r o d e i s p h y s i c a l l y s m a l l , e . g . a p o i n t . t i m e ! T e c t i s l a r g e . b u t i s v e r y m u c h r e d u c e d f o r a p l a t e \ v h e r e s p r e a d i n g i s o n l y 8 0 e l l e c t i w a t t h e e d g e s . T h i s m e a n s t h a t r o d , p i p e , o r w i r e e l e c t r o d e s h a v e a m u c h ] 0 \ v e r d i s s i p a t i o n r e s i s t a n c e t h a n , f o r e x a m p l e , a p l a t e e l e c t r o d e w i t h t h e s a m e s u r f a c e a r e a . 1 \ l o r e o n T , i t i s w e l l d o c u m e n t e d i n l i t e r a t u r e t h a t D C a n d A C i n d u c e d c o n o s 1 o n i n c r e a s e s \ \ i t h c u r r e n t d e n s i t y . L o w c u r r e n t d e n s i t y e x t e n d s e l e c t r o d e I i f c . 5 J . 2 . 1 H e m i s p h e r e t y p e e l e c t r o d e d x . - . . . . . - - x , . . . , _ _ . . . . . . , . . . . . . ' · . . . . . . . . . . . k ' . . . . , ; ' ' : · . . . . . . . . . . . . " - . . . . . . . . . ' ' . . . . . . . . . . . . . . " . . . . . . . . . . . . . . / f l . . . . . . . . . . . . . . . / t \ " ~ / I " / I I \ " / I I \ I ' \ F i g u r e 5 . 1 - H e m i s p h e r i c a l E l e c t r o d e - C r o s s S e c t i o n a l e l e v a t i o n T h e c u r r e n t e n t e r i n g i n t o t h e e l e c t r o d e w i l l l l O \ v r a d i a l l y a n d t h e p o t e n t i a l s w i l l g r a d u a l l y d e c r e a s e a : - , i t g o e s o u t w a r d s f r o m t h e s u r f a c e o f t h e e l e c t r o d e . N o w i f w e c o n s i d e r a h e m i s p h e r i c a l e l e m e n t o f t h i c k n e s s d x a t a d i s t a n c e x , t h e r e s i s t a n c e o f t h e e l e m e n t a l h e m i s p h e r e d R I S , d R = p . d Y 2 : T x ' \ \ ' h e r e . p - R e s i s t i v i t y o f t h e h o m o g e n e o u s s o i l ( 5 . 2 ) T o t a l e l e c t r o d e r e s i s t a n c e i s t h e r e s i s t a n c e b e t w e e n t h e p o i n t o f e n t r y o f c u r r e n t a n d t h e g e n e r a l m a s s o f t h e e a r t h . T o o b t a i n t h i s i n t e g r a t e f r o m t h e e l e c t r o d e s u r f a c e t o R = f p . d . Y • I : _ , 7 . \ R = _ _ I _ J _ 2 , 7 / " i n f i n i t y . ( 5 . 3 ) 8 1 . . 5 . 3 . 2 . 2 P l a t e t y p e I ' J t - q T I -~ I I I 1 \ ' ~ ~,.. /~t. t + f I t ~ : . t ' ' - - - - / 1 I I _ _ l - } . / / I I I - - I -~- - - I I \ ' , - . . - / 1 I I 1 - I I I \ ' E q u i p o t e n t i a l I I I I I \ \ Line~ C u r r e n t F l o w L i n e s F i g u r e 5 . 2 - P l a t e E l e c t r o d e - C r o s s S e c t i o n a l e l e v a t i o n C o n s i d e r a c i r c u l a r p l a t e e l e c t r o d e o f r a d i u s r . l y i n g o n t h e s u r f c e o f t h e e a r t h o f h o m o g e n e o u s e r c s i s t i \ i t y p . M a k i n g t h e a s s u m t i o n s t h a t a l l c u r r e n t s c o m i n g o u t f r o m b e ] O \ \ t h e p l a t e a r c v e r t i c a l a n d a l l c u r r e n t c o m i n g o u t f r o m t h e e d g e s g o o u t r a d i a l l y i ! · o m t h e e d g e . t h e r e s i s t a n c e o f a n e l e m e n t a l a r e a o f t h i c k n e s s d . r a t d i s t a n c e x i s gin~n b y . l r p . d r ( i f . = - - - - ' - - - - : - - - , - - ; 7 ( m · r + 2 x ' + r ' ) T h u s t o o b t a i n t h e t o t a l E l e c t r o d e R e s i s t a n c e , R = f _ £ _ l 1 1 . 4 6 2 8 , 2 : r r 1 . 4 6 2 8 ] ' - - - ( X x + 1 . 1 2 7 2 r I p I x + 0 . 4 4 3 6 r l / = n - - - - - - - - - L 2 9 5 r x + I . 1 2 7 2 r , 1 p I 1 . 1 2 7 2 - n - - 4 . 2 9 5 r 0 . 4 4 3 6 p 4 . 6 r L e t ' s c o n s i d e r t h e a r e a o f t h e p l a t e t o b e ! 1 . N o w A = n r ' - , r J r = ~ ; 7 T h l : r e f o r e s u b s t i t u t i n g ( 5 . ( J ) i n ( 5 . 5 ) . ( 5 . 4 ) ( 5 . 5 ) ( 5 . 6 ) 8 2 R = _ f ! _ ~ 4 . 6 v~ ( 5 . 7 ) S i n c e a p p r o x i m a t i o n s a r e u s e d i n t h e c a l c u l a t i o n , i t w o u l d h m c y i e l d e d a h i g h e r v a l u e t h a n t h e a n s \ \ e r f r o m e q u a t i o n ( 5 . 7 ) . S o , t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n i s c o n v e n i e n t l y u s e d a s t h e E l e c t r o d e R e s i s t a n c e o f a c i r c u l a r p l a t e . , - - - R = i ' _ / ; 7 .+V~ 5 . 3 . 2 . 3 R o d / p i p e t y p e e l e c t r o d e . ~J ---~---+-r------ ---L---•--~--- -----~-•--J _ _ _ ' ---~---..-r------ 1 -------+---~--- - - - + - f - - - - - - 1 _ _ , . . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . . . . , . _ _ l - - - - - - - - - - - - • - - - , - - - _ _ _ _ _ _ , _ . . . , . . . _ _ j _ _ _ I I - - . . . . . - r - - - - - - 1 _ _ _ _ _ _ ; _ . . . . . . _ _ l _ _ _ - - - . . . ! - - _ _ . . . . . , . _ _ ! _ _ _ _ _ - - - - - - - - - · ---~ - - - - - - - . . . . - - - - . . . . . . . _ _ L _ I , . _ _ _ - . / · . , . . . . . . . - - . - - - . / ~~-\ . . . _ . + - 7 I - - - - - - · . ' ' - - , - - - / / l l · - t - - · ' " - - i : ' " ' I \ ' , , . \ _ , - " ' " ' ! / . I . \ ' f ' '~ / / j I \ ' \ - ' - , - - - _ / / . ' t \ " ' , . , ! · I t > \ \ 1 ! [ 1 1 ! : : r 1 t i : J ! : - - . : u · , , _ , " F i g u r e 5 . 3 - R o d E l e c t r o d e - C r o s s S e c t i o n a l e l e v a t i o n ( 5 . 8 ) L e t ' s c o n s i d e r a r o d e l e c t r o d e o f r a d i u s r a n d l e n g t h / . L e t ' s a s s u m e t h a t t h e c u r r e n t l l o \ \ o u t \ \ a r d s f r o m t h e v e r t i c a l s e c t i o n i s h o r i z o n t a l a n d f r o m t h e l o w e r h e m i s p h e r i c a l e n d i s r a d i a l o u t w a r d s . C o n s i d e r a n e l e m e n t a l a r e a a t d i s t a n c e x , n o w t h e r e s i s t a n c e o f t h e e l e m e n t a l a r e a i s , 8 ' 1 _ ) d R = _ _ p _ . l _ l _ _ r 2 ; r . r / + 2 , T r c T o t a l r e s i s t a n c e o f t h e R o d E l e c t r o d e i s , R = f L l 1 l d x ~ 2 ; r / . x ( x + l ) = I L i n - - ' - - ] ' ~~2;r/ x + l , R = L i n r + l 2 ; r / r G e n e r a l l y l > > r s o , p I R = - l n - 2~TI r ( 5 . 9 ) ( 5 . 1 0 ) ( 5 . 1 1 ) T h e a b o n : : e q u a t i o n ( 5 . 1 1 ) f o r t h e R e s i s t a n c e o f a R o d E l e c t r o d e i s g i v e n i n B S 7 4 3 0 a s f o l l o w s , p [ l 8 L j R = - I n - - 1 2 ; r / d \ \ " h e r e , L - B u r i e d L e n g t h o f t h e E l e c t r o d e i n m d - D i a m e t e r o f t h e E l e c t r o d e i n m ( 5 . 1 2 ) T h e e a r t h r e s i s t a n c e d e p e n d s s i g n i f i c a n t l y o n b o w d e e p t h e e l e c t r o d e i s s u n k i n t h e g r o u n d . T h i s i s b e c a 1 1 S e t h e m o i s t u r e c o n t e n t i s h i g h e r a n d m o r e s t a b l e f o r d e e p e r g r o u n d l a y e r s t h a n f o r s h a l l o w l a y e r s . L a y e r s n c a r t h e s u r f a c e a r e i n f l u e n c e d m o r e b y s e a s o n a l a n d s h o r t - t e r m \ \ C a t h e r v a r i a t i o n s a n d a r e s u b j e c t t o f r e e z i n g . T h e m o s t \ C r s a t i l e t y p e o f e a r t h e l e c t r o d e i s t h e d r i v e n r o d . O n s i t e s w h e r e s o i l r c s i s t i \ i t y i s h i g h , t h e u s c o f d e e p d r i v e n r o d s t o l o w e r t h e r e s i s t a n c e i s o n e o p t i o n . F i g u r e 5 . 4 s h o \ \ S f e r a r o d e a r t ! 1 e l e c t r o d e h o w t h e e a r t h i n g r e s i s t a n c e r e d u c e s c o n s i d e r a b l y a s t h e d e p t h o f a r o d e l e c t r o d e i n c r e a s e s . H o w e v e r , i t i s n o t a h v a y s p o s s i b l e t o p l a c e e l e c t r o d e s a t t h e p r e f e r r e d d e p t h f o r g e o l o g i c a l r e a s o n s , f o r e x a m p l e , 8 4 w h e r e t h e r e a r e r o c k s o r o b s t r u c t i o n s c l o s e t o t h e s u r f a c e o r w h e r e t h e e l e c t r o d e s y s t e m c o v e r s a l a r g e a r e a . 7 0 - 6 0 - E s : : . 5 0 - Q Q J ( ) c . ; g 4 0 - .~ ( / ) Q J a : - 2 5 3 0 - e 0 Q J w 2 0 - - o 0 a : 1 0 - 0 0 5 E l e c t r o d e R e s i s t a n c e V s B u r i e d L e n g t h - , - - - - - - 1 0 1 5 B u r i e d L e n g t h ( L ) 2 0 E q u a t i o n ( 5 . 1 1 ) E q u a t i o n ( 5 . 1 2 ) 2 5 3 0 F i g u r e 5 . 4 - D i s s i p a t i o n R e s i s t a n c e o f a R o d E l e c t r o d e a s a f u n c t i o n o f i t s b u r i e d l e n g t h ( p = 1 O O Q m a n d r = 2 5 m m ) ( O r i g i n a l i s i n c o l o r ) T h e a d v a n t a g e o f t h e s e i s t h a t t h e y p a s s t h r o u g h s o i l l a y e r s o f d i f f e r e n t c o n d u c t i v i t y a n d a r e p a r t i c u l a r l y u s e f u l i n p l a c e s w h e r e t h e s h a l l o w l a y e r s h a v e p o o r c o n d u c t i v i t y . I n t h i s w a y i t i s e a s y t o o b t a i n a n e x p e c t e d e l e c t r o d e r e s i s t a n c e a s s e e n i n F i g u r e . 5 . 4 . A n o t h e r a d v a n t a g e o f r o d e l e c t r o d e s i s t h a t t h e y c a n b e i n s t a l l e d i n p l a c e s w h e r e t h e r e i s a l i m i t e d s u r f a c e a r e a a v a i l a b l e t o i n s t a l l t h e e l e c t r o d e . H o w e v e r , s u r f a c e p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n o f r o d e l e c t r o d e s i s u n f a v o r a b l e , s o i n p r a c t i c e a c o m b i n a t i o n o f r o d a n d s u r f a c e e a r t h e l e c t r o d e s a r e a l s o u s e d , i n o r d e r t o o b t a i n b o t h a g o o d r e s i s t a n c e a n d d e s i r a b l e s u r f a c e p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n . 5 . 3 . 2 . 3 . 1 E f f e c t i v e R e s i s t a n c e A r e a o f a R o d e l e c t r o d e T h e c u r r e n t f l o w i n g f r o m t h e e a r t h e l e c t r o d e g o e s t h r o u g h l a y e r s o f s o i l i m m e d i a t e l y s u r r o u n d i n g t h e e l e c t r o d e . A l s o t h e c r o s s s e c t i o n a l a r e a s o f t h e s o i l l a y e r s n e a r e s t t o t h e e l e c t r o d e i s r a t h e r s m a l l a n d t h e s o i l i s r e l a t i v e l y a p o o r c o n d u c t o r o f e l e c t r i c i t y . 8 5 T h e r e f o r e . t h e e f f e c t i v e r e s i s t a n c e o f t h e c o n d u c t o r i s c o n c e n t r a t e d m a i n l y i n t h e f i r s t f e \ \ m e t e r s o f s o i l i m m e d i a t e l y s u r r o u n d i n g t h e e l e c t r o d e . T h i s f a c t c a n b e i l l u s t r a t e d a s f o l i o \ \ s . U s i n g e q u a t i o n ( 5 . 1 1 ) t h e r e s i s t a n c e R , o f t h e e l e c t r o d e u p t o a d i s t a n c e x f r o m t h e e l e c t r o d e i s . [ p X ] ' R =~In~ · 2 ; r / x + l , p x ( r + i ) R =~ln--­ . 2 ; r / r ( x + i ) ( 5 . 1 3 ) N O \ \ l e t s c o n s i d e r a n u m e r i c e x a m p l e w h e r e I = 2 . 5 m a n d r = 2 5 1 1 1 1 1 1 a n d s o i l r e s i s t i v i t y p = 1 O O O m . S u b s t i t u t i n g i n e q u a t i o n ( 5 . 1 1 ) t h e t o t a l r e s i s t a n c e o f t h e e l e c t r o d e i s . R = 1 0 0 1 n 2 · 5 = 2 9 . 3 1 7 4 0 2 , 7 X 2 . 5 0 . 0 2 5 L : s i n g c q u a t i o n ( 5 . 1 3 ) . 1 · ( ' . : ; ' - ) ( ) ( ) . \ . : . . . _ . _ ) R = I n - - ' - - - - - ' - - , I . I - ( ) 0 1 - ( · I - ) . : . . . , 7 x _ . ) . _ ) x + . : . . . ) ( ; - · r ) 1 ( ) ( ) X . . . . ) _ ) R = I n ~--'-~---'-- • I } - ( ) ( ) / . c I . ) - ) - , [ X - . ) . - - ' ~ . \ + - . ) R , = 2 9 . 3 8 0 8 - 6 . 3 6 6 2 1 n ( x + 2 . 5 ) / x ( 5 . 1 4 ) T h e r e s u l t i n g p l o t o f 1 ? . , v s . x i s s h o w n i n F i g u r e 5 . 5 . F r o m F i g u r e 5 . 5 i t c a n b e o b s e r v e d t h a t 5 0 < > ; , o f t h e r e s i s t a n c e i s f r o m j u s t 0 . 2 8 m , 7 5 % i n 1 . 1 4 m , 9 0 % i n 4 . 1 5 m , 9 5 % , i n 9 . 2 1 m a n d 9 9 < Y o i n 4 3 . 4 m . I n c r e a s e i n r e s i s t a n c e i s v e r y s l o w a f t e r 9 0 % v a l u e . T h u s i n g e n e r a l i t i s c o n s i d e r e d t h a t t h e r e s i s t a n c e o f a r o d e l e c t r o d e h a s a r e s i s t a n c e a r e a h a v i n g a r a d i u s c f a p p r o x i m a t e l y t w i c e t h e l e n g t h , i . e . f o r t h i s p a r t i c u l a r e x a m p l e i t i s 5 m ' s \ \ h e r e t h e v a l u e i s 9 1 . 4 % . T h i s i s t h e r e a s o n w h y w h e n a n e l e c t r o d e i s p l a n t e d i t s h o u l d n o t b e c l o s e r t h a n 2 O r 3 t i m e s i t s l e n g t h f r o m o t h e r m a j o r e a r t h s . T h e a r e a \ \ · i t h i n t h i s d i s t a n c e o f t h e r o d i s t h e s o - c a l l e d e f f e c t i v e r e s i s t a n c e a r e a . 8 6 D i s t a n c e f r o m E l e c t r o d e , x V s R e s 1 a t n c e a t d i a t a n c e x ( j ) E _ c 0 X 0 : : x Q J u c m ( j ) u r o Q J u c m ( j ) ( j ) Q J 0 : : _ c t m w 2 8 2 6 2 4 2 2 2 0 1 8 1 6 1 4 1 2 1 0 8 0 • I I X 4 . 1 5 2 y 2 6 . 3 8 • X 1 . 1 3 9 Y : 2 1 . 9 8 X : 0 . 2 7 8 9 y 1 4 . 6 7 0 . 5 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5 D i s t a n c e f r o m E l e c t r o d e , x ( m ) F i g u r e 5 . 5 - V a r i a t i o n o f E a r t h R e s i s t a n c e a t d i s t a n c e x f r o m t h e e l e c t r o d e 5 . 3 . 2 . 4 S l i p o r c o n d u c t o r t y p e ' ' \ . . . . , ' > " \ ' . ' E q u i p o t e n t i a l - _ . _ i - - l i n e s _ _ . : - 1 - - f - - I . - . . . / / / r ' P - 1 - - - - - : _ _ j - - : - 1 - - i : . • I , • I - - - - 1 . . , . . . _ - / / / / [ \ \ . ' , ¥ / J \ \ / . . . / / I I \ / - - - - 1 / / / I ' ~I . t l \ , \ / I \ \ I \ ( a ) ' C u r r e n t f l o w l i n e s / . , / I ~/ I / ~ I + T t ( b ) ~ I I / • / " ( _ _ - - _ . . . _ - r - - - _ . . . _ - I I - - . . . . . . _ . . . _ - _ _ _ _ . . . _ _ _ _ _ _ . . . _ _ r - - : - . . . . i ~ . . . : : - - _ . . . _ L \ " \ " ~ " ' \ F i g u r e 5 . 6 - C o n d u c t o r E l e c t r o d e ( a ) C r o s s S e c t i o n a l e l e v a t i o n ( b ) P l a n T r e n c h E l e c t r o d e s , c o n d u c t o r s b u r i e d h o r i z o n t a l l y u n d e r t h e s u r f a c e o f t h e g r o u n d , a l s o m a k e v e r y g o o d c o n n e c t i o n s t o e a r t h . T h e y a r e p a r t i c u l a r l y e f f e c t i v e w h e n a 8 7 d O \ Y n - c o n d u c t o r i s c o n n e c t e d t o a p o i n t i n t h e m i d d l e o f t h e t r e n c h e l e c t r o d e . T h e s e h o r i z o n t a l e l e c t r o d e s h a Y e s p e c i a l a c h a n l a g e w h e r e h i g h r e s i s t i v i t y s o d h a s a s h a l l o w l a y e r o f l o w r e s i s t i \ i t y s o i l a b o \ · e i t . T h e S t r i p E l e c t r o d e i s s i m i l a r t o a r o d e l e c t r o d e o f c i r c u l a r c r o s s s e c t i o n b u r i e d h o r i z o n t a l l y s u c h t h a t a h e m i s p h e r i c a l c r o s s s e c t i o n i s b c l o \ \ t h e s o i l ( F i g u r e 5 . 6 ) . L e t s c o n s i d e r a n e l e m e n t a l h a l f c y l i n d e r w i t h h a l f h e m i s p h e r i c a l e n d s . a t a d i s t a n c e x . b e l o \ \ a n d t h i c k n e s s d r : . N o w t h e r e s i s t a n c e o f t h e e l e m e n t a l c o n s i d e r e d i s , I p . d c - d ? = - - - - - : : - , T r l + L T Y T h e t o t a l c i r c u l a r c o n d u c t o r E l e c t r o d e R e s i s t a n c e i s , R - p i ' ~ ; 7 r x ( 2 x + l ) = i ! _ f l l _ _ l - 1 1 x r r l I x x + I 2 j [ p 1 x ] / - - n - - - r r l x + I 2 I R P I + 2 r = - I n - - r r l 2 r \ \ ' h e n I > > r , J ) _ p l I \ - - n - r r l 2 r ( 5 . 1 5 ) ( 5 . I C l ) ( 5 . 1 7 ) W h e n t h e c i r c u l a r c o n d u c t o r o f r a d i u s r i s r e p l a c e d b y a s t r i p o f w i d t h · J l , t h i s b e c o m e s . p I R = - l n - ; 7 1 ) I I f t h e t a p e i s b u r i e d a t a d e p t h t , i n s t e a d a t s u r f a c e , I f : ' p I - R = - n - 2 r r l p t '~. ( 5 . 1 8 ) - . : / ( 5 . 1 9 ) 8 8 5 . 3 . 2 . 5 l \ I e s h e d e l e c t r o d e s : \ n o t h e r e x a m p l e o f t h e u s c o f c o n d u c t o r s b u r i e d u n d e r t h e surf~tcc o f t h e e a r t h i s t h e g r o u n d - g r i d m e s h . T h e s e a r e c o n s t r u c t e d a s a g r i d p l a c e d h o r i z o n t a l l y a t s h a l l o w d e p t h c a b l e \ \ i t h e x p o s e d m e t a l s h e a t h o r a m o u r w h i c h b e h a v e s s i m i l a r l y t o a s t r i p - t y p e e a r t h e l e c t r o d e . G r i d m e s h e s a r e o f t e n u s e d t o c o m p l e m e n t r o d s o r c a n b e u s e d s e p a r a t e l y \ \ h e n d e e p d r i v e n r o d s a r c i m p r a c t i c a l d u e t o s o i l a n d t e r r a i n c o n s i d e r a t i o n s . G r i d m e s h e s a r e o f t e n u s e d f o r t h e e a r t h i n g i n s u b s t a t i o n s t o c r e a t e a n e q u i p o t e n t i a l p l a t f o r m a n d a l s o t o h a n d l e t h e h i g h f a u l t C U J T e n t s r e t u r n i n g t o t h e t r a n s f o r m e r n e u t r a l s . T h e y a r e p a r t i c u l a r l y u s e f u l w h e n m u l t i p l e i n j e c t i o n p o i n t s a r e r e q u i r e d , a t a s u b s t a t i o n f o r e x a m p l e . I n t h i s c a s e a n u m b e r o f i t e m s \ \ i l l b e c o n n e c t e d t o t h e g r i d a t \ a r i o u s l o c a t i o n s ; t h e m e s h p r o \ ' i d c s a g o o d e a r t h i r r e s p e c t i \ ' C o f t h e i n j e c t i o n p o i n t o f t h e L m l t c u n c n t . E a r t h i n g r e s i s t a n c e o f b u r i e d g r i d m e s h e s c a n b e c o n s i d e r a b l y l o w e r t h a n t h o s e i m p l e m e n t e d u s i n g \ e r t i c a l e a r t h s p i k e s . I n c r e a s i n g t h e a r e a o f t h e g r i d c o \ e r a g e c a n a l s o s i g n i f i c a n t l y r e d u c e t h e e a r t h r e s i s t a n c e . 5 . 3 . 2 . 6 F o u n d a t i o n e a r t h e l e c t r o d e s T h e s e a r c f o m 1 e d f r o m c o n d u c t i v e s t r u c t u r a l p a r t s e m b e d d e d i n c o n c r e t e f o u n d a t i o n p r m i d i n g a l a r g e a r e a c o n t a c t \ Y i t h t h e e a r t h . 5 . - l E l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f t h e g r o u n d T h e c a l c u l a t i o n o f t h e e a r t h i n g r e s i s t a n c e r e q u i r e s a g o o d k n o w l e d g e o f t h e s o i l p r o p e r t i e s . T h e e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f t h e g r o u n d a r e c h a r a c t e r i z e d b y t h e e a r t h r e s i s t i \ · i t y p . T h e r e f o r e t h e s o i l s t r a t u m i s r e q u i r e d t o b e a n a l y z e d t o d e t e r m i n e t h e s o i l R c s i s t i \ i t y , a t t h e d e s i g n s t a g e . S o i l r e s i s t i \ · i t y h a s a d i r e c t e f f e c t o n t h e r e s i s t a n c e o f t h e g r o u n d i n g s y s t e m . T h e C \ a l u a t i o n o f t h e r e s i s t i v i t y o f t h e l o c a l s o i l c a n d c t e m 1 i n c t h e b e s t l o c a t i o n , d e p t h , a n d S I / C o f t h e e l e c t r o d e s i n a g r o u n d i n g s y s t e m , a n d c a n a l s o b e u s e d f o r m a n y o t h e r a p p l i c a t i o n s . A s d i s c u s s e d i n e a r l i e r c h a p t e r s g e o l o g i c a l s u r v e y u s e s t h e s o i l r e s i s t i v i t y t o l o c a t e o r e , c l a y , g r a v e l , e t c . b e n e a t h t h e e a r t h ' s s u r f a c e . D e p t h a n d t h i c k n e s s o f b e d r o c k c a n a l s o b e d e t e n n i n e d . T h e d e g r e e o f c o r r o s i o n o f t h e l o c a l s o i l a l s o c a n b e 8 9 o b t a i n e d f r o m i t s r c s i s t i \ i t v v a l u e . D u e t o t h e s e m a n y r e a s o n s . i t I S n e c e s s a r y t u m e a s u r e t h e r c s i s t i \ i t y o f t h e l o c a l s o i l . A l a r g e \ a r i a t i o n i n t h e v a l u e o f p i s a p r o b l e m . I n m a n y p r a c t i c a l s i t u a t i o n s . a h o m o g e n o u s g r o u n d s t r u c t u r e \ v i i i h e a s s u m e d w i t h a n a v e r a g e v a l u e o f p , w h i c h m u s t b e e s t i m a t e d o n t h e b a s i s o f s o i l a n a l y s i s o r b y m e a s u r e m e n t . T h e d c t c n n i n a t i o n o f p i s o H c n a c o m p l i c a t e d t a s k f o r t h e g r o u n d d o c s n o t h a v e a h o m o g e n o u s s t r u c t u r e , b u t i s f o r m e d o f l a y e r s o f d i J T e r e n t m a t e r i a l s a n d t h e r e s i s t i v i t y o f a g i v e n t y p e o f g r o u n d v a r i e s \ v i d c l y ( T a b l e 5 . 1 ) a n d i s v e r y d e p e n d e n t o n m o i s t u r e c o n t e n t . \ \ ' h e r e n o i n f o r m a t i o n i s a v a i l a b l e a b o u t t h e v a l u e o f p ~it i s u s u a l l v a s s u m c d p = l O O n m . H o w e v e r . a s T a b l e 5 . 1 i n d i c a t e s . t h e r e a l v a l u e c a n b e v e r y d i i l e r e n t ; o n e i m p o r t a n t p o i n t i s t h a t t h e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n i n t h e s o i l l a y e r s u s e d d u r i n g m e a s u r e m e n t s h o u l d s i m u l a t e t h a t f o r t h e f i n a l i n s t a l l a t i o n . C o n s e q u e n t l y , m e a s u r e m e n t s m u s t a l w a y s b e i n t e r p r e t e d c a r e f u l l y . S o a c c e p t a n c e t e s t i n g o f t h e f i n a l i n s t a l l a t i o n . t o g e t h e r w i t h a n a s s e s s m e n t o f l i k e l y v a r i a t i o n s d u e t o \ v e a t h c r c o n d i t i o n s a n d 0 \ e r l i f e t i m e . m u s t b e u n d e r t a k e n . 5 . - U T h e A p p r o x i m a t e r e s i s t i v i t y v a l u e s o f c o m m o n r o c k t y p e s - , - - - - - - - - - - 1 \ l a t e r i a l ! R e s i s t i v i t y ( n m ) ! A i r c r : · P v r i t c 0 . 3 - · . - - G a l e n a 0 . 0 0 2 , Q u m 1 z 4 x 1 0 1 " -2x10 1 ~ I ~ I I C a l c i t e l x l ( { ' - l x 1 0 1 ' i R o c k S a l t 3 0 - l x l 0 1 3 M i c a 9 x ] ( ) L ' -1x1() 1 ~ f - - G r a n i t e 1 0 0 - 1 X ] 0 ( ' G a b b r o 1 X 1 ( ) 3 - 1 X 1 0 ( ' B a s a l t 1 0 - 1 x 1 0 - ' : L i m e s t o n e s 5 0 - l x 1 0 7 r--~. S a n d s t o n e s 1 - 1 X 1 0 8 D o l o m i t e 1 0 0 - 1 0 0 0 0 S a n d 1 - 1 0 0 0 i C l a y 1 - 1 0 0 I G r o u n d W a t e r 0 . 5 - 3 0 0 I S e a W a t e r 0 . 2 T a b l e 5 . 1 - R e s i s t i v i t i e s o f S o m e m a t e r i a l s 9 0 I ( ) ' I l l " I ( ) ' I l l ' R e s 1 s t 1 v 1 t y G r a n i t e G a b b r o S c h i s t Q u a r t z i t e - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - S a n d s t o n e S h a l e C l a y A l l u v i u m Fig~m: 5 . 7 - R e s i s t i Y i t i e s o f s o m e c o m m o n r o c k t y p e s A l t h o u g h s o m e n a t i \ · e m e t a l s a n d g r a p h i t e c o n d u c t e l e c t r i c i t y , m o s t r o c k - f o n n i n g m i n e r a l s a r e e l e c t r i c a l i n s u l a t o r s . M e a s u r e d r e s i s t i v i t i e s i n E a r t h m a t e r i a l s a r c p r i m a r i l y c o n t r o l l e d b y t h e m o v e m e n t o f c h a r g e d i o n s i n p o r e f l u i d s . A l t h o u g h w a t e r i t s e l f i s n o t a g o o d c o n d u c t o r o f e l e c t r i c i t y , g r o u n d \ V a t e r g e n e r a l l y c o n t a i n s d i s s o l v e d c o m p o u n d s t h a t g r e a t l y e n h a n c e i t s a b i l i t y t o c o n d u c t e l e c t r i c i t y . H e n c e , p o r o s i t y a n d f l u i d s a t u r a t i o n t e n d t o d o m i n a t e e l e c t r i c a l r e s i s t i v i t y m e a s u r e m e n t s . I n a d d i t i o n t o p o r e s , f r a c t u r e s w i t h i n c r y s t a l l i n e r o c k c a n l e a d t o l o w r e s i s t i v i t i e s i f t h e y a r e f i l l e d \ \ i t h f l u i d s . 5 . 4 . 2 P r i n c i p l e f a c t o r s e f f e c t i n g s o i l r e s i s t i v i t y 5 . 4 . 2 l T y p e o f S o i l T h e s o i l c o m p o s i t i o n c a n b e c l a y , g r a v e l , l o a m , r o c k , s a n d , s h a l e , s i l t , s t o n e s , e t c . I n m a n y l o c a t i o n s , s o i l c a n b e q u i t e h o m o g e n o u s , w h i l e o t h e r l o c a t i o n s m a y b e m i x t u r e s o f t h e s e s o i l t y p e s i n v a r y i n g p r o p o r t i o n s . A s d i s c u s s e d i n e a r l i e r c h a p t e r s v e r y o f t e n , t h e s o i l c o m p o s i t i o n i s i n l a y e r s o r s t r a t a . 9 1 . . . . . . 5 . 4 . 2 . 2 C l i m a t e O b \ i o u s l y . a r i d a n d g o o d r a i n f a l l c l i m a t e s a r c a t o p p o s i t e e x t r e m e s f o r c o n d i t i o n s o f s o i l r e s i s t i v i t y . 5 . - 1 . 2 . 3 S e a s o n a l C o n d i t i o n s T h e e f f e c t s o f h e a t , m o i s t u r e , d r o u g h t a n d f r o s t c a n i n t r o d u c e \ v i d e v a r i a t i o n s i n " n o r m a l " s o i l r e s i s t i , · i t y . S o i l r e s i s t i v i t y i n c r e a s e s f e w p e r c e n t w i t h m o i s t u r e c o n t e n t w h i l e s o i l t e m p e r a t u r e s b e l m \ f r e e z i n g g r e a t l y i n c r e a s e s o i l r e s i s t i v i t y . 2 0 0 0 , . . : : : ; 1 6 0 0 C l a y ' - 1 ~ 2 : · 1 2 0 0 - T o p S o i l ; . . . ~ ' / : " ' O J e . G 8 0 0 S a n d ) L o a m 4 0 0 4 8 1 2 1 6 2 0 2 4 0 / o M o i s t u r e F i g u r e 5 . 8 - I n f l u e n c e o f m o i s t u r e c o n t e n t T h e m o i s t u r e c o n t e n t c a n c h a n g e o v e r a w i d e r a n g e , d e p e n d i n g o n g e o g r a p h i c a l l o c a t i o n a n d \ v e a t h e r c o n d i t i o n s , f r o m a l o w p e r c e n t a g e f o r d e s e r t r e g i o n s u p t o a b o u t 8 0 % f o r s w a m p y r e g i o n s . M o i s t u r e c o n t e n t c a n b e a s i g n i f i c a n t f a c t o r i n d e t e r m i n i n g t h e r e s i s t i v i t y o f t h e l o c a l s o i l . F i g u r e 5 . 8 s h o w s t h e i n f l u e n c e o f t h e m o i s t u r e c o n t e n t o n t h e r e s i s t i v i t y n l u e . T h e d r i e r t h e s o i l , t h e h i g h e r t h e r e s i s t i v i t y . T h e s o i l r e s i s t i v i t y r e m a i n s r e l a t i \ · e l y l o w ( a n d c o n s t a n t ) i f t h e m o i s t u r e c o n t e n t o f t h e s o i l i s g r e a t e r t h a n 1 5 % ( b y w e i g h t , ) a n d s k y r o c k e t s f o r l o w e r v a l u e s o f m o i s t u r e c o n t e n t . A l s o t h e e f f e c t o f f r e e z i n g i s s i m i l a r t o t h a t o f d r y i n g , t h e r e s i s t i v i t y m c r e a s e s s i g n i f i c a n t l y a t h i g h e r f r e e z i n g l e v e l s . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t h o w e v e r t h e m o i s t u r e a l o n e i s n o t t h e p r e d o m i n a n t f a c t o r i n t h e l o w r e s i s t i v i t y s o i l s . I f t h e w a t e r i s r e l a t i v e l y p u r e , i t w i l l b e h i g h r e s i s t i v i t y u n l e s s t h e s o i l c o n t a i n s u f f i c i e n t n a t u r a l c l e m e n t t o f o n n a c o n d u c t i n g e l e c t r o l y t e , t h e a b u n d a n c e 9 2 . . . o f \ \ a t c r ' ' i l l n o t p r o v i d e t h e s o i l w i t h a d e q u a t e c o n d u c t i , · i t y . T h e v a l u e o f h i g h m o i s t u r e c o n t e n t i s a d \ · ; . m t a g e o u s i n i n c r e a s i n g t h e s o l u b i l i t y o f e x i s t i n g n a t u r a l e l e m e n t s i n t h e s o i l , a n d i n p r o , i d i n g f o r t h e s o l u b i l i t y o f i n g r e d i e n t s w h i c h m a y b e a r t i f i c i a l l y i n t r o d u c e d t o i m p r o w t h e s o i I c o n d u c t i v i t y . 1 0 0 0 - s o o r - - c ~ i : : · 6 0 0 ; . . . v ; i f . ' . ) X ~00 ' \ I n t l u c n c e o f 2 0 0 - + C h a n g e o f s t a t e · · - - ( -,--~--- - ! 0 0 0 l O 2 0 3 0 4 0 5 0 c e \ V a t e r T e m p e r a t u r e o c F i g u r e 5 . 9 - I n f l u e n c e o f t e m p e r a t u r e F i g u r e 5 . 9 s h o \ \ S t h e i n f l u e n c e o f v a r y i n g t e m p e r a t u r e o n t h e s o i l r e s i s t i v i t y \ ' a l u e . T h e t e m p e r a t u r e c o e f f i c i e n t o f r e s i s t i v i t y f o r s o i l i s n e g a t i v e , b u t i s n e g l i g i b l e f o r t e m p e r a t u r e a b o H : : f r e e z i n g p o i n t . A t a b o u t 2 0 " C , t h e r e s i s t i v i t y c h a n g e i s a b o u t 9 ° ; ; > p e r I o c . W i t h t e m p e r a t u r e , t h e c o l d e r t h e s o i l i s , t h e h i g h e r t h e r e s i s t i v i t y . D u e t o s e a s o n a l c h a n g e s \ v h e r e t h e t e m p e r a t u r e c a n c h a n g e d r a s t i c a l l y f o r a p a r t i c u l a r a r e a , t h e r e s i s t i v i t y o f t h e l o c a l s o i l c a n a l s o c h a n g e d r a s t i c a l l y 5 . 4 . 2 . 4 O t h e r F a c t o r s G r a i n s i z e a n d d i s t r i b u t i o n , a n d c l o s e n e s s o f p a c k i n g a r e a l s o c o n t r i b u t o r y f a c t o r s s i n c e t h e y h a v e m u c h t o d o \ v i t h r e t e n t i o n o f s o i l m o i s t u r e , a s w e l l a s p r o v i d i n g g o o d c o n d i t i o n s f o r a c l o s e l y p a c k e d s o i l i n g o o d c o n t a c t w i t h t h e e a r t h r o d . A n o t h e r s i g n i f i c a n t f a c t o r i n t h e d e t e m 1 i n a t i o n o f s o i l r e s i s t i v i t y i s t h e c o n t e n t o f m i n e r a l s , s u c h a s s a l t s o r o t h e r c h e m i c a l s d i s s o l v e d i n t h e c o n t a i n e d w a t e r . F o r v a l u e s o f I 0 ~> ( b y w e i g h t ) s a l t c o n t e n t , t h e s o i l r e s i s t i v i t y r e m a i n s l o w ( a n d c o n s t a n t , ) a n d s k y r o c k e t s f o r l o w e r v a l u e s o f s a l t c o n t e n t . 9 3 . . . . \ I a n \ · o f t h e s e f~tctors ( m o i s t u r e c o n t e n t , m i n e r a l c o n t e n t , c o m p a c t n e s s . a n d t e m p e r a t u r e . ) o f t h e l o c a l s o i l c a n c h a n g e d u r i n g t h e l i f e o f t h e g r o u n d i n g s y s t e m , a n d t h e r e f o r e c h a n g e t h e r e s i s t a n c e t o r e m o t e e a r t h o f t h a t g r o u n d i n g s y s t e m . F o r t h e s e r e a s o n s t h e c a l c u l a t i o n s o f e a r t h r e s i s t a n c e a n d t h e p l a n n i n g o f e l e c t r o d e s c a n b e p e r f o n 1 1 c d u p t o a l i m i t e d l e \ c l o f a c c u r a c y . 5 . 5 S u r f a c e p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n E a r t h i n g \ ' O l t a g c . a s w e l l a s d i s t r i b u t i o n o f t h e e a r i h s u r f a c e p o t e n t i a l d u r i n g t h e c u n e n t t l c 1 \ \ i n t h e e a r t h i n g s y s t e m , i s i m p o r t a n t p a r a m e t e r s f o r p r o t e c t i o n a g a i n s t e l e c t r i c s h o c k . E a r t h i n g \ · o l t a g e ( V E ) , i s e q u a l t o t h e e a r t h i n g p o t e n t i a l ( a s s u m i n g t h a t t h e p o t e n t i a l o f t h e r e f e r e n c e e a r t h i s e q u a l z e r o ) . U s m g e q u a t i o n ( 5 . 1 0 ) . t h e e a r t h i n g p o t e n t i a l c a n b e d e s c r i b e d a s f o l l o w s , 1 . n ! . . L = f~;Rr = ~-~ l n ~__!_!__ 2 7 ! 1 r ( 5 . 2 0 ) W h e r e . I 1 - E a r t h C u r r e n t U n d e r f a u l t c o n d i t i o n s , t h e e a r i h e l e c t r o d e i s r a i s e d t o a p o t e n t i a l w i t h r e s p e c t t o t h e g e n e r a l m a s s o f e a r t h . T h i s r e s u l t s i n t h e e x i s t e n c e o f v o l t a g e s i n t h e s o i l a r o u n d t h e e l e c t r o d e t h a t m a y b e i n j u r i o u s t o t e l e p h o n e a n d p i l o t c a b l e s , w h o s e c o r e s a r e s u b s t a n t i a l l y a t e a r t h p o t e n t i a l , o w i n g t o t h e v o l t a g e t o w h i c h t h e s h e a t h o f s u c h c a b l e s a r e r a i s e d . T h i s h a p p e n s m a i n l y i n c o n n e c t i o n w i t h l a r g e e l e c t r o d e s y s t e m s a s a t ] 1 0 \ \ e r s t a t i o n s a n d s u b s t a t i o n s . T h e \ ' O l t a g c g r a d i e n t a t t h e s u r f a c e o f g r o u n d m a y a l s o c o n s t i t u t e a d a n g e r t o l i f e . s p e c i a l l y \ Y h e r e t h e c a t t l e a r c c o n c e m e d . T h i s o c c u r s p r i n c i p a l l y w i t h p o l e m o u n t e d s u b s t a t i o n s w i t h l o w Y o l t a g e s y s t e m s . 5 . 5 . 1 S u r f a c e P o t e n t i a l D i s t r i b u t i o n d u e t o a R o d E l e c t r o d e b u r i e d i n a h o m o g e n e o u s m e d i u m T h e p o t e n t i a l o f a n y p o i n t l o c a t e d a t d i s t a n c e x f r o m t h e m i d d l e o f e a r t h e l e c t r o d e , i n \ \ h i c h e a r t h c u r r e n t f r f l o w s , c a n b e f o m m l a t e d w i t h t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n u s i n g s t a r t i n g \ \ i t h t h e e q u a t i o n ( 2 . 1 3 ) a n d e q u a t i o n ( 2 . 1 4 ) . 9 4 . . . . S i n c e i t i s a s s u m e d [ h a t t h e c u n e n t f l o w s o u t \ \ a r d s f i · o m t h e \ e r t i c a l s e c t i o n i s h o r i ? O n t a l a n d f r o m t h e l o w e r h e m i s p h e r i c a l e n d i s r a d i a l O U ( \ \ a r d s t h e t o t a l c u r r e n t I L c r o s s i n g a c y l i n d r i c a l p l u s h e m i - s p h e r i c a l s u r f a c e i s g i v e n b y , 1 1 = ( 2 ; r x / + 2 ; r x ' ) . ! T h u s f r o m ( 2 . 1 . + ) , _ : i _ = p f = l i p x ' · ( 2 ; r x / + 2 , T c ' ) T h e r e f o r e , A = - p f r y 2 ; r ( l + x ) l - I e n e e f r o m ( 2 . 1 3 ) , ! J ] / ' = - - - - ----~L ' 2 n ( x + l ) l i p 2 n x ( ! + x ) ( 5 . 2 1 ) ( 5 . 2 2 ) ( 5 . 2 3 ) ( 5 . 2 4 ) W h i c h i s t h e \ · o l t a g e a t a d i s t a n c e x d u e t o c u n e n t f l o w i n g i n t h e c e n t e r o f a r o d e l e c t r o d e b u r i e d t o a d i s t a n c e L f r o m t h e s u r f a c e . F o l l o w i n g i s a n i l l u s t r a t i o n o f t h e s u r f a c e p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n d u e t o a c u r r e n t f l o w i n g i n a r o d t y p e e l e c t r o d e . F i g u r e 5 . 1 0 s h o w s a r o d t y p e e l e c t r o d e e m b e d d e d i n a h o m o g e n e o u s g r o u n d . W i t h F i g u r e 5 . 1 0 i t i s p o s s i b l e f o r u s t o c a l c u l a t e t h e s t e p a n d t o u c h p o t e n t i a l s d u e t o c e r t a i n e a r t h f a u l t c o n d i t i o n t o e v a l u a t e t h e d e g r e e o f e x p e c t e d s h o c k a t a s p e c i f i e d d i s t a n c e f r o m t h e e l e c t r o d e . S t e p a n d t o u c h v o l t a g e s i t u a t i o n s a r i s e w h e n i t i s p o s s i b l e f o r a p e r s o n t o m a k e s i m u l t a n e o u s c o n t a c t w i t h a p a r t o f a n e l e c t r i c a l s y s t e m w h i c h i s n o t l i v e u n d e r n o n n a l c o n d i t i o n s b u t h a s b e c o m e l i v e c l u e t o t h e p a s s a g e o f a f a u l t c u r r e n t , a n d a n o t h e r c o n d u c t i v e p a r t w h i c h i s a t a d i f f e r e n t p o t e n t i a l . T h i s s i t u a t i o n i s d e s c r i b e d a s ' i n d i r e c t c o n t a c t ' w i t h l i v e p a r t s . 9 5 7 0 0 6 0 0 5 0 0 f + O O 3 0 0 2 0 0 1 0 8 6 4 2 ' . r · . T o u c h V o l t a g e ~~·\ S t e p V o l t a g e I I I I U I I I ~----1 I I ~~·I X 2 4 I I I I i i · I ~~ 6 a 1 T o u c h D i s t a n c e a , S t e p D i s t a n c e c \ 1 r , 8 1 0 F i g u r e 5 . 1 0 - N o t a t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n o f S u r f a c e P o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n o f a r o d e l e c t r o d e b u r i e d i n a h o m o g e n e o u s m e d i u m . ( I = 2 . 5 m , r = 2 5 m m , p = 1 O O O m , I E = 1 O O A ) A c o m m o n s t e p a n d t o u c h v o l t a g e s i t u a t i o n a r i s e s i n a n d a r o u n d s u b s t a t i o n s u n d e r e a r t h f a u l t c o n d i t i o n s w h e r e i n t h e e a r t h f a u l t c u r r e n t f l o w s t h r o u g h t h e e a r t h e l e c t r o d e a n d g r i d s y s t e m . a n d i t i s p o s s i b l e f o r a p e r s o n t o m a k e s i m u l t a n e o u s c o n t a c t w i t h t w o p a r t s w h i c h a r c a t a d i f f e r e n t p o t e n t i a l d u e t h e p a s s a g e o f t h e e a t 1 h f a u l t c u r r e n t . 5 . 5 . 2 T o u c h P o t e n t i a l T o u c h p o t e n t i a l i s t h e v o l t a g e b e t w e e n t h e e n e r g i z e d o b j e c t a n d t h e f e e t o f a p e r s o n i n c o n t a c t w i t h t h e o b j e c t , , i . e . t h e v o l t a g e b e t w e e n a p a l m a n d a f o o t o f a p e r s o n w h o i s j u s t t o u c h i n g t h e e a r t h e l e c t r o d e o r m e t a l p a r t s c o n n e c t e d t o i t ( F i g u r e 5 . 1 0 ) . I t i s e q u a l t o t h e d i f f e r e n c e i n v o l t a g e b e t \ v e e n t h e o b j e c t ( w h i c h i s a t a d i s t a n c e o f O m ' s ) a n d a p o i n t l m d i s t a n c e a w a y . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e t o u c h p o t e n t i a l c o u l d b e 9 6 ~ n e a r l y t h e f u l l \ ' O i t a g e a c r o s s t h e g r o u n d e d o b j e c t i f t h a t o b j e c t i s g r o u n d e d a t a p o i n t r e m o t e f r o m t h e p l a c e w h e r e t h e p e r s o n i s i n c o n t a c t w i t h i t . 5 . 5 . 3 S t e p P o t e n t i a l S t e p p o t e n t i a l i s t h e v o l t a g e b e t w e e n t h e f e e t o f a p e r s o n s t a n d i n g n e a r a n e n e r g i z e d g r o u n d e d o b j e c t . I t i s e q u a l t o t h e d i f f e r e n c e i n v o l t a g e , g i v e n b y t h e v o l t a g e d i s t r i b u t i o n c u n c . b e t w e e n t w o p o i n t s a t l m d i s t a n c e s f r o m t h e " e l e c t r o d e " ( F i g u r e 5 . 1 0 ) . A p e r s o n c o u l d b e a t r i s k o f i n j u r y d u r i n g a f a u l t s i m p l y b y s t a n d i n g n e a r t h e g r o u n d i n g p o i n t . 5 . 6 l \ J e t h o d s o f E a r t h E l e c t r o d e R e s i s t a n c e M e a s u r e m e n t s o f a s i n g l e E l e c t r o d e \ V h e n a n e l e c t r o d e s y s t e m h a s b e e n d e s i g n e d a n d i n s t a l l e d , i t i s u s u a l l y n e c e s s a r y t o m e a s u r e a n d c o n f i m 1 t h e e a r t h r e s i s t a n c e b e t w e e n t h e e l e c t r o d e a n d r e f e r e n c e e a r t h . G r o u n d i n g s y s t e m s s h o u l d b e t e s t e d u p o n i n s t a l l a t i o n a n d t h e n a n n u a l l y d u r i n g t h e i r s e n i c e l i f e . T h e i n i t i a l t e s t i n g e s t a b l i s h e s a p e r f o r m a n c e b a s e l i n e , c o n f i r m s t h a t t h e d e s i g n s p e c i f i c a t i o n i s m e t a n d v a l i d a t e s t h e q u a l i t y o f t h e i n s t a l l a t i o n . A n n u a l t e s t i n g e n s u r e s t h e c o n t i n u e d i n t e g r i t y o f t h e s y s t e m a n d p r o v i d e s p r o t e c t i o n a g a i n s t d e g r a d a t i o n p r i o r t o e q u i p m e n t d a m a g e o r p e r f o r m a n c e p r o b l e m s . T h e m o s t c o m m o n l y u s e d m e t h o d o f m e a s u r i n g t h e e a r t h r e s i s t a n c e o f a n e a r t h e l e c t r o d e i s t h e 3 - p o i n t m e a s u r i n g t e c h n i q u e . O t h e r m o r e c o m p l e x m e t h o d s , s u c h a s t h e S l o p e M e t h o d o r t : ; e F o u r P o l e M e t h o d , h a v e b e e n d e v e l o p e d t o o v e r c o m e s p e c i f i c p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t h t h i s s i m p l e r p r o c e d u r e , m a i n l y f o r m e a s u r e m e n t s o f t h e r e s i s t a n c e o f l a r g e e a r t h i n g s y s t e m s o r a t s i t e s w h e r e s p a c e f o r l o c a t i n g t h e t e s t e l e c t r o d e s i s r e s t r i c t e d . R e g a r d l e s s o f t h e m e a s u r e m e n t m e t h o d e m p l o y e d , i t s h o u l d b e r e m e m b e r e d t h a t t h e m e a s u r e m e n t o f e a r t h r e s i s t a n c e i s a s m u c h a n a r t a s i t i s a s c i e n c e , a n d r e s i s t a n c e m e a s u r e m e n t s c a n b e a f f e c t e d b y m a n y p a r a m e t e r s , s o m e o f w h i c h m a y b e d i f f i c u l t t o q u a n t i f y . A s s u c h , i t i s b e s t t o t a k e a n u m b e r o f s e p a r a t e r e a d i n g s a n d a v e r a g e t h e m , r a t h e r t h a n r e l y o n t h e r e s u l t s o f a s i n g l e m e a s u r e m e n t . 5 . 6 . 1 F a l l o f P o t e n t i a l M e t h o d T h e 3 - p o i n t m e t h o d o r t h e F a l l o f P o t e n t i a l m e t h o d i s t h e m o s t r e c o g n i z e d m e t h o d f o r m e a s u r i n g t h e r e s i s t a n c e t o e a r t h o f a g r o u n d i n g s y s t e m , a n d i s b e s t s u i t e d t o s m a l l 9 7 . . s y s t e m s t h a t d o n ' t c o \ · e r a \ \ i d e a r e a . I t i s s i m p l e t o c a J T y o u t a n d r e q u i r e s a m i n i m a l a m o u n t o f c a l c u l a t i o n t o o b t a i n a r e s u l t . T h i s m e t h o d i s g e n e r a l l y n o t s u i t e d t o l a r g e e a r t h i n g i n s t a l l a t i o n s , a s t h e s t a k e s e p a r a t i o n s n e e d e d t o e n s u r e a n a c c u r a t e m e a s u r e m e n t c a n b e e x c e s s i v e , r e q u i r i n g t h e u s c o f v e r y l o n g t e s t l e a d s . T h i s m e t h o d c o m p r i s e s t h e E a r t h E l e c t r o d e t o b e m e a s u r e d a n d t w o o t h e r e l e c t r i c a l l y i n d e p e n d e n t t e s t e l e c t r o d e s , u s u a l l y l a b e l e d P ( P o t e n t i a l ) a n d C ( C u r r e n t ) ( F i g u r e 5 . I I ) . A n a l t e r n a t i n g c u r r e n t ( I ) i s p a s s e d t h r o u g h t h e o u t e r e l e c t r o d e C a n d t h e ' o l t a g e i s m e a s u r e d , b y m e a n s o f a n i n n e r e l e c t r o d e P , a t s o m e i n t c m 1 e d i a r y p o i n t b e t \ \ e c n t h e m . T h e E a r t h R e s i s t a n c e i s s i m p l y c a l c u l a t e d u s i n g O h m ' s L a w ; R r = r ' j I . i \ l a m s S u r p h R . \ ~ R e s ! s L m c c 1 \ r e a s 1 \ n t t o o n : r l a p \ I I " ~ I 7 J Z I Z : y , 4 I ~ 1 . l j I i~l i~l I I I I I I I r . : ; ; o o , o 1 ( ) (:~ ~ 0 I - - _ j L l I 0 ° ' 0 \ \ ' ' ) ( ) 0 ' ( ) F i g u r e 5 . 1 1 - 3 - P o i n t M e t h o d o f E a r t h R e s i s t a n c e M e a s u r e m e n t W h e n p e r f o r m i n g a m e a s u r e m e n t , t h e a i m i s t o p o s i t i o n t h e a u x i l i a r y t e s t e l e c t r o d e C f~tr e n o u g h a w a y f r o m t h e e a r t h e l e c t r o d e u n d e r t e s t s o t h a t t h e a u x i l i a r y t e s t e l e c t r o d e P w i l l l i e o u t s i d e t h e e f f e c t i v e r e s i s t a n c e a r e a s o f b o t h t h e e a r t h s y s t e m a n d t h e o t h e r 9 8 l _ t e s t e l e c t r o d e ( F i g u r e 5 . 1 1 ) . I f t h e c u r r e n t t e s t e l e c t r o d e C i s t o o c l o s e , t h e r e s i s t a n c e a r e a s \ \ i l l O \ c r l a p a n d t h e r e w i l l b e a s t e e p v a r i a t i o n i n t h e m e a s u r e d r e s i s t a n c e a s t h e \ o l t a g e t e s t e l e c t r o d e i s m o v e d ( F i g u r e 5 . 1 2 ( b ) ) . I f t h e c u r r e n t t e s t e l e c t r o d e i s c o r r e c t l y p o s i t i o n e d , t h e r e w i l l b e a ' f l a t ' ( o r v e r y n e a r l y s o ) r e s i s t a n c e a r e a s o m e \ \ h e r c i n b e t \ \ C e n i t a n d t h e e a r t h e l e c t r o d e ( F i g u r e 5 . 1 2 ( a ) ) . \/Dita1~1e ~--~------ - - - - - - - - ---~-------------- · . . . · · . . . V . . . . , . ~, ,~F,_. 7 ) ~, V , _ , c · : • : ( - - . • . . . . . . . . . . . . . . . . L . . . . ~ - - - . · - - - - - - - - - - - - - - Z l - . . . . . - o I t a ~~1 e . : : : : . . . ( 1 ) ' " 7 - - , . : : : . . . . . . . : . - - - - - - . \\~---- - J - - - 1 - - - - : 1 - - - - \ . . . . . . . v · I y '~~ r } : : Z l r - x : z X Z 1 ' '--~-, ~'--,, V Y L z 1~- I Z 2 '·,~. ·\·~ . • . . . . . . , . . . ( b ) Y Eart~~~ F ' o t e n t i a I · · · · . . . • \ Eattt~1 F ' o t e n t i a I F i g u r e 5 . 1 2 - ( a ) S u c c e s s f u l p l o t d u e t o c o r r e c t s p a c i n g ( b ) E f f e c t o f r e s i s t a n c e a r e a o v e r l a p d u e t o i n s u f f i c i e n t s p a c i n g b e t w e e n e a r t h e l e c t r o d e a n d c u r r e n t e l e c t r o d e T h e F a l l o f P o t e n t i a l m e t h o d i n c o r p o r a t e s a c h e c k t o e n s u r e t h a t t h e t e s t e l e c t r o d e s a r e i n d e e d p o s i t i o n e d f a r e n o u g h a w a y f o r a c o r r e c t r e a d i n g t o b e o b t a i n e d . I t i s a d v i s a b l e t h a t t h i s c h e c k b e c a n i e d , a s i t i s r e a l l y t h e o n l y w a y o f e n s u r i n g a c o r r e c t r e s u l t . T o p e r f o n n a c h e c k o n t h e r e s i s t a n c e f i g u r e , t w o a d d i t i o n a l m e a s u r e m e n t s s h o u l d b e m a d e ; t h e f i r s t w i t ! - : t h e v o l t a g e t e s t e l e c t r o d e ( P ) m o v e d 1 O ( Y o o f t h e o r i g i n a l v o l t a g e e l e c t r o d e - t o - e m i h s y s t e m s e p a r a t i o n a w a y f r o m i t s i n i t i a l p o s i t i o n , a n d t h e s e c o n d 9 9 w i t h i t m m c d a d i s t a n c e o f l O ( X J c l o s e r t h a n i t s o r i g i n a l p o s i t i o n , a s s h o w n i n F i g u r e 5 . 1 1 . l f t h e s c t \ \ O a d d i t i o n a l m e a s u r e m e n t s a r c i n a g r e e m e n t \ \ i t h t h e o r i g i n a l m e a s u r e m e n t , \ \ i t h l l l t h e r e q u i r e d l e v e l o f a c c u r a c y , t h e n t h e t e s t s t a k e s h a v e b e e n c o r r e c t l y p o s i t i o n e d a n d t h e D C r e s i s t a n c e f i g u r e c a n b e o b t a i n e d b y a v e r a g i n g t h e t h r e e r e s u l t s . H o \ \ C \ T r . i f t h e r e i s s u b s t a n t i a l d i s a g r e e m e n t a m o n g s t a n y o f t h e s e r e s u l t s , t h e n i t i s l i k e l y t h a t t h e s t a k e s h a v e b e e n i n c o r r e c t l y p o s i t i o n e d , e i t h e r b y b e i n g t o o c l o s e t o t h e e a r t h s y s t e m b e i n g t e s t e d , t o o c l o s e t o o n e a n o t h e r o r t o o c l o s e t o o t h e r s t r u c t u r e s t h a t a r e i n t e r f e r i n g w i t h t h e r e s u l t s . T h e s t a k e s s h o u l d b e r e p o s i t i o n e d a t a l a r g e r s e p a r a t i o n d i s t a n c e o r i n a d i ! T e r c n t d i r e c t i o n a n d t h e t h r e e m e a s u r e m e n t s r e p e a t e d . T h i s p r o c e s s s h o u l d b e r e p e a t e d u n t i l a s a t i s f a c t o r y r e s u l t i s a c h i e v e d . 5 . 6 . 2 T h e 62 1 ~) 1 \ l e t h o d T h e F a l l o f P o t e n t i a l m e t h o d c a n b e a d a p t e d s l i g h t l y f o r u s e w i t h m e d i u m s i z e d e a r t h i n g s y s t e m s . B a s e d o n e m p i r i c a l d a t a t h e o h m i c v a l u e m e a s u r e d a t 6 2 t Y t ) o f t h e d i s t a n c e f r o m t h e g r o u n d - u n d e r - t e s t t o t h e r e m o t e c u n e n t p r o b e , i s t a k e n a s t h e s y s t e m g r o u n d r e s i s t a n c e . T h e r e f o r e t h i s a d a p t a t i o n i s o f t e n r e f e r r e d t o a s t h e 6 2 % l v ! e t l z o d , a s i t i m · o h e s p o s i t i o n i n g t h e i n n e r t e s t s t a k e a t 6 2 % o f t h e e a r t h e l e c t r o d e - t o - o u t e r s t a k e s e p a r a t i o n ( r e c a l l t h a t i n t h e F a l l - o f - P o t e n t i a l m e t h o d , t h i s f i g t : r e w a s 5 0 % ) . A l l t h e o t h e r r e q u i r e m e n t s o f t e s t s t a k e l o c a t i o n - t h a t t h e y b e i n a s t r a i g h t l i n e a n d b e p o s i t i o n e d a w a y f r o m o t h e r s t r u c t u r e s - r e m a i n v a l i d . W h e n u s i n g t h i s m e t h o d , i t i s a l s o a c h i s a b l e t o r e p e a t t h e m e a s u r e m e n t s w i t h t h e i n n e r t e s t s t a k e m o v e d ± 1 O ( Y o o f t h e e a r t h e l e c t r o d e - i n n e r t e s t s t a k e s e p a r a t i o n d i s t a n c e , a s b e f o r e . T h e m a i n d i s a d v a n t a g e \ v i t h t h i s m e t h o d i s t h a t t h e t h e o r y o n w h i c h i t i s b a s e d r e l i e s o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e u n d e r l y i n g s o i l i s h o m o g e n e o u s , w h i c h i n p r a c t i c e i s r a r e l y t h e c a s e . T h u s , c a r e s h o u l d b e t a k e n i n i t s u s e a n d a s o i l r e s i s t i v i t y s u r v e y s h o u l d a h \ a y s b e c a r r i e d o u t . A l t e m a t i v e l y , o n e o f t h e o t h e r m e t h o d s s h o u l d b e e m p l o y e d . 5 . 6 . 3 O t h e r T e s t M e t h o d s ! \ 1 a n y o t h e r m e t h o d s e x i s t f o r t a k i n g e a r t h r e s i s t a n c e m e a s u r e m e n t s . M a n y o f t h e s e m e t h o d s h a Y e b e e n d e s i g n e d i n a n a t t e m p t t o a l l e v i a t e t h e n e c e s s i t y f o r e x c e s s i v e 1 0 0 e l e c t r o d e s e p a r a t i o n s , w h e n m e a s u r i n g l a r g e e a r t h s y s t e m s , o r t h e r e q u i r e m e n t o f h a v i n g t o k m m t h e e l e c t r i c a l c e n t r e o f t h e s y s t e m . 5 . 6 . 3 . 1 T h e S l o p e l \ I e t h o d T h i s m e t h o d i s s u i t a b l e f o r u s e w i t h l a r g e e a r t h i n g s y s t e m s , s u c h a s s u b - s t a t i o n e a r t h s . I t i m o h c s t a k i n g a n u m b e r o f r e s i s t a n c e m e a s u r e m e n t s a t \ · a r i o u s e a r t h s y s t e m s t o \ o l t a g e e l e c t r o d e s e p a r a t i o n s a n d t h e n p l o t t i n g a c u r v e o f t h e r e s i s t a n c e \ a r i a t i o n b e l \ \ e e n t h e e a r t h a n d t h e c u n e n t . F r o m t h i s g r a p h , a n d f r o m d a t a o b t a i n e d f r o m t a b l e s , i t i s p o s s i b l e t o c a l c u l a t e t h e t h e o r e t i c a l o p t i m u m l o c a t i o n f o r t h e v o l t a g e e l e c t r o d e a n d t h u s , f r o m t h e r e s i s t a n c e c u r v e , c a l c u l a t e t h e t r u e r e s i s t a n c e . T h e a d d i t i o n a l m e a s u r e m e n t a n d c a l c u l a t i o n e f f o r t t e n d s t o r e l e g a t e t h i s s y s t e m t o u s e \ \ i t h o n l y \ ' C r y l a r g e o r c o m p l e x e a r t h i n g s y s t e m s . 5 . 6 . 3 . 2 T h e S t a r - D e l t a M e t h o d T h i s t e c h n i q u e i s w e l l s u i t e d t o u s c w i t h l a r g e s y s t e m s i n b u i l t u p a r e a s o r o n r o c k y t e r r a i n , \ \ h e r e i t m a y b e d i f f i c u l t t o f i n d s u i t a b l e l o c a t i o n s f o r t h e t e s t e l e c t r o d e s . p a r t i c u l a r l y o v e r l o n g d i s t a n c e s i n a s t r a i g h t l i n e . T h r e e t e s t e l e c t r o d e s , s e t u p a t t h e c o m e r s o f a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e w i t h t h e e a r t h s y s t e m i n t h e m i d d l e , a r e u s e d a n d m e a s u r e m e n t s a r e m a d e o f t h e t o t a l r e s i s t a n c e b e t \ \ e e n a d j a c e n t e l e c t r o d e s , a n d a l s o b e t w e e n e a c h e l e c t r o d e a n d t h e e a r t h i n g s y s t e m . L s i n g t h e s e r e s u l t s , : . 1 n u m b e r o f c a l c u l a t i o n s a r c p e r f o r m e d a n d a r e s u l t c a n b e o b t a i n e d f o r t h e r e s i s t a n c e o f t h e e a r t h s y s t e m . 5 . 6 . 3 . 3 T h e F o u r P o t e n t i a l M e t h o d T h i s t e c h n i q u e h e l p s o v e r c o m e s o m e o f t h e p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t h t h e r e q u i r e m e n t f o r k n o w i n g e l e c t r i c a l c e n t r e o f t h e e a r t h i n g s y s t e m s b e i n g t e s t e d . T h e m a i n d r a w b a c k w i t h t h e F o u r P o t e n t i a l m e t h o d i s t h a t , l i k e w i t h t h e F a l l o f P o t e n t i a l m e t h o d , i t c a n r e q u i r e e x c e s s i v e e l e c t r o d e s e p a r a t i o n d i s t a n c e s i f t h e e a r t h i n g s y s t e m b e i n g m e a s u r e d i s l a r g e . 1 0 I T h i s m e t h o d i s s i m i l a r i n s e t u p t o t h e s t a n d a r d F a l l o f l 1 o t c n t i a l m e t h o d a n d m e a s u r e m e n t s a r c m a d e w i t h t h e \ ' O l t a g e e l e c t r o d e a t d i i T e r c n t p o s i t i o n s a n d a s e t o f e q u ; ; t i o n s a r c u s e d t o c a l c u l a t e t h e t h e o r e t i c a l r e s i s t a n c e o f t h e s y s t e m , 5 . 7 L i m i t a t i o n s o n c a l c u l a t i n g t h e E l e c t r o d e R e s i s t a n c e T h e c a l c u l a t i o n o f f a r t h i n g r e s i s t a n c e i s u s u a l l y p e r f o r m e d u n d e r t h e a s s u m p t i o n s t h a t t h e g r o u n d i s b o u n d l e s s a n d o f u n i f o n n s t r u c t u r e \ \ i t h a g i v e n v a l u e o f r e s i s t i v i t y I t i s p o s s i b l e t o d e t e r m i n e e x a c t e q u a t i o n s f o r e a r t h i n g r e s i s t a n c e b u t , i n p r a c t i c e . t h e i r u s e f u l n e s s i s w r y l i m i t e d , e s p e c i a l l y i n t h e c a s e o f c o m p l e x a n d m e s h e d e a r t h e l e c t r o d e s \ Y h e r c t h e m a t h e m a t i c a l r e l a t i o n s b e c o m e \ ' C r y c o m p l i c a t e d , F u r t h e r m o r e . e w n a s m a l l i n a c c u r a c y i n t h e \ ' a l u e o f t h e r e s i s t i v i t y h a s a s i g n i f i c a n t i n f l u e n c e o n t h e a c t u a l e a r t h i n g r e s i s t a n c e o f m e s h e d e a r t h e l e c t r o d e s a n d i t i s o f t e n \ ' t r y d i H i c u l t t o d e t e n n i n e t h e e a r t h r e s i s t i v i t y \ V i t h t h e a c c u r a c y r e q u i r e d . B e c a u s e o f t h i s . t h e t h e o r e t i c a l e q u a t i o n s o f e a 1 i h i n g r e s i s t a n c e d e r i v e d i n s e c t i o n s 5 . 3 . 2 . I - 5 J . 2 A u s u a l l y u s e d o n l y f o r h o m o g e n e o u s e a r t h s t r u c t u r e . W h e n i t c o m e s t o t h e a c t u a l s u b s o i l \ \ i t h a l a y e r e d s t r u c t u r e t h e E a r t h R e s i s t a n c e a n d t h e s u r f a c e p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n w i l l b e e f f e c t e d c l u e t o t h e c h a n g e s i n c u r r e n t f l o w i n t h e n o n - h o m o g e n e o u s m e d i a . T h e r e f o r e i t i s e s s e n t i a l t o s t u d y t h e r e s i s t a n c e o f a r o d e l e c t r o d e b u r i e d i n a m u l t i l a y e r m e d i a s i n c e u l t i m a t e l y i t c a n b e m o r e a c c u r a t e l y e s t i m a t e d t h e d e p t h o f b o r i n g o r t h e i e n g t h o f a r o d e l e c t r o d e i n a m u l t i l a y e r s i t u a t i o n . 5 . 7 . 1 S u r f a c e P o t e n t i a l D i s t r i b u t i o n d u e t o a R o d E l e c t r o d e s b u r i e d i n a M u l t i L a v e r I \ l e d i a . F i g u r e 5 . 1 3 s h o w s a r o d e l e c t r o d e d r i v e n i n a m u l t i l a y e r e a r t h . 1 1 , / 2 , . . . . , ! \ a r e c o n s i d e r e d t o b e c u r r e n t s o u r c e s i n t h e r e s p e c t i v e l a y e r s , d u e t o c u r r e n t I e n t e r i n g i n t o t h e e l e c t r o d e . T h e \ Y o r k p r e s e n t e d i n p a p e r [ 3 7 ] g i v e s t h e o r e t i c a l f o m m l a s f o r c a l c u l a t i n g t h e e l e c t r o d e r e s i s t a n c e a n d s u r f a c e p o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n . I n o r d e r t o p r e s e n t t h e e q u a t i o n s h e r e , I s t m i \ v i t h t h e p o t e n t i a l a t t h e e a r t h s u r f a c e d u e t o i n d i v i d u a l c u n e n t s o u r c e s i n t h e l a y e r e d s t r u c t u r e . T h e p o t e n t i a l I~ d u e t u c u r r e n t s o u r c e , / 1 i n t h e 1 s t L a y e r , 1 0 2 . p l / 1 J o a i l e + / 3 \ l e - = ; ; , e ; ' . / ( ) x ) d ) , r = - - - - > l r l ( J I 2 : T I I u l I - / 3 \ l e ! l l . o ' ' " ! _ . ( . ' : } f . I . : r - - - \ ' a ~ r • . l l -~ ' ~ . . . : : : . = -L~ ( 5 . 2 5 ) - - - - i · · - ······-------.......--~-~~----- . . . . . . -·········---~----~--- " - - · - - - - - - - - - - · · · · - · · - - - - - z h l - t .~}_,:: , , ( ' } 1 • l 2 ---·-·'-"·J--~-~------~~-- " 1 - · - """"~~-~- z = = . l - 1 2 - l - - . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ' ' - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - z = . l - l 1 v _ 2 - t l z 1 V - l . . ~~ . . 1 - l ~~\1 • • ~- f 7 ' 1 . 1 • , 1 - l ' l . . l • l ' F i g u r e 5 . 1 3 - D r i v e n r o d i n m u l t i l a y e r e m 1 h z = . l - l J . \ 1 - 1 - t Z = O J A n d t h e g e n e r a l e q u a t i o n o f t h e p o t e n t i a l V , d u e t o c u r r e n t s o u r c e , 1 1 i n t h e N 1 1 1 L a y e r I S g J \ · e n a s , r · \ = p~/ 1 ( 1 - k 1 ) ( 1 - k , ) . . . . . ( l - k 1 _ 1 ) j e - 2 1 1 -w~J 0 (),x)dA _ ; r o a s 1 - f J . 1 1 c \ \ ' h e r e . u = a _ + P , - ' J . i h I I \ . ' / - ' \ 2 ( ( J -~;h, u 1 , = a 1 ' + P . 1 J ' j i \ I = k l a v : , + / 3 . \ _ , e - 2 / h : I J I ( 1 - 2 / . h , ; \ , = t \ l a \ . , + 1 - ' - 1 _ , e ( 5 . 2 6 ) 1 0 3 A c c o r d i n g l y , t h e s u r f a c e p o t e n t i a l V , ( x ) a t d i s t a n c e x f r o m t h e c e n t e r o f t h e e l e c t r o d e , d u e t o a d e e p d r i v . : n r o d i n a n N - l a y c r e a n h s t r u c t u r e i s g i v e n a s , " ' I I I I 1 ' 1 ( x ) = Ir'~dt+ J V , d t + . . . . . + I V , d t ( 5 . 2 7 ) I f J • [ . 1 - J I I r - / 1 ! ' J - 2 / J I . / 1 _ f l 1 1 ' • C l 1 , C + J 1 5 C . C . , - - , - I . no~k,) I I . . 2 / h , J o ( X t ) d / , d t _ / T ; c l 1 ~rr I I , , ( ) : ' 1 1 ~j) 11 C _ _ , ( 5 . 2 8 ) \ \ ' h e r e . s J I , = 2 . : ) z , , H , = 0 , 1 1 , = I t = l ( i I \ = 1 , / ] 1 \ = 0 \ V h e n i t c o m e t o c a l c u l a t i o n s t h e c u r r e n t / 1 s h o u l d b e d e t e n n i n e d . F o r t h a t i t i s a s s u m e d t h a t t h e c u r r e n t d e n s i t y i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e r e s i s t i v i t y , p s o t h a t i t c a n b e c o n s i d e r e d t h a t t h e c u n e n t i n e a c h l a y e r i s u n i f o m 1 . T h u s . p J , = p J = = . . . . . . . = p , l \ ' f A + l ) z 2 + . . . . . . + 1 1 (I~ h 1 ~ h , . . . / 1 1 1 ) = I S o h i n g t h e a b o \ e e q u a t i o n s , 1 p J I = . \ - I h I ~ H \ I L 1 - ; + ~ P~,-- , _ - _ ] I W h e r e , \ - I H =~h, \ - 1 L . . . . . i I J - C u n e n t F l o w i n g i n t h e r o d e l e c t r o d e p 1 - R e s i s t i v i t y o f l a y e r N ( 5 . 2 9 ) ( 5 . 3 0 ) ( 5 . 3 1 ) F i n a l l y t h e g e n e r a l e q u a t i o n t o c a l c u l a t e s u r f a c e p o t e n t i a l v \ ( x ) a t d i s t a n c e X f r o m t h e c e n t e r o f t h e e l e c t r o d e , c l u e t o a d e e p d r i v e n r o d i n a N - l a y e r e a r t h s t r u c t u r e i s g i v e n a s . 1 1 I [ s - 1 I f , " ' - ; 1 ' · H · : I ' J t ) = - 1 _ 1 (l~k a , , e · + f 3 x , e - - " · e / . 1 , , 2 ; r ~ l z , + I_~HH ~ D ' ) J [ a 1 1 ~ j 3 _ e _ 2 ; h , . 1 0 ( A x ) d ) . d / L . . . . , , - t ! j \ I 1~1 P , p , ( 5 . 3 2 ) 1 0 4 I 5 . 7 . 2 R o d E l e c t r o d e R e s i s t a n c e b u r i e d i n a l \ l u \ t i l a y e r l \ l e d i a F r o m l 3 7 1 t h e e a r t h r e s i s t a n c e f o r a d e e p d r i v e n r o d c a n b e e x p r e s s e d a s t h e r a t i o b c t \ \ c c n t h e p o t e n t i a l a t t h e s u r f a c e o [ t h e r o d a n d t h e c u r r e n t f 1 o \ v i 1 1 g i n t h e r o d . T h a t I S . R=~ ! ( 5 . 3 3 ) W h e r e . a - r a d i u s o f t h e r o d T h e r e f o r e . f r o m e q u a t i o n ( 5 . 3 2 ) , I 1 . \ l s I f 1 ' ' ; I 1 ' j { . R - c c c - + j 3 e _ / _ . / 1 - . \ - 1 ( 1 - k . \ ' s \ . s C ' _ , 2 , 7 2 : h , + l~ll, , ~ l J , l } _ , [ a , , _ ( J , , e " ' ' . ! , ( / , x ) d / , d l 1~1 P I p \ ( 5 . 3 4 ) I n o r d e r t o C \ a l u a t e t h e t h e o r e t i c a l v a l u e s f o r t h e C a s e S t u d y i n s e c t i o n 5 . 8 t h e e q u a t i o n s ( 5 . 3 2 ) a n d ( 5 . 3 4 ) a r e u s e d . T h e M a t h e m a t i c a 5 . 0 s o f h v a r e i s u s e d f o r t h e c a l c u l a t i o n s . T o e v a l u a t e t h e c o m p a t i b i l i t y o f u s i n g M a t h e m a t i c a , t h e s o f t w a r e o u t p u t i s c o m p a r e d \ \ i t h t h e r e s u l t s g i v e n i n [ 3 7 ] . T a b l e 5 . 2 c o m p a r e s t h e c a l c u l a t e d r e s u l t s f r o m e q u a t i o n ( 5 . 3 4 ) u s i n g t h e M a t h c m a t i c a 5 . 0 s o f t w a r e a n d t h e r e s u l t s g i v e n i n [ 3 7 ] . T h e r e s u l t s o b t a i n e d f r o m M a t h c m a t i c a c a l c u l a t i o n s r e \ · e a l c l o s e a g r e e m e n t \ \ · i t h t h e r e s u l t s i n [ 3 7 ] w i t h m a x i m u m e r r o r i n t h e o r d e r o f 0 . 7 % ) . T h u s , t h r o u g h t h e u s c o f t h e S o f t w a r e I p r o c e e d e d t o c a l c u l a t e t h e e a r t h r e s i s t a n c e f o r t h e e a r t h e l e c t r o d e . T a k a h a s h i & ~ T o g g R K a w a s e M a t h e m a t i c a : R 2 ( R - R 1 ) / R % ( R - R 2 ) / R o ; ; ) : R l I 0 . 1 0 . 5 3 7 6 6 1 0 . 5 3 6 9 2 3 0 . 5 3 8 2 1 7 0 . 1 3 7 2 6 1 2 1 1 - 0 . 1 0 3 4 1 0 8 8 5 1 0 . 3 0 . 2 0 C J 9 5 5 0 . 2 0 6 6 9 2 I 0 . 2 0 5 3 1 1 0 . 1 2 7 0 8 0 7 6 6 0 . 7 9 4 3 7 5 5 8 9 I o . s 0 . 1 3 0 6 7 9 0 . 1 3 0 5 2 0 . 1 3 0 7 6 9 0 . 1 2 1 6 7 2 1 8 9 - 0 . 0 6 8 8 7 1 0 5 i 0 . 7 0 . 0 9 6 2 3 0 . 0 9 6 1 1 6 0 . 0 9 6 3 5 2 5 0 . 1 1 8 4 6 6 1 7 5 - 0 . 1 2 7 2 9 9 1 7 9 I I ' 0 . 9 I 0 . 0 7 6 4 7 4 0 . 0 7 6 3 8 4 0 . 0 7 6 5 7 0 1 0 . 1 1 7 6 8 7 0 5 7 - 0 . 1 2 5 6 6 3 6 2 4 I T a b l e 5 . 2 - E r r o r o f c a l c u l a t e d E l e c t r o d e R e s i s t a n c e 1 0 5 6 . 1 I n t r o d u c t i o n C h a p t e r 6 T w o D i m e n s i o n a l R e s i s t i v i t y I n v e r s i o n I D i n t e q 1 r - c t a t i o n \ \ i l l n o t a l w a y s r e v e a l t h e a c t u a l s u b s o i l s t r u c t u r e o f a c o m p l e x e a r t h m o d e l . A d i s c u s s e d u n d e r s e c t i o n 4 . 3 o n e - d i m e n s i o n a l ( 1 0 ) i n t e r p r e t a t i o n s h a v e c e r t a i n l i m i t a t i o n s ; t h e r e f o r e i n a r e a s w h e r e t h e g e o l o g i c a l s t r u c t u r e s a r c a p p r o x i m a t e l y l \ \ O - d i m e n s i o n a l ( 2 0 ) , c o n v e n t i o n a l 2 0 e l e c t r i c a l r m a g m g s u r v e y s ! m e b e e n s u c c e s s f u l l y u s e d . E l e c t r i c a l i m e r s i o n t e c h n i q u e s h a v e p r o g r e s s e d f r o m a p p r o x i m a t e i n v e r s e m e t h o d s u s i n g a s e r i e s o f 1 - D i n v e r s i o n s t e p s [ 3 8 ] t o 3 - D i n v e r s i o n m e t h o d s . T h e l a t t e r h a v e b e e n d e \ e l o p e d u s i n g l i n e a r i z e d a n d b a c k p r o j e c t i o n m e t h o d s a n d n o n - l i n e a r o p t i m i z a t i o n . H o w e v e r 1 0 i n v e r s i o n r e s u l t s a r e v e r y u s e f u l i n c o n s t r u c t i n g i n i t i a l m o d e l s f o r m u l t i d i m e n s i o n a l i n t e r p r e t a t i o n s . T h e r e f o r e p r e s e n t l y t w o - d i m e n s i o n a l ( 2 0 ) i n t e r p r e t a t i o n s a r c w i d e l y u s e d . A p p l i c a t i o n s o f r e s i s t i v i t y 2 0 i n v e r s i o n t e c h n i q u e s a r e , · a s t l y f o u n d i n h y d r o g e o l o g y . l n t h e p r e s e n t ' ' o r k t h r e e 2 D s c e n a r i o s a r e e x p e r i m e n t e d . T h e y a r e , C A S E 1 : D e t e c t i o n o f a n a n o m a l o u s b o d y o f a r b i t r a r y s i z e I 0 0 D m i n a h o m o g e n e o u s m e d i u m o f 1 0 0 0 D m C A S E 2 : D e t e c t i o n o f a n a n o m a l o u s b o d y o f a r b i t r a r y r e s i s t i v i t y i n a h o m o g e n e o u s m e d i u m / ; _ . . . _ : : : . " " ' C A S E 3 : D e t e c t i o n o f a n a n o m a l o u s b o d y o f a r b i t r a r y r e s i s t i v i t y i n 1 a~,three l a y e r m e d i u m ' ' i '-:-;~!'·· · · . " ( 6 . 2 L i t e r a t u r e S u r v e y j'/~· 2 0 e l e c t r i c a l s u r v e y s a r c u s u a l l y c a r r i e d o u t u s i n g m u l t i e l e c t r o d e a r r a y s a n d i n o r d e r t l l h e a b l e t o m o d e l c o m p l e x 2 0 s t r u c t u r e s a d e q u a t e l y a c e l l b a s e d i n v e r s i o n i s c o m m o n l y u s e d . W h e n d e a l i n g w i t h a 2 0 p r o b l e m t h o u g h t h e r e i s a 2 0 e a r t h m o d e l t h e e l e c t r i c a l f i e l d d u e t o a p o i n t s o u r c e i s 3 0 . I t h a s b e c o m e a s t a n d a r d p r a c t i c e t o 1 0 6 s o l \ e t h e 2 0 a n d 3 D r e s i s t i v i t y f m w a r d m o d e l i n g p r o b l e m u s i n g n u m e r i c a l m e t h o d s b y d i s c r e t i z a t i o n o f t h e d o m a i n o f i n v e s t i g a t i o n [ 1 2 ] [ 3 9 ] [ 4 0 ] . I n o r d e r t o a d e q u a t e l y r e s o l v e s u c h c o m p l e x s o i l s t r u c t u r e s w i t h a r b i t r a r y r e s i s t i \ · i t y d i s t r i b u t i o n s . t h e r e g u l a r i z e d l e a s t s q u a r e s o p t i m i z a t i o n i s f r e q u e n t l y u s e d [ 1 2 ] f o r s l m l m b e r g e r [ 3 9 ] f o r p o l e p o l e d a t a [ 4 0 ] i n t h e 2 0 i m u s i o n o f e l e c t r i c a l i m a g i n g d a t a . S i m u l a t e d a n n e a l i n g a p p l i e d f o r v e r y l o w f r e q u e n c y r e s i s t i v i t y d a t a ( V L F - R ) i m c r s i o n . d e s c r i b e d i n [ 1 3 ] , M a x i m u m e n t r o p y [ 1 4 ] , C o n j u g a t e G r a d i e n t [ 1 5 ] a n d N e u r a l N e t \ \ O r k s ( N N ) [ 1 1 ] , [ 1 ( ) ] a r e o t h e r t e c h n i q u e s u s e e ! i n t h e c o m p l e x s t r u c t u r e 2 D i m c r s i o n s o f g e o p h y s i c a l d a t a . I n t h e w o r k p r e s e n t e e ! i n [ 1 2 ] , t h e u s e o f t w o d i t l c r e n t c o n s t r a i n t s o f r e g u l a r i z e d l e a s t s q u a r e s o p t i m i z a t i o n i s d i s c u s s e d . L 2 n o r m b a s e d l e a s t s q u a r e s o p t i m i z a t i o n m i n i m i z e s t h e s u m o f s q u a r e s o f s p a t i a l c h a n g e s i n t h e m o d e l r e s i s t i v i t y w h i l e t h e r 1 n o n n b a s e d o p t i m i z a t i o n o r b l o c k y i n v e r s i o n m i n i m i z e s t h e s u m o f a b s o l u t e v a l u e s o f t h e s p a t i a l c h a n g e s o f m o d e l r e s i s t i v i t y . F u r t h e r m o r e . a p p r o x i m a t i o n s t o t h e e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e p h y s i c s o f t h e f o r w a r d a n d i n w r s e p r o b l e m o f e l e c t r i c a l p r o s p e c t i n g a r e f r e q u e n t l y e m p l o y e d t o m a k e t h e I l l \ c r s c p r o b l e m m o r e m a n a g e a b l e o n c u r r e n t c o m p u t e r s [ 4 1 ] . T h e a p p r o x i m a t i o n s u s u a l l v a l l o w t h e c o n d u c t i v i t i e s t o v a r y o n l y b y a ~small' a m o u n t a r o u n d a b a c k g r o u n d o r s t a r t i n g m o d e l . T h i s a l l o w s a l o w - c o n t r a s t a p p r o x i m a t i o n t o b e u s e d , t h u s s p e e d i n g u p t h e c o m p u t a t i o n . H o w e w r , i t h a s a l s o b e e n s h o w n t h a t c u r r e n t c o m p u t e r s a r c s u f f i c i e n t l y f a s t t o i n v e r t f i e l d s c a l e d a t a s e t s \ V i t h i n a r e a s o n a b l e t i m e \ \ h i l c s o h i n g t h e f u l l n o n - l i n e a r i n v e r s i o n p r o b l e m u s i n g a n a c c u r a t e f o r w a r d m o d e l [ 1 5 ] . : \ F O R T R A N c o d e f o r t h e 2 0 S c h l u m b e r g e r i n v e r s i o n b a s e d o n t h e f i n i t e - e l e m e n t f o r w a r d m o d e l i n g a n d t h e n o n l i n e a r l e a s t - s q u a r e s s c h e m e i s p r e E : e n t e d i n [ 3 9 ] . T h e p r o g r a m u t i l i z e s t w o k i n d s o f m e s h e s : a m o d e l m e s h a n d a f i n i t e - e l e m e n t c a l c u l a t i o n m e s h . T h e m o d e l m e s h d e s c r i b e s t h e 2 0 r e s i s t i v i t y s e c t i o n b e n e a t h a s u r v e y l i n e b y d i v i d i n g i t i n t o m a n y r e c t a n g u l a r b l o c k s . T h e c a l c u l a t i o n m e s h i s f o r m e d f o r e a c h s o u n d i n g s t a t i o n b y s u b s t i t u t i n g t h e r e s i s t i v i t y v a l u e o f e a c h e l e m e n t f r o m t h e c o r r e s p o n d i n g b l o c k o n t h e m o d e l m e s h . A s m o o t h i n g p r o c e d u r e i s i n c o r p o r a t e d f o r 1 0 7 t h e s p a t i a l r e s i s t i \ i t y d i s t r i b u t i o n i n o r d e r t o r e d u c e t h e s p u r i o u s r e s i s t i v i t y f e a t u r e s o n t h e 2 D m o d e I . T h e s m o o t h i n g p r o c e d u r e i s r e f e r r e d t o a s S m o o t h n e s s c o n s t r a i n e d i n v e r s i o n . T h e r e s u l t a n t c r o s s s e c t i o n o f t h e 2 0 m o d e l o f t e n s h o w s a r o u g h s p a t i a l r c s i s t i \ ' i t y d i s t r i b u t i o n . i . e . t h e r e s i s t i v i t y c h a n g e s a b r u p t l y b e t w e e n t w o n e i g h b o r i n g b l o c k s a n d e x t r a o r d i n a r y k m o r h i g h r e s i s t i v i t i e s a p p e a r . A l t h o u g h t h e r o u g h m o d e l c o u l d r e s u l t n u m e r i c a l c l o s e l y m a t c h i n g t h e o b s e r v e d d a t a , i t o f t e n d o e s n o t s e e m t o r e p r e s e n t t h e t r u e s t r u c t u r e . I n o r d e r t o a v o i d t h e s e p h e n o m e n a a m i t o r e d u c e t h e n o n - u n i q u e n e s s o f m o d e L s m o o t h i n g f a c t o r i s i n t r o d u c e d . I n t h e a b o \ · e \ Y o r k s i t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e q u a l i t y o f i n v e r s i o n g r e a t l y d e p e n d s o n t h e s m o o t h i n g b c t o r a n d t h e n u m b e r o f u n k n o w n r e s i s t i v i t y b l o c k s . 6 . 3 F o r w a r d M o d e l i n g o f a 2 0 e a r t h S t r u c t u r e 6 . 3 . 1 A c q u i r i n g F i e l d M e a s u r e m e n t s f o r a 2 0 s t u d y 2 a 2 a 2 a 5 4 ' h M e a s u r e m e n t c l p l p 2 ( 2 a a c 1 s t M e a s u r e m e n t c l p l p 2 ( 2 E l e c t r o d e N u m b e r 1 2 3 1 \ 5 6 7 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 1 ' ' M e a s u r e m e n t 5 3 ' " M e a s u r e m e n t > ) 0 5 4 t h M e a s u r e m e n t 1 0 3 ' d M e a s u r e m e n t F i g u r e 6 . 1 - A p p a r e n t r e s i s t i v i t y p s e u d o s e c t i o n f o r I m s p a c e d 5 6 m u l t i e l e c t r o d e a r r a y T h e f i e l d m e a s u r e m e n t s f o r a 2 0 s t u d y i s o b t a i n e d f i r s t b y m o v i n g a n e l e c t r o d e a r r a y l a t e r a l l y a l o n g t h e f i e l d l i n e o f i n t e r e s t w i t h a f i x e d e l e c t r o d e s p a c i n g , s e c o n d l y t h e a n a y e l e c t r o d e i n t e r v a l s i s i n c r e a s e d i n s t e p s a n d t h e m e a s u r e m e n t s a r e r e p e a t e d l y t a k e n . P r e s e n t l y a u t o m a t i c f i e l d m e a s u r e m e n t a c q u i r i n g i n s t r u m e n t s a r e a v a i l a b l e , 1 0 8 1 1 h i c h t h e s e i n s t r u m e n t s o p e r a t e i n a m u l t i e l e c t r o d e m o d e t o a c q u i r e a s e t o f f i e l d m e a s u r e m e m s a t o n c e . I n t h e p r e s e n t s t u d y a 5 6 m u l t i e l e c t r o d e W e n n e r a r r a y w i t h 1 m s p a c i n g i s c o n s i d e r e d . T h e i n i t i a l e l e c t r o d e s p a c i n g ( a ) i s s e t t o 1 m a n d t h e s p a c i n g i s i n c r e a s e d i n I m s t e p s . T h i s a d o p t s a n a p p a r e n t r e s i s t i , · i t y p s e u d o s e c t i o n w i t h 4 9 5 f i e l d m e a s u r e m e n t s ( F i g u r e ( J . I ) . 6 . 3 . 2 C o n s t r u c t i o n o f a 2 0 s t r u c t U J · e T h e 2 0 s t r u c t u r e . a f t e r t h e i m u s i o n o f t h e f i e l d d a t a i s i n t e r p r e t e d w i t h a c e l l o r b l o c k b a s e d m o d e l . A m o d e l m e s h i s u s e d f o r t h i s p u r p o s e . T h i s m o d e l m e s h d e s c r i b e s a 2 0 r e s i s t i \ i t y s t r u c t u r e a l o n g t h e s u r v e y l i n e b y i n i t i a l l y d i v i d i n g t h e s u r f a c e m e d i u m i n t o m a n y r e c t a n g u l a r b l o c k s . A c o n s t a n t r e s i s t i v i t y w i l l b e a s s i g n e d t o t h e i n d i v i d u a l c e l l s i n t h e i n , · e r t e d 2 D m o d e l . T h e m e s h d i s c r e t i z a t i o n f o r t h e p r e s e n t s t u d y i s g i , · e n i n T a b l e 6 . 1 . T h e b l o c k b o u n d a r i e s i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n a r e a t t h e p o s i t i o n o f a n e l e c t r o d e . T h e s e r e s u l t s i n a m e s h \ v i t h 3 8 5 m e s h d i v i s i o n s o r b l o c k s ( F i g u r e 6 . 2 ) . I \ u m b e r o f m e s h d i v i s i o n s s e t s t h e m i n i m u m n u m b e r o f c e l l s b e t w e e n t h e e l e c t r o d e s . I f t h i s i s s e t t o a l a r g e r v a l u e a f i n e r m e s h o f h i g h e r a c c u r a c y w i l l r e s u l t f o r t h e i m e r t e d m o d e l w h i i s L l o n g e r r u n t i m e o f t h e p r o g r a m . T h i s i s d u e t o t h e n u m b e r o f o u t p u t n o d e s i n t h e o u t p u t l a y e r o f t h e N e u r a l n e t w o r k i s s e t t o t h e n u m b e r o f m e s h d i \ i s i o n s . T h i c k n e s s i n c r e m e n t a l f a c t o r i s a p p l i c a b l e t o s u r f a c e r e s i s t i v i t y s u r v e y s w h e r e m o d e l r e s o l u t i o n d e g r a d e s w i t h t h e d e p t h . A l a r g e t h i c k n e s s i n c r e m e n t a l f a c t o r w i l l r e d u c e t h e r u n t i m e o f t r a i n i n g t h e N e u r a l N e t v , ; o r k s i n c e t h i s f a c t o r t o o d e c i d e s o n t h e n u m b e r o f m e s h d i , · i s i o n s . T h e r e f o r e t h e n u m b e r o f m e s h d i v i s i o n s a n d t h e t h i c k n e s s i n c r e m e n t a l f a c t o r a r e s e t s u c h t h a t t o m i n i m i s e t h e t r a i n i n g t i m e o f t h e n e u r a l n e t \ \ o r k . D e p t h f a c t o r d e t e n n i n e s t h e d e p t h o f t h e i n v e r t e d m o d e l T h e d e p t h o f t h e i n v e 1 1 e d m o d e l i s d e t e r m i n e d b y t h e m a x i m u m m e d i a n d e p t h t i m e s t h e d e p t h f a c t o r . M e d i a n d e p t h i s a f u n c t i o n o f e l e c t r o d e s p a c i n g a n d a r r a y t y p e . 1 0 9 . . ---~-------------- - - - - - - - - : \ l o d e l i n g P a r a m e t e r I P a n u n e t e r Y a l u e - 1 \ - o o f n - 1 e _ s _ h _ _ diY-is-Io-n~ ( i n d i v i d u a l cc·_l_l/_b~-c-k-\vidth) I I 1 1 1 - - - - - - - - · - - - · - - ~ i S \ : t r t i n g t h i c k n e s s o f 1 l 1 c c e l l s - / b l o c k s - - - I ( ) ~)-------------·----- . 1 1 1 I I ~ThJCkncs;i;;-c;:;:;;;-ental f a c t o r _ _ _ _ _ _ -~~.~ 1 I D e p t h F a c t o r ~ -~-- - - - --~- l j : i \ l a x n m n n E l e c t r o d e s p a c i n g f o r f i e l d data~amaJ I I 1 8 . 6 7 1 1 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - . ! \ l c d i a n d e p t h o f m e a s u r e m e n t s ( 1 1 1 ' " ; ) ( _ . , _ . , · / 2 I J . _ u m D e p t h o f i n v e r t e d m o u e ! 1 ( i \ l e d i a n d e p t h x _ D _ e _ , _ p _ t _ h _ F _ a _ c _ t o _ r . : _ ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ j _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 0 . 3 1 1 1 T a b l e 6 . 1 - M o d e l M e s h d i s c r e t i z a t i o n f a c t o r s E l e c t t C I I j e r · . J u m t r e t 0 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 0 3 0 0 3 6 . 0 4 2 0 0 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 4 8 0 5 4 . 0 I J ' : j 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 O I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I : : . 2 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I l l I I I I I I - § . . c t c 4 . 6 t t t t l I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I C i [ ; 2 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ! I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I : : : . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 J 3 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ' I I I I ' I I I I J l I I I I I I F i g u r e 6 . 2 - M e s h d i s c r e t i z a t i o n f o r t h e i n v e r t e d s u b s u r f a c e m o d e l I n t h e p r e s e n t s t u d y t h e w c n n e r a r r a y Y v i t h 5 6 e l e c t r o d e s s p a c e d a t 1 1 1 1 i s c o n s i d e r e d . T h e r e f o r e , \ l a \ i m u m e l e c t r o d e s p a c i n g ( a n m ) = 5 6 / 3 1 1 1 1 1 0 = 1 8 . 6 7 m I \ J c d i a n d e p t h f o r a \ \ T n n c r a r r a y (a 111 "'~) = 1 S . 6 7 / 2 m I . e - D e p t h o C i m · c r t c d m o d e l ( J \ k d i a n d e p t h x D e p t h F a c t o r ) = 9 . 3 3 1 1 1 = 9 . 3 3 X J . 1 = 1 0 . 3 m 6 . 3 . 3 F o r w a r d R e s p o n s e o f 2 0 E a r t h S t r u c t u r e - T h e o r e t i c a l e q u a t i o n s S t a r t i n g w i t h e q u a t i o n ( A . 6 ) t h e d e r e s p o n s e o f a 2 D e a r t h i s g i v e n b y t h e P o i s s o n ' s e q u a t i o n ( n o w , c r i s t h e c o n d u c t i v i t y o f t h e m e d i u m i n s i e m e n s p e r m e t e r ( S I m ) ) . - t T ( . Y • . : : ) V 2 1 " ( X . ) ' . Z ) = . f ( X . ) ' . Z ) ( 6 . 1 ) \ \ " h e r e ( J " ( x . . : : ) i s t h e c o n d u c t i v i t y , r ( x . y . z ) i s t h e e l e c t r i c a l p o t e n t i a l a n d . ! ( x . y . z ) i s t h e c u r r e n t d e n s i t y . f o r a 2 D d i s t r i b u t i o n t h e e l e c t r i c a l c o n d u c t i v i t y i n w h i c h r e s i s t i v i t y v a r i e s a l o n g x a n d : : a x e s f o r a p o i n t s o u r c e A ( x . 0 . 0 ) o f c u r r e n t I a t z = 0 , t h e D C r e s p o n s e i s t h e s o l u t i o n o f ( C . 1 ) . B y a p p l y i n g t h e F o u r i e r t r a n s f o r m t o ( C . I ) \ V i t h r e s p e c t t o y c o o r d i n a t e [ 3 9 ] , w e o b t a i n . \ . l r r ( x . 1 · ) V 1 / ( x , k , , z ) J + k ~ c r ( x , . : : ) V ( x , k , , z ) = J ( x , k , , z ) ( 6 . 2 ) \ \ h e r e 1 ' i n d i c a t e s t h e F o u r i e r t r a n s f o r m a n d k t h e F o u r i e r t r a n s f o r m v a r i a b l e . T h e \ e q u a t i o n ( 6 . 2 ) c a n b e s o l v e d f o r 2 0 s t r u c t u r e s w i t h f i n i t e e l e m e n t m e t h o d o r f i n i t e d i f T e r e n c e s . W e u s e t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d t o c o m p u t e t h e f o r w a r d r e s p o n s e f o r t h e \ \ ' e n n e r a r r a y . 6 . 4 S y n t h e t i c d a t a G e n e r a t i o n S y n t h e t i c d a t a g e n e r a t i o n i s d o n e w i t h a c o m m e r c i a l s o f t w a r e , A G ! E a r t h l n w g e r 2 D J ) e m o ( V e r s i o n 2 . 1 . 8 ( B u i l d 5 0 7 ) ) , C o p r r i g h t 2 0 0 2 - 2 0 0 6 . A 3 0 d a y s d e m o v e r s i o n o f t h i s r e s i s t i v i t y i n v e r s i o n s o f t w a r e \ V a s d o w n l o a d e d f r o m t h e w e b s i t e o f t h e p r o g r a m d e w l o p e r , A G I A d v a n c e d G e o s c i e n c e s I n c , 2 1 2 1 G e o s c i e n c e D r . , A u s t i n , I X 7 8 7 2 6 , I I 1 ' U S A a t t h e w e b a d d r e s s w w w . a g i u s a . c o m . T h i s d a t a i s u s e d f o r t h e N e u r a l n e t w o r k t r a i n i n g a n d t e s t i n g . S e v e r a l c o m m e r c i a l s o f t w a r e ' s a v a i l a b l e f o r 2 D r e s i s t i v i t y i n v e r s i o n w a s e x a m i n e d a n d t r i a l s t u d i e s w e r e c a r r i e d o u t w i t h t h e m t o c h o o s e t h e m o s t r e l i a b l e s o f t w a r e p a c k a g e f o r t h e s y n t h e t i c d a t a g e n e r a t i o n f o r m y p r e s e n t s t u d y . T o g e n e r a t e t h e f o r w a r d r e s p o n s e f o r a g i v e n e a r t h m o d e l i t w a s r e q u i r e d t o s u p p l y t h e r e s i s t i v i t y v a l u e s o f e a c h c e l l i n t h e 2 D m e s h , b y c o l o r i n g t h e i n d i v i d u a l c e l l s . E l e c t r o d e N u m b e r 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 O h m - m 0 . 0 0 9 1 I I I i • 1 1 l l 1 1 1 . 1 1 1 0 0 0 I l I I I I I I I 2 . 0 I ! I I ; i I I I ' I ; j l , ~~ ! I i , , r I I II~ ' ? · I I ~ 4 . 6 : 1 I I i s I t I I i i I I I f 1 0 0 Q · , 0 1 ; + + l + l + ! - 1 1 I I I I I I I I + + I I I I I I I I l+IHl-l-l-1-+l+IH~ " ' ' l l l l l ' l l I f 2 0 I I I I I l I I I I I I I I I I I I I I ' I ' I I I ' I I I I I 1 1 1 1 1 1 I I ' I I - 1 0 1 0 . 3 I F i g u r e 6 . 3 - A n o m a l o u s b o d y a s s i g n m e n t s t o g e n e r a t e s y n t h e t i c d a t a ( O r i g i n a l i s i n c o l o r ) F o r C A S E 1 d a t a b a s e g e n e r a t i o n w a s d o n e b y m o v i n g a 1 0 0 O . m a n o m a l o u s b o d y o f d i f f e r e n t s i z e t o d i f f e r e n t m e s h p o s i t i o n s a s s h o w n i n F i g u r e 6 . 3 . T h e 1 3 0 n u m b e r o f e n t i r e b o d y a s s i g n m e n t s u s e d f o r t h e d a t a b a s e a r e g i v e n i n A p p e n d i x F . A c o n s t a n t r e s i s t i v i t y i s a s s i g n e d t o e a c h o f t h e b l o c k s . W i t h t h e c o m m e r c i a l s o f t w a r e t h e f o r w a r d r e s p o n s e i s t h e n g e n e r a t e d a n d t h e r e s u l t s a r e s a v e d i n t h e ' . s t g ' f o r m a t ( F i g u r e 6 . 4 ) . T h e n w i t h a V i s u a l B a s i c p r o g r a m t h e r e l e v a n t d a t a f o r t h e t r a i n i n g i s e x t r a c t e d f r o m t h e . s t g f i l e a n d s t o r e d i n . t x t f o r m a t a s a t e x t f i l e . F o r C A S E 2 s y n t h e t i c d a t a g e n e r a t i o n w a s d o n e b y c h a n g i n g b o t h t h e h o m o g e n e o u s m e d i u m r e s i s t i v i t y a n d t h e a n o m a l o u s b o d y ' s r e s i s t i v i t y . H o m o g e n e o u s m e d i u m o r t h e b a c k g r o u n d r e s i s t i v i t y i s v a r i e d b e t w e e n 5 0 Q m a n d 1 0 0 0 Q m . T h e a n o m a l o u s b o d y r e s i s t i v i t y i s v a r i e d b e t w e e n 1 0 0 Q m a n d 1 0 0 0 0 O . m a n d i t i s m o v e d t o d i f f e r e n t m e s h p o s i t i o n s w i t h v a r i a b l e s i z e s . C A S E 2 m e s h a s s i g n m e n t s i n c l u d e d t h e 1 3 0 m e s h 1 1 2 a s s i g n m e n t s g i v e n i n A p p e n d i x F . T h e d a t a i s s a v e d a n d p r o c e s s e d s i m i l a r l y a s i n C A S E 1 . T a b l e 6 . 2 g i v e s t h e R e s i s t i v i t y C o m b i n a t i o n s u s e d f o r C A S E 2 t r a i n i n g d a t a b a s e p r e p a r a t i o n . O h m - m 0 0 I I I u J 10 0 0 2 0 1 2 0 0 : ! e 4 6 t O O i 0 e 5 . . C i 8 I 0 0 H 4 7 7 0 9 3 I ! ' ' i i : l ! ' . l ( a ) 0 0 6 0 1 2 0 I S O l J O l l O ( b ) : . . , d . , a n < e d Geos~~~f'l(.e!) I n c (~~~:) s t 1 n q . l s o p e r s t i P g Me~~ured a . t t 4 , - ' " : . . t r 1 , . , e a d o t o > l ! t b r . o G l E < o r t h r m . u : e r ~D P e m o . v e r s \ o : U n i t : . . . e a r · ; 1 . USE~ . ~OOi"OF : 2 . U S E R . ~00701 : 3 . U % R . c 0 0 7 C • 1 ~ . U S E R . c 0 0 7 0 1 ; s . U S E R , ~C0701 : Q • U $ E R . ~00701 ;1 . U S E R . : O O ? Q 1 :S . U S E R . : 0 0 1 0 1 . ~ . U S E R , : O O ? O l : 1 0 . U S E R . ~00701 l 1 . U S E R . . c 0 7 0 l :1 2 . U S E R . c 0 0 7 0 l ! l , l . U S E R . ~00701 : 1 4 . U S H . • t O ' O l ' 1 \ II~~~ 1 ( 1 ) ( 1 1 : ( 3 C 7 5 6 . 9 . 4 6 5 7 1 E - 0 1 . 3 0 7 S o . 9 . 7 1 1 8 7 E - ( • 1 . 3 u 7 5 6 . 1 . 0~114E•OO . 3 ~7 5 6 . 1 . 0 5 c 3 7 E • O O . 3 v 7 5 6 . 1 . 0 9 7 7 S E • O O . 3 0 7 5~ . l . l~7~3E•OO. 3 U 7 5 6 , l . l 6 6 0 C F · O O . 3 0 7 5 6 . l . 2 3 9 3 7 E + 0 0 . 3 0 7 S~ . l . 3 S o 1 5 E • O O . 3 0 7 S~ . 1 . ~3l4~E·OO . 3 0 7 S~ . 1 . ~7b0SF·OO . 3 0 7 S o . ~ . 024SQE•OO . 3 0 7 S o . ~ . ~Ol~ E·OO . 3 0 7 S t i . > . 1 0 8 7 1 E · O O . ~ ( ' , " ; ~;;..., ' < . : • Q 7 a : : . f l / ' \ ( c ) : : 0 I 10 . 0 0 0 0 . . 0 0 0 0 . . 0 0 0 0 . . 0 0 0 0 . . 0 0 0 0 . . 0 0 0 0 . . 0 0 0 0 . . 0 0 0 0 . . 0 0 0 0 . 0 . 0 0 0 0 , 0 . 0 0 0 0 . 0 . 0 0 0 0 . 0 . 0 0 0 0 . 0 . 0 0 0 0 , ( 1 ( \ ( l f l 0 . 0 0 0 . 0 . 0 0 . 0 0 0 . 0 . 0 0 . 0 0 0 . 0 . 0 0 . 0 0 0 . 0 . 0 0 . 0 0 0 . 0 . 0 0 . 0 0 0 . 0 . 0 0 . 0 0 0 . 0 . 0 0 . 0 0 0 . 0 . 0 0 . 0 0 0 . 0 . 0 0 . 0 0 0 , 0 . 0 0 . 0 0 0 . 0 . 0 0 . 0 0 0 . o . o 0 . 0 0 0 . 0 . 0 o . o o o . o . o r l ( h ' \ n " n F i g u r e 6 . 4 - S y n t h e t i c d a t a g e n e r a t i n g s o f t w a r e o u t p u t s ( a ) S y n t h e t i c M o d e l ( b ) C a l c u l a t e d a p p a r e n t r e s i s t i v i t y p s e u d o s e c t i o n ( c ) d a t a s a v e d i n . s t g f o r m a t ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) F o r C A S E 3 , i . e . D e t e c t i o n o f a n a n o m a l o u s b o d y o f a r b i t r a r y r e s i s t i v i t y i n a t h r e e l a y e r m e d i u m s y n t h e t i c d a t a g e n e r a t i o n s i s d o n e b y c h a n g i n g b o t h t h e l a y e r p a r a m e t e r s ( r e s i s t i v i t i e s o f t h e t h r e e l a y e r s a n d t h e h e i g h t o f t h e t o p t w o l a y e r s ) a n d t h e a n o m a l o u s b o d y ' s r e s i s t i v i t y . T h e l a y e r r e s i s t i v i t i e s a r e v a r i e d b e t w e e n l O O O m a n d l O O O Q m . T a b l e 6 . 3 g i v e s t h e r e s i s t i v i t y c o m b i n a t i o n s u s e d f o r C A S E 3 t r a i n i n g d a t a b a s e p r e p a r a t i o n T h e t o p l a y e r a n d t h e m i d l a y e r h e i g h t s a r e v a r i e d b e t w e e n 0 . 9 - 6 . 2 m a n d 1 . 2 - 5 . 8 m r e s p e c t i v e l y . T h e a n o m a l o u s b o d y r e s i s t i v i t y i s v a r i e d b e t w e e n l O O O Q m a n d 5 0 0 0 O m a n d i t i s m o v e d t o d i f f e r e n t m e s h p o s i t i o n s w i t h v a r i a b l e s i z e s . T h e m e s h 1 1 3 a s s i g n m e n t s a r e a s 3 a m e a s i n A p p e n d i x F . T a b l e g i v e s t h e c o m b i n a t i o n s o f t h e l a y e r r e s i s t i v i t y v a l u e s u s e d . A p p e n d i x G s h o w s t h e l a y e r h e i g h t c o m b i n a t i o n s u s e d f o r t h e d a t a b a s e g e n e r a t i o n . A n o m a l o u s B a c k g r o u n d b o d y ' s r e s i s t i v i t y r e s i s t i v i t y ( Q m ) ( Q m ) 5 0 1 0 0 0 5 0 3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 5 0 0 1 0 0 7 0 0 0 1 5 0 5 0 0 0 2 0 0 8 5 0 0 2 7 5 8 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 3 5 0 1 0 0 3 5 0 4 0 0 0 4 0 0 1 5 0 0 4 0 0 7 0 0 0 4 5 0 3 4 0 0 5 5 0 5 0 0 0 5 7 5 1 0 0 6 0 0 2 5 0 0 6 2 5 9 5 0 0 6 5 0 7 5 0 0 7 0 0 4 2 5 0 8 0 0 1 0 0 8 2 5 2 0 0 0 9 0 0 7 5 0 0 9 5 0 3 5 0 0 1 0 0 0 1 0 0 T a b l e 6 . 2 - R e s i s t i v i t y C o m b i n a t i o n s u s e d f o r C A S E 2 t r a i n i n g d a t a b a s e p r e p a r a t i o n 1 1 4 P , P , P , 1 . 1 0 0 2 3 5 3 0 0 2 . 3 0 0 3 5 0 5 0 0 3 . 5 0 0 7 0 0 1 0 0 0 4 . 2 5 0 5 0 0 8 0 0 5 . 4 2 5 6 5 0 9 0 0 6 . 3 0 0 1 0 0 0 7 2 5 7 . 4 5 0 2 6 0 8 5 0 8 . 6 0 0 3 2 0 9 7 5 9 . 5 4 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 . 7 5 0 3 0 0 1 0 0 0 1 1 . 8 0 0 3 0 0 1 0 0 1 2 . 1 0 0 0 6 0 0 3 5 0 1 3 . 7 0 0 4 0 0 1 0 0 1 4 . 6 7 5 3 5 0 2 2 5 1 5 . 9 0 0 6 5 0 4 3 0 1 6 . 3 5 0 4 5 0 1 0 0 1 7 . 1 2 0 8 0 0 3 5 0 1 8 . 7 2 0 1 0 0 0 3 6 0 1 9 . . 4 0 0 9 0 0 2 5 0 2 0 . 6 2 5 8 7 5 3 0 0 - - T a b l e 6 . 3 - R e s i s t i v i t y C o m b i n a t i o n s u s e d f o r C A S E 3 t r a i n i n g d a t a b a s e p r e p a r a t i o n T h e a n o m a l o u s b o d y r e s i s t i v i t y v a l u e s u s e d f o r d a t a b a s e g e n e r a t i o n a r e , l 0 0 0 Q m , 1 5 0 0 Q m , 2 0 0 0 Q m , 2 5 0 0 Q m , 2 7 5 0 Q m , 3 1 0 0 Q m , 3 6 0 0 Q m , 4 0 0 0 Q m , 4 5 0 0 Q m a n d 5 0 0 0 Q m . 6 . 4 . 1 D a t a b a s e f o r n e t w o r k t r a i n i n g F o r C A S E 1 t h e d a t a b a s e c o n s i s t s o f 1 0 4 0 e x a m p l e s g e n e r a t e d b y a d d i n g G a u s s i a n n o i s e o f 0 % , 0 . 5 % , 1 % , 1 . 2 5 % , 1 . 5 % , 2 % , 2 . 5 % a n d 2 . 7 5 % f o r 1 3 0 d i f f e r e n t m e s h a s s i g n m e n t s . T h e n o i s e v a l u e s a r e s e l e c t e d s u c h t h a t t h e m e a s u r e m e n t n o i s e a n d n u m e r i c a l e r r o r s a r e u s u a l l y b e l o w 3 % [ 4 2 ] . 1 1 5 F o r C A S E 2 t h e d a t a b a s e s c o n s i s t s o f 1 3 0 0 0 e x a m p l e s ( 2 0 r e s i s t i v i t y c o m b i n a t i o n s x 1 3 0 m e s h a s s i g n m e n t s x 5 n o i s e l e v e l s ) , a l l g e n e r a t e d b y v a r y i n g t h e G a u s s i a n n o i s e l e v e l a t 0 % , 1 % , 1 . 5 % , 2 % a n d 2 . 5 % . F o r C A S E 3 t h e d a t a b a s e s c o n s i s t s o f 9 7 5 0 0 0 0 e x a m p l e s ( 2 0 r e s i s t i v i t y c o m b i n a t i o n s x 7 5 l a y e r h e i g h t c o m b i n a t i o n s x 1 3 0 m e s h a s s i g n m e n t s x 1 0 a n o m a l o u s b o d y r e s i s t i v i t i e s x 5 n o i s e l e v e l s ) , a l l g e n e r a t e d b y v a r y i n g t h e G a u s s i a n n o i s e l e v e l a t 0 % , 1 % , 1 . 5 % , 2 % a n d 2 . 5 % . T h e i n p u t d a t a i s p r e p r o c e s s e d t o g i v e n o r m a l i z e d d a t a w i t h u n i t y s t a n d a r d d e v i a t i o n a n d z e r o m e a n . T h e d a t a b a s e i s t h e n s p l i t t o t h r e e s e c t i o n s t o u s e w i t h t h e g e n e r a l i z e d t r a i n i n g o f t h e N e t w o r k . T a b l e 6 . 4 g i v e s t h e s i z e s o f t h e t r a i n i n g s e t , t e s t s e t a n d t h e v a l i d a t i o n s e t . S i z e o f C a s e N u m b e r D a t a b a s e T r a i n i n g S e t V a l i d a t i o n S e t 1 1 0 4 0 6 4 0 2 0 0 2 1 3 0 0 0 7 0 0 0 3 0 0 0 3 9 7 5 0 0 0 0 5 7 5 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T a b l e 6 . 4 - D a t a s e t s e p a r a t i o n 6 . 5 N e u r a l N e t w o r k M o d e l i n g a n d O p t i m i z a t i o n T e s t S e t 2 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 R e f e r r i n g F i g u r e 3 . 2 o f t h e g e n e r a l n e u r a l n e t w o r k a r c h i t e c t u r e , f o r t h e t h r e e c a s e s o f i n t e r e s t n i s s e t t o 4 9 5 ( a p p a r e n t r e s i s t i v i t y p s e u d o s e c t i o n d a t u m p o i n t s ) , a n d m i s s e t t o 3 8 5 ( i n d i v i d u a l c e l l r e s i s t i v i t y a s s i g n m e n t s ) . T h e n o o f h i d d e n l a y e r s a n d h i d d e n n e u r o n s ( l ) a r e f i n a l i z e d o n a t r i a l a n d e r r o r b a s i s a f t e r m o n i t o r i n g t h e t r a i n i n g a n d t e s t i n g e r r o r . W h e n o b s e r v i n g t h e s y n t h e t i c a l l y g e n e r a t e d p s e u d o s e c t i o n s f o r a n a r b i t r a r y r e s i s t i v i t y d i s t r i b u t i o n s c e r t a i n d a t a p a t t e r n s c a n b e r e c o g n i z e d . T h e ' T r a i n r p ' f u n c t i o n ( d i s c u s s e d u n d e r s e c t i o n 3 . 7 . 4 ) i s t h e f a s t e s t a l g o r i t h m o n p a t t e r n r e c o g n i t i o n p r o b l e m s [ 2 8 ] a m o n g t h e a v a i l a b l e s e t o f n e u r a l n e t w o r k t r a i n i n g f u n c t i o n s i n M A T L A B 7 s ' N e u r a l N e t w o r k t o o l B o x . T h e r e f o r e ' T r a i n r p ' , t h e n e t w o r k t r a i n i n g f u n c t i o n t h a t u p d a t e s w e i g h t a n d b i a s v a l u e s a c c o r d i n g t o t h e r e s i l i e n t b a c k p r o p a g a t i o n a l g o r i t h m ( R P R O P ) i s u s e d f o r t h e 2 D r e s i s t i v i t y d a t a i n v e r s i o n . 1 1 6 I n t h e p r e s e n t s t u d y s i n c e d a t a i s s y n t h e t i c a l l y g e n e r a t e d a l a r g e e x a m p l e d a t a b a s e i s a v a i l a b l e . T h e r e f o r e i n o r d e r t o i m p r o v e g e n e r a l i z a t i o n o r t o a v o i d o v e r t r a i n i n g , E a r l y s t o p p i n g w i t h a H o l d o u t c r o s s v a l i d a t i o n i s u s e d . i . e . f o r t h e n e t w o r k o p t i m i z i n g p r o c e d u r e t h e a u t o m a t e d t r a i n i n g t e r m i n a t i o n i s u s e d . 1 1 7 7 . 1 I n t r o d u c t i o n C h a p t e r 7 T h r e e D i m e n s i o n a l R e s i s t i v i t y I n v e r s i o n I n a r e a s \ V h e r e t h e g e o l o g i c a l s t r u c t u r e s a r e a p p r o x i m a t e l y t w o - d i m e n s i o n a l ( 2 D ) , c o n v e n t i o n a l 2 D e l e c t r i c a l i m a g i n g s u r v e y s h a v e b e e n s u c c e s s f u l l y u s e d . T h e m a i n l i m i t a t i o n o f s u c h s u r v e y s i s p r o b a b l y t h e a s s u m p t i o n o f a 2 0 s t r u c t u r e . I n a r e a s \ V i t h c o m p l e x s t r u c t u r e s . t h e r e i s n o s u b s t i t u t e f o r a f u l l y 3 D s u r v e y . R e s e a r c h e r s h a v e o b s e r v e d t h a t 2 D a n d 3 D r e s i s t i v i t y s u r v e y s a t t h e s a m e l o c a t i o n p r o d u c e d v e r y d i f f e r e n t i m a g e s o n t h e s a m e c r o s s s e c t i o n . T h i s d i s c r e p a n c y c a u s e s m u c h c o n f u s i o n a m o n g p r a c t i t i o n e r s a b o u t e f f e c t i v e n e s s o f r e s i s t i v i t y i m a g i n g m e t h o d s . W h e n d e a l i n g w i t h a 3 D r e s i s t i v i t y p r o b l e m a 3 D e a r t h m o d e l w i t h a 3 D a r b i t r a r y r e s i s t i v i t y d i s t r i b u t i o n a n d 3 D e l e c t r i c a l f i e l d d u e t o a p o i n t s o u r c e i s c o n s i d e r e d . A N e u r a l N e t w o r k b a s e d i n v e r s i o n p r o g r a m i s d e s i g n e d t o i n v e r t d a t a c o l l e c t e d w i t h a r e c t a n g u l a r g r i d o f e l e c t r o d e s w i t h t h e p o l e - p o l e a r r a y . A s e v e n b y s e v e n e l e c t r o d e g r i d i s p r o p o s e d f o r t h e p r e s e n t s t u d y w i t h a t o t a l o f 4 9 e l e c t r o d e s . T h e N N i s t r a i n e d t o o u t p u t t o g i v e a c e l l b a s e d i n v e r s i o n m o d e l f o r t h e p r e d e f i n e d m e s h d i s c r e t i z a t i o n . A p a r a d i g m s o f B a c k p r o p a g a t i o n l e a r n i n g a l g o r i t h m n a m e l y R e s i l i e n t b a c k p r o p a g a t i o n i s t e s t e d w i t h d i f f e r e n t n e t w o r k a r c h i t e c t u r e s o n t r i a l a n d e r r o r t o c h o o s e t h e b e s t n e t w o r k w i t h t h e l o w e s t t r a i n i n g a n d t e s t i n g e r r o r t o r e p r o d u c e t h e 3 D s u b s u r f a c e s t r u c t u r e f r o m t h e m u l t i e l e c t r o d e f i e l d m e a s u r e m e n t s . A 3 D c a s e s t u d y o f g e o l o g i c a l m o d e l o f a t w o l a y e r e a r t h w i t h a n e m b e d d e d A n o m a l o u s b o d y i s e x p e r i m e n t e d . 7 . 2 L i t e r a t u r e M a n y r e s i s t i v i t y i m a g i n g p r a c t i t i o n e r s a r e i n t e r e s t e d i n c o m b i n i n g m u l t i p l e 2 D d a t a s e t s c o l l e c t e d a l o n g p a r a l l e l s u r v e y l i n e s i n t o a p s e u d o 3 D d a t a s e t f o r 3 D i n v e r s i o n . I n s u c h c a s e s i t i s o b s e r v e d t h a t m o s t o f t h e f e a t u r e s o n a n e x t r a c t e d s l i c e i m a g e f r o m 3 D i n v e r s i o n a p p e a r e d o n t h e i m a g e f r o m 2 D i n v e r s i o n , b u t t h e 2 D i n v e r t e d r e s i s t i v i t y c r o s s - s e c t i o n a p p e a r e d m o r e c o m p l i c a t e d w i t h m o r e a n o m a l i e s a n d h i g h e r r e s i s t i v i t y c o n t r a s t [ 4 3 J . T h e o b j e c t s w h i c h d i d n o t i n t e r s e c t t h e i m a g i n g p l a n e w o u l d b e f o l d e d 1 1 8 ' L i i " " l l = t A R Y ~~;::1, ~;~SiTY · , j F l.IJiUHt~TUW''· r . . ~~~·~J ~ 0 . 0 2 0 . 0 1 - - h 1 : 5 5 - - h 1 : 6 0 - - h 1 : 6 5 - - h 1 : 7 0 OL-----------~L-----------~------------~ 1 0 0 1 5 0 0 5 0 N u m b e r o f H i d d e n N o d e s ( c ) 1 3 1 0 .071------.-----,-----r------;::::::r:====~ 0 . 0 6 8 ~ 0 . 0 5 . . , ~ g . ( / ) 0 . 0 4 ~ I I ) ~ I I ) 0 . 0 3 ~ 1 - o I I ) ~ 0 . 0 2 0 . 0 1 - - h 1 : 7 5 - - h 1 : 8 0 - - h 1 : 8 5 h 1 9 0 - - h 1 : 9 5 - - h 1 : 1 0 0 o~------~------~------~------~------~ 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 N u m b e r o f H i d d e n N o d e s ( d ) F i g u r e 8 . 2 - T r a i n i n g P e r f o r m a n c e w i t h t w o h i d d e n l a y e r s f o r t h e c u r v e i d e n t i f i c a t i o n n e t w o r k h 1 - N o o f N o d e s i n t h e f i r s t h i d d e n l a y e r ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) F i g u r e 8 . 2 ( a ) t o F i g u r e 8 . 2 ( d ) s h o w s t h a t t h e t r a i n i n g e r r o r h a s r e d u c e d w i t h t h e n o o f h i d d e n n o d e s i n t h e f i r s t l a y e r a n d h a v e c o n v e r g e d w i t h t h e i n c r e a s i n g n u m b e r o f h i d d e n n o d e s i n t h e s e c o n d l a y e r . H o w e v e r t h e e r r o r r e d u c t i o n r a t e w i t h t h e i n c r e m e n t o f t h e H i d d e n n o d e s i s n o t s i g n i f i c a n t . T h e a v e r a g e m e a n s q u a r e e r r o r c o n v e r g e s a r o u n d 0 . 0 2 f o r 1 0 0 h i d d e n n o d e s i n t h e f i r s t l a y e r . T h e r e f o r e n o f u r t h e r t r a i n i n g i s c a r r i e d o u t w i t h t w o h i d d e n l a y e r s . F u r t h e r t o c h e c k w h e t h e r s i g n i f i c a n t c h a n g e s d o o c c u r w i t h t h r e e h i d d e n l a y e r s s e v e r a l t r a i n i n g s e s s i o n s w e r e c a r r i e d o u t . O n e s u c h s a m p l e s e s s i o n r e s u l t s a r e g i v e n i n F i g u r e 8 . 3 . T h e e r r o r l e v e l v a r i a t i o n s h o w s n o i m p r o v e m e n t t o t h e t w o h i d d e n l a y e r c a s e . S i n c e a c c e p t a b l e e r r o r l e v e l s a r e a c h i e v e d w i t h a t w o h i d d e n l a y e r s t h e n o o f h i d d e n l a y e r s i s f i x e d t o t w o , w i t h 8 5 a n d 1 6 5 a s t h e n u m b e r o f n o d e s i n t h e f i r s t a n d s e c o n d h i d d e n l a y e r s r e s p e c t i v e l y . T h e p e r f o r m a n c e o n t h e f i n a l i z e d n e t w o r k d u r i n g t r a i n i n g i s s h o w n i n F i g u r e 8 . 4 . T h e t r a i n i n g , v a l i d a t i o n a n d t e s t e r r o r v a r i a t i o n ( o n u n s e e n d a t a ) i s s h o w n . 1 3 2 o~--~--~----~--~----~--~--~----~--~ 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 N u m b e r o f H i d d e n N o d e s F i g u r e 8 . 3 - T r a i n i n g E r r o r v a r i a t i o n o f t h e c u r v e i d e n t i f i c a t i o n n e t w o r k w i t h t h r e e h i d d e n l a y e r s h l - n o d e s i n t h e f i r s t h i d d e n l a y e r , h 2 - n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r 1 0 0 P e r f o r m a n c e i s 0 . 0 2 0 1 6 8 7 , G o a l i s 0 " 0 Q ) 0 : : . , ! . e n Q ) r - c Q ) Q ) ( 5 C : 0 .i ; 1 0 · 1 " 0 C i i > Q ) ~ a s 6 > . ! : c · m ; : : 1 0 · 2 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 3 9 E p o c h s F i g u r e 8 . 4 - T r a i n i n g , v a l i d a t i o n a n d T e s t p e r f o r m a n c e o f t h e f i n a l i z e d N e t w o r k ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 3 3 1 . 1 . 2 T w o L a y e r P a r a m e t e r D e t e r m i n a t i o n N e t w o r k I n o r d e r t o f i n a l i z e t h e n e t w o r k a r c h i t e c t u r e s i n g l e h i d d e n l a y e r r e s u l t s a n d t w o h i d d e n l a y e r r e s u l t s f o r v a r y i n g n o o f h i d d e n n e u r o n s i s c o m p a r e d f o r t h e ' T r a i n r p ' f u n c t i o n . W i t h r e f e r r i n g t h e F i g u r e 8 . 5 r e s u l t s t h e a v e r a g e t r a i n i n g e r r o r s f o r a s i n g l e h i d d e n l a y e r i s c o n v e r g i n g a r o u n d 0 . 0 7 . F u r t h e r t r a i n i n g s e s s i o n s w a s c a r r i e d o u t t o p e r c e i v e w h e t h e r a n y i m p r o v e m e n t c a n b e d o n e t o t h e t r a i n i n g e r r o r l e v e l w i t h t w o h i d d e n l a y e r s . F i g u r e 8 . 6 ( a ) t o F i g u r e 8 . 6 ( f ) g i v e s t h e t r a i n i n g e r r o r v a r i a t i o n w i t h t w o h i d d e n l a y e r s . 0.3 ,----,---~-----,---------,----,----;::==:::r:::::====~==;~ 0 . 2 5 . . . e w 0 . 2 ~ c t l : J c r ( / ) f f i 0 . 1 5 Q ) : : 2 : Q ) w Q ) 0 . 1 > < ( 0 . 0 5 0 1 0 0 - - - T r a i n i n g E r r o r - - - T e s t E r r o r 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 N u m b e r o f S i n g l e l a y e r H i d d e n N e u r o n s F i g u r e 8 . 5 - T r a i n i n g P e r f o r m a n c e f o r t h e T r a i n i n g F u n c t i o n ' T r a i n r p ' w i t h d i f f e r e n t n o o f h i d d e n n o d e s ( s i n g l e h i d d e n l a y e r a n d t w o h i d d e n l a y e r s ) ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) W i t h t h e r e s u l t s i n F i g u r e 8 . 6 ( a ) i t i s s e e n t h a t , w h e n i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f h i d d e n n o d e s i n t h e f i r s t l a y e r f r o m 2 5 t o 1 0 0 t h e t r a i n i n g e r r o r h a s d e c r e a s e d . B u t i t i s a l s o s e e n t h a t a f t e r 2 5 n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r t h e t r a i n i n g e r r o r h a s t e n d t o i n c r e a s e . F i g u r e 8 . 6 ( b ) s h o w s t h e m o r e d e t a i l e d r e s u l t s o f F i g u r e 8 . 6 ( a ) . B u t t h e r e a f t e r t h e t r a i n i n g e r r o r l e v e l s a r e s e e n i n c r e a s i n g w i t h t h e i n c r e m e n t o f t h e n u m b e r o f n o d e s i n t h e f i r s t l a y e r . T h e r e f o r e c o n t r a s t i n g w i t h t h e r e s u l t s o f 8 . 1 . 1 h e r e t h e e r r o r l e v e l s i n c r e a s e d w i t h t h e i n c r e m e n t o f n o d e s i n t h e h i d d e n l a y e r s . 1 3 4 0 . 7 , - - - - - - , - - - - , - - - - - - - - - - , - - - - , - - - - - - - - - - , - - - - r ; : : : : = = = = = = ' = = = = : : : : ; ! 0 . 6 ~ Q 5 w ~ r o ~ Q 4 w c r o I D ~ Q 3 I D ~ ~ I D ~ 0 . 2 0 . 1 1 0 0 - - h 1 : 2 5 - - h 1 : 5 0 - - h 1 : 7 5 - - h 1 : 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r ( a ) 0 . 7 r-;--,-----,-----,-----,------,------,------,------;::=~==~=::::;~ 0 . 6 ~ 0 . 5 w ~ r o ~ Q 4 w c r o I D ~ Q 3 I D ~ I D ~ 0 . 2 0 . 1 - - h 1 : 2 5 - - h 1 : 5 0 - - h 1 : 7 5 - - h 1 : 1 0 0 I 9 J I ! l . I ~!'X' X : 2 4 Y : 0 . 0 2 3 8 1 QL--~ _ _ L _ _ L__~ _ _ l _ _ L__~ _ _L_~~~ 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 N u m b e r o f n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r ( b ) 1 3 5 0 . 6 g 0 . 5 w ~ < 1 l ~ 0 . 4 ( / ) c < 1 l Q l : : : ! ! : 0 . 3 Q l O l ~ Q l ~ 0 . 2 0 . 1 - - h 1 : 1 2 5 - - h 1 : 1 5 0 - - h 1 : 1 7 5 0 ~----~--~----~----~----~----~----~--~ 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n s e c o n d h i d d e n l a y e r ( c ) - - h 1 : 2 0 0 0 . 6 - - h 1 : 2 2 5 - - - h 1 : 2 5 0 g 0 . 5 w ~ < 1 l ~ 0 . 4 ( / ) c < 1 l Q l : : : ! ! : 0 . 3 Q l O l ~ Q l ~ 0 . 2 0 . 1 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r 8 0 0 ( d ) 1 3 6 0 . 6 0 0 . 5 ~ ~ C t l 5 - 0 . 4 ( / ) c m : : : : E 0 . 3 Q ) O l ~ Q ) ~ 0 . 2 0 . 1 - - h 1 : 2 7 5 - - h 1 : 3 0 0 - - h 1 : 3 2 5 - - h 1 : 3 5 0 ~0~0~-----;0~n~n~-----~~A::A-------.~~~ ----~-~----------_-_L_------~--------J 2 0 v 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 0 . 6 g 0 . 5 L l J ~ C t l 5 - 0 . 4 ( / ) c C t l Q ) : : : : E 0 . 3 Q ) O l ~ Q ) ~ 0 . 2 0 . 1 N u m b e r o f n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r ( e ) - - h 1 : 3 7 5 - - h 1 : 4 0 0 - - h 1 : 4 2 5 - - h 1 : 4 5 0 ~0~0~-----;0~n~n~-----~~A::A-------.~~~~ ----~-~-~--------_-_L_------~--------J 2 0 v 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 N e m b e r o f n o d e s i n S e c o n d H i d d e n l a y e r ( f ) F i g u r e 8 . 6 - T r a i n i n g E r r o r v a r i a t i o n o f t h e t w o l a y e r p a r a m e t e r d e t e r m i n a t i o n n e t w o r k w i t h t w o h i d d e n l a y e r s ( h l - n o d e s i n t h e f i r s t h i d d e n l a y e r ) ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) F i n a l l y b y o b s e r v i n g t h e p e r f o r m a n c e s t h e o p t i m u m n e t w o r k a r c h i t e c t u r e w a s f i n a l i z e d a s 2 5 , 2 4 n o d e s i n f i r s t a n d s e c o n d h i d d e n l a y e r r e s p e c t i v e l y ( F i g u r e 8 . 6 ( b ) ) . 1 3 7 T h e m m 1 m u m a v e r a g e m e a n s q u a r e e r r o r a c h i e v e d w a s 0 . 0 2 3 8 . T h e n e t w o r k p e r f o r m a n c e f o r t h e f i n a l i z e d n e t w o r k i s s h o w n i n F i g u r e 8 . 7 . " 0 Q ) c r 1 0 2 P e r f o r m a n c e i s 0 . 0 1 9 7 2 4 3 , G o a l i s 0 i ; 1 0 1 Q ) r - c : Q ) Q ) 0 c : 0 ·~ 1 0 ° ~ ~ Q ) = > i i 5 " " · 1 c : 1 0 · c : ·c o r = w · 2 _ n 1 n n " - - 5 _ 1 0 0 1 5 0 2 2 1 E p o c h s 2 0 0 F i g u r e 8 . 7 - T r a i n i n g , v a l i d a t i o n a n d T e s t p e r f o r m a n c e o f t h e t w o l a y e r p a r a m e t e r d e t e r m i n a t i o n , f i n a l i z e d N e t w o r k ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 8 . 1 . 3 T h r e e L a y e r P a r a m e t e r D e t e r m i n a t i o n N e t w o r k 0 . 5 . . . . ~ L l : i 0 . 4 l ! ? C 1 l : J 0 " ( / ) f f i 0 . 3 Q l ~ Q l 1 ? ~ 0 . 2 . < ( 0 . 1 A l . € r a g e M e a n S q u a r e E r r o r \ 6 N u m b e r o f S i n l e L a y e r h i d d e n N e u r o n s - - - T r a i n i n g E r r o r - - - T e s t E r r o r o ~------~--------~------~--------~-------- 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 N u m b e r o f S i n g l e L a y e r h i d d e n N e u r o n s F i g u r e 8 . 8 - T r a i n i n g a n d T e s t i n g P e r f o r m a n c e f o r t h e T r a i n i n g F u n c t i o n ' T r a i n r p ' w i t h d i f f e r e n t n o o f h i d d e n n o d e s ( s i n g l e h i d d e n l a y e r ) ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 3 8 F i g u r e 8 . 8 s h o w s t h e t r a i n i n g a n d t e s t i n g e r r o r v a r i a t i o n w i t h t h e v a r y i n g n u m b e r o f n o d e s o f a s i n g l e h i d d e n l a y e r . T h o u g h t h e t r a i n i n g e r r o r r e d u c e s a n d c o n v e r g e , t h e t e s t s e t e r r o r s t a r t s i n c r e a s i n g a f t e r a b o u t 5 0 n o d e s . H o w e v e r t h e t r a i n i n g a n d t e s t i n g e r r o r a r e h i g h c o m p a r i n g t o t h e p r e v i o u s t r a i n i n g r e s u l t s . T h e r e f o r e t h e t r a i n i n g w a s p r e c e d e d w i t h t w o h i d d e n l a y e r s . F i g u r e 8 . 9 ( a ) a n d ( b ) a r e t h e t r a i n i n g p e r f o r m a n c e o f t h e n e t w o r k w i t h t w o l a y e r s w i t h d i f f e r e n t n o o f h i d d e n n o d e c o m b i n a t i o n s . F i g u r e 8 . 6 ( a ) s h o w s t h a t t h e t r a i n i n g e r r o r l e v e l s h a v e d e c r e a s e d w h e n i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f h i d d e n n o d e s i n t h e f i r s t l a y e r . A l s o t h e e r r o r l e v e l s h a s c o n v e r g e d a r o u n d 2 5 0 n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r . T h e n p r o c e e d i n g f u r t h e r b y i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f h i d d e n n o d e s t h e r e s u l t s g i v e n i n F i g u r e 8 . 6 ( b ) s h o w s t h a t e r r o r l e v e l s h a s s t a r t e d i n c r e a s i n g w i t h t h e i n c r e m e n t i n t h e n u m b e r o f b o t h f i r s t a n d s e c o n d l a y e r h i d d e n n o d e s . T h e r e f o r e t r a i n i n g w a s t e r m i n a t e d a n d t h e r e f e r r i n g F i g u r e 8 . 6 ( a ) t h e f i n a l i z e d n e t w o r k a r c h i t e c t u r e w a s d e c i d e d o n t h e m i n i m u m t r a i n i n g e r r o r o f 0 . 0 1 4 , a t 1 0 0 a n d 2 6 0 h i d d e n n e u r o n s f o r f i r s t h i d d e n l a y e r a n d s e c o n d h i d d e n l a y e r r e s p e c t i v e l y . T h e n e t w o r k p e r f o r m a n c e f o r t h e f i n a l i z e d n e t w o r k i s s h o w n i n F i g u r e 8 . 1 0 . o.4 1 ____,-----,-----,--~---.---,------.---~::::!::===::c=~ . . . . e w 0 . 3 5 0 . 3 ! ! ! 0 . 2 5 < 1 l : : : : l 0 ' ( / ) f f i 0 . 2 Q ) : : 2 ~ 0 . 1 5 ~ Q ) > < X : 0 . 1 0 . 0 5 - - h 1 : 2 5 - - h 1 : 5 0 - - h 1 : 7 5 - - h 1 : 1 0 0 I : I H ! l ! U . J I X X : 2 6 0 Y : 0 . 0 1 3 9 3 • Q L---~--~----~--~----~--~----~--~----~--~ 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 5 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r ( a ) 1 3 9 0 . 7 , - r - - , - - - - , - - - - , - - - - r - - r - - , - - - , - - - . - - - - - - - , 0 . 6 g 0 . 5 U J @ c o 5 - 0 . 4 ( / ) c c o ( ! ) : : 2 0 . 3 ( ! ) 0 ) ~ ( ! ) ~ 0 . 2 , 0 . 1 - - h 1 : 1 2 5 - - h 1 : 1 5 0 - - ht.'\.7~ - - h 1 : 2 0 0 I • I h 1 : 2 2 5 h 1 : 2 5 0 0 ' r r 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r ( b ) F i g u r e 8 . 9 - T r a i n i n g E r r o r v a r i a t i o n o f t h e t h r e e c u r v e i d e n t i f i c a t i o n n e t w o r k w i t h t w o h i d d e n l a y e r s " C Q ) 0 : : 1 0 h 1 - n o d e s i n t h e f i r s t h i d d e n l a y e r ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 2 P e r f o r m a n c e i s 0 . 0 1 3 3 4 4 3 , G o a l i s 0 ~ 1 0 1 t - c : Q ) ~ ( ! ) C : 0 f , ; 1 0 ° : g ~ Q ) = > c o g > 1 0 · 1 · c : ' § t - 1 o ' 2 t I I I I I I ~ 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 4 8 E p o c h s F i g u r e 8 . 1 0 - T r a i n i n g , v a l i d a t i o n a n d T e s t p e r f o r m a n c e o f t h e f i n a l i z e d t h r e e l a y e r p a r a m e t e r d e t e r m i n a t i o n N e t w o r k ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 4 0 8 . 2 S i m u l a t i o n R e s u l t s a n d P e r f o r m a n c e o f t h e O n e d i m e n s i o n a l I n v e r s i o n 8 . 2 . 1 C u r v e I d e n t i f i c a t i o n N e t w o r k T o e v a l u a t e t h e N e t w o r k p e r f o r m a n c e o n c l a s s i f i c a t i o n o f t h e c u r v e t y p e t h e t r a i n e d n e t w o r k w i t h a t w o h i d d e n l a y e r s w i t h 8 5 a n d 1 6 5 h i d d e n n o d e s i n f i r s t a n d s e c o n d h i d d e n l a y e r s r e s p e c t i v e l y , u s i n g t h e R e s i l i e n t B a c k p r o p a g a t i o n i s u s e d . 1 2 t e s t d a t a p o i n t s w i t h 2 f o r e a c h c u r v e t y p e a r e u s e d f r o m t h e 1 5 0 e x a m p l e t e s t d a t a s e t f o r t h e p e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n . T h e O n e d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r s o f t h e t e s t s a m p l e s a r e g i v e n i n T a b l e 8 . 1 . p 1 , p 2 a n d p 3 a r e r e s i s t i v i t y v a l u e s o f t h e f i r s t , s e c o n d a n d t h e t h i r d l a y e r w h i l e h , , h 2 a n d ~ a r e t h e h e i g h t s o f t h e f i r s t , s e c o n d a n d t h i r d l a y e r r e s p e c t i v e l y . T h e n e t w o r k p e r f o r m a n c e o n t h e s a m e t e s t s a m p l e s i s e v a l u a t e d w i t h a d d i n g r a n d o m n o i s e . S a m p l e E a r t h P a r a m e t e r s N u m b e r P I P z p 3 h , h 2 ~ S a m p l e 0 1 2 5 6 3 0 - 6 0 0 - S a m p l e 0 2 5 6 0 9 5 0 - 9 . 2 0 0 - S a m p l e 0 3 3 0 0 1 0 0 - 1 0 0 - S a m p l e 0 4 7 5 0 2 5 0 - 3 0 0 - S a m p l e 0 5 1 1 0 5 0 0 9 0 0 2 5 0 0 S a m p l e 0 6 2 7 5 5 7 5 8 2 5 8 . 5 1 0 0 S a m p l e 0 7 5 6 0 1 0 0 8 0 0 5 2 0 0 S a m p l e 0 8 4 8 2 2 5 8 5 0 3 4 0 0 S a m p l e 0 9 1 5 0 4 0 0 7 5 3 5 . 4 0 0 S a m p l e 1 0 1 5 0 4 0 0 7 5 7 1 5 0 0 S a m p l e 1 1 6 2 5 4 0 0 1 5 0 2 . 5 4 . 1 0 0 S a m p l e 1 2 9 7 5 4 5 0 1 0 0 2 . 5 1 8 0 0 T a b l e 8 . 1 - O n e d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r s o f t h e t e s t s e t s 1 4 1 8 . 2 . 1 . 2 . T w o l a y e r c u r v e T y p e 2 3 0 0 > . > :~ 2 0 0 ( / ) Q ) 0 : : i 10o~k c . . c . . < { 0 0 5 S a m p l e 0 3 A p p a r e n t R e s i s t i v i t y c u r v e w i t h / w i t h o u t n o i s e , . . . . . - ' \ . v~ v - - v 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 E l e c t r o d e S p a c i n g 1 - w ! t h o u t . n o i s e I - W i t h n o i s e A - - . . _ , - ' - . . / ' V " ' V 3 5 4 0 4 5 S a m p l e 0 4 A p p a r e n t r e s i s t i v i t y c u r v e w i t h / w i t h o u t n o i s e 5 0 800.---~----~--~----~--~----~--~----. -~ ·~ 6 0 0 ( / ) · u ; Q ) 0 : : 4 0 0 1 - - W i t h o u t n o . i s . . . e . . . . . j - - w i t h n o i s e · ~ l~ - - = = = = - - = C > . ~ . . . . . . . . . . l t 2 0 0 v " " ' = ~""" . . . . . " " " " ' " c . . < { 0L----L----~--~-----L----L---~----~--~ 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 E l e c t r o d e S p a c i n g F i g u r e 8 . 1 3 - T w o l a y e r c u r v e s u s e d f o r e v a l u a t i o n ( t y p e 2 ) ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 1 Q ) ~ 0 . 8 0 Q . ~ 0 . 6 0 : i ! : 0 . 4 1 0 . 2 0 0 1 1 1 Q ) ~ 0 . 8 0 c . . g : 0 . 6 0 : 1 0 . 4 ~ 0 . 2 0 0 1 S a m p l e 0 3 Ar = ; 2 ~ 4 O u t p u t o d e s S a m p l e 0 4 A ~ 2 3 4 O u t p u t N o d e s 5 6 5 6 S a m p l e 0 3 ( w i t h a d d e d n o i s e ) \ 2 3 4 5 6 O u t p u t N o d e s S a m p l e 0 4 ( w i t h a d d e d n o i s e ) 0 1 2 3 4 5 6 O u t p u t N o d e s F i g u r e 8 . 1 4 - N e t w o r k P e r f o r m a n c e f o r t w o l a y e r c u r v e s ( t y p e 2 ) ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 4 3 8 . 2 . 1 . 4 . T h r e e l a y e r c u r v e T y p e H S a m p l e 0 7 A p p a r e n t r e s i s t i v i t y c u r v e w i t h / w i t h o u t n o i s e 800.----.----,----,,----.----.----,----~----. > . ~ 6 0 0 ( J ) ' ( i i Q ) 0 : : 4 0 0 ' E Q ) ~ 2 0 0 ~ o o 6 0 0 > . > '" § 4 0 0 ( J ) Q ) 0 : : ' E ~ 2 0 0 " ' 0 . . 0 . . « ( 0 0 5 - w i t h o u t n o i s e - w i t h n o i s e 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 e l e c t r o d e S p a c i n g S a m p l e 0 8 A p p a r e n t r e s i s t i v i t y c u r v e w i t h / w i t h o u t n o i s e - w i t h o u t n o i s e - w i t h n o i s e 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 E l e c t r o d e S p a c i n g F i g u r e 8 . 1 7 - T h r e e l a y e r T y p e H c u r v e s u s e d f o r e v a l u a t i o n ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) S a m p l e 0 7 S a m p l e 0 7 ( w i t h a d d e d n o i s e ) 1 1 1 A 1 ~ - : - . . ,_,L..,~ I 1 , . . A _ : _ _ _ -'-~L_, ~ 0 . 8 c 0 g . 0 6 Q ) . 0 : : i : 0 . 4 1 0 . 2 n l " ' *' J ' 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 O u t e , . u t No~~s . S a m p l e 0 8 1 t h a e d n o 1 s e ) 1 r I I _ . e i . . . , o o l < > t b t l A I 1 1 1 - . Q ) ~ 0 . 8 0 0 . . ~ 0 . 6 0 : : 1 0 . 4 z 0 . 2 0 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 O u t p u t N o d e s O u t p u t N o d e s F i g u r e 8 . 1 8 - N e t w o r k P e r f o r m a n c e f o r T h r e e l a y e r T y p e H c u r v e s ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) !~ 1 4 5 8 . 2 . 1 . 5 . T h r e e l a y e r c u r v e T y p e K S a m p l e 0 9 A p p a r e n t r e s i s t i v i t y c u r v e w i t h I w i t h o u t n o i s e 250~~--~---.--.---.---.-~==~==~==~ > . ·; 2 0 0 ·~ - ~ 1 5 0 0 : : ~ \ G G ( i j § : 5 0 < ( 0 0 I -~ 2 0 0 . : : : : -~ ( / ) ( l ) 0 : : c 1 0 0 ( l ) 50~ ( i j 0 . . 0 . . < ( 0 0 1 0 I 5 - w i t h o u t n o i s e - w i t h n o i s e 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 E l e c t r o d e S p a c i n g S a m p l e 1 0 A p p a r e n t r e s i s t i v i t y c u r v e w i t h / w i t h o u t n o i s e I ~I I = ~ - W i t h o u t n o i s e - - w i t h n o i s e 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 E l e c t r o d e S p a c i n g F i g u r e 8 . 1 9 - T h r e e l a y e r T y p e K c u r v e s u s e d f o r e v a l u a t i o n ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) ~ 0 . 8 r : 0 g . 0 6 ( l ) 0 : : - t ! : 0 . 4 ! S a m p l e 0 9 ( l ) 0 . 2 z • . t 0 I . . . * i f < ~ 0 . 8 r : 0 ~ 0 .6 0 : : - t ! : 0 . 4 j 0 . 2 0 0 0 2 3 4 Ou~ut . 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T h r e e l a y e r c u r v e T y p e Q S a m p l e 1 1 A p p a r e n t r e s i s t i v i t y c u r v e w i t h / w i t h o u t n o i s e ~ 800~~--~--~--~~--~--~==~==~~ - w i t h o u t n o i s e ·. 5 6 0 0 ( / ' ) · ; ; ; Q ) 0 : : 4 0 0 ' E ~ ~200 0 . . < { - w i t h n o i s e QL---L---~ _ _ J _ _ _ _ L _ _ _ L _ _ _ L _ _ ~--~----L---J 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 E l e c t r o d e S p a c i n g S a m p l e 1 2 A p p a r e n t r e s i s t i v i t y c u r v e w i t h / w i t h o u t n o i s e 1500.---.---.---,---~---.---,---.---.----.-~ ~ 1 - w i t h o u t _n o i s e l - W i t h n O I S e . l : : -~ 1 0 0 0 ( / ' ) Q ) 0 : : ' E ~ 5 0 0 " ' 0 . . ~ QL---L---~ _ _ J _ _ _ _ L _ _ _ L _ _ _ L _ _ ~--~----L---J 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 E l e c t r o d e S p a c i n q F i g u r e 8 . 2 1 - T h r e e l a y e r T y p e Q c u r v e s u s e d f o r e v a l u a t i o n ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) ~ 0 . 8 0 g . 0 6 Q ) 0 : : - c 0 . 4 ~ ~ 0 . 2 S a m p l e 1 1 d 0 I , , * , / I I ~ 0 . 8 c : 0 ~0.6 0 : : - c 0 . 4 0 1 2 3 4 5 6 O u t p u t N o d e s S a m p l e 1 2 ~ 0 2 • ' z t • 0 I T T 0 2 3 4 5 6 g : 0 B c 0 g - 0 6 < » 0 : : - = 0 4 ~ Q l 0 2 z : : l 0 . 8 c 0 g - 0 6 < » 0 : : - = 0 4 ~ Q l 0 2 z S a m p l e 1 1 ( w i t h a d d e d n o i s e ) / 0 1 2 3 4 5 6 O u t p u t N o d e s S a m p l e 1 2 ( w i t h a d d e d n o i s e ) 0 2 3 4 5 6 O u t p u t N o d e s O u t p u t N o d e s F i g u r e 8 . 2 2 - N e t w o r k P e r f o r m a n c e f o r T h r e e l a y e r T y p e Q c u r v e s ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 4 7 8 . 2 . 2 T w o L a y e r P a r a m e t e r D e t e r m i n a t i o n N e t w o r k T o e v a l u a t e t h e N e t w o r k p e r f o r m a n c e o n d e t e r m i n i n g t w o - l a y e r p a r a m e t e r t h e t r a i n e d n e t w o r k w i t h t w o h i d d e n l a y e r s w i t h 2 5 a n d 2 4 h i d d e n n o d e s u s i n g t h e R e s i l i e n t B a c k p r o p a g a t i o n i s u s e d . T w o o f t h e a b o v e t e s t d a t a p o i n t s ( s a m p l e 0 1 a n d s a m p l e 0 3 ) f o r e a c h c u r v e t y p e a r e u s e d f r o m t h e 1 5 0 e x a m p l e t e s t d a t a s e t f o r t h e p e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n . T h e n e t w o r k p e r f o r m a n c e o n t h e s a m e t e s t s a m p l e s i s e v a l u a t e d w i t h a d d i n g r a n d o m n o i s e . 8 . 2 . 2 . 1 T w o L a y e r C u r v e T y p e l T h e s i m u l a t e d a n d a c t u a l p a r a m e t e r v a l u e s f o r s a m p l e 0 1 a r e p r e s e n t e d b e l o w i n T a b l e 8 . 2 a n d o n l o g l o g s c a l e ( F i g u r e 8 . 2 3 ) w i t h t h e a c t u a l p a r a m e t e r s ( i n b l u e ) a n d N e u r a l N e t w o r k o u t p u t p a r a m e t e r s ( i n r e d ) . ' E E . c . 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I N e t w o r k O u t p u t I P a r a m e t e r D e s i r e d V a l u e N o i s e l e s s N o i s y I n p u t i n p u t t m p l e 0 3 p 1 3 0 0 3 0 4 . 6 4 8 2 3 0 7 . 8 3 4 6 p 2 1 0 0 1 0 2 . 1 1 5 5 1 0 7 . 3 4 8 6 h 1 . 0 1 . 0 4 5 4 0 . 8 2 4 0 a b l e 8 . 3 - T w o l a y e r t y p e 2 n e t w o r k o u t p u t f o r s a m p l e s 0 3 w i t h o u t / w i t h n o i s e i n p u t s 1 4 9 E ' E : . c : . Q , -~ > ·~ ( J ) Q ) 0 : : c ~ ~ 1 0 2 < 1 : 1 0 . , E ' E : . c : . Q , > . . : : : 1 i i ( J ) Q ) 0 : : c Q ) r n 2 : : 1 0 2 < 1 : 1 0 ' 1 A p p a r e n t R e s i s t i v i t y V s . E l e c t r o d e S p a c i n g - a - !::;::: = ~ " ' < , ' ~ ~ ~ ~ , , , , . . ~ . . - - D e s i r e d O u t p u t s . - - N e t w o r k o u t p u t s 1 0 ° 1 0 ' E l e c t r o d e S p a c i n g - a ( m ) ( a ) A p p a r e n t R e s i s t i v i t y V s . 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P a r a m e t e r I D e s i r e d V a l u e N e t w o r k N o i s e l e s s N o i s y t I n l p l 5 6 0 5 6 2 . 5 0 5 6 6 . 6 7 p 2 1 0 0 1 0 3 . 2 7 9 9 . 9 8 S a m p l e 0 7 I P 3 8 0 0 8 1 2 . 0 4 7 9 7 . 8 8 ~ 5 5 . 1 3 5 . 4 h 2 2 2 . 0 1 1 . 8 7 T a b l e 8 . 5 - T h r e e l a y e r t y p e H n e t w o r k o u t p u t f o r s a m p l e s 0 7 1 5 2 E E . c Q _ ~ :~ i i i ' C i i & c ~ r o § : < l : 1 0 ! E E . c Q _ ~ · : ; ; ~ ·~ 0 : : c ~ r o a . a . < l : 1 0 " 1 1 0 ! 1 0 - 1 A p p a r e n t R e s i s t v i t y V s E l e c t r o d e S p a c i n g - " " " $ - - / , ' / ' " . : : : : : : : : . : : = = - - D e s i r e d o u t p u t - - N e t w o r k O u t p u t ' ' ' 1 0 ° 1 0 1 E l e c t r o d e S p a c i n g - a ( m ) ( a ) A p p a r e n t R e s i s t i v i t y V s E l e c t r o d e S p a c i n g ' / ' ~ r : : ' / . : : : : : : - ' / . / ' . . _ - . / . . _ ' - - D e s i r e d O u t p u t ~ , L 1 - N e t w o r k O u t p u t l 1 0 ° 1 0 1 E l e c t r o d e S p a c i n g - a ( m ) ( b ) F i g u r e 8 . 2 6 - D e s i r e d o u t p u t s a n d n e t w o r k o u t p u t s f o r s a m p l e 0 7 ( a ) W i t h o u t n o i s e ( b ) w i t h a d d e d n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) & . 2 .3 . 3 T h r e e L a y e r c u r v e T y p e K s i m u l a t e d a n d a c t u a l p a r a m e t e r v a l u e s f o r s a m p l e 0 9 a r e p r e s e n t e d b e l o w i n T a b l e a n d o n l o g l o g s c a l e ( F i g u r e 8 . 2 7 ) w i t h t h e a c t u a l p a r a m e t e r s ( i n b l u e ) a n d N e u r a l o u t p u t p a r a m e t e r s ( i n r e d ) . 1 5 3 E E : . r : : Q _ c · : ; : ~ - C / ) ( ! ) a : : c ~ ~ 1 0 2 c . < t : 1 0 - 1 E E : . r : : Q _ c :~ C i ) · c ; ; Q l a : : c ~ r o c . c . 1 0 2 < t : 1 0 ' 1 A p p a r e n t R e s i s t i v i t y V s E l e c t r o d e S p a c i n g I - ~~ - -'\. - ~ ' . . . - : : - \ - - - - - ; : ; ~ " \ " \ - " ' - D e s i r e d O u t p u t - N e t w o r k O u t p u t l ! l I I J ' ' ' . ' 1 0 ° 1 0 1 E l e c t r o d e S p a c i n g - a ( m ) ( a ) A p p a r e n t R e s i s t v i t y V s E l e c t r o d e S p a c i n g =~ :::-... " \ \ ~ \ \ ~ \ \ - - D e s i r e d O u t p u t ~ - - N e t w r o k O u t p u t 1 0 ° 1 0 1 E l e c t r o d e S p a c i n g - a ( m ) ( b ) F i g u r e 8 . 2 7 - D e s i r e d o u t p u t s a n d n e t w o r k o u t p u t s f o r s a m p l e 0 9 ( a ) W i t h o u t n o i s e ( b ) w i t h a d d e d n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 5 4 P a r a m e t e r D e s i r e d V a l u e N e t w o r k O u t p u t N o i s e l e s s N o i s y I n p u t I n p u t P I 1 5 0 1 5 2 . 3 3 1 5 8 . 0 0 p 2 4 0 0 3 9 8 . 0 7 4 0 5 . 7 4 S a m p l e 0 9 P 3 7 5 7 5 . 7 0 7 7 . 3 4 ~ 3 2 . 8 3 . 3 2 h 2 5 . 4 5 . 2 8 5 . 7 5 T a b l e 8 . 6 - T h r e e l a y e r t y p e K n e t w o r k o u t p u t f o r s a m p l e s 0 9 8 . 2 . 3 . T h r e e L a y e r c u r v e T y p e Q T h e s i m u l a t e d a n d a c t u a l p a r a m e t e r v a l u e s f o r s a m p l e 1 1 i s p r e s e n t e d b e l o w i n T a b l e 8 . 7 a n d o n l o g l o g s c a l e ( F i g u r e 8 . 2 8 ) w i t h t h e a c t u a l p a r a m e t e r s ( i n b l u e ) a n d N e u r a l N e t w o r k o u t p u t p a r a m e t e r s ( i n r e d ) . E E : . c Q . c · : : ; ~ ·~ c : : c ~ r o c . c . < t : 1 0 3 1 0 2 1 0 - 1 A p p a r e n t R e s i s t i v i t y V s E l e c t r o d e S p a c i n g - - - - ' . . . . . . . " ' \ • \ ,, \ , , ~ , , ~ - ~~ - - D e s i r e d O u t p u t - - N e t w o r k O u t p u t 1 0 ° 1 0 1 1 0 2 E l e c t r o d e S p a c i n g - a ( m ) ( a ) 1 5 5 I E E : . r : : Q . ~ · : ; ~ -~ 0 : : : c ~ r o D . . D . . 1 0 3 1 - - < t : 1 0 2 1 0 · 1 A p p a r e n t R e s i s t i v i t y V s E l e c t r o d e S p a c i n g - - -~ ~ - - ' " - ' 11 ~ ' \ . L I I I I t I I I ' I 1 0 ° 1 0 1 E l e c t r o d e S p a c i n g - a ( m ) ( b ) - " \ . " ' \ - , , =~..: ' ' 1 0 2 F i g u r e 8 . 2 8 - D e s i r e d o u t p u t s a n d n e t w o r k o u t p u t s f o r s a m p l e 1 1 ( a ) W i t h o u t n o i s e ( b ) w i t h a d d e d n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) P a r a m e t e r D e s i r e d V a l u e N e t w o r k O u t p u t N o i s e l e s s N o i s y I n p u t I n p u t P I 6 2 5 6 3 1 . 2 6 6 2 3 . 3 3 p 2 4 0 0 4 0 2 . 0 4 4 1 1 . 5 0 S a m p l e 1 1 I P 3 1 5 0 1 4 9 . 0 1 5 2 . 5 4 ~ 2 . 5 2 . 4 3 2 . 3 6 h 2 4 . 1 3 . 8 T a b l e 8 . 7 - T h r e e l a y e r t y p e Q n e t w o r k o u t p u t f o r s a m p l e s 1 1 1 5 6 8 . 2 . 4 N e t w o r k P e r f o r m a n c e f o r t h e F i e l d D a t a T h e p l a y g r o u n d o f U n i v e r s i t y o f M o r a t u w a w a s s e l e c t e d a s t h e f i e l d d a t a a c q u i s i t i o n s i t e . T h e f i e l d d a t a w a s c o l l e c t e d w i t h a W e n n e r a r r a y u s i n g t h e F l u k e 1 6 2 3 E a r t h / G r o u n d T e s t e r ( F i g u r e 8 . 2 9 ) . D a t a w a s a c q u i r e d i n t w o p e r p e n d i c u l a r d i r e c t i o n s a n d t h e a v e r a g e d v a l u e w a s u s e d f o r s i m u l a t i o n s . F i g u r e 8 . 3 0 s h o w s t h e f i e l d a r r a n g e m e n t u s e d i n t h e s u r v e y . F i g u r e 8 . 2 9 - F l u k e t e s t e r u s e d f o r d a t a a c q u i s i t i o n F i g u r e 8 . 3 0 - ( a ) S p i k e c o n n e c t i o n t o e a r t h ( b ) c h a n g i n g a r r a y s p a c i n g a l o n g t h e f i e l d l i n e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) T h e F i e l d d a t a i s g i v e n i n T a b l e 8 . 8 . A p p a r e n t r e s i s t i v i t y f o r t h e m e a s u r e d R e s i s t a n c e i s c a l c u l a t e d u s i n g t h e e q u a t i o n ( 2 . 3 8 ) . T h e F i e l d d a t a i s p l o t t e d o n l o g l o g s c a l e ( F i g u r e 8 . 3 1 ) . 1 5 7 E l e c t r o d e M e a s u r e d A p p a r e n t M e a s u r e d A p p a r e n t A v e r a g e S p a c i n g R e s i s t a n c e R e s i s i t i v i t y R e s i s t a n c e R e s i s i t i v i t y A p p a r e n t ( D i r e c t i o n 1 ) ( D i r e c t i o n 1 ) ( D i r e c t i o n 2 ) ( D i r e c t i o n 2 ) R e s i s t i v i t y ( m ) ( Q ) ( Q m ) ( Q ) ( Q m ) ( Q m ) 0 . 5 1 4 9 . 6 0 4 6 9 . 9 8 1 3 6 . 0 0 4 2 7 . 2 6 4 4 8 . 6 2 I 1 . 0 1 1 5 . 5 0 7 2 5 . 7 1 7 6 . 9 0 4 8 3 . 1 8 6 0 4 . 4 4 I 1 . 5 9 2 . 1 0 8 6 8 . 0 2 7 3 . 3 0 6 9 0 . 8 4 7 7 9 . 4 3 I 2 . 0 6 2 . 2 0 7 8 1 . 6 3 6 0 . 2 0 7 5 6 . 5 0 7 6 9 . 0 6 2 . 5 4 2 . 5 0 6 6 7 . 5 9 4 6 . 1 0 7 2 4 . 1 4 6 9 5 . 8 6 3 . 0 3 0 . 6 0 5 7 6 . 8 0 3 6 . 3 0 6 8 4 . 2 4 6 3 0 . 5 2 3 . 5 2 4 . 7 0 5 4 3 . 1 8 2 7 . 2 0 5 9 8 . 1 6 5 7 0 . 6 7 4 . 0 2 1 . 2 0 5 3 2 . 8 2 2 1 . 2 0 5 3 2 . 8 2 5 3 2 . 8 2 4 . 5 1 8 . 2 1 5 1 4 . 8 8 1 6 . 8 6 4 7 6 . 7 1 4 9 5 . 7 9 5 . 0 1 6 . 2 1 5 0 9 . 2 5 1 4 . 3 9 4 5 2 . 0 8 4 8 0 . 6 6 I 5 . 5 1 4 . 1 7 4 8 9 . 6 8 1 2 . 5 3 4 3 3 . 0 1 4 6 1 . 3 4 I 6 . 0 1 2 . 0 7 4 5 5 . 0 3 1 0 . 7 7 4 0 6 . 0 2 4 3 0 . 5 2 6 . 5 1 0 . 7 0 4 3 7 . 0 0 9 . 3 9 3 8 3 . 5 0 4 1 0 . 2 5 7 . 0 1 0 . 0 0 4 3 9 . 8 2 8 . 3 6 3 6 7 . 6 9 4 0 3 . 7 6 I 7 . 5 9 . 7 0 4 5 7 . 1 0 7 . 5 5 3 5 5 . 7 9 4 0 6 . 4 4 I I 8 . 0 8 . 8 5 4 4 4 . 8 5 6 . 2 3 3 1 3 . 1 5 3 7 9 . 0 0 I 8 . 5 7 . 6 6 4 0 9 . 1 0 6 . 2 0 3 3 1 . 1 2 3 7 0 . 1 1 I 9 . 0 6 . 8 8 3 8 9 . 0 6 5 . 6 9 3 2 1 . 7 6 3 5 5 . 4 1 9 . 5 6 . 4 7 3 8 6 . 2 0 5 . 2 3 3 1 2 . 1 8 3 4 9 . 1 9 1 0 . 0 6 . 0 0 3 7 6 . 9 9 4 . 8 1 3 0 2 . 2 2 3 3 9 . 6 1 1 0 . 5 5 . 5 3 3 6 4 . 8 3 4 . 4 5 2 9 3 . 5 8 3 2 9 . 2 1 1 1 . 0 5 . 1 4 3 5 5 . 2 5 4 . 1 5 2 8 6 . 8 3 3 2 1 . 0 4 1 1 . 5 4 . 9 0 3 5 4 . 0 6 3 . 8 9 2 8 1 . 0 8 3 1 7 . 5 7 1 2 . 0 4 . 4 8 3 3 7 . 7 8 3 . 6 7 2 7 6 . 7 1 3 0 7 . 2 5 1 2 . 5 4 . 4 0 3 4 5 . 5 8 3 . 4 5 2 7 0 . 9 6 3 0 8 . 2 7 1 3 . 0 4 . 2 0 3 4 3 . 0 6 3 . 1 9 2 6 0 . 5 6 3 0 1 . 8 1 1 3 . 5 3 . 9 1 3 3 1 . 6 6 2 . 9 7 2 5 1 . 9 2 2 9 1 . 7 9 1 4 . 0 3 . 7 1 3 2 6 . 3 5 2 . 7 5 2 4 1 . 9 0 2 8 4 . 1 3 1 4 . 5 3 . 5 3 3 2 1 . 6 1 2 . 5 4 2 3 1 . 4 1 2 7 6 . 5 1 1 5 . 0 3 . 3 9 3 1 9 . 5 0 2 . 3 6 2 2 2 . 4 3 2 7 0 . 9 6 1 5 . 5 3 . 2 0 3 1 1 . 6 5 2 . 2 0 2 1 4 . 2 6 2 6 2 . 9 5 1 6 . 0 3 . 0 4 3 0 5 . 6 1 2 . 1 0 2 1 1 . 1 2 2 5 8 . 3 7 1 6 . 5 2 . 9 1 3 0 1 . 6 9 2 . 0 0 2 0 7 . 3 5 2 5 4 . 5 2 1 7 . 0 2 . 7 4 2 9 2 . 6 7 1 . 8 7 1 9 9 . 7 4 2 4 6 . 2 1 1 7 . 5 2 . 5 9 2 8 4 . 7 9 1 . 7 9 1 9 6 . 8 2 2 4 0 . 8 0 1 8 . 0 2 . 4 8 2 8 0 . 4 8 1 . 7 3 1 9 5 . 6 6 2 3 8 . 0 7 1 8 . 5 2 . 4 0 2 7 8 . 9 7 1 . 6 4 1 9 0 . 6 3 2 3 4 . 8 0 1 9 . 0 2 . 4 0 2 8 6 . 5 1 1 . 5 4 1 8 3 . 8 5 2 3 5 . 1 8 1 9 . 5 2 . 1 2 2 5 9 . 7 5 1 . 4 5 1 7 7 . 6 6 2 1 8 . 7 0 2 0 . 0 1 . 9 8 2 4 8 . 8 1 1 . 3 9 1 7 4 . 6 7 2 1 1 . 7 4 T a b l e 8 . 8 - F i e l d d a t a a n d c a l c u l a t e d a v e r a g e d a p p a r e n t r e s i s t i v i t y v a l u e s . 1 5 8 ~ · : ; : ; : : ; ( / ) ' i i i Q ) a : : c e ! r o c . c . < ( Q ) C l ~ Q ) > < ( A v e r a g e A p p a r e n t R e s i s t i v i t y V s E l e c t r o d e S p a c i n g 10 3 ,-~~~~--------~--~--~--~~~~~--------~-- A p p a r e n t R e s i s t i v i t y ( d i r e c t i o n 1 ) A p p a r e n t R e s i s t i v i t y ( d i r e c t i o n 2 ) - - - A v e r a g e A p p a r e n t R e s i s t i v i t y 10 2 ~~~~~--------~--~--~--~~~~~--------~~ 1 0 ° 1 0 1 E l e c t r o d e S p a c i n g F i g u r e 8 . 3 1 - R e s i s t i v i t y c u r v e o f t h e f i e l d d a t a ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) T h e a v e r a g e r e s i s i t i v i t y m e a s u r e m e n t s w e r e t h e n i n p u t t o t h e n e u r a l n e t w o r k t r a i n e d f o r c u r v e i d e n t i f i c a t i o n . T h e r e s u l t s o b t a i n e d a r e g i v e n i n F i g u r e 8 . 3 2 ; t h e n e t w o r k o u t p u t c l a s s i f i e d t h e f i e l d d a t a a s a t h r e e l a y e r t y p e H w i t h a 7 6 . 7 7 % p r o b a b i l i t y . T h e n t o d e t e r m i n e o n t h e O n e d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r s t h e s a m e a v e r a g e r e s i s t i v i t y v a l u e s w e r e i n p u t t o t h e t r a i n e d T h r e e l a y e r p a r a m e t e r e s t i m a t i n g n e t w o r k , w h e r e t h e n e t w o r k o u t p u t g a v e t h e f o l l o w i n g l a y e r p a r a m e t e r s g i v e n i n T a b l e 8 . 9 . I n o r d e r t o v a l i d a t e t h e n e t w o r k p e r f o r m a n c e n e x t s t e p w a s t o c o m p a r e t h e t h e o r e t i c a l a n d m e a s u r e d e l e c t r o d e r e s i s t a n c e o f a n e l e c t r o d e b u r i e d i n t h e p o i n t w h e r e t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y m e a s u r e m e n t s w e r e t a k e n . F o r t h i s a 4 . 6 f e e t , 2 i n c h d i a m e t e r G I p i p e w a s b u r i e d a n d t h e e a r t h r e s i s t a n c e o f t h e e l e c t r o d e w a s m e a s u r e d w i t h t h e s a m e E a r t h / G r o u n d t e s t e r . T h e e l e c t r o d e a r r a n g e m e n t w a s s e t u p s i m i l a r a s s h o w n i n F i g u r e 5 . 1 1 . T h e e l e c t r o d e s p a c i n g b e t w e e n X a n d Y i s s e t t o 2 0 . 0 m ' s , t h i s w a s s e l e c t e d a s t o a v o i d t h e o v e r l a p o f r e s i s t a n c e a r e a s . T h e e l e c t r o d e r e s i s t a n c e m e a s u r e d i s g i v e n i n T a b l e 8 . 1 0 . 1 5 9 N e t w o r k O u t p u t V s C u f \ e T y p e 0 . 8 • ' 1 X : 4 0 . 7 I Y : 0 . 7 6 7 7 0 . 6 : : ; 0 . 5 a . : : ; 0 - " ' 0 . 4 0 ~ Q l z 0 . 3 0 . 2 0 . 1 0 I - - - " - - - - ± _ l 1 2 3 4 5 6 C u f \ e T y p e F i g u r e 8 . 3 2 - C u r v e I d e n t i f i c a t i o n n e t w o r k o u t p u t f o r f i e l d d a t a P a r a m e t e r N e t w o r k O u t p u t F i r s t L a y e r R e s i s t i v i t y P 1 8 0 0 . 4 5 D . m S e c o n d L a y e r R e s i s t i v i t y P 2 5 9 3 . 0 5 D . m B o t t o m L a y e r R e s i s t i v i t y P 3 8 9 7 . 8 7 D . m F i r s t L a y e r h e i g h t ~ 5 . 7 1 m S e c o n d L a y e r h e i g h t h z 2 0 . 7 5 m T a b l e 8 . 9 - E a r t h p a r a m e t e r s d e t e r m i n e d b y t h e t r a i n e d n e u r a l n e t w o r k E l e c t r o d e S p a c i n g b e t w e e n X E l e c t r o d e R e s i s t a n c e ( D . ) a n d Z ( m ) 8 4 5 2 . 0 1 1 0 4 5 2 . 0 1 1 2 4 5 2 . 0 2 T a b l e 8 . 1 0 - M e a s u r e d E l e c t r o d e R e s i s t a n c e T h e r e f o r e t h e E l e c t r o d e R e s i s t a n c e v a l u e w a s m e a s u r e d a s 4 5 2 . 0 1 Q . N o w u s i n g t h e t h e o r e t i c a l e q u a t i o n s i n s e c t i o n s 5 . 7 . 1 a n d 5 . 7 . 2 t h e e l e c t r o d e r e s i s t a n c e w a s c a l c u l a t e d f o r t h e b u r i e d G I p i p e u s i n g t h e p a r a m e t e r s g i v e n i n T a b l e 8 . 9 . T h e M a t h e m a t i c a 5 . 0 s o f t w a r e w a s u s e d f o r t h e e l e c t r o d e r e s i s t a n c e c a l c u l a t i o n s . T h e M a t h e m a t i c a c o d e s 1 6 0 a r e g i v e n i n A p p e n d i x I . T h o u g h i t ' s a t h r e e l a y e r p r e d i c t e d m e d i u m t h e e l e c t r o d e l e n g t h ( ~ 1 . 4 m ) i s l e s s t h a n t h e F i r s t l a y e r h e i g h t ( 5 . 7 1 m ) . T h e r e f o r e t h e e q u a t i o n ( 5 . 2 5 ) w a s u s e d f o r t h e c a l c u l a t i o n s s i n c e t h e c u r r e n t s o u r c e i s n o w o n l y i n t h e f i r s t l a y e r . T h e r e f o r e t h e f i n a l e q u a t i o n u s e d i n t h e c a l c u l a t i o n i s , S u b s t i t u t i n g N = 2 , P I " ' - A I V , - I I f e + k e - V . h 2 A I ~-2nl o 1 - k : e - v . h , e J o ( . . 1 . x ) d . . 1 . ( 8 . 1 ) R = ~(a) I I ( 8 . 2 ) P " ' - A I R - I f e + k e - v . h 2 A I - 2 n l 0 1 - k 1 e - 2 - < h , e 1 0 ( . . 1 . x ) d . . 1 . I ( 8 . 3 ) T h e c a l c u l a t e d E l e c t r o d e r e s i s t a n c e w a s 4 2 4 . 4 2 1 Q . 1 6 1 8 . 3 N e u r a l N e t w o r k M o d e l O p t i m i z a t i o n R e s u l t s f o r T w o D i m e n s i o n a l I n v e r s i o n 8 . 3 . 1 T w o D i m e n s i o n a l C A S E 1 2 . 4 2 . 2 ~ 2 0 ~ u 1 . 8 ~ & ~ 1 . 6 ~ u ~ 1 . 4 u & 1 . 2 u ~ I 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 ~ I X : 5 7 5 Y : 0 . 5 6 3 9 • 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 9 ) 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 N u m b e r o f H i d d e n N o d e s F i g u r e 8 . 3 3 - T r a i n i n g P e r f o r m a n c e f o r t h e T r a i n i n g F u n c t i o n ' T r a i n r p ' w i t h d i f f e r e n t n o o f h i d d e n n o d e s ( s i n g l e h i d d e n l a y e r ) - 2 D C A S E 1 F i g u r e 8 . 3 3 s h o w s t h e t r a i n i n g p e r f o r m a n c e o f t h e R e s i l i e n t B a c k p r o p a g a t i o n a l g o r i t h m w i t h S i n g l e h i d d e n l a y e r . T h e M e a n s q u a r e e r r o r i s c a l c u l a t e d w i t h t h e a v e r a g e p e r f o r m a n c e o n 1 5 n e t w o r k s w i t h d i f f e r e n t i n i t i a l i z a t i o n s . W i t h t h e a b o v e r e s u l t s i t i s s e e n t h a t t h e m i n i m u m e r r o r o f 0 . 5 6 i s a c h i e v e d w i t h 5 7 5 s i n g l e h i d d e n l a y e r n o d e s o f t h e n e t w o r k I n o r d e r t o s e e k f o r t h e a b i l i t y o f t h e n e t w o r k t o a c h i e v e a m u c h s a t i s f a c t o r y e r r o r l e v e l s e c o n d l y s e v e r a l t r a i n i n g s e s s i o n s a r e c a r r i e d o u t w i t h t w o h i d d e n l a y e r s . T h e t r a i n i n g s e s s i o n s w i t h t w o l a y e r s w a s i n i t i a t e d w i t h 2 0 0 n o d e s i n t h e f i r s t l a y e r . F r o m F i g u r e 8 . 3 4 ( a ) i t i s s e e n t h a t n o c o n s i d e r a b l e r e d u c t i o n o f t h e e r r o r l e v e l i s t a k e n p l a c e w h i l e t h e n o d e s i n t h e f i r s t l a y e r a r e i n c r e a s e d t o 2 7 5 i n 2 5 s t e p s . B u t p r o c e e d i n g w i t h 5 0 s t e p s i n n o d e s F i g u r e 8 . 3 4 ( b ) s h o w s t h a t t h e e r r o r l e v e l s h a v e r e d u c e d s a t i s f a c t o r i l y . F u r t h e r p r o c e e d i n g , t h e r e s u l t s s h o w n i n F i g u r e 8 . 3 4 ( c ) s h o w s t h a t a f t e r 5 0 0 n o d e s i n t h e f i r s t h i d d e n l a y e r t h e e r r o r l e v e l s c o n v e r g e a r o u n d 0 . 0 0 6 . S i n c e a n a c c e p t a b l e l o w e r r o r l e v e l i s a c h i e v e d t r a i n i n g w a s t e r m i n a t e d a n d t h e n e t w o r k w a s f i n a l i z e d , w i t h t w o h i d d e n l a y e r s t h e l o w e s t a v e r a g e t r a i n i n g e r r o r n e a r l y 1 6 2 e q u a l t o 0 . 0 0 2 i s a c h i e v e d a t 5 0 0 , 7 0 0 h i d d e n n o d e s f o r t h e f i r s t h i d d e n l a y e r a n d s e c o n d h i d d e n l a y e r r e s p e c t i v e l y . T h e n e t w o r k p e r f o r m a n c e f o r t h e f i n a l i z e d n e t w o r k i s s h o w n i n F i g u r e 8 . 3 5 . T h e t r a i n i n g , v a l i d a t i o n a n d t e s t e r r o r v a r i a t i o n ( o n u n s e e n d a t a ) i s s h o w n . 0 . 2 - - h 1 : 2 0 0 - - h 1 : 2 2 5 - - h 1 : 2 5 0 - - h 1 : 2 7 5 . . . . g L J . J 0 . 1 5 ~ r o : : : : J 0 " ( / ) c r o ~ 0 . 1 1 7 1 \ I \ v ~ { } I I V X : V \ 1 / \ £ . \ J l s . 7 \ . " ' \ I V ~ 0 1 \ 1 IT~*''&~ < ( 0 . 0 5 ' - - - - - - - - ' - - - - - - ' - - - - - - - ' - - - - - - ' - - - - _ L _ - - . 1 _ _ - - ' - - - - _ _ _ _ j 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n s e c o n d h i d d e n l a y e r ( a ) 0 . 2 ~-.,-----,------,-------,-------,------';::===~==::::t - - h 1 : 3 0 0 0 . 1 8 - - h 1 : 3 5 0 - - h 1 : 4 0 0 0 . 1 6 - - h 1 : 4 5 0 g 0 . 1 4 L J . J ~ r o : : : : J 0 " ( / ) ~ 0 . 1 ~ C l l 0 . 0 8 O l ~ C l l > < ( 0 . 0 2 0 ' - - - - _ J _ _ _ L _ _ -L--~--~--L------'--____j 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 N u m b e r o f h i d d e n n o d e s i n s e c o n d h i d d e n l a y e r ( b ) 1 6 3 0 . 0 3 I I I - - h 1 : 5 0 0 - - h 1 : 5 5 0 - - h 1 : 6 0 0 0 . 0 2 5 ~ e U J 0 . 0 2 ~ C l l : J C ] ' ( / ) c : C l l C l l ~ C l l C l I D l i l i i l l i X X : 7 0 0 Y : 0 . 0 0 1 5 7 4 ~ 0 . 0 1 > ~ 0 . 0 0 6 5 1 ~ 4 7 \ 0 \ q \ \ \ I I I I ~ I - - ' 0 d ~ " ' I ~ 0 . 0 0 5 \ I " \ I I ( \ \ v I I I I \ j I ~ 1 I ' K I 0 1 0 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 3 0 0 2 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r ( c ) F i g u r e 8 . 3 4 - T r a i n i n g P e r f o r m a n c e o f t w o h i d d e n l a y e r n e t w o r k f o r 2 D C A S E 1 . h l : n u m b e r o f n o d e s i n t h e f i r s t h i d d e n l a y e r ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) P e r f o r m a n c e i s 0 . 0 0 1 8 0 5 5 2 , G o a l i s 0 1 0 ° - o Q ) 0 : : 1 0 Q ) 1 - - 1 c 1 0 Q ) Q ) 0 C : 0 -~ : - g ~ Q ) : J i i i 0 , c c : " § 1 - 1 0 · 3 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 3 5 E p o c h s F i g u r e 8 . 3 5 - T r a i n i n g , v a l i d a t i o n a n d T e s t p e r f o r m a n c e o f t h e f i n a l i z e d N e t w o r k - 2 D C A S E 1 ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 6 4 8 . 3 . 2 C A S E 2 N e t w o r k O p t i m i z i n g 0 . 6 5 1 . . . 0 . 6 0 ~ ~ ~ 0 . 5 5 g . ~ 0 . 5 • X : 2 2 5 . , ~ Y : 0 . 4 9 9 4 . , 0 . 4 5 ~ . . . . , ~ 0 . 4 0 . 3 5 0 . 3 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 9 ] 0 6 0 0 7 0 0 B O O 9 0 0 1 0 0 0 N u m b e r o f H i d d e n N o d e s F i g u r e 8 . 3 6 - T r a i n i n g P e r f o r m a n c e f o r t h e T r a i n i n g F u n c t i o n ' T r a i n r p ' w i t h d i f f e r e n t n o o f h i d d e n n o d e s ( s i n g l e h i d d e n l a y e r ) - 2 D C A S E 2 T h e R e s i l i e n t b a c k p r o p a g a t i o n i s u s e d f o r t h e t r a i n i n g a n d F i g u r e 8 . 3 6 s h o w s t h e S i n g l e h i d d e n l a y e r p e r f o r m a n c e o f t h e n e t w o r k . T h e m i n i m u m e r r o r o f 0 . 5 i s a c h i e v e d a t 2 2 5 h i d d e n n o d e s . - - h 1 : 2 0 0 - - h 1 : 2 2 5 0 . 6 - - h 1 : 2 5 0 - - h 1 : 2 7 5 g 0 . 5 w ~ r o : > c : r e n c r o Q l : a : Q l 0 ) ~ Q l > < t : 0 . 1 \ l . \ l 2 5 l ' ¥ ? = - =~ , 0 , ' - . / / ~ 0 \ I I I = ~ 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r ( a ) 1 6 5 - - h 1 : 3 0 0 - - h 1 : 3 2 5 0 . 3 - - h 1 : 3 5 0 - - h 1 : 3 7 5 h 1 : 4 0 0 i ! l l m ! 1 J i j ( X : 8 0 0 Y : 0 . 0 0 1 0 8 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 9 0 0 1 0 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r ( b ) F i g u r e 8 . 3 7 - T r a i n i n g P e r f o r m a n c e o f t w o h i d d e n l a y e r n e t w o r k f o r 2 D C A S E 2 1 0 1 P e r f o r m a n c e i s 0 . 0 0 0 8 6 1 2 2 6 , G o a l i s 0 - o ~ d l 1 i i " ' I - c " ' ~ 1 0 · 1 ( . ! ) C : 0 ·~ - o ~ 1 0 . 2 " ' : : > E D . : , . , c · ~ 1 0 " 3 I - 1 0 - 4 0 3 0 6 0 9 0 1 2 0 1 5 0 1 8 0 2 1 0 2 4 0 2 7 0 2 8 0 E p o c h s F i g u r e 8 . 3 8 - T r a i n i n g , v a l i d a t i o n a n d T e s t p e r f o r m a n c e o f t h e f i n a l i z e d N e t w o r k - 2 D C A S E 2 ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) F o r t h e 2 D c a s e 2 , t h e t r a i n i n g p e r f o r m a n c e f o r t w o h i d d e n l a y e r s w i t h v a r i a b l e n o o f h i d d e n n o d e s i s s h o w n i n F i g u r e 8 . 3 7 . T r a i n i n g w a s p r e c e d e d f r o m 2 0 0 h i d d e n n o d e s f o r t h e f i r s t h i d d e n l a y e r . F i r s t t h e t r a i n i n g e r r o r l e v e l s t e n d t o d e c r e a s e w i t h t h e 1 6 6 n u m b e r o f n o d e s i n t h e f i r s t h i d d e n l a y e r a n d c o n v e r g e d a s t h e n u m b e r o f n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r i n c r e a s e d ( F i g u r e 8 . 3 7 ( a ) ) . B u t w h e n t h e n u m b e r o f h i d d e n n o d e s e x c e e d e d 3 2 5 i n t h e f i r s t l a y e r t h e t r a i n i n g e r r o r l e v e l s a r e s e e n i n c r e a s i n g , h o w e v e r c o n v e r g i n g w h e n t h e n u m b e r o f s e c o n d h i d d e n l a y e r n o d e s i n c r e a s e s . F r o m F i g u r e 8 . 3 7 ( b ) , t h e m i n i m u m a v e r a g e t r a i n i n g e r r o r i s a c h i e v e d w i t h 3 2 5 , 8 0 0 n o d e s f o r f i r s t a n d s e c o n d h i d d e n l a y e r s r e s p e c t i v e l y . S i n c e t h e e r r o r s a r e w i t h i n a c c e p t a b l e l o w v a l u e s t h i s a r c h i t e c t u r e f o r 2 D c a s e 2 i s f i n a l i z e d w i t h t w o h i d d e n l a y e r s . T h e n e t w o r k p e r f o r m a n c e f o r t h e f i n a l i z e d n e t w o r k i s s h o w n i n F i g u r e 8 . 3 8 . 8 . 3 . 3 C A S E 3 N e t w o r k O p t i m i z i n g 1 . 3 ,-----,----,,----,-----,----~----~-----.-----, 1 . 2 1 . 1 . . . . g w ~ 0 . 9 : : J 0 " ( / ) ~ 0 . 8 : : 2 Q ) 0 . 7 0 > ~ Q ) ~ 0 . 6 0 . 5 0 . 4 0 1 0 0 2 0 0 X : 3 0 0 1 Y : 0 . 3 8 1 • 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 N u m b e r o f s i n g l e l a y e r n o d e s F i g u r e 8 . 3 9 - T r a i n i n g P e r f o r m a n c e f o r t h e T r a i n i n g F u n c t i o n ' T r a i n r p ' w i t h d i f f e r e n t n o o f h i d d e n n o d e s ( s i n g l e h i d d e n l a y e r ) - 2 D C A S E 3 S i m i l a r l y a s i n t h e p r e v i o u s c a s e s t h e t r a i n i n g w a s p r e c e d e d w i t h s i n g l e h i d d e n l a y e r a n d t w o h i d d e n l a y e r s p r e l i m i n a r y . T h e s i n g l e l a y e r a v e r a g e m i n i m u m e r r o r o f 0 . 3 8 1 w a s a c h i e v e d a t 3 0 0 h i d d e n n o d e s ( F i g u r e 8 . 3 9 ) . F i g u r e 8 . 4 0 g i v e s t h e t w o h i d d e n l a y e r t r a i n i n g p e r f o r m a n c e . T h e n u m b e r o f n o d e s i n t h e f i r s t h i d d e n l a y e r w a s i n c r e a s e d f r o m 2 0 0 t o 3 7 5 i n 2 5 s t e p s . T h e e r r o r i n i t i a l l y r e d u c e d w i t h t h e i n c r e a s i n g n u m b e r o f h i d d e n n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r a n d s e c o n d l y c o n v e r g e d . H o w e v e r t h e c o n v e r g i n g e r r o r l e v e l s w e r e a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o 0 . 0 4 i r r e s p e c t i v e o f t h e n u m b e r o f n o d e s i n t h e f i r s t h i d d e n l a y e r . T h e r e f o r e t r a i n i n g w i t h t w o l a y e r s w a s t e r m i n a t e d . T h e m i n i m u m a v e r a g e e r r o r i n t h i s c a s e w a s 0 . 0 1 9 8 a t 2 5 0 a n d 7 0 0 n o d e s i n t h e f i r s t a n d t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r s r e s p e c t i v e l y . 1 6 7 . . . . g Q ) ~ r o : J 0 ' ( / ) c ~ ~ Q ) O J 0 . 9 ~-__,-------,------,---,------r-~====::r:::=::=:::::- - - h 1 : 2 0 0 0 . 8 - - h 1 : 2 2 5 - - h 1 : 2 5 0 - - h 1 : 2 7 5 - - e n t m l i X X : 7 0 0 Y : 0 . 0 1 9 8 3 r o l i i 0 . 3 ~ 0 . 2 0 . 1 o.o g 5 \ \ . _ / · ~ . , 2 0 0 3 0 0 6 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 4 0 0 5 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r ( a ) 1 . 6 r - - - _ , - - - - - , - - - - - r - - , - - - - - - r - - - - r ; = = = = : c : : : = = = ; - . . . . g U J ~ r o : J 0 ' ( / ) c ~ ~ ~ 0 . 6 ~ > < { 0 . 4 0 . 2 - - h 1 : 3 0 0 - - h 1 : 3 2 5 - - h 1 : 3 5 0 - - h 1 : 3 7 5 o.a 4 1 ~~~-=s:=~ 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 2 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r ( b ) F i g u r e 8 . 4 0 - T r a i n i n g P e r f o r m a n c e o f t w o h i d d e n l a y e r n e t w o r k f o r 2 D C A S E 3 ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) I n o r d e r t o e v a l u a t e t h e e r r o r p e r f o r m a n c e w i t h a n a d d i t i o n a l h i d d e n l a y e r , a t h i r d l a y e r w a s i n t r o d u c e d . R e f e r r i n g F i g u r e 8 . 4 1 ( a ) t o F i g u r e 8 . 4 1 ( c ) i t i s e v i d e n t t h a t t h e a v e r a g e t r a i n i n g e r r o r l e v e l s t e n d t o r e d u c e w i t h t h e i n c r e a s i n g n u m b e r o f h i d d e n n o d e s i n b o t h t h e f i r s t a n d t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r s . H o w e v e r t h e e r r o r l e v e l v a r i a t i o n f o r a f i x e d f i r s t a n d s e c o n d l a y e r c o m b i n a t i o n d e c r e a s e s p r e l i m i n a r y a n d t h e n s t a r t s 1 6 8 i n c r e a s i n g g i v i n g a n o p t i m u m p o i n t . B u t i t i s o b s e r v e d t h a t t h e s e m i n i m u m a v e r a g e e r r o r v a l u e s a r e s t i l l h i g h e r c o m p a r e d t o t h e t w o l a y e r p e r f o r m a n c e , w h i c h i s 0 . 0 6 4 b e i n g t h e m i n i m u m . T h e r e f o r e f u r t h e r t r a i n i n g w a s h a l t e d . 1 . 4 1 I I I - - h 1 : 1 0 0 , h 2 : 2 5 0 g U J ~ 1 . 2 C l l 5 - 0 . 8 C l ) c a l ~ 0 . 6 Q ) O l ~ Q ) ~ - w 1 X : 4 7 5 Y : 0 . 0 9 8 2 8 - - h 1 : 1 0 0 , h 2 : 5 0 0 h 1 : 1 0 0 , h 2 : 7 5 0 - - h 1 : 1 0 0 , h 2 : 1 0 0 0 1 I I 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 2 0 0 3 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n t h e t h i r d h i d d e n l a y e r ( a ) o . 9 , I I - - h 1 : 2 0 0 , h 2 : 2 5 0 0 . 8 0 . 7 . . . . g U J c C l l ~ 0 . 4 Q ) O l ~ 0 . 3 > < t : 0 . 2 0 . 1 0 - 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 - - h 1 : 2 0 0 , h 2 : 5 0 0 7 0 0 h 1 : 2 0 0 , h 2 : 7 5 0 - - h 1 : 2 0 0 , h 2 : 9 0 0 8 0 0 9 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n t h e t h i r d h i d d e n l a y e r ( b ) 1 0 0 0 1 6 9 o . 7 l I I - - h 1 : 3 0 0 , h 2 : 2 5 0 g U J c : : r o Q ) ~ 0 . 3 Q ) C l [ ' ! Q ) ~ 0 . 2 0 . 1 - - h 1 : 3 0 0 , h 2 : 5 0 0 - - h 1 : 3 0 0 , h 2 : 7 5 0 - - h 1 : 3 0 0 , h 2 : 9 0 0 0 1 I I I w o w o 4 0 0 ~o s o o r o o o o o g o o 1 0 0 0 N u m b e r o f h i d d e n n o d e s i n t h e t h i r d h i d d e n l a y e r ( c ) F i g u r e 8 . 4 1 - T r a i n i n g P e r f o r m a n c e o f t h r e e h i d d e n l a y e r n e t w o r k f o r 2 D C A S E 3 ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) F i g u r e 8 . 4 2 g i v e s t h e t r a i n i n g , v a l i d a t i o n a n d t e s t p e r f o r m a n c e o f t h e f i n a l i z e d n e t w o r k w i t h 2 5 0 a n d 7 0 0 n o d e s i n t h e r e s p e c t i v e f i r s t a n d s e c o n d h i d d e n l a y e r s . 2 P e r f o r m a n c e i s 0 . 0 0 9 0 3 9 3 5 , G o a l i s 0 1 0 ,----.----r----.----.----.----.----.----r---~ " 0 o c 1 0 1 i ; Q ) f - c e 1 0 0 ( ! ) C : . 2 ' " " 0 ~ 1 0 - 1 Q ) : ; ; > e n 6 > c : ·~ 1 0 - 2 , : : 1 0 · 3 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 1 8 2 E p o c h s F i g u r e 8 . 4 2 - T r a i n i n g , v a l i d a t i o n a n d T e s t p e r f o r m a n c e o f t h e f i n a l i z e d N e t w o r k - 2 D C A S E 3 ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 8. 4 S i m u l a t i o n R e s u l t s a n d P e r f o r m a n c e o f t h e T w o d i m e n s i o n a l I n v e r s i o n I n t e s t i n g a n i n v e r s i o n m e t h o d u s i n g s y n t h e t i c d a t a , t h e q u a l i t y o f t h e i n v e r s i o n m o d e l c a n b e g a u g e d a g a i n s t t h e k n o w n t r u e s u b s u r f a c e m o d e l . F o l l o w i n g a r e t h e s i m u l a t i o n 1 7 0 o u t p u t s o f t h e o p t i m i z e d a n d t r a i n e d N e u r a l N e t w o r k s f o r t h e o r e t i c a l i n p u t s , w h i c h w e r e u n s e e n b y t h e n e t w o r k s i n t h e i r t r a i n i n g p h a s e s . I n o r d e r t o e v a l u a t e h o w s t r o n g t h e n e t w o r k s w i l l p r e d i c t f o r t h e f i e l d d a t a , d i f f e r e n t p e r c e n t a g e s o f W h i t e G a u s s i a n ~oise i s a d d e d t o t h e t h e o r e t i c a l l y g e n e r a t e d f i e l d d a t a . 8 . 4 . 1 T w o d i m e n s i o n a l C A S E l T o e v a l u a t e t h e N e t w o r k p e r f o r m a n c e o n i n v e r s i o n o f f i e l d d a t a f o r t h e d e t e c t i o n o f a n e m b e d d e d 1 0 0 O m a n o m a l o u s b o d y i n a 1 0 0 0 O m h o m o g e n e o u s m e d i u m t h e t r a i n e d n e t w o r k w i t h t w o h i d d e n l a y e r s w i t h h i d d e n n o d e s u s i n g t h e R e s i l i e n t B a c k p r o p a g a t i o n i s u s e d . 1 0 t e s t d a t a w i t h d i f f e r e n t m e s h a s s i g n m e n t s ( d i f f e r e n t s i z e s , s h a p e s a n d p o s i t i o n s o f t h e a n o m a l o u s b o d y ) w i t h d i f f e r e n t n o i s e l e v e l s i s t e s t e d w i t h t h e f i n a l i z e d n e t w o r k . T h e n e t w o r k p e r f o r m a n c e a n d t h e c o m m e r c i a l s o f t w a r e i n v e r s i o n r e s u l t s f o r t h e s a m e t e s t s a m p l e s i s e v a l u a t e d a n d c o m p a r e d b e l o w . T h e t r a i n e d n e t w o r k w i l l o u t p u t t h e r e s i s t i v i t y v a l u e s o f t h e 3 8 5 b l o c k s . O n e s u c h e x a m p l e o u t p u t f o r t e s t g r i d 1 ( F i g u r e 8 . 4 3 ( a ) ) i s g i v e n i n t h e A p p e n d i x J . A l t h o u g h t h e r e a r e c h a n g e s i n t h e i n d i v i d u a l c e l l v a l u e s t h e y a r e n o t c l e a r l y v i s u a l i z e d w i t h t h e c o l o r v a r i a t i o n i n t h e M a t l a b ' s c e l l b a s e d o u t p u t . T h i s i s d u e t o m a n n e r o f c o l o r d i s t r i b u t i o n i n t h e c o l o r b a r . T h e r e f o r e w i t h a s e p a r a t e M a t l a b r o u t i n e a s m o o t h e d o u t p u t w a s g e n e r a t e d ( F i g u r e 8 . 4 3 ( d ) a n d F i g u r e 8 . 4 4 ( d ) ) . 0 0 6 .0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 O h m - m 0 . 0 U l " ' '!'"tf·•t*!A•·I~>·>~+·•I-" ' ' · i ' ~ . . . I'!M-\.l•·•lt''!~! < > > ) ' l \ ' • 1 • , • 4 • • ' ' ' • . ' ~~~ " ! " " : f ' c . , t 1 ; f I'~ , \ ' t , ~ <,!:~ ¥ . ! t · ! " ~&: t ! J . . . t e . r : · f ' ' ' f " " " " ~ l } g 3 2 ·~~ 4 ~~~: ! : ; . - * ; " ! · 4 : , . -.!~. ;.t;~ ~ . . "!!."~~1_·~,·~-"~t:.t~~ \41~~·~~~~;. t · . \ . , . 1 1 0 0 • ! 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' , ' • ' . 7 . 7 . . 1 3 7 1 0 . 3 - 5 8 . 6 0 . 9 2 . 0 3 . 2 4 . 6 6 . 2 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 3 R M S = 2 . 1 1 % 1 1 = 1 . 1 1 E l e c t r o d e S p a c i n € ( b ) E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) 1 0 0 0 9 0 0 8 0 0 7 0 0 6 0 0 . s o o 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 1 7 2 • • • . . I l l • " I I : I I . . . . . . I . . I I • ' I I • • • • " . • - . . ~ . - • F i g u r e 8 . 4 4 - ( a ) T e s t g r i d 2 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 1 % n o i s e ( d ) S m o o t h e d o u t p u t o f ( c ) ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 0 . 0 6 . 0 1 2 .0 18 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 .0 4 8 . 0 5 4 . 0 O h m - m O D ••t~4~A·&•• · • ••••t••••~•~·~v~•·•~•·~·~~~~··~~·~•·~~••l Mit'~ f.<'$~:~1.1;5~"n,.1'"":t11;- ~ ~'~(,.. { : " : ! . · . , < ' . . . . " ~ ~ : t t ! 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E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 4 5 - ( a ) T e s t g r i d 3 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 2 . 0 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 7 3 0 . 0 6 .0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 .0 5 4 .0 O h r n - m 0 .0 e ' - . / 3 . 2 1 1 0 0 : l 1 1 0 0 0 p , " ~ 8 . 1 ( a ) 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 .0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 .0 u n m - m 0 . 0 1 7 9 e 2 . 6 1 5 2 ' - . / : l 5 . 1 1 2 8 p , " 7 . 7 1 0 9 ~ 1 0 . 3 I n v e r t e d R e s i s t i v i t v S e c t i o n I t e r a t i o n = 1 R M S = 1 . 5 4 % L 2 = 0 .5 9 E l e c t r o d e S ! J a c i m 9 2 ( b ) 0 . 9 1 0 0 0 2 . 0 9 0 0 ' S 3 . 2 8 0 0 7 0 0 : ; 4 . 6 6 0 0 f r 6 . 2 . s oo ~ 4 0 0 8 . 1 3 0 0 2 0 0 10 . 3 0 1 0 0 1 0 2 0 3 0 E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 4 6 - ( a ) T e s t g r i d 4 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 2 . 0 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 0 . 0 6 .0 1 2 .0 1 8 .0 2 4 .0 3 0 .0 3 6 .0 4 2 .0 4 8 .0 5 4 .0 O h m - m 0.0 e 3 . 2 1 1 0 0 v > $ 1 1 0 0 0 p , " C l 8 . 1 ( a ) 0.0 6.0 1 2 .0 1 8 . 0 2 4 .0 3 0 .0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 .0 5 4 . 0 O h m - m 0.0 ~ 134 e 2 . 6 1 2 2 v 5 . 1 ~ ( ~ J ~ 112 ~ · . , _ ( 2 . i l l 7.7 ' _ / / 1 1 0 2 Q ~ \ . 1 0 . 3 9 3 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 1 R M S = 1 . 2 5 % L 2 = 0 . 3 9 E l e c t r o d e Spacin~ ( b ) 1 7 4 0 . 9 2 . 0 s 3 . 2 5 4 . 6 f r 6 . 2 A 8 . 1 1 0 . 3 E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 4 7 - ( a ) T e s t g r i d 5 1 0 0 0 9 0 0 s o c ? 0 0 6 0 0 5 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 1 . 5 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) . • e ' - ' - B 0 . . " Q I I • I I : I ' I I I • I ' I ~ : I ' I • I I ~~ ~~,~~~· ~·~t·A~~t~~~~.~~~~ ~,; '~ ~;; I ~~ ~,~ ~*$~ ~~ . . . . ~~~ t·~ ·~ : ( a ) 0 . 0 6 .0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 .0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 U h m - m 0 .0 ~~~ 2 .6 1 3 9 5 1 1 2 2 7 . 7 1 0 7 1 0 . 3 - 9 4 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 1 R M S = 1 . 2 6 % U = 0 3 9 E l e c t r o d e S p a c i n € ( b ) 1 0 . E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 4 8 - ( a ) T e s t g r i d 6 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m 1 0 0 0 9 0 0 8 0 0 ' l O O 6 0 0 5 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 I I I l l ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 1 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 7 5 D O 6 .0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 .0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 .0 O l u n - r n 0 . 0 : 0 " ' I . > , ; • ' , l " , . , l < ( h ; . . ~ . . . . , . , .~ , _ - · ~ ~ ~ ):!lli'f,_tr.!.'~-.:~ti! _ . : : • I . , . . . , . ~ ' - . - ; , ~. '~ . -~ . - / " " \ - - · . . . - . . . ~ . " l l 1 o o 5 3 . 2 , , ' - ~ c . . Q ) Q 8 . 1 . ) 1 • : : ' ' ! i f ! , . . J ' . , I ~t j > ' , _ . ( a ) D O 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 U h r n - r n 0 . 0 1 3 1 • e 2 . 6 1 1 9 _ , s 5 . 1 10 9 c . . Q ) 7 . 7 9 9 : ) 1 0 . 3 9 1 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 1 R M S = 1 . 0 8 % U = 0 .2 9 E l e c t r o d e S p a c i n € ( b ) 0 . 9 1 0 0 0 2 . 0 9 0 0 8 3 . 2 8 0 0 7 0 0 : s 4 . 6 . s o o f r 6 . 2 ' 5 0 0 4 0 0 ~ 8 . 1 ~00 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 4 9 - ( a ) T e s t g r i d 7 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 2 . 5 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 O l u n - r n 0 .0 • a~·H?• ~"'t ~iloi''ll~ ~.t'""-<1'·~-'' ; h • , · · . . , . 4 " ! l i f i l t ! " t ! J " I I " ' ' i ! t · f l . · f ! · · t ' • . > ' . . . ' ' k li·~'X.: ~l·. I O S !~."- , · ~·~-:i!d~!~!_J-""~., ' / " " \ 3 . 2 q : : f : - , : . ~f • t - . . . . ~" J " ~ ' 1 1 0 0 5 . , ' ' , , . ' ~ 1 1 0 0 0 c . . 8 1 ~ ~. ~ j ' , _ ' . : ' , . ' ' ~ j ~ :~ J w t ' , : , : ~ ~ 4 r . , Q ' t i " ' ' ' ' • , - • - , i ~ t ' , . ~ ""~~~~,,·l;.·,J :~1 ' 1 , ~ · 1 ' ; ' j · " ; • . . t ~~:t i~~ ~~ ~~-~- ~ ( a ) 0 . 0 6. 0 1 2 .0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 U l u n - r n D O 1 5 7 , . . . _ § , 2 . 6 1 3 8 : ; 5 . 1 1 2 1 c . . Q ) 7 . 7 1 0 6 : : : : ) 1 0 . 3 9 4 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 1 R M S = 1 . 1 7 % U = 0 . 3 4 E l e c t r o d e S p a c i n € ( b ) 1 7 6 0 . 9 2 . 0 ? 3 . 2 ~ 4 . 6 f r 6 . 2 ! : l E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 5 0 - ( a ) T e s t g r i d 8 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m 1 0 0 0 9 0 0 8 0 0 7 0 0 6 0 0 . 5 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 1 . 8 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 .0 O h m - m 0 . 0 ' ' " • 4 ' " " · • ' • 1 . , -'~'" { . . . ~ .-,~.~Jt·~.itftW."*'"'~~.~~.l~~s._~"*~~-:.. ·~,.". p : < ' - · ~ : l ' • • ' . . ; t r , - - ~ ' . ' . > . . . ' ~ . ' ' 1 1 0 0 3 . 2 • , I ; 1 , . . , : ; 1 1 0 0 0 0 . . , , ~ . , 0 8 . 1 ~ • ' ~ l ; j . • - , ' ( a ) 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 .0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 U h m - m 0 0 1 5 7 ? 2 . 6 1 3 8 ' - ' ~ 5 . 1 1 2 1 0 . . , 7 . 7 1 0 6 : : ) 1 0 . 3 9 4 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 1 R I I I ! S = 1 . 1 7 % U = 0 . 3 4 E l e c t r o d e S p a c i n E ( b ) ---~~------- 1 0 0 0 9 C i O ~0 7 0 0 6 0 0 S Q O 4 0 0 : s a o 2 0 0 1 0 0 ( c ) F i g u r e 8 . 5 1 - ( a ) T e s t g r i d 9 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 0 . 5 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 7 7 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 .0 2 4 . 0 3 0 .0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 .0 O h m - m 0 . 0 , . . . . . . . . . . . . . ' a 3 2 ' - / 5 C 2 . " Q 8 1 ( a ) . 1 0 0 1 1 0 0 0 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 .0 O h m - m 0 . 0 ~~- I 1 ·~~~-li.tt·a•!M •. 1 t • • • t 1 1 - 1 5 0 i 2~ ~ B 5 . 1 ~ Q 7 1 1 3 3 1 1 7 1 0 4 1 0 . 3 ' w - ¥ R · t - - · n • t e a F n ' · e r n w e n ' · " F ' W ? ' · ' w t - - · w - n m - . 9 2 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 1 R M S = 1 . 3 7 % L 2 = 0 .4 7 E l e c t r o d e Spacin~ ( b ) 0 9 ; ; . _ .·~ " ' . ! : . t i l ~ 1 " 1 £ \ f t ! ! ; · ; ' 1 ! - n • • ! ! ! 1 0 . l i ~ . . ~ & : £ I ! ! ' " ' ' ; , . • l · ~ . : . ~ - '~~ i i I I I ~ l l Q E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 5 2 - ( a ) T e s t g r i d 1 0 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m 1 0 0 0 9 0 0 8 0 0 7 0 0 6 0 0 s o o 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 0 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 8 . 4 . 2 T w o D i m e n s i o n a l C A S E 2 T o e v a l u a t e t h e N e t w o r k p e r f o r m a n c e o n d e t e c t i o n o f a n a n o m a l o u s b o d y w i t h u n k n o w n r e s i s t i v i t y e m b e d d e d i n a h o m o g e n e o u s m e d i u m w i t h u n k n o w n r e s i s t i v i t y t h e t r a i n e d n e t w o r k w i t h a t w o h i d d e n l a y e r s w i t h 3 2 5 , 8 0 0 h i d d e n n o d e s i n t h e r e s p e c t i v e h i d d e n l a y e r s u s i n g t h e R e s i l i e n t B a c k p r o p a g a t i o n i s u s e d . 1 2 t e s t d a t a p o i n t s a r e t e s t e d w i t h t h e f i n a l i z e d n e t w o r k a n d t h e r e s u l t s a r e c o m p a r e d w i t h t h e c o m m e r c i a l s o f t w a r e o u t p u t s . 1 7 8 1 . H o m o g e n e o u s m e d i u m r e s i s t i v i t y 4 5 0 O m , A n o m a l o u s b o d y r e s i s t i v i t y 2 7 5 0 O m 0 .0 e 3 . 2 \ . . . / ; ; p . , . , C i 8 1 0 0 ~ 2 .6 ; ; 5 1 p . , . , 7 . 7 C i 1 0 . 3 • • • ' . . . • : • 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 O h m - m ( a ) . 4 5 0 . 2 7 5 0 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 .0 u n m - m • ~v~ V ' 1 6 7 3 1 0 1 1 6 1 0 3 6 9 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 2 R M S = 1 . 7 3 % L 2 = 0 .7 5 E l e c t r o d e Spacin~ ( b ) I I I l l I I I I l l I I • • • " . • I l l • • - . . F i g u r e 8 . 5 3 - ( a ) T e s t g r i d 1 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 1 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 2 . H o m o g e n e o u s m e d i u m r e s i s t i v i t y 2 0 0 O m , A n o m a l o u s b o d y r e s i s t i v i t y 1 5 0 0 O m 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 O h m - m 0 . 0 e 3 . 2 • 2 0 0 \ . . . / ; ; . 1 5 0 0 p . , . , C i 8 1 ( a ) 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 O h m - m 0 . 0 2 6 4 e 2 . 6 -~ 2 4 3 \ . . . / -~ • . · . l . ; ; 5 1 2 2 4 p . , . , 7 .7 ' . ) 2 0 6 C i . . . . ~ 1 0 . 3 1 9 0 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 1 R M S = 1 . 0 6 % L 2 = 0 .2 8 E l e c t r o d e Spacin~ ( b ) 1 7 9 E ' . . . . _ , t ~ 1 0 . E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 5 4 - ( a ) T e s t g r i d 2 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m 1 2 0 0 1 0 0 0 80 0 6 0 0 2 0 0 ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 1 . 5 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 3 . H o m o g e n e o u s m e d i u m r e s i s t i v i t y 1 0 0 0 Q m , A n o m a l o u s b o d y r e s i s t i v i t y 1 0 0 Q m 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 .0 O h m - m 0 .0 • • • • , , . , , , , , . , , , , , . , , . , , . , , . , , . , , . , , . , , , , , . , , . , , . , , , , , . , 1 0 0 0 ' ? 1 2 r I I I I I I I I I I 1 1 1 1 I I I I I I I I I I I I I I I ' - . . / : ; ~ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 0 0 Q 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' ? ' - . . / : ; ~ " Q ' a " " " ' 1 0 . 0 6 . 0 1 2 .0 1 8 . 0 2 4 . 0 0 0 2 . 6 5 1 7. 7 ( a ) 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 .0 U l l l l l - m 1 3 5 8 1 0 2 3 7 7 0 5 8 0 1 0 . 3 . . . 4 3 7 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 2 R M S = 1 . 7 9 % l 1 = 0 .8 0 E l e c t : o d e S p a c i n € ( b ) 0 . ) 2 . 0 3 . 2 rr - ! j I t 4 . 6 6 . 2 ' . . . . ~ , : ' ' ; · , ' · ' 1 i : . 8 1 0 · ' ,t \ l I \ \ \ . a l . . t \ , \ \ \ \ " ' ' ( ) H \ ? 0 ~() J l ( \ " \ ( \ E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 5 5 - ( a ) T e s t g r i d 3 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 2 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 8 0 4 . H o m o g e n e o u s m e d i u m r e s i s t i v i t y 8 0 0 0 . m , A n o m a l o u s b o d y r e s i s t i v i t y 7 5 0 0 0 . m 0 .0 e 3 . 2 ' - ' s ~ " C l 8 . 1 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 .0 O h m - m ( a ) . 8 0 0 • 7 5 0 0 0 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 .0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 .0 O h m - m 0 0 e ' - ' 2 . 6 s 5 . 1 ~ " 7 . 7 C l 1 0 . 3 I • I ' . . . • I I ~ 1 0 0 0 0 4 5 5 1 2 0 7 1 9 4 3 4 2 9 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 3 R M S = 2 . 7 3 % U = 1 . 8 7 E l e c t r o d e S p a c i n e ( b ) I l l . I l l I l l ' I l l I l l I l l I l l I I I . . . - . - F i g u r e 8 . 5 6 - ( a ) T e s t g r i d 4 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 2 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 5 . H o m o g e n e o u s m e d i u m r e s i s t i v i t y 6 7 0 0 . m , A n o m a l o u s b o d y r e s i s t i v i t y 1 0 0 0 0 . m 0 . 0 e 3 . 2 ' - ' s ~ " C l 8. 1 0 .0 e 2 . 6 ' - ' s 5 . 1 ~ " 7 . 7 C l 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 18 . 0 2 4 .0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 O h m - m 0 0 ( a ) . 6 7 0 . 1 0 0 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 36 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 .0 O h m - m 7 2 3 6 9 9 6 7 5 6 5 2 1 0 . 3 - 6 3 0 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 1 R M S = 1 5 5 % U = 0 . 6 0 E l e c t r o d e S p a c i n e ~ ( b ) 1 8 1 • • • ' . . ~· . 11· . ' I I : I . ' : I I • : i ' l • 1 \ ; ~ II • I • • • • . . . - • F i g u r e 8 . 5 7 - ( a ) T e s t g r i d 5 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 0 . 5 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 6 . H o m o g e n e o u s m e d i u m r e s i s t i v i t y 3 0 0 Q m , A n o m a l o u s b o d y r e s i s t i v i t y 8 0 0 0 Q m 0 . 0 6 .0 1 2 . 0 18 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 O h m - m 0. 0 ' ? 3 . 2 • 3 0 0 ' V ~ -~ Q 8 . 1 / ' " \ g . s ( l . , " Q . ( a ) 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 18 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 u n m - m : : r ~= 5 1 ) . - . 3 8 7 7 . 7 3 1 0 1 0 .3 • ~··p~a¥RR7t · s & ? " R ? R Y m · - · - ; s w w r r · · ' S N M ' r ' • ; z r m - . 2 4 8 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 2 R M S = 2 . 1 5 % U = 0 .9 5 E l e c t r o d e Spacin~ ( b ) • • • I I . . . • • • • I l l ' . . : I I I l l I l l I l l • • • ' ~ . . . . ~ F i g u r e 8 . 5 8 - ( a ) T e s t g r i d 6 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 1 . 8 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 8 2 7 . H o m o g e n e o u s m e d i u m r e s i s t i v i t y 1 0 0 D . m , A n o m a l o u s b o d y r e s i s t i v i t y 6 0 0 0 D . m 0 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 O h m - m 0 . 0 e ' - / 1 2 . 1 0 0 ~ . 6 0 0 0 p . . " ( : l 8 . 1 ( a ) 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 O h m - m 0 . 0 - 2 2 8 • I ' . • I I • • • • ' ' • ' . . . . " . . " ' . . " ' I " ' • I " ' I I l l ' I I I . . . . . F i g u r e 8 . 5 9 - ( a ) T e s t g r i d 7 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) b l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 1 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 8 . H o m o g e n e o u s m e d i u m r e s i s t i v i t y 2 0 0 D . m , A n o m a l o u s b o d y r e s i s t i v i t i e s 1 0 0 0 Q m a n d 4 5 0 0 D . m i ~ v ~ ( : l 8 . 1 ~ ~~ ( a ) 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 .0 2 4 .0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 O h m - m 0 . 0 ~~6 e 2 . 6 ,{~ 2 6 4 ' - ' :· · . , •.·. · · . . , \ ~ 5 . 1 I ·.' ~ ' . . . . ' 7 ' I 2 3 5 p . . . . . . . . . ) " 7 . 7 2 0 9 ( : l . . . . ~ 1 0 . 3 . , - - 1 8 6 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = I R M S = 1 3 3 % U = 0 . 3 7 E l e c t r o d e Spacin~ ( b ) 1 8 3 0 . 9 , . . . . , 2 . 0 _ § , 3 . 2 . s 4 . 6 g : 6 . 2 8 . 1 1 0 . 3. 0 1 0 2 0 3 0 E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) 4 0 5 0 1 0 0 0 : ; o o F i g u r e 8 . 6 0 - ( a ) T e s t g r i d 8 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) b l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 0 . 7 5 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 9 . H o m o g e n e o u s m e d i u m r e s i s t i v i t y 5 0 0 Q m , A n o m a l o u s b o d y r e s i s t i v i t i e s 2 5 0 0 Q m a n d 1 0 0 0 0 Q m 0 . 0 6 .0 1 2 .0 18 . 0 2 4 .0 3 0 . 0 3 6 .0 4 2 . 0 4 8 .0 5 4 . 0 O h m - m 0 . 0 . 5 0 0 e v 3 . 2 . 2 5 0 0 ~ t l . " . 1 0 0 0 0 Q 8 . 1 ( a ) 0 .0 6 . 0 1 2 .0 18 . 0 2 4 . 0 3 0 .0 3 6 .0 4 2 . 0 4 8 .0 5 4 . 0 O h m - m 0 .0 1 5 2 4 e 2 . 6 1 0 8 4 v ~ 5 . 1 7 7 1 t l . " 7 . 7 5 4 8 Q 1 0 . 3 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 2 R M S = 2 .4 9 % L 1 = 0 .9 9 E l e c t r o d e Spacin~ 3 9 0 ( b ) 0 . 9 2 . 0 ' a ' 3 . 2 " " ' . s 4 . 6 f r 6 . 2 ~4000 A 3 8 . 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 . 3 . 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 6 1 - ( a ) T e s t g r i d 9 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 1 . 5 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 8 4 1 0 . H o m o g e n e o u s m e d i u m r e s i s t i v i t y 1 0 0 Q m , A n o m a l o u s b o d y r e s i s t i v i t i e s 2 0 0 0 Q m a n d 5 0 0 0 Q m 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 U h m - m 0 .0 I I I l l . • : I l l I l l ( a ) 0 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 O h m - m 0 . 0 u 4 1 8 ' ? 2 . 6 2 7 7 ' - / 5 5. 1 1 8 3 C l . " 7 . 7 1 2 1 C l 1 0 . 3 I tt t C . . iEiFZci~At*.,...*'"' W ~3 ' - _ 8 0 ' S ' . . . . . , - : a g . A I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 2 R M S = 1 . 4 6 % U = 0 . 3 4 E l e c t r o d e Spacin~ ( b ) ( c ) F i g u r e 8 . 6 2 - ( a ) T e s t g r i d 1 0 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) b l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 1 . 5 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 1 . H o m o g e n e o u s m e d i u m r e s i s t i v i t y 2 0 0 Q m , A n o m a l o u s b o d y w i t h a r e s i s t i v i t y g r a d i e n t o f 1 0 0 0 Q m , 1 5 0 0 Q m t o 2 0 0 0 Q m 0 .0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 O h m - m 0 . 0 • 2 0 0 ' ? 3 . 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 ' - / • 1 5 0 0 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C l . " • 2 0 0 0 C l 8 . 1 ( a ) 0 . 0 6 . 0 1 2 . 0 1 8 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 O h m - m 0 . 0 3 7 0 0 " " \ § , 2 . 6 1 5 5 6 s 5 . 1 6 5 5 C l . " 7 . 7 2 7 5 : : ) 1 0 . 3 1 1 6 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 3 R M S = 2 .4 7 % U = 1 5 2 E l e c t r o d e Spacin~ ( b ) 1 8 5 ' a " " " . s g . A E l e c t r o d e N 1 J m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 6 3 - ( a ) T e s t g r i d 1 1 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m 8 0 0 6 0 0 ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 0 . 5 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 2 . H o m o g e n e o u s m e d i u m r e s i s t i v i t y 4 5 0 O . m , A n o m a l o u s b o d y r e s i s t i v i t y 2 7 5 0 , w i t h 0 . 5 m e l e c t r o d e s p a c i n g . 0 0 3 . 0 6 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 1 8 . 0 2 1 . 0 2 4 . 0 2 7 . 0 O h m - m 0 . 0 e 1 . 6 · · 4 5 0 v 5 . 2 7 5 0 Q , . . Q 4 . 1 ( a ) 0 . 0 3 . 0 6 . 0 9 . 0 1 2 . 0 1 5 . 0 1 8 . 0 2 1 . 0 2 4 . 0 2 7 . 0 U h m - m 0 .0 1 1 8 6 / ' " \ g 1 . 3 8 9 1 5 2 . 6 6 6 9 Q , . . 3 . 9 5 0 3 Q 5 . 1 3 7 8 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 2 R M S = 1 . 3 2 % U = 0 .4 4 E l e c t r o d e S p a c i n € ( b ) 0 . 4 5 1 . 0 ' C ' 1 . 6 E I t r O O D . . : : , ' ~ 2 . 3 1 1 5 0 0 3 . 1 A 4 .0 5 ! 0 1 1 5 0 0 4 0 5 0 E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 6 4 - ( a ) T e s t g r i d 1 2 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 1 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 8 6 8 . 4 . 3 T w o D i m e n s i o n a l C A S E 3 T o e v a l u a t e t h e N e t w o r k p e r f o r m a n c e o n d e t e c t i o n o f a n a n o m a l o u s b o d y w i t h u n k n o w n r e s i s t i v i t y e m b e d d e d i n a t h r e e l a y e r m e d i u m w i t h u n d e t e r m i n e d p a r a m e t e r s t h e t r a i n e d n e t w o r k w i t h a t w o h i d d e n l a y e r s w i t h 2 5 0 , 7 0 0 h i d d e n n o d e s i n t h e h i d d e n l a y e r s . 6 t e s t g r i d s a r e t e s t e d w i t h t h e f i n a l i z e d n e t w o r k a n d t h e r e s u l t s a r e c o m p a r e d w i t h t h e c o m m e r c i a l s o f t w a r e o u t p u t s . 1 . ) 0 . 0 6 . 0 1 2 .0 18 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 0 4 8 0 5 4 .0 Oh . m - m 0 . 0 ~11111.11111. i i i i i i U i I • I l l l r I to o J : : ll l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l f l l l l l l l l l l l l l l l l l l : : ( a ) 0 0 6 . 0 12 . 0 18 . 0 2 4 . 0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 U l l m - m 0.0 2 1 1 0 g 2. 6 :.r~·--,.,_~--~=sr-;~-..,:;;~;;,;."'~~:··~~-~: • . - 9 3 5 5 5. 1 • . . 4 1 5 C l . . . . . . ~ /..--.----~ _..--"...-------"~ . . . . . . . . . . . ~' c 7.7 j 184 10.3 I P . . . . S . I . ' P J ! ' ' . . . . . L 2 • " ( E 1 c l " . 8 2 n v e r t e c l . e s 1S t ! V 1t y e c t ! O n ter~tlon • J v : s • 1. 1 . S ' r ¢ • • U. 1 J e c t t o e :sp~cme ( b ) 2 0 0 0 1 8 0 0 1 6 0 0 1 !~ 1 11111111111111111 ~llllllllllllllllllllllllllllllml! i t l i 4 0 0 2 0 0 0 0 2 0 3 0 4 0 5 0 E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 6 5 - ( a ) T e s t g r i d 1 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 1 . 5 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 8 7 2 . ) 3 . ) 0.0 6 . 0 12 . 0 18 . 0 2 4 .0 3 0 .0 3 6 .0 4 2 .0 4 8 . 0 o. o t n u r t r n n n r r n U t t l t t f n n t n u u r r r n t n n r t n u u r s 3 . 2 ' - ' s C l . 1 1 ) Q 8. 1 0.0 0.0 8 2.6 ' - ' s 5 . 1 ~ Q 7.7 ( a ) 6.0 1 2 .0 18. 0 2 4 .0 3 0 .0 3 6 .0 4 2 . 0 4 8 . 0 5 4 . 0 O h m - m I . I I I I I I 1 _ . 6 0 7 4 8 3 3 8 5 30 6 10.3 It e ra t i o n • 1 R M S • I .9 3 % 0 . 9 , - . , 2 . 0 5 3 . 2 - = 4 . 6 ~ 6 . 2 8 . 1 1 0.3~ I I U . ! ( b ) E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 6 6 - ( a ) T e s t g r i d 2 5 0 0 0 4 5 0 0 4 0 0 0 3 5 0 0 3 0 0 0 2 5 0 0 2 0 0 0 1 5 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 1 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) OD 6 D 12 . 0 18.0 2 4 .0 30.0 3 6 . 0 4 2 .0 4 8 .0 54.0 Oh m - m o n t 1 1 r r r t r t t 1 1 t t r r r r t 1 1 1 1 1 t · u r t n n r r r u u n r r t r r n u n r r r t n n u r 1 2 o o 8 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 " " " " " 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l s o o ' - ' s C l . 1 1 ) Q 8 . 1 ( a ) 1 5 0 I 2 6 o o 0 . 0 6 . 0 1 2 .0 18 . 0 2 4 .0 3 0 .0 3 6 . 0 4 2 . 0 4 8 .0 5 4 .0 U h m - m 0 .0 ~·••••••••••iaaaaaia_aa ...,. aaaaaiaMaaiaaaaaAaaaaaiaa 1 1 1 1 + p _ . 4 1 4 9 ? 2 . 6 ' - " : i 5 . 1 C l . . . ~ : l 1 . 7 10.3 ( b ) 2 0 3 1 9 9 5 4 8 7 1 8 8 4 . ) ~ ~·.~ I I l H I I W Ill ~ I ~ I I I f ! f t l m 11 1 1 B 8 1 1 1 1 1 R l l I l l H I n~~~~ 1 I~~~;~~~]m~u: ~ w 1 U l l l i l W I I u: o 0 1 0 2 0 3 0 E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 6 7 - ( a ) T e s t g r i d 3 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 2 . 3 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 0.0 6 . 0 12.0 1 8 .0 2 4 .0 3 0 .0 3 6 .0 4 2 .0 4 8 .0 5 4 .0 O l u n - m o . o 1 ! ! r r r t r ! ! ! ! 1 ! r r r r t ! ! ! ! ! t r r r r ! 1 ! ! ! r r t r r r ! ! 1 , , r r r t r , ! , , 1 r 1 1 o o a 3 . 2 v : i ( 2 . Q ) Q 8 . 1 ( a ) - I I I I I I I I 1 1 1 1 1 1 . 5 5 0 8 5 0 1 3 1 0 0 0 . 0 6 . 0 1 2 .0 18 . 0 2 4 .0 30. 0 36 . 0 4 2 .0 4 8 . 0 5 4 . 0 O h m - m 0 . 0 • I I I I I ~ I I I I I I I I I I I I ~ I I I I I ~ I I I I I I I I I I I I ~ I I I I I I I I I I I I ~ I I I I I I I ' . . . 2 1 9 6 a 2 . 6 v £ i 5 . 1 ( 2 . . . Q 7 . 7 9 1 2 3 7 8 1 5 7 1 0 ' 3 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n lter~tion • 3 R M S • 2 . 3 9 % L . 2 • 1.4 2 E l e c t r o d e S p o . c : - 6 5 ( b ) E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 6 8 - ( a ) T e s t g r i d 4 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 2 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 8 9 6 . ) 0 .0 6 .0 12 .0 1 8 .0 2 4 .0 3 0 . 0 3 6 . 0 4 2 .0 4 8 .0 5 4 .0 Oh m - m 0.0 , . . . . . 3.2 6 5 ( 1 , « > 0 8 . 1 . ! J I I I l l l l l l l l l l l l f l l l l l l l l l l l f l l l l l l l l l l ! f ! l l ! ! l l ~;:: 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( a ) 0 .0 6 .0 1 2 .0 18 . 0 2 4 .0 3 0 .0 3 6 .0 4 2 .0 4 8 .0 5 4 .0 O h m - m 0.0 , . . . . g 2.6 ; ; 5 . 1 ( 1 , « > 0 7 . 7 1 0 . 3 0 . 9 " " " 2 . 0 s 3 . 2 1 . 4 . 6 A 6 . 2 8 . 1 1 0 . 3 . ' ~· ~ t } ' ~·~ 4 2 1 3 0 7 2 2 5 1 6 4 1 2 0 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 2 R M S = 1 . 8 1 % L 2 = 0. 8 2 E l e c t r o d e S p a c i n e ( b ) h-~~~~~~ ~~~~~~TM~~~~~~~~-~~~TT~~~~~~-. 0 E l e c t r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 6 9 - ( a ) T e s t g r i d 5 1 0 0 0 8 0 0 6 0 0 2 0 0 0 - 2 0 0 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 1 . 5 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) a v ; ; ( 1 , « > 0 ? , J ' 5 ( 1 , ~ 7 1 0 3 I n v e r t e d R e s i s t i v i t y S e c t i o n I t e r a t i o n = 3 R M S = 1 . 4 6 % l 2 = 0 . 5 3 ( b ) ' ! ' u ' t ' l - m ' I I 3 8 2 285 212 1 9 0 ' S ' " " " ~ A 0 . 9 ~ . 0 3 . 2 4 . 6 6 . 2 8 . 1 '~I ' 0 . 3. 0 1 0 ? 0 - ; ; o A n " i n . = e c i r o d e N u m b e r ( c ) F i g u r e 8 . 7 0 - ( a ) T e s t g r i d 6 ( b ) T h e s m o o t h i n v e r s i o n o u t p u t o f t h e c o m m e r c i a l p r o g r a m 1 2 0 0 1 0 0 0 8 0 0 6 0 0 4 0 0 2 0 0 0 - 2 0 0 ( c ) B l o c k b a s e d i n v e r s i o n f r o m t h e n e u r a l n e t w o r k o u t p u t f o r 1 % n o i s e ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 8. 5 N e u r a l N e t w o r k M o d e l O p t i m i z a t i o n R e s u l t s f o r T h r e e D i m e n s i o n a l I n v e r s i o n S i m i l a r l y a s t h e t w o d i m e n s i o n a l c a s e t h e ' T r a i n r p ' f u n c t i o n i . e . t h e r e s i l i e n t b a c k p r o p a g a t i o n a l g o r i t h m ( R P R O P ) o f t h e M A T L A B 7 s ' N e u r a l N e t w o r k t o o l B o x i s u s e d f o r t h e t h r e e d i m e n s i o n a l r e s i s t i v i t y d a t a i n v e r s i o n t o o . M o d e l O p t i m i z a t i o n i . e . s e l e c t i o n o f H i d d e n l a y e r s a n d h i d d e n n o d e s w a s d o n e w i t h e v a l u a t i n g t h e T r a i n i n g a n d T e s t i n g E r r o r s . I n t h e p r e s e n t s t u d y s i n c e d a t a i s s y n t h e t i c a l l y g e n e r a t e d a l a r g e e x a m p l e d a t a b a s e i s a v a i l a b l e . T h e r e f o r e i n o r d e r t o i m p r o v e g e n e r a l i z a t i o n o r t o a v o i d o v e r t r a i n i n g E a r l y s t o p p i n g w i t h a H o l d o u t c r o s s v a l i d a t i o n i s u s e d _ F i r s t l o o k i n g a t F i g u r e 8 . 7 1 , t h a t i s t h e t r a i n i n g e r r o r v a r i a t i o n w i t h v a r y i n g n u m b e r o f s i n g l e l a y e r h i d d e n n o d e s , i t i s s e e n t h a t t h e t r a i n i n g e r r o r c o n v e r g e s a r o u n d a n a v e r a g e e r r o r O f 0 . 6 a f t e r 2 2 5 s i n g l e l a y e r h i d d e n n o d e s . S i n c e t h i s e r r o r l e v e l i s n o t s a t i s f a c t o r y t r a i n i n g w a s p r e c e d e d w i t h t w o h i d d e n l a y e r s . R e f e r r i n g F i g u r e 8 . 7 2 , i t i s s e e n t h a t t h o u g h t h e n u m b e r o f f i r s t h i d d e n l a y e r n o d e s a r e i n c r e a s e d t h e a v e r a g e t r a i n i n g e r r o r p r e l i m i n a r y r e d u c e s a n d f i n a l l y c o n v e r g e s w i t h t h e i n c r e a s i n g n u m b e r o f n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r . H o w e v e r t h e c o n v e r g i n g e r r o r l e v e l i s k e p t n e a r l y c o n s t a n t a t 0 . 0 7 . S o t w o l a y e r t r a i n i n g w a s t e r m i n a t e d a t t h a t p o i n t . 1 9 1 ~~~--~----~--------------------~---------. 0 t : : U J ~ r o : : : : J C T ( / ) c r o Q ) : : 2 : Q ) O l ~ > < { 0 . 6 0 . 5 X : 2 2 5 Y : 0 . 5 7 2 3 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 N u m b e r o f S i n g l e l a y e r n o d e s F i g u r e 8 . 7 1 - T r a i n i n g P e r f o r m a n c e f o r t h e T r a i n i n g F u n c t i o n ' T r a i n r p ' w i t h d i f f e r e n t n o o f h i d d e n n o d e s ( s i n g l e h i d d e n l a y e r ) - 3 D g U J ~ r o : : : : J C T ( / ) c ~ : : 2 : Q ) O l ~ Q ) > < { 1 . 4 ,--------,------,---,--------,---.--~====:::r::::===:::;l 1 . 2 0 2 0 0 3 0 0 - - - - h 1 : 2 0 0 - - - - h 1 : 2 2 5 - - - - h 1 : 2 5 0 - - - h 1 : 2 7 5 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n s e c o n d h i d d e n l a y e r ( a ) 1 9 2 g L l J ~ c o : : J 0 " ( / ) c S l : : ! : < l l O l ~ < l l > < ( 1.4 ,--,-------,----,--------,----,---~====:::r::===:::;-l 1 . 2 0 2 0 0 3 0 0 - - h 1 : 3 0 0 - - h 1 : 3 2 5 - - h 1 : 3 5 0 - - h 1 : 3 7 5 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r ( b ) F i g u r e 8 . 7 2 - T r a i n i n g P e r f o r m a n c e o f t w o h i d d e n l a y e r n e t w o r k f o r 3 D C a s e s t u d y ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 2 - - h 1 : 2 0 0 , h 2 : 2 0 0 1 . 8 - - h 1 : 2 0 0 , h 2 : 9 0 0 - - h 1 : 2 0 0 , h 2 : 8 5 0 1 . 6 - - h 1 : 2 0 0 , h 2 : 5 0 0 g L l J ~ c o : : J 0 " ( / ) c c o < l l : : ! : < l l O l ~ 0 . 8 > < ( 0 . 6 0 . 4 0 . 2 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n t h e t h i r d h i d d e n l a y e r ( a ) 1 9 3 2 1 I I - - h 1 : 1 0 0 , h 2 : 2 5 0 - - h 1 : 1 0 0 , h 2 : 5 0 0 1 . 8 - - h 1 : 1 0 0 , h 2 : 7 5 0 - - h 1 : 1 0 0 , h 2 : 1 0 0 0 1 . 6 ~ e w 1 . 4 ~ r o : : : l g 1 . 2 c : r o < l l ~ < l l O l ~ 0 . 8 ~ 0 . 6 0 . 4 0 . 2 1 I 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 2 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n t h e t h i r d h i d d e n l a y e r ( b ) 2 [ I I - - h 1 : 3 0 0 , h 2 : 2 5 0 1 . 8 1 . 6 g 1 . 4 < l l < l l r o 1 . 2 : : : l 0 ' ( / ) c : ~ ~ < l l 0 . 8 O l r o Q ; ~ 0 . 6 0 . 4 0 . 2 - - h 1 : 3 0 0 , h 2 : 5 0 0 - - h 1 : 3 0 0 , h 2 : 7 5 0 - - h 1 : 3 0 0 , h 2 : 1 0 0 Y : 0 . 1 6 7 7 I • 0 1 I I 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 N u m b e r o f n o d e s i n t h e t h i r d h i d d e n l a y e r ( c ) F i g u r e 8 . 7 3 - T r a i n i n g P e r f o r m a n c e o f t h r e e h i d d e n l a y e r n e t w o r k f o r 3 D C a s e s t u d y ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) F u r t h e r t o i n v e s t i g a t e t h e e f f e c t w i t h t h r e e l a y e r s s e v e r a l t r a i n i n g s e s s i o n s w e r e c a r r i e d o u t . T h e r e s u l t s p r e s e n t e d i n F i g u r e 8 . 7 3 s h o w s t h a t t h e r e i s n o c o n s i d e r a b l e e f f e c t o n t h e a v e r a g e e r r o r l e v e l s . T h e r e f o r e r e f e r r i n g F i g u r e 8 . 7 2 ( a ) s i n c e t h e t w o l a y e r e r r o r l e v e l s c o n v e r g e a r o u n d 8 5 0 n o d e s i n t h e s e c o n d h i d d e n l a y e r , t h e n e t w o r k w a s f i n a l i z e d w i t h 2 0 0 , 8 5 0 n u m b e r s o f n o d e s f o r f i r s t a n d s e c o n d h i d d e n l a y e r s 1 9 4 re s p e c t i v e l y . T h e n e t w o r k p e r f o r m a n c e f o r t h e f i n a l i z e d n e t w o r k i s s h o w n i n F i g u r e 8 . 7 4 . 1 0 1 P e r f o r m a n c e i s 0 0 5 3 6 , G o a l i s 0 " " 0 Q ) 0 : U i Q ) 1 - 1 0 ° c Q ) ~ 0 C : 0 -~ : > : - a ; > Q ) · 1 : : J 1 0 i i i . : n c · c : · ~ 1 - 10-2~ I I I I I I I I I I 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 1 4 E p o c h s F i g u r e 8 . 7 4 - T r a i n i n g , v a l i d a t i o n a n d T e s t p e r f o r m a n c e o f t h e f i n a l i z e d N e t w o r k - 3 D c a s e s t u d y ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 8 . 6 S i m u l a t i o n R e s u l t s a n d P e r f o r m a n c e o f t h e T h r e e d i m e n s i o n a l I n v e r s i o n T o e v a l u a t e t h e n e u r a l n e t w o r k p e r f o r m a n c e o n d e t e c t i o n o f a n a n o m a l o u s b o d y w i t h u n k n o w n r e s i s t i v i t y e m b e d d e d i n a t w o l a y e r m e d i u m w i t h u n d e t e r m i n e d p a r a m e t e r s t h e t r a i n e d n e t w o r k w i t h a t w o h i d d e n l a y e r s w i t h 3 5 0 , 7 0 0 h i d d e n n o d e s i n t h e h i d d e n l a y e r s . 3 t e s t t h r e e d i m e n s i o n a l s c e n a r i o s a r e t e s t e d w i t h t h e f i n a l i z e d n e t w o r k a n d t h e r e s u l t s a r e c o m p a r e d w i t h t h e c o m m e r c i a l s o f t w a r e . T h e c o m m e r c i a l s o f t w a r e u s e d f o r t h e i n v e r s i o n i s R E S 3 D I N V [ 4 5 ] . 1 9 5 r e s p e c t i v e l y . T h e n e t w o r k p e r f o r m a n c e f o r t h e f i n a l i z e d n e t w o r k i s s h o w n i n F i g u r e 8 . 7 4 . 1 0 1 P e r f o r m a n c e i s 0 . 0 5 3 6 , G o a l i s 0 - o Q ) 0 : : i i i Q ) t - 1 0 ° c Q ) Q ) ( 5 . : : . S ! ( i i ~ c ; ; > Q ) 1 0 . 1 : : : > i i i . : , c · c : " ' ~ 1 o · 2 L . _ _ L . _ _ . L _ _ . L - _ . . J . . _ _ . . J . . _ _ - ' - - - - ' - - - - - ' - - - - ' - - - ' - - - - l 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 1 4 E p o c h s F i g u r e 8 . 7 4 - T r a i n i n g , v a l i d a t i o n a n d T e s t p e r f o r m a n c e o f t h e f i n a l i z e d N e t w o r k - 3 D c a s e s t u d y ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 8 . 6 S i m u l a t i o n R e s u l t s a n d P e r f o r m a n c e o f t h e T h r e e d i m e n s i o n a l I n v e r s i o n T o e v a l u a t e t h e n e u r a l n e t w o r k p e r f o r m a n c e o n d e t e c t i o n o f a n a n o m a l o u s b o d y w i t h u n k n o w n r e s i s t i v i t y e m b e d d e d i n a t w o l a y e r m e d i u m w i t h u n d e t e r m i n e d p a r a m e t e r s t h e t r a i n e d n e t w o r k w i t h a t w o h i d d e n l a y e r s w i t h 3 5 0 , 7 0 0 h i d d e n n o d e s i n t h e h i d d e n l a y e r s . 3 t e s t t h r e e d i m e n s i o n a l s c e n a r i o s a r e t e s t e d w i t h t h e f i n a l i z e d n e t w o r k a n d t h e r e s u l t s a r e c o m p a r e d w i t h t h e c o m m e r c i a l s o f t w a r e . T h e c o m m e r c i a l s o f t w a r e u s e d f o r t h e i n v e r s i o n i s R E S 3 D I N V [ 4 5 ] . 1 9 5 1 . ) c..•.~-,.~ : z : r : z: : r· • . : : .· l ; : :. s . , - , . , _ , . . . , - , . . , . _ , . . , . . . . • E l t c t t o d c l o c d e n ···~ U o ; . r 1 , De~: Q . O G - 0 . 7 0 " ' S 1 ? , _ . . , . , 2 , D - . t h : 0.7~1 .60-. . . . • • " . .• " • -· ' ( , . . " ' . . , .. . . ' ·' · -· . . . ~ l.l~ u y e t 4 , O C I O t n : ~ . . U · : U O m . ll . l~ L t Y t t S . O t o t n : 3 . S 0 · 4 . l ' 2 : M . l . l y L I Y t t 8 , o e t m : 4 . 7 H I . 1 3 , . _ - ---- ~ - -- - ~ -- -- -- 1 4 1 l i S 2 1 0 4 • 1 S U 1 5 1 l o t I l l f t o l t l f ' a t i . t t y h t O I U " . M X V n l t E l e C i r t O I ! I H C . M l . l . O I I I . . Y U n n E I U I I O i l S . . Lt 1 ' 1 4 t . l l l . ~faUOA 3 - R ' I I S E a t O f l . 5 1 1 1 o ( b ) l ; n ) I O O J l i D l i D « < I ; m ( c ) F i g u r e 8 . 7 5 - 2 D s l i c e s o f t h e 3 D ( a ) T e s t S e t 1 M e s h a r r a n g e m e n t ( b ) R e s 3 d i n v s m o o t h o u t p u t ( c ) n e u r a l n e t w o r k o u t p u t ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 9 6 2 . ) 1 0 1 1 1 t r . l o d c l D 0 2 0 4 D I ' ·' 2 . 0 1 4 . 0 ~ ( a ) 1 0 - 1 0 " ' . . . . . · , U ' t ' t r . . . D e • t n . : u 3 · 3 . l i O " ' · • , L o y t r ~. o e o m . 3 . t t t · t . J a " ' · · ¥ u v e r 1 . o n m . ~ . tt--11 . 13 n~ . - --- - - - --~ ~ -~ -- -- 1 0 . . , . . 1 ' 1 1 4 u • , , , a u 1 4 5 H i l t ~t.t•lf.ti""'l"OiiiMM X U f t i 4 t:l~tl'tO• S . - c l • l l O l l l ' t I J f l l l E I U P . r $ I M Q . . K I H 1 . 0 1 1 1 . I W r t U Q I I 3 - R W S E r t " r 0 1 1 ) . . ( c ) • E l e c t r o d e l o c a t i o n . . F i g u r e 8 . 7 6 - 2 D s l i c e s o f t h e 3 D ( a ) T e s t S e t 2 M e s h a r r a n g e m e n t ( b ) R e s 3 d i n v s m o o t h o u t p u t ( c ) n e u r a l n e t w o r k o u t p u t ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 9 7 3 . ) 1 0 Y t . • - ' . n • , . . , · o 0 0 - 0 1 D • 1 _ 1 o o ' o 4 0 f}-v"~l· . . " ' ~ < : ; J t tj:~: ( a ) 1 • ; ~...,.., ' · o.~- o 7 0 - t l i o , . " . l . . . . 1 . 0 ' ' 1 ' ' l ··~ . . ~ · · - . y L l - , . r 4 , D t J II I . I 4 - 3 - 3 . 1 0 M . ' ' f L I I Y ' e f 5 . 0 H i r l . 3 . 6 1 · 4 . U n l . ' f U y t l I . 0 6 0 i f t . 4 , U • I 1 3 l f l . - --- - - - - - - ~ -- -- -- 1 0 4 1 ) 4 U l 1 ' 1 ' 1 ) I l l ) 6 t ) 1 1 1 J f l n . s l • l 6 . ! t p l f l 0 h m M I I : V n • l E h l t l t l " B~l•t I h i . V U A R E l l d r i l i t 8 U t \ l l l a t . 1 1 1 1 . i t 1 l t 1 1 1 1 1 1 f t J - R W8 E l l i l f 4 t ' ' ( b ) ( c ) m J I ! i l l l l l l l ! i l l F i g u r e 8 . 7 7 - 2 D s l i c e s o f t h e 3 D m o d e l ( a ) T e s t S e t 3 M e s h a r r a n g e m e n t ( b ) R e s 3 d i n v s m o o t h o u t p u t ( c ) n e u r a l n e t w o r k o u t p u t ( O r i g i n a l i s i n C o l o r ) 1 9 8 C h a p t e r 9 C o n c l u s i o n a n d R e c o m m e n d a t i o n s T h e i n t e n s i o n o f t h e s t u d y w a s t o d e v e l o p a u s e r f r i e n d l y , f a s t r e s p o n d i n g s o f t w a r e t o o l w i t h t h e a p p l i c a t i o n o f a r t i f i c i a l i n t e l l i g e n c e i n o r d e r t o i n t e r p r e t t h e e a r t h r e s i s t i v i t y f i e l d m e a s u r e m e n t s . T h e p r o b l e m w a s a d d r e s s e d w i t h t h e n e u r a l n e t w o r k s a s t h e i n v e r s i o n t o o l . A n d t h e s t u d y w a s c a r r i e d o u t i n t h r e e s e c t i o n s t o i n t e r p r e t t h e s o i l s t r u c t u r e O n e d i m e n s i o n a l l y , T w o d i m e n s i o n a l l y a n d T h r e e d i m e n s i o n a l l y , t o g i v e d i f f e r e n t d e t a i l s o n t h e e a r t h s t r u c t u r e f o r t h e u s e r . I t c a n b e c o n c l u d e d t h a t f ( ) r t h e o n e d i m e n s i o n a l i n v e r s i o n t h e n e u r a l n e t w o r k s p e r f o n n p r o m i s i n g l y . T h e n e t w o r k w a s f i r s t e v a l u a t e d w i t h t h e o r e t i c a l l y g e n e r a t e d f i e l d c u r v e s w i t h p a r a m e t e r s u n k n o w n a t t h e s t a g e o f t r a i n i n g . N o i s e a d d e d s a m p l e s a r c u s e d i n o r d e r t o e v a l u a t e t h e d e g r e e o f p r e d i c t a b i l i t y f o r f i e l d d a t a . T h e p e r f o r m a n c e o f c u r v e t y p e i d e n t i f i c a t i o n a n d p a r a m e t e r e s t i m a t i o n w a s s a t i s f a c t o r y o n t h e t h e o r e t i c a l c u r v e s w i t h a n d w i t h o u t n o i s e . I n o r d e r t o v e r i f y t h e n e t w o r k p e r f o m 1 a n c e o n t h e f i e l d d a t a a c r o s s c a l c u l a t i o n o f a n e a r t h e l e c t r o d e w a s c a r r i e d o u t . T h e t h e o r e t i c a l l y c a l c u l a t e d e l e c t r o d e r e s i s t a n c e w a s 4 2 4 . 4 2 1 . Q , w h i l e t h e m e a s u r e d e l e c t r o d e r e s i s t a n c e w a s 4 5 2 . 0 I . Q . S i n c e t h e e l e c t r o d e r e s i s t a n c e s c l o s e l y m a t c h w e c a n c o n c l u d e t h a t t h e n e u r a l n e t w o r k h a s c l a s s i f i e d a n d p r e d i c t e d t h e o n e d i m e n s i o n a l e a r t h p a r a m e t e r s a d e q u a t e l y . B u t i n o r d e r t o c o m e t o a t h o r o u g h c o n c l u s i o n t h i s t y p e o f s i m i l a r t e s t s m u s t b e p e r f o r m e d i n e l i f f e r e n t s i t e s o r l o c a t i o n s . T h e r e i s n o h a r d a n d f a s t r u l e f o r N e u r a l N e t w o r k a r c h i t e c t u r e o p t i m i z a t i o n . H o w e v e r d i f f e r e n t h e u r i s t i c s e x i s t t o g u i d e t h e u s e r t h r o u g h t h i s h i g h l y r a n d o m p r o c e s s . G o i n g b a c k t o t h e r e s u l t s o b t a i n e d i n C h a p t e r 8 i t i s e v i d e n t t h a t a p a t t e m c a n n o t b e r e c o g n i z e d d u r i n g t h e d i f f e r e n t t r a i n i n g s e s s i o n s . T h a t i s i t c a n b e c o n c l u d e d t h a t t h e o p t i m i z a t i o n s p r o c e s s d e p e n d s h e a v i l y o n t h e a p p l i c a t i o n o f i n t e r e s t . D u r i n g t h e s t u d y p e r i o d I e x p e r i e n c e d m a n y f a c t o r s w h i c h e f f e c t e d t h i s r a n d o m t r a i n i n g . S o m e a r e t h e c o n t e n t s o f t h e d a t a b a s e , h o w t h e d a t a b a s e i s s p l i t t o o b t a i n t h e t r a i n i n g , v a l i d a t i o n a n d t e s t s e t s a n d p r e p r o c e s s i n g o f d a t a a r e s o m e f a c t o r s d i r e c t l y a f f e c t i n g t h e t r a i n i n g p e r f o r m a n c e o f t h e n e t w o r k . T a b l e 9 . 1 g i v e s t h e f i n a l i z e d n e t w o r k a r c h i t e c t u r e s . 1 9 9 I S c e n a r i o - - - · . - - - - - - - - - - - I n p u t H i d d e n O u t p u t F i n a l i z e d N o d e s N o d e s N o d e s n e t w o r k T r a i n i n g E r r o r I I f - - - - · · - · I D C u r v e I d e n t i f i c a t i o n 4 0 8 5 , 1 6 5 6 0 . 0 2 I D T w o l a y e r p a r a m e t e r 4 0 2 5 , 2 4 , . . , 0 . 0 1 9 7 _ ) E s t i m a t i o n I D T h r e e l a y e r 4 0 1 0 0 , 2 6 0 5 0 . 0 1 3 6 p a r a m e t e r E s t i m a t i o n 2 D C A S E 1 4 9 5 5 0 0 , 7 0 0 3 8 5 0 . 0 0 1 8 2 D C A S E 2 4 9 5 3 2 5 , 8 0 0 3 8 5 0 . 0 0 0 9 2 D C A S E 3 4 9 5 2 5 0 , 7 0 0 3 8 5 0 . 0 0 9 I 3 D C a s e 4 6 7 2 0 0 , 8 5 0 2 5 2 0 . 0 5 3 6 i - - - - - - - T a b l e 9 . 1 - S u m m a r i z e d N e t w o r k O p t i m i z a t i o n r e s u l t s P r e s e n t p r o p o s e d N e u r a l N e t w o r k b a s e d i n v e r s i o n i t i s c o m p l e t e l y a u t o m a t i c a n d t h e u s e r d o c s n o t e v e n h a v e t o s u p p l y a s t a r t i n g m o d e l . T h e d a t a i n v e r s i o n t a k e s l e s s t h a n a m i n u t e w i t h a n o p t i m i z e d w e l l - t r a i n e d n e t w o r k . T h e t w o d i m e n s i o n a l a n d t h r e e d i m e n s i o n a l s t u d i e s a r c c a r r i e d o u t o n t h e o r e t i c a l v a l i d a t i o n o f t h e n e t w o r k p e r f o n n a n c e . N o i s e i s a d d e d t o t h e s y n t h e t i c m o d e l s i n o r d e r t o r e s e m b l e f i e l d d a t a p a t t e m s . T h e c l o s e n e s s o f t h e n e t w o r k o u t p u t t o t h e i n i t i a l m o d e l i s u s e d t o e v a l u a t e t h e n e u r a l n e t w o r k c a p a b i l i t y o f i n v e r s i o n i n t h e t w o d i m e n s i o n a l a n d t h r e e d i m e n s i o n a l c a s e s . W i t h t h e n e u r a l N e t w o r k a p p r o a c h w e c a n n o t g e t s m o o t h i n v e r s i o n r e s u l t f o r t h e s u b s u r f a c e s t r u c t u r e . H o w e v e r t h e b l o c k i n v e r s i o n o r t h e c e l l b a s e d i n v e r s i o n g a v e s a t i s f a c t o r y r e s u l t s w h e n c o m p a r i n g w i t h t h e c o m m e r c i a l s o f t w a r e ' s i n v e r s i o n r e s u l t s f o r t h e t e s t d a t a s e t s . I n b o t h t h e c a s e s t h e a n o m a l y i s d e t e c t e d . R e f e r r i n g t h e t w o d i m e n s i o n a l o u t p u t s , i t i s s e e n t h a t w h e n t h e s h a p e s o f t h e a n o m a l o u s b o d i e s i n t h e t e s t s e t s r e s e m b l e t h e b o d y s h a p e s p r e s e n t e d i n t r a i n i n g d a t a t h e n e t w o r k o u t p u t g a v e e x a c t m a t c h e s . I n s o m e c a s e s t h e a r b i t r a r y c o m p l e x s h a p e s o f t h e s t r u c t u r e s a r e a p p r o x i m a t e d t o s h a p e s t h a t a r e s e e n b y t h e n e t w o r k e a r l i e r . 2 0 0 . . . H o w e v e r w i t h t h e a b o v e r e s u l t s i t i s e v i d e n t t h a t a N e u r a l N e t w o r k i n v e r s i o n w i t h s h a r p b o u n d a r i e s ( b l o c k b a s e d ) g i v e s c o m p a r a b l y a c c e p t a b l e r e s u l t s . I n t w o d i m e n s i o n a l C A S E I a n d C A S E 2 t h e n e t w o r k p e r f o r m a n c e o n u n s e e n d a t a \ \ " a s s u p e r i o r . T h i s c a n b e d u e t o v e r y l o w t r a i n i n g e r r o r l e v e l s o b t a i n e d w i t h t h e o p t i m u m a r c h i t e c t u r e s . I n t h e C A S E 3 a t h r e e l a y e r m e d i u m w a s c o n s i d e r e d . H e r e t h e n e u r a l n e t v , · o r k o u t p u t d o e s n o t c l e a r l y s h o w t h e s h a r p l a y e r b o u n d a r i e s . H o w e v e r t h e r e s u l t s i n t e r p r e t a c l o s e r e s e m b l a n c e t o t h e i n i t i a l s y n t h e t i c m o d e l . T h e t h r e e d i m e n s i o n a l s t u d y c o n s i d e r e d a t w o l a y e r m e d i u m w i t h a n a n o m a l y . H e r e t h e n e t w o r k p e r f o r m a n c e w a s n o t a s s a t i s f a c t o r y a s t h e o n e d i m e n s i o n a l o r t h e t w o d i m e n s i o n a l c a s e s . N e v e r t h e l e s s t h e o u t p u t , t h o u g h d o e s n o t g i v e a n e x a c t m a t c h d e t e c t t h e a n o m a l y , a n d l a y e r s e p a r a t i o n i s a l s o v i s i b l e . T h i s c o u l d b e d u e t o t h e t r a i n i n g e r r o r o f t h e o p t i m i z e d n e t w o r k a r c h i t e c t u r e . R e f e r r i n g T a b l e 9 . 1 i t c a n b e s e e n t h a t t h e h i g h e s t t r a i n i n g e r r o r f o r t h e f i n a l i z e d n e t w o r k w a s o b t a i n e d f o r t h e t h r e e d i m e n s i o n a l s t u d y . C e r t a i n l i m i t a t i o n s a n d d i H i c u l t i e s a r o u s e d d u r i n g t h e s t u d y , w h i c h t h e s e f a c t o r s a f f e c t e d b o u n d a r i e s o n t h e w o r k t o b e c a r r i e d o u t . F o r i n s t a n c e , t h e t w o d i m e n s i o n a l s t u d y w a s d o n e w i t h a 5 6 m u l t i e l e c t r o d e a r r a y a n d t h e t h r e e d i m e n s i o n a l s t u d y w a s d o n e w i t h a 7 b y 7 e l e c t r o d e f : , ' T i d . N o v a r i a t i o n c o u l d b e d o n e t o t h e s e e l e c t r o d e a r r a n g e m e n t s s i n c e t h e c o m m e r c i a l s o f t w a r e · s u s e d t o r t h e d a t a b a s e g e n e r a t i o n d i d n o t f a c i l i t a t e t h e s e o p t i o n s . M a n y s o f t w a r e ' s a r e a v a i l a b l e f o r t h e 2 0 a n d 3 0 r e s i s t i v i t y i n v e r s i o n p r o b l e m s . B u t m o s t o f s u c h a v a i l a b l e s o f t w a r e i s d i s t r i b u t e d a s d e m o v e r s i o n s o n l y . T h e s e d e m o v e r s i o n s h a v e l i m i t e d a c c e s s c a p a b i l i t i e s , f o r i n s t a n c e d i s a b l i n g t h e r e s u l t s a v i n g o p t i o n s a n d l i m i t a t i o n s o n e l e c t r o d e a r r a y m o d i f i c a t i o n s . S o s o m e e x t r a t i m e w a s s p e n t o n f i n d i n g s u i t a b l e s o f t w a r e a n d w i t h i t s e v e r a l t r i a l a n d e r r o r t e s t r u n s w e r e d o n e t o v e r i f y t h e u s a b i l i t y a n d d e t c n n i n i n g t h e r e s u l t s a v i n g f o r m a t s . A l s o v e r y l o n g h o u r s o f t r a i n i n g w e r e s p e n t o n t h e o p t i m i z a t i o n t r a i n i n g p r o c e s s e s . A n d I h a d t o l i m i t t h e m o d e l r e s o l u t i o n s s i n c e i t w o u l d c a u s e m o r e b u r d e n s o n t h e t r a i n i n g s e s s i o n t i m e a n d e v e n t h e t o t a l p r o c e s s i n g s p e e d o f t h e c o m p u t e r w a s o b s e r v e d d i m i n i s h i n g . 2 0 1 F w 1 h c r w o r k i s t h e r e f o r e d e s i r a b l e o n h a r n e s s i n g t h e c a p a b i l i t i e s o f t h e n e u r a l n e t w o r k s a s a r e s i s t i v i t y i n v e r s i o n t o o l . T h i s c a n b e d o n e w i t h v a r y i n g t h e e l e c t r o d e g r i d s i z e s a n d m o d e l r e s o l u t i o n . F o r t h i s o n e w o u l d n e e d g o o d s o f t w a r e t o r t h e f o r w a r d s o l u t i o n g e n e r a t i o n t h a t i s t h e g e n e r a t i o n o f t h e d a t a b a s e . I f w e c o n s i d e r t h e t w o d i m e n s i o n a l s t u d y w i t h 5 6 m u l t i e l e c t r o d e s , i f a n a u t o m a t i c d a t a a c q u i s i t i o n u n i t i s n o t a v a i l a b l e o n e w o u l d n o t b e a b l e t o e a s i l y a c q u i r e 4 9 5 d a t a p o i n t s w i t h a s i n g l e e l e c t r o d e m o v e m e n t . I n s u c h a c a s e d a t a a c q u i r e d a t o n l y s o m e p o i n t s a l s o s h o u l d l e t t h e u s e r g e n e r a t e a 2 0 o r 3 D s t r u c t u r e w i t h c e r i a i n a c c u r a c y . B u t w i t h a n e u r a l n e t w o r k s t r u c t u r e w i t h a f i x e d n u m b e r o f i n p u t s t h i s c a n n o t b e a c h i e v e d . T h e r e f o r e s t u d i e s w i t h d y n a m i c n e u r a l n e t w o r k m o d e l s a r c p r o p o s e d t o b e c a r r i e d o u t w i t h u n s u p e r v i s e d l e a r n i n g . 2 0 2 R e f e r e n c e s [ 1 ] T e l f o r d . W . M . a n d G e l d a r t . L . P . a n d Sheriff~ R . E . " A p p l i e d G e o p h y s i c s S e c o n d E d i t i o n ' ' . I S B N : 0 - 5 2 1 - 3 2 6 9 3 - 1 , P u b l i s h e d b y C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e . , 1 9 9 0 . [ 2 ] T a r a n t o l a , A l b e r t . " I n w : r s e P r o b l e m T h e m y a n d A 1 e t h o d s f h r M o d e l P a r a m e t e r E s t i m a t i o n · ' . 2 0 0 5 . [ 3 ] . . E a r t h R e s i s t i v i t y M a n u a l " . U S A : S o i l t e s t , I n c . 1 9 6 8 . [ 4 ] S e e d h e r , H . R . a n d A r o r a , J . K . " E s t i m a t i o n o f t w o l a y e r s o i l p a r a m e t c r s u s i n g f i n i t e W e n n e r r e s i s t i v i t y e x p r e s s i o n " . I E E E T r a n s . P o w e r D e / i v e 1 y , v o l . 7 , n o . 3 , 1 9 9 2 , p p . 1 2 1 3 - 1 2 1 7 . [ 5 ] Y a n g , H . , Y u a n , J . a n d Z o n g , W . . . D e t e r m i n a t i o n o f t h r e e - l a y e r e a r t h m o d e l f r o m w e n n e r f o u r - p r o b e t e s t d a t a ' ' . I E E E T r a n s . M a g n . , v o ! . 3 7 , n o . 5 , S e p . 2 0 0 1 , p p . 3 6 8 4 - 3 6 8 7 . [ 6 ] Z o h d y , A . A . F . ' · A n e w m e t h o d f o r t h e a u t o m a t i c i n t e r p r e t a t i o n o f S c h l u m b e r g e r a n d W e n n e r s o u n d i n g c u r v e s . . . G e o p h y s i c s , v o l . 5 4 , 1 9 8 9 , p p . 2 4 5 - 2 5 3 . [ 7 ] T a k a h a s h i . T . a n d K a w a s e , T . ' · A n a l y s i s o f a p p a r e n t r e s i s t i v i t y i n a m u l t i l a y e r e a r t h s t r u c t u r e ' ' . I E E E T r a n 5 ; a c t i o n s o n P m t · e r D e l i v e r , v o l . 5 , N o . 2 , A p r i l 1 9 9 0 , p p . 6 0 4 - 6 1 2 . [ 8 ] G o n o s , J o a n n i s F . a n d S t a t h o p u l o s , J o a n n i s A . " E s t i m a t i o n o f M u l t i l a y e r S o i l P a r a m e t e r s U s i n g G e n e t i c A l g o r i t h m s ' ' . I E E E T r a n s . P o w e r D e l i v e r y , v o ! . 2 0 , n o . l , J a n . 2 0 0 5 , p p . I 0 0 - 1 0 6 . [ 9 ] S t e p h e n , J . , M a n o j , C . a n d S i n g h , S . B . " A d i r e c t i n v e r s i o n s c h e m e f o r d e e p r e s i s t i v i t y s o u n d i n g d a t a u s i n g a r t i f i c i a l n e u r a l n e t w o r k s ' ' . P r o c . I n d i a n A c a d . S c i . ( E a r t h P l a n e t . S c i . ) , v o l 1 1 3 , N o . 1 , M a r c h 2 0 0 4 , p p . 4 9 - 6 6 . [ 1 0 ] C a l d e r o n - M a c i a s , C . , S e n , M . K . a n d S t a f f a , P . L . " A r t i f i c i a l n e u r a l n e t w o r k s f o r p a r a m e t e r e s t i m a t i o n i n g e o p h y s i c s . . . G e o p h y s i c a l P r o s p e c t i n g , v o l 4 8 , 2 0 0 0 , p p . 2 1 - 4 7 . [ 1 1 ] E l - Q a d y , G . a n d U s h i j i m a , K . ' ' I n v e r s i o n o f D C r e s i s t i v i t y d a t a u s i n g n e u r a l n e t w o r k s " . G e o p h y s i c a l P r o s p e c t i n g , v o l . 4 9 , 2 0 0 1 , p p . 4 1 7 - 4 3 0 . 2 0 3 [ 1 2 ] L o k e , M . H . , A c w 0 1 i h . I a n a n d D a h l i n , T o r l e i f . ' " A c o m p a r i s o n o f s m o o t h a n d b l o c k y i n v e r s i o n m e t h o d s i n 2 D e l e c t r i c a l i m a g i n g s u n e y s ' · . E < p l o r a t i o n G e o p h y s i c s , v o l . 3 4 , 2 0 0 3 , p p . 1 8 2 - 1 8 7 . [ 1 3 ] S h a r m a , S . P . a n d K a i k k o n e n , P . " T w o - d i m e n s i o n a l n o n - l i n e a r i n v e r s i o n o f V L F - R d a t a u s i n g s i m u l a t e d a n n e a l i n g " . G e o p h y s i c a l J o u r n a l I n t e r n a t i o n a l , v o l . 1 3 3 , 1 9 9 8 , p p . 6 4 9 - 6 6 8 . [ 1 4 ] B a s s e r i . A . a n d Q u e z a d a , J . " I n v e r s i o n o f s e i s m i c d a t a b y a g e n e r a l i z e d m a x i m u m e n t r o p y m e t h o d . " . 7 I s t A n n . I n t e r n a l . M e e t i n g . S o c . 0 / E x p l . G e o p h y s i c s . . E 1 p a n d e d A b s t r a c t s , 2 0 0 1 , p p . 7 4 4 - 7 4 7 . [ 1 5 ] E l l i s , R . G . & O l d e n b u r g , D . W . , " T h e p o l e - p o l e 3 - D D C - r e s i s t i v i t y i n v e r s e p r o b l e m : a c o n j u g a t e - g r a d i e n t a p p r o a c h " . G e o p h y s . . ! . J n t , v o l 1 1 9 , 1 9 9 4 , p p . l 8 7 - 1 9 4 . [ 1 6 ] Z a n g , Z . a n d Z h o u , Z . " R e a l - t i m e q u a s i 2 - D i n v e r s i o n o f a r r a y r e s i s t i v i t y l o g g i n g d a t a u s i n g n e u r a l n e t w o r k s " . G e o p h y s i c s , v o l 6 7 , 2 0 0 2 , p p . 5 1 7 - 5 2 4 . [ 1 7 ] P o u l t o n , M . M . , S t e r n b e r g , B . K . a n d G l a s s , C . E . " L o c a t i o n o f s u b s u r f a c e t a r g e t s i n g e o p h y s i c a l d a t a u s i n g n e u r a l n e t w o r k s " . G e o p h y s i c s , V o l . 5 7 N o . 1 2 , 1 9 9 2 , p p . 1 5 3 4 - 1 5 4 4 . [ 1 8 ] M u r a t M . E . a n d R u d m a n A . ' ' A u t o m a t e d f i r s t a r r i v a l p i c k i n g : A n e u r a l n e t v m r k a p p r o a c h ' ' . G e o p h y s i c a l P r w p e c t i n g . V o l 4 0 , 1 9 9 2 , p p . 5 8 7 - 6 0 4 . [ 1 9 ] N a t h S . K . , C h a k r a b o r t y S . , S i n g h S . K . a n d G a n g u l y N . " V e l o c i t y m v e r s 1 0 n m c r o s s - h o l e s e i s m i c t o m o g r a p h y b y t h e c o u n t e r - p r o p a g a t i o n n e u r a l n e t w o r k , g e n e t i c a l g o r i t h m a n d e v o l u t i o n a r y p r o g r a m m i n g t e c h n i q u e s " . G e o p h y s i c a l J o u r n a l I n t e r n a t i o n a l , V o l l 3 8 , 1 9 9 9 , p p . 1 0 8 - 1 2 4 . [ 2 0 ] S p i c h a k V . , F u k u o k a K . , K o b a y a s h i T . , M o g i T . , P o p o v a I . a n d S h i m a H . " A N N r e c o n s t r u c t i o n o f g e o e l e c t r i c a l p a r a m e t e r s o f t h e M i n o u f a u l t z o n e b y t h e s c a l a r C S A M T d a t a " . J o u r n a l o / A p p l i e d G e o p h y s i c s , V o l 4 9 , 2 0 0 2 , p p . 7 5 - 9 0 . [ 2 1 ] Z h a n g Y . a n d P a u l s o n K . V . ' ' M a g n e t o t e l l u r i c i n v e r s i o n u s i n g r e g u l a r i z e d H o p f i e l d n e u r a l n e t w o r k s ' ' . G e o p h y s i c a l P r o . , p e c t i n g , V o l 4 5 , 2 0 0 2 , p p . 7 2 5 - 7 4 3 . [ 2 2 ] A . T e t t a m a n z i , M . T o m a s s i n i , ' ' S o f t C o m p u t i n g : I n t e g r a t i n g E v o l u t i o n a r y , N e u r a l , a n d F u z z y S y s t e m " . I S B N : 3 5 4 0 4 2 2 0 4 8 , P u b l i s h e d b y S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 6 9 . 2 0 4 ( 2 3 ) S h u b h a b r a t a D a t t a a n d M a l a y K . B e n e 1 j e e , · · o p t i m i z i n g p a r a m e t e r s o f s u p e r v i s e d l e a r n i n g t e c h n i q u e s ( A N N ) f o r p r e c i s e m a p p i n g o f t h e i n p u t - o u t p u t r e l a t i o n s h i p i n T M C P s t e e l " , S c w z d i n a v i a n J o u r n a l o f ' M c t a ! ! u r g r , 2 0 0 4 , 3 3 : 3 1 0 - 3 1 5 ( 2 4 ] F r e e m a n J . A . , S k a p u r a D . M . . " " N c u r a l N e t w o r k s : A l g o r i t h m s , A p p l i c a t i o n s , a n d P r o g r a m m i n g T e c h n i q u e s " , I S B N 8 1 - 7 8 0 8 - 1 0 8 - 3 , P u b l i s h e d b y P e a r s o n E d u c a t i o n ( S i n g a p o r e ) P t e . L t d . , I n d i a n B r a n c h , 4 8 2 F . I . E . P a t p a r g a n j , D e l h i I I 0 0 9 2 . I n d i a . 2 0 0 2 [ 2 5 ] L e a n Y u , S h o u y a n g W a n g , a n d K . K . L a i , " ' A n I n t e g r a t e d D a t a P r e p a r a t i o n S c h e m e f o r N e u r a l N e t w o r k D a t a A n a l y s i s " , / E E E T r a n s a c t i o n s o n K n o w l e d g e a n d D a t a E n g i n c e r i n g , V o l 1 8 , N o . 2 , 2 0 0 6 , p p . 2 1 7 - 2 3 0 . [ 2 6 ] L e f t e r i H . T s o u k a l a s , R o b e r t E U h r i g , " F u z z y a n d N e u r a l A p p r o a c h e s 1 1 1 E n g i n e e r i n g , . [ 2 7 ] S t a c y L . O z e s m i , U y g a r O z e s m i , a n d C a n O . T a n , · ' M e t h o d o l o g i c a l I s s u e s 1 1 1 B u i l d i n g , T r a i n i n g a n d T e s t i n g A r t i f i c i a l N e u r a l N e t w o r k s ' " . ( 2 8 ) H o w a r d D e m u t h , M a k b e a l e , N e u r a l N e t w o r k T o o l b o x f o r u s e w i t h M a t l a b , [ 1 9 9 4 - 2 0 0 4 ] M a t h w o r k I n c . ( 2 9 ] G o s h , D . P . , " T h e a p p l i c a t i o n o f l i n e a r f i l t e r t h e o r y t o t h e d i r e c t i n t e r p r e t a t i o n o f g e o e l e c t r i c a l r e s i s t i v i t y s o u n d i n g m e a s u r e m e n t s ' · . G e o p h y s . P r o s p e c t i n g , v o l 1 9 , N o . 2 , 1 9 7 1 , p p . 1 9 2 - 2 1 7 . [ 3 0 ] G o s h , D . P . , ' · I n v e r s e f i l t e r c o e f f i c i e n t s f o r t h e c o m p u t a t i o n o f a p p a r e n t r e s i s t i v i t y s t a n d a r d c u r v e s f o r a h o r i z o n t a l l y s t r a t i f i e d e a r t h " , G e o p h y s . P r o s p . , v o l 1 9 , N o . 2 , 1 9 7 1 ' p p . 7 6 9 - 7 7 5 . [ 3 1 ] J o h a n s e n , H . K . 1 9 7 5 · · A n i n t e r a c t i v e c o m p u t e r / g r a p h i c - d i s p l a y - t e n n i n a l ; s y s t e m f o r t h e i n t e r p r e t a t i o n o f r e s i s t i v i t y s o u n d i n g , G e o p h y s i c a l P r o s p e c t i n g , v o l 2 3 , p p 4 4 9 - 4 5 8 . [ 3 2 ] Z o h d y , A d e l . , . " ' E l e c t r i c a l M e t h o d s i n U S G e o l o g i c a l S u r v e y , T e c h W a t e r R e s o u r c e s l n v ' ' , B o o k 2 , C h a p D 1 , 1 9 7 4 . [ 3 3 ] Z o h d y , A d e l . , " A u t o m a t i c I n t e r p r e t a t i o n o f S c h l u m b e r g e r S o u n d i n g C u r v e s , U s i n g M o d i f i e d D a r Z a r r o u k F u n c t i o n s , ' ' U . S . G e o l o g i c a l S u r v e y B u l l e t i n 1 3 1 3 - E , 1 9 7 5 . ( 3 4 ] D . G u p t a s a n n a , a n d B . S i n g h , ' ' N e w D i g i t a l L i n e a r F i l t e r s f o r H a n k e l . T O a n d J 1 t r a n s f o r m s ' ' , G e o p h y s i c a l P r o . s p e c t i n g , v o l 4 5 , 1 9 9 7 , p p . 7 4 5 - 7 6 2 . 2 0 5 [ 3 5 ] B r i a n B o r c h e r s , D e p m t m c n t o f M a t h e m a t i c s , N c w M e x i c o T e c h S o c o r r o , N M R 7 8 0 1 [ 3 6 ] A n d e r s o n , W . L . , · · c o m p u t e r P r o g r a m N u m e r i c a l I n t e g r a t i o n o f R e l a t e d H a n k e l T r a n s f o n 1 1 S o f O r d e r s 0 a n d 1 b y A d a p t i v e D i g i t a l F i l t e r i n g ' · . G e o p h y s i c s , v o l 4 4 ( 7 ) , 1 9 7 9 , p p . 1 2 8 7 - 1 3 0 5 . [ 3 7 ] T a k a h a s h i , T . a n d K a w a s e , T . , " C a l c u l a t i o n o f E a t h R e s i s t a n c e f o r a D e e p D r i v e n M u l t i l a y e r E a r t h S t r u c t u r e " , I E E E t r a n s a c t i o n s o n P o w e r D e l i v e r y , V o l 6 , N o . 2 , 1 9 9 1 , p p . 6 0 8 - 6 1 4 . [ 3 8 ] L i , Y . & O l d e n b u r g , D . W . , · · I n v e r s i o n o f 3 - d D C r e s i s t i v i t y d a t a u s i n g a p p r o x i m a t e i n v e r s e m a p p i n g ' ' , G e o p h y s . J . I n t . . v o l 1 1 6 , 1 9 9 4 , pp.527~537. [ 3 9 ] U c h i d a T . , " T w o - D i m e n s i o n a l R e s i s t i v i t y I n v e r s i o n f o r s c h l u m b e r g e r S o u n d i n g ' ' . B U T S U R . I - T A N S A , V o l . 4 4 N o . 1 , 1 9 9 1 , p p . 1 - 1 7 [ 4 0 ] C h r i s t o p h e r C . P a i n , J " o r g V . H e r v , · a n g c r , M i c h a e l H . W o r t h i n g t o n a n d C a s s i a n o R . E . d e O l i v e i r a , " E f f e c t i v e m u l t i d i m e n s i o n a l r e s i s t i v i t y i n v e r s i o n u s i n g f i n i t e - c l e m e n t t e c h n i q u e s . . , G e o p h y s . J . I n t . . v o l 1 5 1 , 2 0 0 2 , p p . 7 1 0~ 7 2 8 . [ 4 1 ] B e a r d , L . P . , H o h m a n n , G . W . & T r i p p , A . , " F a s t r e s i s t i v i t y / I P i n v e r s i o n u s i n g a l o v . · - c o n t r a s t a p p r o x i m a t i o n " , G e o p h y s i c s , v o l . 6 1 , 1 9 9 6 , p p . 169~ 1 7 9 . [ 4 2 ] I n s t r u c t i o n M a n u a l f o r E a r t h i m a g e r 2 D V e r s i o n 2 . 1 . 7 , R e s i s t i v i t y a n d I P I n v e r s i o n S o f t w a r e , c o p y r i g h t 2 0 0 2 - 2 0 0 6 b y A d v a n c e d G e o s i e n c c s , I n c . , 1 2 7 0 0 , V o l e n t e R d . , F M 2 7 6 9 , B l d g A , A u s t i n , T e x a s , 7 8 7 2 6 . p p . 7 6 . [ 4 3 ] X i a n j i n Y a n g , " C o m p a r i s o n o f 2 D a n d 3 D E l e c t r i c a l R e s i s t i v i t y I m a g i n g M e t h o d s " , M a t s L a g m a n s o n , 1 9 1 h A n n u a l S A G E E P , G e o p h y s i c a l A p p l i c a t i o n s J o r E n v i r o n m e n t a l a n d E n g i n e e r i n g H a z z a r d s - A d v a n c e s a n d c o n s t r a i n t s , ~·~. ' " i ! 2 : . • 6 , 2 0 0 6 . ·~ k ' , , ' t " - · - ' . . [ 4 4 ] D a h l i n , T . , B e m s t o n e , C . a n d L o k e , M . H . , " A 3 - D r e s i s t i v i t y i n v e s t i g a t i d r i o f a -~-.- c o n t a m i n a t e d s i t e a t L e m a c k e n , S w e d e n " . G e o p h y s i c s , v o l 6 7 , 2 0 0 2 , p p . 1 6 9 2 - 1 7 0 0 . [ 4 5 ] R E S 3 D I N V v e r . 2 . I 5 f o r W i n d o w s 9 8 / M e / 2 0 0 0 / N T / X P R a p i d 3 D R e s i s t i v i t y & I P i n v e r s i o n u s i n g t h e l e a s t - s q u a r e s m e t h o d ( F o r 3 - D s u r v e y s u s i n g t h e p o l e - p o l e , p o l e - d i p o l e , d i p o l e - d i p o l e . r e c t a n g u l a r . W e n n e r , W e n n e r - S c h l u m b e r g e r a n d n o n - c o n v e n t i o n a l a r r a y s ) O n l a n d , u n d e n v a t e r a n d b o r e h o l e s u r v e y s , G e o e l e c t r i c a l 2 0 6 ~~~· \ > ' I . . > I m a g i n g 2 D & 3 D , A p r i l 2 0 0 5 , G E O T O M O S O F T W A R E , 5 C a n g k a t M i n d e n L o r o n g 6 , M i n d e n H e i g h t s , 1 1 7 0 0 G e l u g o r , P e n a n g , M A L A Y S I A 2 0 7 A p p e n d i x A P o t e n t i a l s i n H o m o g e n e o u s m e d i a T h e b a s i c b u i l d i n g b l o c k o f t h e r e s i s t i v i t y m e t h o d i s t h e p o t e n t i a l b u i l d u p i n t h e e a r t h d u e t o a p o i n t e l e c t r o d e . T o e v a l u a t e t h i s . c o n s i d e r a c o n t i n u o u s c u r r e n t ( d e o r I O \ v f r e q u e n c y a c ) f l o w i n g i n a n i s o t r o p i c h o m o g e n e o u s m e d i u m f r o m a p o i n t s o u r c e o n t h e s u r f a c e o f a h a l f - s p a c e . I f 3 1 i s a n e l e m e n t o f s u r f a c e a n d J t h e c u r r e n t d e n s i t y i n a m p e r e s p e r m e t e r s , t h e n t h e c u r r e n t p a s s i n g t h r o u g h 5 A i s J . b A . T h e c u r r e n t d e n s i t y J a n d t h e E l e c t r i c f i e l d E a r e r e l a t e d t h r o u g h O h m ' s l a w . . ! = C J E ( A . l ) \ \ ' h e r e E i s i n V I m a n d C J i s t h e c o n d u c t i v i t y o f t h e m e d i u m i n S I m . T h e e l e c t r i c f i e l d i s t h e g r a d i e n t o f a s c a l a r p o t e n t i a l E = - ' V V ( A . 2 ) r y " ' , . , . . ·~p (: ~,~~· ·~ ' f t : : . . ) l • ; : - . >:.._·~ . : : ~. , ·-r~.fl~. · . , ?~. ~: Q . · · . ~,·· \~"., ( A . 3 ) · ; . T h u s w e h a v e , ' • , ' ~~~ - t f · oTh~ ~~·c· · ~ J = - C J ' V V D i v e r g e n c e o f c u r r e n t d e n s i t y i s e q u i v a l e n t t o t h e r a t e o f a c c u m u l a t i o n o f c h a r g e d e n s i t y Q w h i c h i s a l s o r e f e r r e d a s t h e e q u a t i o n o f c o n t i n u i t y , ' V . J = - 5 Q 8 t ( A . 4 ) I n r e g i o n s o f f i n i t e c o n d u c t i v i t y , c h a r g e s d o n o t a c c u m u l a t e t o a n y e x t e n t d u r i n g c u r r e n t f l o w , h e n c e Q = 0 s o t h a t ' V . J = 0 . S o , ' V . ( C J ' V V ) = 0 ( A . 5 ) ' V C J . ' V V + C J ' V 2 V = 0 ( A . 6 ) 2 0 8 I f C 5 i s c o n s t a n t t h r o u g h o u t f i n a l l y t h e L a p l a c e ' s E q u a t i o n i s a c h i e v e d \ : ' 2 1 ' = 0 ( A . 7 ) I n o r d e r t o e v a l u a t e t h e p o t e n t i a l b u i l d u p w e c a n w r i t e t h e L a p l a c e ' s e q u a t i o n e i t h e r i n s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s o r w i t h t h e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m . S i n c e t h e e l e c t r i c p o t e n t i a l d e p e n d s o n l y o n d i s t a n c e i t i s a p p r o p r i a t e t o w r i t e L a p l a c e ' s e q u a t i o n i n s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s \ V i t h a r d e p e n d e n c e o n l y . W h e r e r i s t h e d i s t a n c e f r o m t h e e l e c t r o d e . 1 a , a v - - r - - = 0 l ] r 2 c r ( o r ) ( A . 8 ) T h i s g i v e s t h e s o l u t i o n 1 ' = - Y r + B ( A . 9 ) W h e r e A a n d B a r e c o n s t a n t s t o b e d e t e r m i n e d . S i n c e p o t e n t i a l s h o u l d b e z e r o a t a g r e a t d i s t a n c e o f r ( i . e . r ~ o o ) i t i s o b v i o u s t h a t B = 0 . N o w , r · = - % ( A . ! 0 ) f r o m ( A . 2 ) a n d ( A . 3 ) E = c V - A o r - r 2 = p J ( A . I I ) S i n c e t h e c u r r e n t f l o w s r a d i a l l y o u t w a r d s i n a l l t h e d i r e c t i o n s t h e t o t a l c u r r e n t I c r o s s i n g a h e m i - s p h e r i c a l s u r f a c e i s g i v e n b y , I = 2 n r 2 J ( A . l 2 ) T h u s . 2 0 9 I f a - i s c o n s t a n t t h r o u g h o u t f i n a l l y t h e L a p l a c e ' s E q u a t i o n i s a c h i e v e d ' V 2 V = 0 ( A . 7 ) I n o r d e r t o e v a l u a t e t h e p o t e n t i a l b u i l d u p w e c a n w r i t e t h e L a p l a c e ' s e q u a t i o n e i t h e r i n s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s o r w i t h t h e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m . S i n c e t h e e l e c t r i c p o t e n t i a l d e p e n d s o n l y o n d i s t a n c e i t i s a p p r o p r i a t e t o w r i t e L a p l a c e · s e q u a t i o n i n s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s w i t h a r d e p e n d e n c e o n l y . W h e r e r i s t h e d i s t a n c e f r o m t h e e l e c t r o d e . _ _ ! _ [ a ( , . 2 a v ) J = o r 2 c r a r T h i s g i v e s t h e s o l u t i o n V = - A I + B / r ( A . 8 ) ( A . 9 ) W h e r e A a n d B a r e c o n s t a n t s t o b e d e t e r m i n e d . S i n c e p o t e n t i a l s h o u l d b e z e r o a t a g r e a t d i s t a n c e o f r ( i . e . r ~ o o ) i t i s o b v i o u s t h a t B = 0 . N o w . T ' = - A I / r F r o m ( A . 2 ) a n d ( A . 3 ) E = a v - A a r - - - ; ; : = p J ( A . l 0 ) ( A . l l ) S i n c e t h e c u r r e n t f l o w s r a d i a l l y o u t w a r d s i n a l l t h e d i r e c t i o n s t h e t o t a l c u r r e n t I c r o s s i n g a h e m i - s p h e r i c a l s u r f a c e i s g i v e n b y . I = 2 n r 2 J ( A . l 2 ) T h u s . 2 0 9 A - - - , = p f I p r - , = - 2 ; r n · 2 T h e r e f o r e . A = - p l 2 n H e n c e , V = p i 2 n r ( A . l 3 ) ( A . l 4 ) ( A . l 5 ) W h i c h i s t h e v o l t a g e a t a d i s t a n c e r f r o m a p o i n t s o u r c e o f c u r r e n t ( e l e c t r o d e ) a t t h e s u r f a c e o f a h a l f - s p a c e . 2 1 0 A p p e n d i x B P o t e n t i a l s i n N o n - H o m o g e n e o u s m e d i a B . I D e t e r m i n i n g t h e p o t e n t i a l a t a p o i n t i n a n o n h o m o g e n e o u s m e d i u m T h e a n a l o g y b e t w e e n t h e e l e c t r i c a l c a s e a n d o p t i c s i s b a s e d o n t h e f a c t t h a t c u r r e n t d e n s i t y , l i k e l i g h t i n t e n s i t y , d e c r e a s e w i t h t h e i n v e r s e s q u a r e o f d i s t a n c e f r o m a p o i n t s o u r c e i n a m e d i u m o f r e s i s t i v i t y p 1 , s e p a r a t e d b y a n a d j a c e n t m e d i u m p 2 b y a p l a n e b o u n d a r y . I n t h e o p t i c s t h e a n a l o g o u s c a s e w o u l d b e a p o i n t s o u r c e o f l i g h t i n o n e m e d i u m s e p a r a t e d f r o m a n o t h e r b y a s e m i t r a n s p a r e n t m i r r o r h a v i n g r e f l e c t i o n a n d t r a n s m i s s i o n c o e f f i c i e n t k a n d k - I r e s p e c t i v e l y . T h e n t h e l i g h t i n t e n s i t y a t a p o i n t i n t h e f i r s t m e d i u m i s p a r t l y d u e t o t h e p o i n t s o u r c e a n d p a r t l y t o i t s i m a g e i n t h e s e c o n d m e d i u m d i m i n i s h e d b y t h e r e f l e c t i o n f r o m t h e m i r r o r . O n t h e o t h e r h a n d t h e i n t e n s i t y a t a p o i n t i n t h e s e c o n d m e d i u m i s o n l y d u e t o t h e s o u r c e i n t h e f ] e s t m e d i u m d i m i n i s h e d b y t r a n s m i s s i o n t h r o u g h t h e m i r r o r . S o t o e v a l u a t e t h e p o t e n t i a l o f a g i v e n p o i n t i n a n o n h o m o g e n e o u s m e d i u m i n v o l v i n g t w o m e d i u m s t h e f o l l o w i n g a r g u m e n t ( F i g u r e B . l ) i s u s e d . T h e p o i n t s o u r c e o f l i g h t a n d t h e l i g h t i n t e n s i t y a t a p o i n t i s n o w r e p l a c e d b y a p o i n t s o u r c e o f c u r r e n t a n d a p o t e n t i a l . N o w t h e p r o b l e m i s i n t h e e l e c t r i c a l d o m a i n . M e d i u m 1 M e d i u m 2 c 1 I c 1 ! 2 ! 3 p 2 p 1 F i g u r e B . I O p t i c a l I m a g e a r r a n g e m e n t t o a n a l y z e t h e p o t e n t i a l d e v e l o p m e n t • T h e p o t e n t i a l o f a p o i n t ~ i s d u e t o t h e c u r r e n t s o u r c e C 1 a n d t h e i m a g e o f t h e c u r r e n t s o u r c e c ; e f f e c t e d b y t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t k o f t h e b o u n d a r y . T h e r e f o r e t h e p o t e n t i a l a t ~in t h e f i r s t m e d i u m i s , 2 1 1 v = I ( ) , r ~ + ~ l I 4 i T l j I~ ( B . 1 ) • W h i l e t h e p o t e n t i a l P o i n t h e s e c o n d m e d i u m i s o n l y d u e t o t h e c u n e n t s o u r c e C 1 e f f e c t e d b y t h e t r a n s m i s s i o n c o e f f i c i e n t ( 1 ~ k ) a t t h e b o u n d a r y . V " = I p 2 ( I~ k - 4 i T \ r ' ( B . 2 ) A p p l y i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n t h e s e p o t e n t i a l s m u s t b e e q u a l a t t h e i n t e r f a c e w h e n l j = 1 2 = 1 ; . T h u s , f l _ = I ~ k o r k = P c ~ p , P - c I + k P 2 + p , W h e r e , k - R e f l e c t i o n C o e f f i c i e n t a n d ~ 1 < k < I . k d e p e n d s o n t h e r e l a t i v e r e s i s t i v i t i e s i n t h e t w o m e d i a . B . 2 P o t e n t i a l a t a p o i n t o n t h e s u r f a c e o f a h a l f - s p a c e w i t h h o r i z o n t a l b e d s ( B . 3 ) W i t h t h i s a r g u m e n t t h e p o t e n t i a l a t a p o i n t o n t h e s u r f a c e ( w i t h t w o l a y e r s ) w h e r e t h e c u n e n t e l e c t r o d e i s f i x e d , c a n b e s h o w n t o b e a f f e c t e d b y i n f i n i t e s e t o f i m a g e s a b o v e a n d b e l o w t h e c u n e n t e l e c t r o d e , ( F i g u r e B . 2 ) d u e t o t h r e e l a y e r s i n v o l v e d , n a m e l y a i r , m e d i u m 1 a n d m e d i u m 2 . 2 I 2 • C c 4 h I I : 1 / I / C u r r e n t S o u r c e / I 2 h / I 1 1 [ F l e c t r o d e '7nnmJ~J 1 :C~~~~.:~n~:" · l \ . . _ _ / a I h j - - - - - - - l J p p e r l a y e r P 1 - - - - - - - - - - t - - - r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - I h 1 4 h I j c • B o t t o m L a y e r p 2 • c • F i t , r u r e B . 2 I n f i n i t e s e t o f i m a g e s d u e t o c u r r e n t s o u r c e C ( c · , c " , c " ' , c ' " ' , . . ) • C - C u r r e n t s o u r c e • c · - O r i g i n a l i m a g e o f c u r r e n t s o u r c e C f r o m t h e i n t e r f a c e b e t w e e n t h e t w o m e d i a s a t a 2 h d e p t h b e l o w C • c " - I m a g e o f c ' f r o m t h e i n t e r f a c e b e t w e e n a i r a n d u p p e r l a y e r 2 h a b o v e c • c · - I m a g e o f C f r o m t h e i n t e r f a c e b e t w e e n t h e t w o m e d i a s a t 4 h d e p t h b e l o w C • c " " - I m a g e o f C f r o m t h e i n t e r f a c e b e t w e e n a i r a n d u p p e r l a y e r 4 h a b o v e C T h i s e f f e c t o f e a c h s u c c e s s i v e i m a g e o n t h e p o t e n t i a l a t P r e d u c e s b y t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t b e t w e e n t h e b o u n d a r i e s . P o t e n t i a l a t P d u e t o t h e c u r r e n t s o u r c e C a n d i t s f i r s t i m a g e c ' i s , ~ = 1 P 1 [ _ ! _ + ~) 2 J r a ' I ( B . 4 ) 2 1 3 W h e r e , k = p ) - P I R e f l e c t i o n C o e f f i c i e n t a t t h e b o u n d a r y o f t h e t w o l a y e r s p 2 + P I T h e e f f e c t o n p o t e n t i a l a t P d u e t o c " i s , v 2 = I P I r k X k a l 2 H ( r I W h e r e , k - R e f l e c t i o n c o e t 1 1 c i e n t a t t h e s u r f a c e b o u n d a r y . ( ] S i n c e r e s i s t i v i t y o f t h e a i r i s e s s e n t i a l l y i n f i n i t e k a = I . ( 8 . 5 ) T h e p o t e n t i a l d u e t o t h e t h i r d i m a g e c · , 4 h b e l o w t h e s u r f a c e w i l l f u r t h e r r e d u c e , a s w i l l t h a t o f i t s i m a g e c " " ' 4 h a b o v e t h e s u r f a c e , v . + v - I P I ( k X k k X k X k l 1 4 - - - + a 2 H r 2 r , = I P I ( 2 k 2 ] 2 H r , ( B . 6 ) T h e r e f o r e t h e s u r f a c e p o t e n t i a l a t a p o i n t o n a h o r i z o n t a l b e d i s a n e q u a t i o n w i t h i n f i n i t e s e r i e s o f t h e f o n n , V = ~ + V 2 + V 1 + V 4 + . . . . . V m + . . . V = I p 1 { _ ! _ + 2 k + 2 k " + . . . . . + 2 k m + . . . . . } 2 H a r r r I 2 m ( B . 7 ) W h e r e , 2 1 4 ' i = { a " + ( 2 h ) c } Y c ~~ = { a c + ( 4 h ) 2 } l j r n : = { c r ' + ( 2 m / z ) c } Y c T h i s c a n b e w r i t t e n i n t h e c o m p a c t f o n n , v = 1 P I _ ! _ + i f ' ' c Y c [ k r n ] 2 7 ! ( [ m = I { a - + ( 2 m / z ) } r o : k r n I I P I 1 + 2 ' " ' I ' Y c V = L 2 m 1 - 2 J r a m~I{l+( % ) } ( 8 . 8 ) i . e . f o r t w o l a y e r e a r t h w i t h u p p e r m e d i u m o f r e s i s t i v i t y p 1 a n d h e i g h t h w i t h b o t t o m l a y e r o f r e s i s t i v i t y p 1 a n d i n f i n i t e d e p t h t h e s u r f a c e p o t e n t i a l a t a d i s t a n c e a f r o m t h e c u r r e n t e l e c t r o d e i s g i v e n b y t h e e q u a t i o n ( 8 . 8 ) . 2 1 5 A p p e n d i x C M e t h o d s o f R e s i s t i v i t y s u r v e y s a n d E l e c t r o d e A r r a y s C . I T y p e s o f r e s i s t i v i t y S u r v e y s T h e r e a r e t w o b a s i c f i e l d p r o c e d u r e s u s e d w i t h t h e r e s i s t i v i t y s u r v e y s , E l e c t r i c a l S o u n d i n g a n d E l e c t r i c a l p r o f i l i n g o r m a p p i n g . T h e s u r v e y t y p e s e l e c t i o n d e p e n d s o n w h e t h e r o n e i s i n t e r e s t e d i n r e s i s t i v i t y v a r i a t i o n w i t h d e p t h o r w i t h l a t e r a l e x t e n t . T h e f i r s t i s c a l l e d V c r t i c a l E l e c t r i c S o u n d i n g ( Y E S ) t h e s e c o n d l a t e r a l p r o t ! l i n g . C . l . l V e r t i c a l E l e c t r i c a l S o u n d i n g ( Y E S ) S i n c e t h e f r a c t i o n o f t o t a l c u n e n t t h a t f l o w s a t d e p t h v a r i e s w i t h t h e c u n c n t e l e c t r o d e s e p a r a t i o n [ r e f e r t h e b i g b o o k ] t h e t ! c l d p r o c e d u r e i s t o u s c a f i x e d c e n t e r w i t h a n e x p a n d i n g s p r e a d . T h e p r e s e n c e o f h o r i z o n t a l o r g e n t l y d i p p i n g b e d s o f d i f f e r e n t r e s i s t i v i t i e s i s b e s t d e t e c t e d b y t h e e x p a n d i n g s p r e a d . H e n c e t h e m e t h o d i s a p p l i c a b l e i n e s t i m a t i o n o f d e p t h t o b e d r o c k , t o a w a t e r b a r i n g l a y e r , t o s a n d o r g r a v e l ; e s t i m a t i n g t h e t h i c k n e s s o f a l a y e r ; e s t i m a t i o n o f t h e v a r i a t i o n o f r e s i s t i v i t y w i t h t h e d e p t h a n d d e t e n n i n i n g t h e s e q u e n c e o f h i g h a n d l o w r e s i s t i v i t y z o n e s . C . l . 2 L a t e r a l P r o f i l i n g T h i s m e t h o d i s p a r t i c u l a r l y u s e f u l i n m i n e r a l e x p l o r a t i o n w h e r e t h e d e t e c t i o n o f i s o l a t e d b o d i e s o f a n o m a l o u s r e s i s t i v i t y i s r e q u i r e d . L a t e r a l e x p l o r a t i o n b y r e s i s t i v i t y m e a s u r e m e n t s i s b e s t s u i t e d f o r 2 D r e s i s t i v i t y s u r v e y s f o r d e t e c t i o n o f s t e e p l y d i p p i n g c o n t a c t s a n d d i k e s o f c o n t r a s t i n g r e s i s t i v i t i e s t h a t i s l o c a t i n g f a u l t s o r f a u l t y z o n e s ; p r o s p e c t i n g s a n d a n d g r a v e l d e p o s i t s ; d e l i n e a t i n g t h e b o u n d a r i e s o f a n d g r a v e l d e p o s i t s a n d p r o s p e c t i n g f o r o r e b o d i e s . C . 2 E l e c t r o d e A r r a y s T h e r e s i s t i v i t y i m a g i n g m e t h o d u s e s s t a n d a r d a n a y s d e v e l o p e d f o r e l e c t r i c a l r e s i s t i v i t y , s o u n d i n g a n d p r o f i l i n g t e c h n i q u e s . A l i n e o f e l e c t r o d e s i s p l a c e d a t i n t e r v a l s a l o n g t h e d e s i r e d p r o f i l e . F o u r e l e c t r o d e s a r e u s e d a t o n e t i m e . T w o i n j e c t c u n e n t i n t o t h e g r o u n d a n d t w o r e a d t h e e l e c t r i c a l p o t e n t i a l b e t w e e n t h e m . T h e s h o r t e l e c t r d d e i n t e r v a l s l o o k a t t h e s h a l l o w e a r t h , a n d t h e l o n g e r i n t e r v a l s l o o k m o r e d e e p l y . 2 1 6 C . 2 . 1 ' V e n n e r A r r a y T h i s i s t h e m o s t c o m m o n l y u s e d p o i n t e l e c t r o d e a r r a ) ( F i g u r e C . l ) . I n t h e w c n n c r a r r a y t h e e l e c t r o d e s a r e u n i f o r m l y s p r e a d i n a l i n e . S e t t i n g ' i = r 4 = a a n d r , = r 1 = 2 a i n e q u a t i o n ( 2 . 1 5 ) t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y o f t h e w e n n c r a r r a y i s , P a = 2 J r a i ' . . ' J : W h e r e , a - E l e c t r o d e S p a c i n g f \ . V - v o l t a g e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s I - C u r r e n t i n j e c t e d b y t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s ( - - " ~-----~'_/~--------------, i\~~;,>---- a a a A M N B F i g u r e C . l W e n n e r A r r a y E l e c t r o d e a r r a n g e m e n t ( C . I ) W e n n e r a r r a y c a n b e u s e d f o r b o t h r e s i s t i v i t y p r o f i l i n g a n d d e p t h s o u n d i n g . F o r d e p t h e x p l o r a t i o n t h e e l e c t r o d e s a r e e x p a n d e d a b o u t a f i x e d c e n t e r i n c r e a s i n g t h e s p a c i n g a i n s t e p s . F o r l a t e r a l e x p l o r a t i o n o r m a p p i n g t h e s p a c i n g r e m a i n s c o n s t a n t a n d a l l f o u r e l e c t r o d e s a r c m o v e d a l o n g t h e l i n e , t h e n a l o n g a n o t h e r l i n e a n d s o o n . I n m a p p i n g t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y f o r e a c h a r r a y p o s i t i o n i s p l o t t e d a g a i n s t t h e c e n t r e o f t h e s p r e a d . T h e r e f o r e , i n t h i s a r r a y a l l f o u r e l e c t r o d e s a r e m o v e d m a k i n g i t l e s s t i m e e f f i c i e n t f o r p r o f i l i n g , b u t s i n c e t h e d i s t a n c e s b e t w e e n t h e e l e c t r o d e s a r e s m a l l , m i s t a k e s a r e l e s s l i k e l y . I n t h e W e n n e r a r r a y n e a r - s u r f a c e c o n d i t i o n s d i f f e r a t a l l f o u r e l e c t r o d e s f o r e a c h r e a d i n g , g i v i n g a r a t h e r h i g h n o i s e l e v e l . A v e r y m u c h s m o o t h e r c u r v e c a n b e p r o d u c e d u s i n g o f f s e t t i n g t e c h n i q u e s . O f f s e t t i n g i s a c h i e v e d b y s e t t i n g o u t f i v e e q u a l - s p a c e d e l e c t r o d e s , t w o r e a d i n g s a r e t h e n t a k e n a t e a c h e x p a n s i o n a n d a v e r a g i n g o f t h e t w o p r o d u c e s a c u r v e i n w h i c h l o c a l e f f e c t s a r e s u p p r e s s e d , w h i l e d i f f e r e n c i n g p r o v i d e s e s t i m a t e s o f t h e s i g n i f i c a n c e o f t h o s e e f f e c t s . 2 1 7 • B e c a u s e t h e s i g n a l - c o n t r i b u t i o n c o n t o u r s f o r t h e W e n n e r a r r a y a t d e p t h a r e s l i g h t l y f l a t t e r t h a n t h o s e o f t h e S c h l u m b e r g c r a r r a y w e w i l l o f t e n u s c W c n n e r a r r a y f ( J r l o c a t i n g f l a t l a y i n g i n t e r f a c e s . C . 2 . 2 S c h l u m b c r g c r A r r a y I n t h i s a r r a y t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s a r c s p a c e d m u c h f u r t h e r a p m i t h a n t h e p o t e n t i a l e l e c t r o d e s ( F i g u r e C . 2 ) . H e r e ' i = r~ = L - I a n d r 2 = r , = L + I a n d e q u a t i o n ( 2 . 1 5 ) g J V C S , P u = ~ ( ! } - / 2 ) t 1 r ; ; W h e r e , L - S p a c i n g b e t w e e n t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s ( A % ) 1 - S p a c i n g b e t w e e n t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s ( M l j i ) 1 ' 1 V - v o l t a g e d i f l e r e n c c b e t w e e n t h e c u n e n t e l e c t r o d e s I - C u r r e n t i n j e c t e d b y t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s ( C . 2 ) O r w i t h a l t e m a t e s y m b o l s f r e q u e n t l y f o u n d i n l i t e r a t u r e i . e . u s i n g A , B , M a n d N f o r C 1 , C 2 , I~ a n d ~ e q u a t i o n ( C . 2 ) c a n b e r e - w r i t t e n a s , P a = 4 ~N ( A B 2 - M N 2 )!1~ ( C . 3 ) A M L N B F i g u r e C . 2 S c h l u m b e r g e r A r r a y E l e c t r o d e A r r a n g e m e n t 2 1 8 u i : r i A F r · \~ :~. \ ' . . . : ; S i T Y ;-~-r ~v,:H . . ; : ; :-~.i',~~ ~ . j ~"" ~ l 1 1 \ e r t i c a l s o u n d i n g t h e p o t e n t i a l e l e c t r o d e s r e m a i n f i x e d v v h i l c t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s p a c m g I S e x p a n d e d s y m m e t r i c a l l y a b o u t t h e c e n t r e o f t h e s p r e a d . E \ · e n t h o u g h p , n t a b i l i t y i s l e s s i m p o r t a n t i n r e s i s t i v i t y d e p t h s o u n d i n g t h a n i n p r o f i l i n g t h e S c h l u m b c r g e r a r r a y w i l l b e u s e d \ \ e r e a p p r o p r i a t e b e c a u s e o f s p e e d a n d c o n v e n i e n c e . H O \ \ e \ c r f o r l a r g e v a l u e s o f L i t i s n e c e s s a r y t o i n c r e a s e I i n o r d e r t o m a i n t a i n a m e a s u r a b l e p o t e n t i a l . S i t e s e l e c t i o n i s e x t t c m e l y i m p o r t a n t w i t h t h e S h l u m b c r g e r a r r a y b e c a u s e i t i s s e n s i t i n : t o c o n d i t i o n s a r o u n d t h e c l o s e l y - s p a c e d i n n e r e l e c t r o d e s . T h e r e f o r e . l o c a t i o n s \ \ h e r e t h e u p p e r l a y e r i s v e r y i n h o m o g e n e o u s m a y n o t b e s u i t a b l e f o r t h e S c h l u m b e r g e r a r r a y a n d t h e o f f s e t W e n n e r a r r a y w i l l b e u s e d . C . 2 . 3 P o l e - P o l e a r r a y I n t h e P o l e - P o l e a r r a y o n e o f t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s a n d o n e o f t h e p o t e n t i a l e l e c t r o d e s a r e p l a c e d s o L 1 r a w a y t h a t t h e y c a n b e c o n s i d e r e d a t i n f i n i t y ( F i g u r e C . 3 ) . S e t t i n g ~~ = r ; = ~~ = - y : . a n d l j = a i n e q u a t i o n ( 2 . 1 5 ) t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y o f t h e P o l e - P o l e ~I!Tay I S . ! ' . . = 2 , 7 ( / ~ 1 ; ; ; ( C . 4 ) \ \ ' h e r e . u - E l e c t r o d e S p a c i n g b e t w e e n t h e f i r s t c u r r e n t a n d f i r s t P o t e n t i a l e l e c t r o d e ~~·- \ O i t a g e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s I C u r r e n t i n j e c t e d b y t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s J : - - - - d V - - X L a ; \ M F i g u r e C . 3 P o l e - p o l e A r r a y E l e c t r o d e A r r a n g e m e n t T h i s a r r a y c a n a c t u a l l y b e a c h i e v e d f o r s u r v e y s o f s m a l l o v e r a l l d i m e n s i o n w h e n i t i s p o s s i b l e t o p u t t h e d i s t a n t e l e c t r o d e s s o m e p r a c t i c a l d i s t a n c e a w a y . F o r a s u r v e y i n a n ~1rca o f a C e \ \ s q u a r e m e t e r s " i n f i n i t y ' ' c a n b e o n t h e o r d e r o f a h u n d r e d m e t e r s . " " ' , . . . ' ' l • . , t . . J ~, . . . . • U • I 2 1 l ) C . 2 . . t P o l e - d i p o l e A r r a y I n t h i s a r r a y t y p e o n l y o n e o f t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s i s p l a c e d a t " i n f i n i t y " ( F i g u r e C . 4 ) . S e t t i n g 1 ; = h , 1~ = u + h a n d r , =1~ = c r : i n e q u a t i o n ( 2 . 1 5 ) t h e a p p a r e n t r e s i s t i Y i t y o f t h e P o l e - d i p o l e a r r a y i s . , h ( h + u ) 6 . l . l / ) = _ , 7 / 1 . . ( / ( C . 5 ) \ \ ' h e r e , u - E l e c t r o d e S p a c i n g b e t w e e n t h e P o t e n t i a l e l e c t r o d e s h - E l e c t r o d e S p a c i n g b e t w e e n t h e f i r s t c u r r e n t a n d t h e f i r s t P o t e n t i a l e l e c t r o d e j y - V o l t a g e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s I C u r r e n t i n j e c t e d b y t h e c u r r e n t e l e c t r o d e s y - - - - - - v - - , . . . n a o r b . . , . . . a - ! ; \ M N ( a ) P l P 2 n a L : J C l 1 " ( b ) P 2 P l C l I a / . . u n a 1 ( c ) F i g u r e C A P o l e - d i p o l e A r r a y E l e c t r o d e A r r a n g e m e n t ( a ) " f o r w a r d " d i r e c t i o n , ( b ) \ V i t h a l a r g e r s p a c i n g b e t w e e n t h e p o t e n t i a l e l e c t r o d e s A n d ( c ) i n t h e " r e v e r s e ' ' d i r e c t i o n . 2 2 0 T h i s a r r a y i s u s e d f r e q u e n t l y i n r e s i s t i v i t y s u r v e y i n g a n d t h e s p a c i n g a r e u s u a l l v d e s c r i b e d . a n d t a k e n . i n i n t e g e r m u l t i p l e s o f t h e v o l t a g e e l e c t r o d e s p a c i n g h . T h e s t a n d a r d n o m e n c l a t u r e i s t o c a l l t h e p o t e n t i a l e l e c t r o d e s p a c i n g u s o t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t v b e c o m e . l ) i = 2 ; 7 i / 1 7 ( 1 7 + 1 ) : ' : - . 1 / j ( C . 6 ) \ \ " h e t J u s e d i n t w o d i m e n s i o n a l r e s i s t i v i t y s u r v e y s . t h i s a r r a y i s a n a t t r a c t i v e a l t e r n a t i v e t o t h e p o l e - p o l e a r r a y f o r s u r v e y s w i t h m e d i u m a n d l a r g e s u r v e y g r i d s ( 1 2 b y 1 2 a n d a h e m . : ) . I t h a s a b e t t e r r e s o l v i n g p o w e r t h a n t h e p o l e - p o l e a r r a y , a n d i s l e s s s u s c e p t i b l e t o t e l l u r i c n o i s e s i n c e b o t h p o t e n t i a l e l e c t r o d e s a r e k e p t w i t h i n t h e s u r v e y g r i d . ( · o m p a r e d t o t h e d i p o l e - d i p o l e a r r a y . i t h a s s i g n i f i c a n t l y s t r o n g e r s i g n a l s t r e n g t h . l n l i k e o t h e r c o m m o n a r r a y s . i t i s a n a s y m m e t r i c a l a r r a y . O v e r s y m m e t r i c a l s t r u c t u r e s t h e a p p a r e n t r e s i s t i \ i t y a n o m a l i e s a r e a l s o a s y m m e t r i c a l . I n s o m e s i t u a t i o n s . t h e a s y m m e t r y i n t h e m e a s u r e d a p p a r e n t r e s i s t i v i t y v a l u e s c o u l d i n f l u e n c e t h e m o d e l n h t a i n e d a f t e r i n \ c r s i ' J n . O n e m e t h o d t o e l i m i n a t e t h e e f f e c t o f t h i s a s y m m e t r y i s t o r e p e a t t h e m e a s u r e m e n t s w i t h t h e e l e c t r o d e s a r r a n g e d i n t h e r e v e r s e m a n n e r ( F i g u r e C . . . . J . ( c ) ) . B y · c o m b i n i n g t h e m e a s u r e m e n t s \ \ · i t h t h e " f o r w a r d " a n d " r e v e r s e " p o l e - d i p o l e a r r a y s . a n y b i a s i n t h e m o d e l d u e t o t h e a s y m m e t r i c a l n a t u r e o f t h i s a r r a y w o u l d h e r e m m e d . T h e \ o l t a g e m e a s u r e ~1etween t h e p o t e n t i a l e l e c t r o d e s d e c r e a s e s w i t h t h e s q u a r e o f t h e I I l~lctor. F o r l a r g e \ a l u e s o r t h e 1 7 n l c t o r , t h e s i g n a l t o n o i s e r a t i o m i g h t b e c o m e t o o s m a l l f o r a r e l i a b l e m e a s u r e m e n t t o b e m a d e . T o i n c r e a s e t h e s i g n a l s t r e n g t h , t h e d t s t a n c e b e t \ \ e e n t h e P 1 a n d P 2 e l e c t r o d e s i s i n c r e a s e d ( F i g u r e C . 4 ( b ) ) . O n e p o s s i b l e l i c l d t e c h n i q u e i s t o m a k e a l l t h e p o s s i b l e m e a s u r e m e n t s w i t h t h e P l - P 2 s p a c i n g L ' q u a l s t o l a ( i . e . t h e u n i t e l e c t r o d e s p a c i n g ) , f o l l O \ v e d b y m e a s u r e m e n t s w i t h P l - P 2 s p a c i n g e q u a l s t o 2 a . T h i s w i l l i n c r e a s e t h e d a t a d e n s i t y . I n s o m e c a s e s , p a r t i c u l a r l y i n n o i s y a r e a s . h a s b e e n f o u n d b y h a v i n g s u c h r e d u n d a n t m e a s u r e m e n t s i m p r o v e s t h e r e s o l u t i o n o f t h e r e s u l t i n g i n v e r s i o n m o d e l . 2 2 1 C . 2 . 5 D i p o l e - d i p o l e A r r a y I n t h e d i p o l e - d i p o l e a r r a y ( F i g u r e C . 5 ) t h e c u r r e n t a n d v o l t a g e s p a c i n g i s t h e s a m e a n d t h e s p a c i n g b e t w e e n t h e m i s a n i n t e g e r m u l t i p l e . T h i s s e t s l j = ~~ = a ( n + I ) , ~~ = n u a n d r = u ( n + 2 ) i n e q u a t i o n ( 2 . 1 5 ) a n d t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y o f t h e D i p o l e - d i p o l e a r r a y I S . I 1 , . = ; 7 ( { 1 1 ( I I + I ) ( I I + 2 ) L ' d i j v ! - - - - - a - ¥ - b _ , . . a _ , A B M N ( a ) C l C 2 P l P 2 1 2 " l " n a ' l 2 a l ( b ) F i g u r e C . S ( a ) T h e a r r a n g e m e n t o f t h e e l e c t r o d e s f o r t h e d i p o l e - d i p o l e a r r a y . ( b ) T h e u s e o r ; . : l a r g e r s p a c i n g b e t w e e n t h e C l - C 2 ( a n d P l - P 2 ) e l e c t r o d e s t o i n c r e a s e t h e s i g n a l s t r e n g t h . ( C . 7 ) T h i s a r r a y i s m a i n l y u s e d i n I P w o r k w h e r e i n d u c t i o n c t T e c t s m u s t b e a v o i d e d a t a l l c o s t s : h o w e w r i t i s a l s o c t T e c t i v e i n r e s i s t i v i t y p r o f i l i n g . T h e d i p o l e - d i p o l e a r r a y i s l o g i s t i c a l l y t h e m o s t c o n v e n i e n t i n t h e f i e l d , e s p e c i a l l y f o r l a r g e s p a c i n g . l t u s e s t o u r m m i n g e l e c t r o d e s a n L l i s t h e r e f o r e l e s s d e s i r a b l e a l s o t h e o b s e r v e d v o l t a g e s t e n d t o b e r a t h e r s m a l l . A l l t h e o t h e r a r r a y s r e q u i r e s i g n i f i c a n t l e n g t h s o f w i r e t o c o n n e c t t h e p ( l \ \ e r s u p p l y a n d v o l t m e t e r t o t h e i r r e s p e c t i \ ' e e l e c t r o d e s a n d t h e s e w i r e s m u s t b e 1 1 1 m c d r o r e \ c r y c h a n g e i n s p a c i n g a s t h e a r r a y i s e i t h e r e x p a n d e d f o r a s o u n d i n g o r n 1 0 \ e d a l o n g a l i n e . . · \ ! t h o u g h t h e o r e t i c a l l y p o s s i b l e t h e d i p o l e - d i p o l e a r r a y w i l l n o t b e u s e d t o r r e s i s t i v i t y L k p t h s o u n d i n g . W h e n u s e d i n t \ \ O d i m e n s i o n a l r e s i s t i v i t y s t u d i e s , t h i s a r r a y c a n 1 s " 1 / ! r c c n m m c n d e d o n l y C o r g r i d s t h a t a r c l a r g e r t h a n 1 2 b y 1 2 d u e t o t h e p o o r e r h o r i z o n t a l d a t a n w c r a g e a t t h e s i d e s . T h i s a r r a y h a s t h e a d v a n t a g e o r v e r y g o o d h o r i z o n t a l r e s o l u t i o n , b u t i t s m a m d i s a c h a n t a g e i s i t s r c l a t i \ e l y l o w s i g n a l s t r e n g t h . T h e v o l t a g e m e a s u r e d b y t h e P 1 - P 2 p d i r i s i m c r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e c u b e o f t h e 1 1 f~tetor. N o r m a l l y , t h e m a x i m u m \~due f o r t h e I I f~lctor i s ( J . T o g e t a d e e p e r d e p t h o r p e n e t r a t i o n . t h e s p a c i n g b e t w e e n t h e C 1 - C 2 ( a n d P 1 - P 2 ) p a i r i s i n c r e a s e d . O n e m e t h o d t o r e d u c e t h e e f f e c t o r n o i s e i s t o m a k e r e d u n d a n t m e a s u r e m e n t s u s i n g e l i f f e r c n t c o m b i n a t i o n s o f t h e 1 1 f a c t o r a n d t h e 1 1 Sj)~lCII1g. 2 2 3 A p p e n d i x D M a t l a b P r o g r a m s f o r t h e s y n t h e t i c d a t a g e n e r a t i o n o f t w o l a y e r s a n d t h r e e l a y e r s I . T h i s i s t h e m a i n p r o g r a m t h a t c a l c u l a t e s 3 0 0 t r a i n i n g s a m p l e s f o r t r a i n i n g f o r t h e l \ \ o l a y e r c a s e a n d s a v e t h e m . T h i s c a l l s t h e f u n c t i o n ' m y t e s t ' w i t h t h e l a y e r p a r a m e t e r s a s i n p u t s t o g e n e r a t e t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y c u r v e s . V a r i a b l e s p I a n d p 2 a r e t h e u p p e r l a y e r a n d b o t t o m l a y e r r e s i s t i v i t i e s r e s p e c t i v e l y . P a r a m e t e r ' h ' g i v e s t h e \ · a ] u e s o f u p p e r l a y e r h e i g h t s e l e c t e d f o r t h e d a t a g e n e r a t i o n . f u n c t i o n I r e s i s t i Y i t y d a t a , t a r g e t J = c a l c r e s i s i t i Y i t y ( ) p I = [ I 0 9 8 1 7 5 3 2 5 4 7 5 5 4 5 7 2 5 8 4 0 1 0 0 2 2 0 4 2 0 5 0 9 3 5 6 2 0 2 5 0 J ; p 2 = c [ 1 0 0 0 3 0 0 5 2 0 6 0 0 5 0 0 6 5 0 1 0 0 0 1 0 0 0 4 0 0 W O 7 5 0 2 5 0 1 0 0 0 7 0 0 5 0 0 J ; h = [ 1 2 . 5 5 3 7 . 5 - + . 2 5 6 8 . 3 9 . 2 1 O J ; i = l : [ u l \ I J = s i z e ( h ) ; [ u 2 \ 2 J = s i z c ( p I ) ; m=3()()~ I F · W : r e s i s t i \ i t y d a t a 2 = z e r o s ( m , n ) ; t a r g e t 2 = z e r o s ( m , 6 ) ; k = l ; \ \ h i l c i < = \ 2 j = 1 ; \ \ h i 1 e j < = \ 1 x = p 1 ( i ) ; y = p 2 ( i ) ; z = h ( j ) ; [ d i s t a n c e I T S \ a ! J = m y t e s t ( x , y , z ) ; r e s i s t i \ i t y d a t a 2 ( k , : ) = r e s v a l ; t a r g c t 2 ( k , : ) = [ l 0 0 0 0 O J ; j=j~ I : k = k + 1 ; e n d i = i + I ; e n d p 1 = [ 3 0 0 4 5 0 1 0 0 0 2 2 0 5 0 0 6 5 0 9 0 0 7 2 5 1 0 0 0 8 5 0 6 0 0 7 0 0 5 0 0 3 5 0 1 0 0 0 1 2 2 4 p 2 = [ 2 5 0 I 0 0 I 0 0 2 0 3 5 0 4 0 0 3 0 0 5 0 0 2 0 0 4 0 0 3 0 0 1 0 0 1 7 5 2 0 0 3 0 0 J h - I I 2 . 5 5 3 7 . 5 4 . 2 5 6 8 . 3 9 . 2 I O J ; l · . J ; [ u l \ 1 j = s i z e ( h ) ; [ u 2 \ 2 J = s i , ; : e ( p i ) ; \ \ h i l c i < = v 2 j~l; ' ' h i l e j<~, I : \ ~p 1 ( i ) ; y = p 2 ( i ) ; z = h ( j ) ; [ J i s t a n c e J - c s v a l ] = m y t e s t ( x , y , z ) ; r e s i s t i v i t y d a t a 2 ( k , : ) = r e s v a l ; t a r g c t 2 ( k , : ) = [ O 1 0 0 0 O J j = j + I ; k = k + l ; e n d i - = i - , - ] ; e n d s a \ e ( ' D : ' . M A T L A B 7 \ w o r k \ I D \ a p p r e s d a t a 2 . m a t ' , ' r e s i s t i v i t y d a t a 2 ' ) s a \ c ( ' D : \ M A T L A B 7 \ v v o r k \ 1 D \ t a r g e t 2 . m a t ' , ' t a r g e t 2 ' ) ' T h i s f u n c t i o n t a k e s t h e t w o l a y e r p a r a m e t e r s a s t h e i n p u t s a n d r e t u r n s t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y d a t a p o i n t s o f 4 0 s u c c e s s i v e p o i n t s t o t h e m a i n p r o g r a m . V a r i a b l e ' B ' gin~s \ \ e l m e r s p r e a d s p a c i n g s u s e d f o r t h e d a t a g e n e r a t i o n , s p a c i n g i s v a r i e d f r o m 0 . 0 0 I t o 3 9 0 m i n 1 O m s t e p s . f u n c t i o n ! B , i n t e g r a l ! = m y t e s t ( p l , p 2 , h ) 8 = [ 0 . 0 0 I I 0 : I 0 : 3 9 0 J ; 8 1 = 2 * 8 ; o u n c c = z c r o s ( s i z e ( B ) ) ; o u n c e I = z c r o s ( s i z c ( B I ) ) ; r o r i = 1 : l e n g t h ( B ) , o u n c e ( i ) = h a n k e l ( ' t w o l a y e r h ' , B ( i ) , p I , p 2 , h ) ; e m ! ; t ' u r i = 1 : l e n g t h ( B I ) , o u n · e c 1 ( i ) = h a n k e l ( ' t \ \ · o l a y e r h ' , B I ( i ) , p 1 , p 2 , h ) ; e m L ! ' o r i = l : l e n g t h ( B ) , i n t c g r a l ( i ) = p I * ( ( o u n c e ( i ) - o u r v e c 1 ( i ) ) * ( 4 * 8 ( i ) ) + 1 ) ; e n d ; 2 2 5 : 1 . r h i s f u n c t i o n C a l c u l a t e s t h e i n f i n i t e i n t e g r a ] i n t h e e q u a t i o n 2 . 4 5 \ V i t h d i g i t a l f i l t e r o p e r a t i o n s . r u n n a m e B x O T h e n a m e o f t h e f u n c t i o n t o b e t r a n s f o r m e d . T h e t r a n s f o r m a r g u m e n t . ( t h e e l e c t r o d e s p a c i n g i n t h i s a p p l i c a t i o n ) T h e v a l u e o f t h e t r a n s f o r m o f o r d e r 0 . f u n c t i o n z O = h a n k e l ( f u n n a m e , B , p 1 , p 2 , h ) YBASE=[]~ - T h e 8 0 1 s a m p l i n g p o i n t s \ \ ' T O = [ ] ; - T h e 8 0 I f i I t e r w e i g h t s Y c - c Y B A S E . B ; - G e t t h e p o i n t s a t w h i c h t o e v a l u a t e F . Y F = C e \ a ! ( f u n n a m q J 1 , p 2 , h , Y ) ; - E v a l u a t e F a t t h e s e p o i n t s . ; 0 W T O . ' * ' t T ; - C o m p u t e t h e d o t p r o d u c t . /()~-/0/8; - F i n a l l y c o r r e c t f o r t h e f a c t o r o f 1 / B . T h e 8 0 I p a r a m e t e r s o f t h e . ! , , f i l t e r i s g i v e n l a t e r i n t h e A p p e n d i x A . - + . T h i s i s t h e f u n c t i o n t h a t i l l u s t r a t e s t h e r e s i s t i v i t y f o r w a r d m o d e l i n g k e r n e l f u n c t i o n f o r t \ \ o l a y e r s . f u n c t i o n f = t w o l a y e r h ( p 1 , p 2 , h , g ) k = ( p 2 - p 1 ) / ( p 2 - + - p 1 ) ; C = ( k * e x p ( - 2 * h * g ) ) . / ( 1 - ( k * c x p ( - 2 * h * g ) ) ) ; 5 . T h i s i s t h e m a i n p r o g r a m t h a t c a l c u l a t e s 6 0 0 t r a i n i n g s a m p l e s f o r t r a i n i n g t o r t h e t h r e e l a y e r c a s e a n d s ; . n c t h e m . T h i s c a l l s t h e f u n c t i o n ' m y t e s t 3 ' w i t h t h e f i v e l a y e r p a r a m e t e r s a s i n p u t s t o g e n e r a t e t h e a p p a r e n t r e s i s t i v i t y c u r v e s . V a r i a b l e s p 1 , p 2 a n d p 3 a r e t h e f i r s t l u y c r , s e c o n d l a y e r a n d b o t t o m l a y e r r e s i s t i v i t i e s r e s p e c t i v e l y . P a r a m e t e r h 1 g i v e s t h e v a l u e s o f f i r s t l a y e r h e i g h t a n d h 2 g i v e s t h e v a l u e s o f s e c o n d l a y e r h e i g h t s s e l e c t e d t o r t h e d a t a g e n e r a t i o n . f u n c t i o n I r e s i s t i v i t y d a t a , t a r g e t j = c a l c r e s i s i t i v i t y 3 ( ) " o T y p e A c u n c g e n e r a t i o n f o r c o n d i t i o n P l < P 2 < P 3 p l = [ l O 1 0 0 1 2 0 2 1 0 ? 0 0 1 2 5 1 7 5 5 0 0 3 5 0 4 7 5 2 5 0 2 2 0 4 2 0 5 0 4 0 0 ] ; 2 2 6 ' I I J p 2 = [ J O O 2 3 5 - 1 - 0 0 - 1 - 5 6 3 5 0 5 4 3 7 0 0 M 2 3 7 7 5 3 2 5 0 0 2 4 0 8 0 0 4 0 0 6 7 5 J ; p _ i = f 1 0 0 0 _ ) ( ) ( ) 5 2 0 ( J 0 0 5 0 0 6 5 0 1 0 0 0 1 0 0 0 4 0 0 6 0 0 7 5 0 2 5 0 1 0 0 0 7 0 0 8 0 0 J ; I I - [ I J - - , 7 - 4 r 6 8 - . c ' 7 1 ( ) j - · l - _ _ ) ) _ ) . ) _ _ ) . _ ) / . _ - ' h 2 = [ - 1 - 6 . 7 5 3 . 8 C ) . 4 2 I 0 3 . 5 7 . 4 8 . 3 1 O J ; i ~I; [ u l ' l l = s i z c ( h I ) ; I u 2 ' 2 J = s i z e ( p I ) ; m = ( J 0 0 ; 1 1 = - 1 - 0 : r c s i s t i \ i t y d a t a 3 = z e r o s ( m , n ) ; t a r g e t 3 = z e r o s ( m . 6 ) ; k = l ; \ \ h i l c i < = v 2 j = l ; ' ' h i l c j < = , · I : \ = p 1 ( i ) ; y = p 2 ( i ) ; a = p 3 ( i ) ; z = h I C i ) ; J F h 2 ( j ) ; [ d i s t a n c e r e s v a l J = m y t e s t 3 ( x , y , a , z , b ) ; r e s i s t i \ i t y c l a t a 3 ( k . : ) = r e s v a l ; t a r g c t 3 ( k . : ) = [ O 0 1 0 0 O J ; j = j + l ; k ' - + - r - I ; e n d i = i + L e n d " o T y p e H e u n c g e n e r a t i o n f o r c o n d i t i o n P I > P 2 < P 3 p 1 = [ 3 0 0 4 5 0 5 0 0 2 2 0 5 0 0 6 5 0 9 0 0 7 2 5 4 5 2 8 5 0 6 0 0 7 0 0 5 0 0 3 5 0 7 5 0 J ; p 2 = [ I 0 0 1 0 0 I 0 0 2 0 3 5 0 4 0 0 3 0 0 5 0 0 2 0 0 4 0 0 3 0 0 1 0 0 1 7 5 2 0 0 3 0 0 J ; p 3 = [ 7 0 0 8 0 0 1 0 0 0 4 6 7 8 7 9 7 4 3 1 0 0 0 8 6 5 6 7 8 9 7 5 7 0 0 1 0 0 0 7 7 5 9 2 0 J O O O J ; h l = [ l 2 . 5 5 3 7 . 5 4 . 2 5 6 8 . 3 9 . 2 ! O J ; h 2 - - [ - + 6 . 7 5 3 . 8 9 . 4 2 1 0 3 . 5 7 . 4 8 . 3 ! O J ; i 1 : [ u 1 \ 1 J = s i z e ( h 1 ) : [ u 2 ' 2 ] = s i z e ( p I ) ; ' ' h i l c i < = v 2 j = l ; \ \ h i l e j < = v l x = p I ( i ) : y = p 2 ( i ) ; a = p 3 ( i ) ; 2 2 7 z = h I ( j ) ; b = h 2 ( j ) ; [ d i s t a n c e r e s v a l J = m y t e s t 3 ( x , y . a , z , b ) ; r e s i s t i v i t y d a t a 2 ( k . : ) = r e s v a l ; t a r g e t 3 ( k , : ) = [ O 0 0 I 0 O J ; j = j - ' - 1 ; k = k + l ; e n d i = i - r - 1 : e n d " o T y p e K c u n e g e n e r a t i o n f o r C o n d i t i o n P I < P 2 > P 3 0 o 7 5 e x a m p l e s e a c h f o r s m a l l h 2 a n d l a r g e h 2 p l = [ 2 - + 5 3 5 0 7 2 5 1 2 0 6 8 5 4 0 0 1 0 0 1 9 5 7 2 0 5 0 0 8 3 0 9 0 0 2 0 0 4 7 5 5 4 0 J ; p 2 = [ 5 0 0 - + 5 0 1 0 0 0 8 0 0 9 5 0 5 7 5 3 0 0 ( ) 6 ( ) 1 0 0 0 7 5 0 9 5 0 1 0 0 0 6 2 0 8 0 0 7 2 0 J ; p 3 = [ 1 0 0 2 0 4 0 0 1 0 3 5 0 1 0 0 2 5 7 8 2 0 0 3 4 0 2 5 0 6 2 0 2 0 3 0 0 2 1 O J ; 1 1 1 = [ 2 5 . 5 8 1 . 5 9 . 2 5 C l . 4 3 . 6 4 . 4 7 1 O J ; 1 1 2 1 = [ 1 1 . 5 4 2 5 ] ; 1 1 2 2 = [ 2 0 1 5 9 1 0 0 5 0 ] ; J = 1 : [ u 1 \ I J = s i z e ( h 1 ) ; [ u 2 \ 2 ] = s i / c ( h 2 1 ) ; l u 3 d J = s i z c ( p I ) ; \ \ h i l e i < = v 3 j~-1: i f r e m ( i . 2 )=~I 1 = 1 : e n d i f r e m ( i . 2 ) = = 0 1 = 5 : e n d \ \ l 1 i l e j < = \ 2 x = p I ( i ) ; y = p 2 ( i ) ; a = p 3 ( i ) : / = h 1 ( I ) : b = h 2 1 ( j ) : [ d i s t a n c e r e s v a l ] = m y t e s t 3 ( x , y , a , z , b ) ; r e s i s t i \ i t y d a t a 3 ( k , : ) = r e s v a l ; t a r g e t 3 ( k , : ) = [ ( ) 0 0 0 1 O J ; _ . : - · lc=l~]: /~· ' J = . J + l ; k = k + l ; e n d i = i - r - 1 ; e n d i = 1 : / , > - · · . 2 2 8 l t j ~ l u 1 \ 1 ] = s i z e ( h I ) ; [ u 2 \ ' 2 ] = s i z e ( h 2 2 ) ; [ u J d ] = s i z e ( p I ) : \ \ h i 1 c i < = d j = l ; i r r e m ( i , 2 ) = = ] 1 = 1 ; e n d i r r e m ( i , 2 ) = = ( ) 1 = 5 : e n d \ \ h i l e j < = v 2 x = p 1 ( i ) ; y = p 2 ( i ) ; a = p J ( i ) ; ; : = h i ( I ) ; b = h 2 2 ( j ) ; [ d i s t a n c e r e s v a l ] = m y t e s t 3 ( x , y , a , z , b ) ; r e s i s t i \ i t y d a t a 3 ( k , : ) = r e s v a l ; t a r g e t 3 ( k , : ) = [ O 0 0 0 1 0 ] ; 1 = 1 + 1 : j = j + l ; k = k + l ; e n d i = i - ' - 1 : e n d " o T y p c Q C U r \ c g e n e r a t i o n C o r C o n d i t i o n p I > P 2 > P 3 " o 7 5 e x a m p l e s e a c h C o r s m a l l h 2 a n d l a r g e h 2 p 1 = [ 8 0 0 7 5 0 I 0 0 0 9 7 5 1 0 0 0 9 9 8 8 0 0 7 0 0 6 7 5 9 0 0 7 0 0 I 0 0 0 7 0 0 I 0 0 0 7 5 0 ] ; p 2 = [ 3 0 0 4 2 0 6 0 0 7 5 0 6 0 0 8 0 0 4 5 0 1 0 0 3 5 0 6 7 5 1 0 0 7 5 0 5 0 0 7 0 0 5 6 0 ] ; p 3 = [ 1 0 0 2 5 0 3 4 5 4 7 2 5 6 0 6 3 0 2 0 0 2 0 7 0 3 0 0 1 0 4 2 0 ! 5 0 4 8 5 1 0 0 ] ; h l = [ 4 6 7 . 2 1 1 0 7 . 5 3 . 2 5 4 . 4 5 2 . C l 7 ] ; 1 1 2 1 = [ 1 1 . 5 4 2 5 ] : 1 1 2 2 = [ 2 0 1 5 J O 1 0 0 4 5 ] ; J = l : l u 1 \ I J = s i z e ( h 1 ) : [ u 2 \ 2 ] = s i z e ( h 2 1 ) ; [ u J \ 3 ] = s i z c ( p 1 ) : \ \ h i l c i < = d j~!; i r r e m ( i , 2 ) = = 1 1 = 1 : 2 2 < ) e n d i I ' r e m ( i , 2 ) = ' - ' - 0 1 = 5 : e n d \ \ h i l c j ' = \ 2 x = p I ( i ) ; : : r c c p 2 ( i ) ; a = p J ( i ) : / = h 1 ( 1 ) : b c h 2 1 ( j ) ; I d i s t a n c e I T S \ a 1 ] = m y t e s t 3 ( x , y , a , z , b ) ; r e s i s t i v i t y d a t a J ( k , : ) = r e s v a l ; t a r g c t J ( k . : ) = [ O 0 0 0 0 1 ] ; 1 = 1 - r - 1 : j = j + 1 : k = k - r - 1 : e n d i = i - r - 1 ; e n d i - I : I u l \ 1 ]~sizc(h 1 ) ; I u 2 \ 2 J~~size(h22 ) ; [ u J \ J j = s i z e ( p l ) ; \ \ h i l e i < = d j = l : i C r e m ( i . 2 ) = = 1 1 = 1 : e n d i C r e m ( i , 2 ) = = 0 1 = 5 : e n d \ \ h i 1 c j < = v 2 x = p 1 ( i ) : y = p 2 ( i ) ; a = p J ( i ) ; / = h 1 ( 1 ) ; b - = h 2 2 ( j ) ; [ d i s t a n c e I T S \ a 1 ] = m y t e s t 3 ( x . y . a , z , b ) ; r e s i s t i v i t y d a t a J ( k . : ) = r e s v a 1 ; t a r g e t J ( k . : ) = [ O 0 0 0 0 1 ] ; 1 = 1 + 1 : j = j - " - 1 : k ' - - ' k + 1 ; 2 3 0 e n d i = i + l : e n d S d \ C ( ' 0 : M A T L A B ] \ \ \ O r k \ 1 D \ a p p r e s d a t a 3 . m a t ' , ' r e s i s t i v i t y d a t a 3 ' ) s~l\ e ( ' D : \ l ' v 1 A T L A B 7 \ w o r k \ I D \ t a r g e t 3 . m a t ' , ' t a r g e t 3 ' ) ( J . T h i s f u n c t i o n t a k e s t h e t h r e e l a y e r p a r a m e t e r s a s t h e i n p u t s a n d r e t u r n s t h e a p p a r e n t r c s i s t i \ i t y d a t a p o i n t s o f 4 0 s u c c e s s i v e p o i n t s t o t h e m a i n p r o g r a m f u n c t i o n [ B , i n t e g r a l [ = m y t e s t 3 ( p I , p 2 , p 3 , h 1 , h 2 ) B [ 0 . ( ) 0 1 1 . 2 5 : 1 . 2 5 : 4 8 . 7 5 ] ; B l = 2 * B : o u n e c = z e r o s ( s i z e ( B ) ) ; o u n e c I = z e r o s ( s i z e ( B i ) ) ; ! ' o r i~ I : l e n g t h ( B ) , n u n e c ( i ) = h a n k e l 0 3 ( ' t h r e c l a y e r h ' , B ( i ) , p 1 , p 2 , p 3 , h I , h 2 ) ; L ' l l l l : ! ' o r i · I : l e n g t h ( B 1 ) , n u n e c I ( i ) = h a n k c l 0 3 ( ' t h r e e l a y e r h ' , B I ( i ) , p 1 , p 2 , p 3 , h 1 , h 2 ) ; e n d : I ( J r i = l : l e n g t h ( B ) , i n t e g r a l ( i ) = p 1 * ( ( o u n · e c ( i ) - o u n c c 1 ( i ) ) * ( 4 * B ( i ) ) + 1 ) ; L ' J H J : - T h i s f u n c t i o n c a l c u l a t e s t h e i n f i n i t e i n t e g r a l w i t h d i g i t a l f i l t e r o p e r a t i o n s . T h i s i s s i m i l a r t o t h e f u n c t i o n h a n k e l g i v e n i n 3 , e x c e p t t h e n u m b e r o f a r g u m e n t s p a s s e d t o t h e f u n c t i o n a r c e l i f l e r c n t . " " " " " " f u n n a m e B z ( ) T h e n a m e o f t h c f u n c t i o n t o b e t r a n s f o r m e d . T h e t r a n s f o r m a r g u m e n t . T h e v a l u e o f t h e t r a n s f o r m o f o r d e r 0 . f u n c t i o n z 0 = h a n k e l 0 3 ( f u n n a m e , B , p 1 , p 2 , p 3 , h I , h 2 ) Y B A S E = [ ] : - T h e 8 0 1 s a m p l i n g p o i n t \ \ ' T O · [ J : - T h e 8 0 1 \ V c i g h t s Y = Y B A S E B ; - G e t t h e p o i n t s a t w h i c h t o e v a l u a t e F . Y F = C e v a l ( f u n n a m c , p 1 , p 2 , p 3 , h 1 , h 2 , Y ) ; - E v a l u a t e F a t t h e s e p o i n t s . ; I J = \ \ " T O . ' * Y F : - C o m p u t e t h e d o t p r o d u c t . 2 3 1 L _ / 0 = / 0 B~ - F i n a l l y c o r r e c t f o r t h e t : 1 c t o r o f 1 / B . S . T h i s i s t h e f u n c t i o n t h a t i l l u s t r a t e s t h e r e s i s t i v i t y f o r w a r d m o d e l i n g k e r n e l f u n c t i o n r o r t h r e e l a y e r s . f u n c t i o n f = t h r c e l a y e r h ( p 1 , p 2 , p 3 , h 1 , h 2 , x ) k I = ( p 2 - p I ) i ( p 2 + p I)~ k 2 = ( p 3 - p 2 ) ! 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