MODELING OF BIPEDAL ROBOT NEGOTIATING SLOPES A dissertation submitted to the Department of Electrical Engineering, University of Moratuwa in partial fulfilment of the requirements for the Degree of Master of Science by M.G.A.P. ABEYRATNE Supervised by: Prof. Lanka Udawatta Department of Electrical Engineering University of Moratuwa Sri Lanka 2010 94547 Abstract This research shows how the robotics theories are applied to model the bipedal walking robot. Utilizing the direct kinematics and inverse kinematics, the kinematic model for the robot is developed. The derivation of joint angle equations for 6 links Robot, walking on a slopping surface, is a direct approach in this research. The development of hip trajectory is another important invention specific to this research. The dynamic stability is analyzed by utilizing ZMP criteria. The calculation of ZMP for this model is very complex and based on mechanics theories. The selection of iteration method to calculate linear accelerations of each link (which are used to calculate ZMP) is guaranteed by simulation results. The dynamic stability is analyzed for lower body using ZMP simulation results. For this case the "Dynamic" Balance Margin (DBM) is introduced and requirement for stability is also introduced. The methods or precautions that can be used to improve ZMP are identified. The most effected method for improve the stability is selected as control of torso angle. Finally, the modified ZMP is re-derived with the term of torso angle and it is found that the ZMP can be moved to safe margin by controlling torso angle. The results show the effectiveness of the proposed methodology. D E C L A R A T I O N " T h e w o r k s u b m i t t e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n i s t h e r e s u l t o f m y o w n i n v e s t i g a t i o n , e x c e p t w h e r e o t h e r w i s e s t a t e d . I t h a s n o t a l r e a d y b e e n a c c e p t e d f o r a n y d e g r e e , a n d i s a l s o n o t b e i n g c o n c u r r e n t l y s u b m i t t e d f o r a n y o t h e r d e g r e e . N a m e o f C a n d i d a t e - M . G . A . P . A b e y r a t n e D a t e - 8 1 h F e b r u a r y 2 0 1 0 W e l l e n d o r s e t h e d e c l a r a t i o n b y t h e c a n d i d a t e . l j / I . / \ N a m e o f t h e S u p e r v i s o r - P r o f . L a n k a U d a w a t t a D e c l a r a t i o n A b s t r a c t A c k n o w l e d g e m e n t L i s t o f F i g u r e s L i s t o f T a b l e s C h a p t e r s 1 . I n t r o d u c t i o n C o n t e n t s 1 . 1 G e n e r a l i n t r o d u c t i o n t o r o b o t i c s 1 . 1 . 1 W h a t i s a n d w h a t i s n o t a r o b o t 1 . 1 . 2 L a w s o f r o b o t i c s 1 . 1 . 3 R o b o t i c a n a t o m y 1 . 1 . 4 R o b o t a p p l i c a t i o n s 1 . 2 R o b o t l o c o m o t i o n 1 . 2 . 1 K e y i s s u e s o f l o c o m o t i o n 1 . 3 L e g g e d m o b i l e r o b o t 1 . 3 . 1 L e g c o n f i g u r a t i o n a n d s t a b i l i t y 1 . 3 . 2 B i p e d r o b o t 1 . 3 . 3 B i p e d w a l k i n g 1 . 4 R e s e a r c h o b j e c t i v e s 1 . 5 O v e r v i e w 2 . L i t e r a t u r e r e v i e w a n d P r o b l e m S t a t e m e n t 2 . 1 L i t e r a t u r e R e v i e w 2 . 2 P r o b l e m S t a t e m e n t 2 . 2 . 1 P r e l i m i n a r i e s 2 . 2 . 2 P r o b l e m I d e n t i f i c a t i o n 2 . 2 . 3 N e w s u g g e s t i o n s 3 . S w i n g l e g k i n e m a t i c s f o r B i p e d r o b o t 3 . 1 P r e l i m i n a r i e s 3 . 1 . 1 M a n i p u l a t o r k i n e m a t i c s 3 . 1 . 2 L i n k d e s c r i p t i o n s 3 . 1 . 3 L i n k p a r a m e t e r s 3 . 1 . 4 D e r i v a t i o n o f l i n k t r a n s f o r m a t i o n s 3 . 1 . 5 C o n c a t e n a t i n g l i n k t r a n s f o r m a t i o n s . . 3 . 2 D e r i v a t i o n o f j o i n t a n g l e e q u a t i o n f o r s w i n g l e g 3 . 2 . 1 D e r i v a t i o n o f e q u a t i o n f o r j o i n t a n g l e B 2 3 . 2 . 2 D e r i v a t i o n o f e q u a t i o n f o r j o i n t a n g l e B 1 4 . G a i t d e v e l o p m e n t 4 . 1 I n t u i t i v e a p p r o a c h 4 . 2 P e r i o d i c f u n c t i o n a p p r o a c h 4 . 3 F o o t t r a j e c t o r y 5 . S t a n c e l e g k i n e m a t i c s 5 . 1 S t a n c e l e g m o d e l i n g 5 . 2 M a t h e m a t i c a l m o d e l i n g l V v V l V l l 1 1 2 4 4 5 6 8 8 9 9 9 1 1 1 1 1 2 1 2 1 6 1 6 1 6 1 6 1 7 1 7 1 7 1 7 1 9 2 0 2 1 2 2 2 4 2 5 2 6 2 7 2 7 2 8 2 9 2 9 2 9 1 1 . . . . . 5 . 2 . 1 D H p a r a m e t e r s f o r s t a n c e l e g 5 . 2 . 2 L i n k t r a n s f o r m a t i o n , h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n a n d E n d e f f e c t o r m a t r i c e s f o r s t a n c e l e g 5 . 2 . 3 D e r i v a t i o n o f j o i n t a n g l e e q u a t i o n s 5 . 3 M o d i f i c a t i o n o f s w i n g l e g k i n e m a t i c s 5 . 3 . 1 T r a j e c t o r y p l a n n i n g o f h i p 5 . 3 . 2 R i m l e s s w h e e l s i m u l a t i o n 5 . 3 . 3 C a l c u l a t i o n o f h i p m o v e m e n t 6 . D y n a m i c s t a b i l i t y a n a l y s i s f o r l o w e r b o d y 7 . 6 . 1 M e t h o d s f o r s t a b i l i t y a n a l y s i s o f b i p e d a l r o b o t s 6 . 1 . 1 Z e r o m o m e n t p o s i t i o n 6 . 2 Z M P c a l c u l a t i o n f o r l o w e r b o d y . ; 6 . 2 . 1 C a l c u l a t i o n o f i n e r t i a t e r m 6 . 2 . 2 C a l c u l a t i o n o f a n g u l a r a c c e l e r a t i o n t e r m 6 . 2 . 3 F i n d i n g o f m a s s - c e n t r e c o o r d i n a t e s 6 . 3 C a l c u l a t i o n o f i n d i v i d u a l 1 i n k a c c e l e r a t i o n s 6 . 3 . 1 N e w t o n E u l e r f o r m u l a t i o n 6 . 3 . 2 K i n e m a t i c s o f l i n k s 6 . 3 . 3 L i n k a c c e l e r a t i o n s 6 . 3 . 4 R e c u r s i v e N e w t o n E u l e r f o r m u l a t i o n 6 . 3 . 5 F o r w a r d i t e r a t i o n 6 . 4 A p p l i c a t i o n o f N E r e c u r s i v e i t e r a t i o n t o b i p e d r o b o t 6 . 4 . 1 N E f o r w a r d i t e r a t i o n f o r s w i n g l e g 6 . 4 . 2 N E f o r w a r d r e c u r s i v e i t e r a t i o n f o r s t a n c e l e g 6 . 5 D y n a m i c s t a b i l i t y a n a l y s i s f o r r o b o t l o w e r b o d y 6 . 5 . 1 D y n a m i c b a l a n c e m a r g i n 6 . 5 . 2 S i m u l a t i o n r e s u l t o n s t a b i l i t y - R o b o t l o w e r b o d y Z M P c a l c u l a t i o n a f t e r a d d i n g t o r s o 7 . 1 M o d i f i c a t i o n o f Z M P 7 . 1 . 1 M e t h o d f o r i m p r o v i n g t h e Z M P 7 . 2 C a l c u l a t i o n o f i m p r o v e d Z M P 7 . 2 . 1 C a l c u l a t i o n o f l i n e a r a c c e l e r a t i o n t e r m s 7 . 3 S t a b i l i t y A n a l y s i s f r o m s i m u l a t i o n r e s u l t s 7 . 3 . 1 Z M P v a r i a t i o n w i t h s l o p e a n g l e 7 . 3 . 2 Z M P v a r i a t i o n w i t h s t e p l e n g t h 7 . 3 . 3 Z M P v a r i a t i o n w i t h m a s s o f t o r s o 7 . 3 . 4 Z M P v a r i a t i o n w i t h t o r s o a n g l e 7 . 3 . 5 V a r i a t i o n o f Z M P w i t h s t e p t i m e 7 . 3 . 6 Z M P v a r i a t i o n w i t h l i n k l e n g t h L 1 a n d L 2 7 . 4 A p p l i c a t i o n o f s i m u l a t i o n r e s u l t s 8 . C o n c l u s i o n 8 . 1 D e r i v e d k i n e m a t i c m o d e l F u t u r e w o r k R e f e r e n c e s 2 9 3 0 3 1 3 2 3 3 3 3 3 4 3 5 3 5 3 5 3 8 3 8 3 9 4 1 4 2 4 2 4 4 4 5 4 5 4 6 4 8 4 8 5 3 5 6 5 6 5 7 5 9 5 9 5 9 5 9 6 0 6 2 6 3 6 4 6 6 6 6 6 7 6 7 6 8 6 9 6 9 7 0 7 1 1 1 1 A c k n o w l e d g e m e n t I e x p r e s s m y g r a t i t u d e t o m y s u p e r v i s o r , P r o f e s s o r L a n k a U d a w a t t a , f o r h i s g r e a t s u p e r v i s i o n , g u i d a n c e a n d s u p p o r t p r o v i d e d t o m e t o d o t h i s r e s e a r c h . M y s i n c e r e t h a n k s g o t o t h e o f f i c e r s i n P o s t G r a d u a t e O f f i c e , F a c u l t y o f E n g i n e e r i n g , U n i v e r s i t y o f M o r a t u w a , S r i L a n k a f o r h e l p i n g m e i n v a r i o u s w a y s t o c l a r i f y t h e t h i n g s r e l a t e d t o m y a c a d e m i c w o r k s i n t i m e w i t h e x c e l l e n t a s s i s t a n c e . S i n c e r e g r a t i t u d e i s a l s o e x t e n d e d t o t h e p e o p l e w h o s e r v e i n t h e D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g o f f i c e f o r t h e i r i m m e n s e s u p p o r t p r o v i d e d t o m e . 1 e x t e n d m y s i n c e r e a p p r e c i a t i o n t o D r . T h r i s h a n t h a N a n a y , S J . k k a r a i n K i n g s t o n C o l l e g e , L o n d o n f o r h i s v a l u a b l e s u p p o r t a n d f o r f u r n i s h i n g n e w i n f o r m a t i o n i n t h e f i e l d o f b i p e d r o b o t . A l s o , t h a n k s a r e d u e t o M r . S . M . W e l i h i n d a , w h o h e l p e d m e b y s i m u l a t i n g t h e d e r i v e d m o d e l a n d s h o w i n g t h e c o r r e c t n e s s o f t h e d e r i v a t i o n s . A n e s p e c i a l t h a n k i s d u e t o m y s p o u s e , M r s . H . M . S . N . K u l a r a t n e , f o r p r o v i d i n g u t m o s t s u p p o r t i n p r e p a r i n g t h i s d i s s e r t a t i o n p r o p e r l y . S i n c e r e t h a n k s a r e d u e t o m a n y i n d i v i d u a l s , f r i e n d s a n d c o l l e a g u e s w h o h e l p e d m e i n v a r i o u s w a y s t o c o m p l e t e t h i s p r o j e c t . M a y b e I w o u l d n o t b e a b l e t o m a d e i t w i t h o u t t h e s u p p o r t o f y o u a l l . v . . L i s t o f F i g u r e s F i g u r e I I P i c t u r e o f a u t o a s s e m b l y p l a n t - S p o t w e l d i n g r o b o t K U K A 1 . 2 A n i n d u s t r i a l r o b o t t h a t l e a s t l o o k s l i k e a h u m a n I J T h e b a s e , a r m , w r i s t , a n d e n d - e f f e c t o r f o r m i n g t h e m e c h a n i c a l s t r u c t u r e o f a m a n i p u l a t o r I . 4 A p p r o x i m a t e d b i p e d a l w a l k i n g s y s t e m 1 . 5 S t a b i l i t y i n s t a t i c w a l k i n g 2 . 1 A p h o t o g r a p h o f s h a d o w b i p e d r o b o t 2 . 2 A p h o t o g r a p h o f w a b i a n r o b o t 3 . 1 R e l a t i o n s h i p o f l i n k l e n g t h a n d l i n k t w i s t " 3 . 2 P a r a m e t e r s u s e d t o d e s c r i b e t h e c o n n e c t i n g b e t w e e n n e i g h b o u r i n g l i n k s 3 . 3 A t t a c h m e n t o f f r a m e { i } r i g i d l y t o t h e l i n k i 3 . 4 R o b o t l o w e r b o d y a n d n o m e n c l a t u r e 4 . 1 I l l u s t r a t i o n o f t h e g a i t c y c l e a n d d y n a m i c b i p e d w a l k i n g 5 . 1 S t a n c e l e g a n d n o m e n c l a t u r e 5 . 2 R o b o t l o w e r b o d y w i t h m o v i n g h i p 5 . 3 T h e s i m u l a t i o n o f r i m l e s s w h e e l 6 . 1 S i n g l e s u p p o r t p h a s e 6 . 2 T h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n o f s w i n g l e g 6 . 3 M a s s c e n t r e c o o r d i n a t e s o f e a c h l i n k 6 . 4 T h e g e o m e t r y a n d k i n e m a t i c s o f l i n k i f o r N E f o r m u l a t i o n 6 . 5 C h a r a c t e r i z a t i o n o f t w o a d j u t a n t l i n k s f o r m i n g t h e j o i n t i f o r N E f o r m u l a t i o n 6 . 6 T w o - p a s s r e c u r s i v e N E f o r m u l a t i o n o f d y n a m i c e q u a t i o n 6 . 7 I n i t i a l p o s i t i o n o f t h e s w i n g l e g 6 . 8 I n i t i a l a n d f i n a l p o s i t i o n o f t h e s t a n c e l e g d u r i n g o n e g a i t c y c l e 6 . 9 D B M f o r s i n g l e s u p p o r t p h a s e 6 . 1 0 D B M f o r d o u b l e s u p p o r t p h a s e 6 . 1 1 V a r i a t i o n o f Z M P v s t i m e o f l o w e r b o d y f o r o n e g a i t c y c l e 7 . 1 V a r i a t i o n o f Z M P w i t h t o r s o a n g l e a t s l o p e a n g l e e q u a l t o 5 " 7 . 2 V a r i a t i o n o f Z M P w i t h t o r s o a n g l e a t s l o p e a n g l e e q u a l t o 1 0 " 7 . 3 V a r i a t i o n o f Z M P w i t h t o r s o a n g l e a t s l o p e a n g l e e q u a l t o 1 5 " 7 . 4 Z M P v a r i a t i o n w i t h t o r s o a n g l e w h e n s t e p l e n g t h i s 7 0 0 m m 7 . 5 Z M P v a r i a t i o n w i t h t o r s o a n g l e w h e n s t e p l e n g t h i s 3 5 0 m m 7 . 6 Z M P v a r i a t i o n w i t h t o r s o a n g l e w h e n s t e p l e n g t h i s 1 5 0 m m 7 . 7 V a r i a t i o n o f Z M P w i t h d i f f e r e n t v a l u e s o f t o r s o w e i g h t 7 . 8 V a r i a t i o n o f Z M P f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f t o r s o l e n g t h 7 . 9 V a r i a t i o n o f Z M P w i t h d i f f e r e n t s t e p t i m e i n t e r v a l s 7 . 1 0 V a r i a t i o n o f Z M P w i t h d i f f e r e n t v a l u e s o f L 1 a n d L 2 P a g e 1 2 4 7 1 0 1 5 1 5 1 8 1 9 2 0 2 2 2 6 2 9 3 2 3 3 3 5 4 0 4 1 4 2 4 4 4 6 4 8 5 3 5 6 5 7 5 8 6 3 6 3 6 4 6 4 6 5 6 5 6 6 6 6 6 7 6 7 V l L i s t o f T a b l e s I a b l e P a g e j \ D H p a r a m e t e r s o f s w i n g l e g 2 2 ) I D H p a r a m e t e r s o f s t a n c e l e g 3 0 7 . \ S e l e c t e d p h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 5 8 7 . l P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 1 6 3 7 . 2 P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 2 6 3 7 . 3 P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 3 6 4 7.~ P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 4 6 4 7 . 5 P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 5 6 5 7 . 6 P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 6 6 5 7 . 7 P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 7 " 6 6 7 . 8 P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 8 6 6 7 . 9 P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 9 6 7 7 . 1 0 P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 1 0 6 7 V l l . . . . . C h a p t e r 1 I n t r o d u c t i o n 1 . 1 G e n e r a l i n t r o d u c t i o n t o r o b o t i c s R o b o t i c s h a s a c h i e v e d i t s g r e a t e s t s u c c e s s t o d a t e i n t h e w o r l d o f m a n u f a c t u r i n g i n d u s t r y . R o b o t a r m s , o r m a n i p u l a t o r s , c o m p r i s e a 2 b i l l i o n d o l l a r i n d u s t r y . B o l t e d a t i t s s h o u l d e r t o a s p e c i f i c p o s i t i o n i n t h e a s s e m b l y l i n e , t h e r o b o t a r m c a n m o v e w i t h g r e a t s p e e d a n d a c c u r a c y t o p e r f o r m r e p e t i t i v e t a s k s s u c h a s s p o t w e l d i n g a n d p a i n t i n g ( F i g u r e 1 . 1 ) [ 1 ] . I n t h e i n d u s t r y o f e l e c t r o n i c s , m a n i p u l a t o r s p l a c e s u r f a c ' e - m o u n t e d c o m p o n e n t s w i t h s u p e r h u m a n p r e c i s i o n , m a k i n g t h e p o r t a b l e t e l e p h o n e a n d l a p t o p c o m p u t e r p o s s i b l e . F i g u r e 1 . 1 : P i c t u r e o f a u t o a s s e m b l y p l a n t - s p o t w e l d i n g r o b o t o f K U K A T o s u m u p , m a c h i n e s t h a t c a n r e p l a c e h u m a n b e i n g s a s r e g a r d s t o p h y s i c a l w o r k a n d d e c i s i o n m a k i n g a r e c a t e g o r i z e d a s r o b o t s a n d t h e i r s t u d y a s r o b o t i c s . T h e r o b o t t e c h n o l o g y i s a d v a n c i n g r a p i d l y . T h e i n d u s t r y i s m o v i n g f r o m t h e c u r r e n t s t a t e o f a u t o m a t i o n o f r o b o t i z a t i o n , t o i n c r e a s e p r o d u c t i v i t y a n d t o d e l i v e r u n i f o r m q u a l i t y . R o b o t s a n d r o b o t - l i k e m a n i p u l a t o r s a r e n o w c o m m o n l y e m p l o y e d i n h o s t i l e e n v i r o n m e n t , s u c h a s a t v a r i o u s p l a c e s i n a n a t o m i c p l a n t f o r h a n d l i n g r a d i o a c t i v e m a t e r i a l s . R o b o t s a r e b e i n g e m p l o y e d c o n s t r u c t a n d r e p a i r s p a c e s t a t i o n s a n d s a t e l l i t e s . T h e r e a r e n o w i n c r e a s i n g n u m b e r o f a p p l i c a t i o n s o f r o b o t s s u c h a s i n n u r s i n g a n d a i d i n g a p a t i e n t . M i c r o r o b o t s a r e b e i n g d e s i g n e d t o d o d a m a g e c o n t r o l i n s i d e h u m a n v e i n s . R o b o t l i k e s y s t e m s a r e n o w e m p l o y e d i n h e a v y e a r t h - m o v i n g e q u i p m e n t . I t i s n o t p o s s i b l e t o p u t u p a n e x h a u s t i v e l i s t o f r o b o t a p p l i c a t i o n s . O n e t y p e o f r o b o t c o m m o n l y u s e d i n t h e i n d u s t r y i s a r o b o t i c m a n i p u l a t o r o r s i m p l y a m a n i p u l a t o r o r a r o b o t i c a r m . I t i s a n o p e n o r c l o s e d k i n e m a t i c c h a i n o f r i g i d l i n k s i n t e r c o n n e c t e d b y m o v a b l e j o i n t s . I n s o m e c o n f i g u r a t i o n s , l i n k s c a n b e c o n s i d e r e d t o c o r r e s p o n d t o h u m a n a n a t o m y a s w a i s t , u p p e r a r m , a n d f o r e a r m w i t h j o i n t s a t s h o u l d e r a n d e l b o w . A t t h e e n d o f t h e a r m , a w r i s t j o i n t c o n n e c t s a n d e n d - e f f e c t o r t o t h e f o r e a r m . T h e e n d - e f f e c t o r m a y b e a t o o l a n d i t s f i x t u r e o r a g r i p p e r o r a n y o t h e r d e v i c e t o d o t h e w o r k . 1 T h e e n d - e f f e c t o r i s s i m i l a r t o t h e h u m a n h a n d w i t h o r w i t h o u t f i n g e r s . A r o b o t i c a r m , a s d e s c r i b e d a b o v e i s s h o w n i n f i g u r e 1 . 2 , w h e r e v a r i o u s j o i n t m o v e m e n t s a r e a l s o i n d i c a t e d . Cb~ F o r e a r m " ' U p p e r a n n - - e 9 . l F i g u r e 1 . 2 : A n i n d u s t r i a l r o b o t t h a t l e a s t l o o k s l i k e a h u m a n 1 . 1 . 1 W h a t i s a n d w h a t i s n o t a r o b o t A u t o m a t i o n a s a t e c h n o l o g y i s c o n c e r n e d w i t h t h e u s e o f m e c h a n i c a l , e l e c t r i c a l , e l e c t r o n i c , a n d c o m p u t e r - b a s e d c o n t r o l s y s t e m s t o r e p l a c e h u m a n b e i n g s w i t h m a c h i n e s , b o t h f o r p h y s i c a l w o r k a n d t h e p r o c e s s o f i n t e l l i g e n t i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g . I n d u s t r i a l a u t o m a t i o n , w h i c h s t a r t e d i n t h e e i g h t e e n t h c e n t u r y a s f i x e d a u t o m a t i o n h a s t r a n s f o r m e d i n t o f l e x i b l e a n d p r o g r a m m a b l e a u t o m a t i o n i n t h e l a s t 1 5 o r 2 0 y e a r s . C o m p u t e r N u m e r i c a l l y C o n t r o l l e d ( C N C ) m a c h i n e t o o l s , t r a n s f e r , a n d a s s e m b l y l i n e s a r e s o m e e x a m p l e s i n t h i s c a t e g o r y . C o m m o n p e o p l e a r e e a s i l y i n f l u e n c e d b y s c i e n c e f i c t i o n a n d t h u s , i m a g i n e a r o b o t a s a h u m a n o i d t h a t c a n w a l k , s e e , h e a r , s p e a k , a n d d o t h e d e s i r e d w o r k . B u t t h e s c i e n t i f i c i n t e r p r e t a t i o n o f s c i e n c e f i c t i o n s c e n a r i o p r o p o u n d s a r o b o t a s a n a u t o m a t i c m a c h i n e t h a t i s a b l e t o i n t e r a c t w i t h a n d m o d i f y t h e e n v i r o n m e n t i n w h i c h i t o p e r a t e s . T h e r e f o r e , i t i s e s s e n t i a l t o d e f i n e w h a t c o n s t i t u t e s a r o b o t . D i f f e r e n t d e f i n i t i o n s f r o m d i v e r s e s o u r c e s a r e a v a i l a b l e f o r a r o b o t . J a p a n i s t h e w o r l d l e a d e r i n r o b o t i c s d e v e l o p m e n t a n d r o b o t u s e . J a p a n I n d u s t r i a l R o b o t A s s o c i a t i o n ( J I R A ) a n d t h e J a p a n e s e I n d u s t r i a l S t a n d a r d s C o m m i t t e e d e f i n e s t h e i n d u s t r i a l r o b o t a t v a r i o u s l e v e l s a s : 2 . . l v f a n i p u l a t o r : a m a c h i n e t h a t h a s f u n c t i o n s s i m i l a r t o h u m a n u p p e r l i m b s , a n d m o v e s t h e o b j e c t s p a t i a \ \ y . P l a y b a c k r o b o t : a m a n i p u l a t o r t h a t i s a b l e t o p e r f o r m a n o p e r a t i o n b y r e a d i n g o f f t h e m e m o r i z e d i n f o r m a t i o n f o r a n o p e r a t i n g s e q u e n c e , w h i c h i s l e a r n e d b e f o r e h a n d . I n t e l l i g e n t R o b o t : a r o b o t t h a t c a n d e t e r m i n e i t s o w n b e h a v i o r a n d c o n d u c t t h r o u g h i t s f u n c t i o n s o f s e n s e r e c o g n i t i o n . T h e B r i t i s h R o b o t A s s o c i a t i o n ( B R A ) h a s d e f i n e d t h e i n d u s t r i a l r o b o t a s : · · A r e p r o g r a m m a b l e d e v i c e w i t h m i n i m u m o f f o u r d e g r e e s o f f r e e d o m d e s i g n e d t o b o t h m a n i p u l a t e a n d t r a n s p o r t p a r t s , t o o l s , o r s p e c i a l i z e d m a n u f a c t u r i n g i m p l e m e n t s t h r o u g h v a r i a b l e p r o g r a m m e d m o t i o n s f o r p e r f o r m a n c e o f s p e c i f i c m a n u f a c t u r i n g t a s k . " T h e R o b o t i c s I n d u s t r i e s A s s o c i a t i o n ( R I A ) o f U S A d e f i n e s t h e r o b o t a s : ' ' A r e p r o g r a m m a b l e , m a l f u n c t i o n e d , m a n i p u l a t o r d e s i g n e d t o m o v e m a t e r i a l t h r o u g h v a r i a b l e p r o g r a m m e d m o t i o n s f o r t h e p e r f o r m a n c e o f a v a r i e t y o f t a s k s " T h e d e f i n i t i o n a d o p t e d b y I n t e r n a l S t a n d a r d s O r g a n i z a t i o n ( I S O ) a n d a g r e e d u p o n b y m o s t o f t h e u s e r s a n d m a n u f a c t u r e s i s : ' ' A n i n d u s t r i a l r o b o t i s a n a u t o m a t i c , s e r v o - c o n t r o l l e d , f r e e l y p r o g r a m m a b l e , m u l t i p u r p o s e m a n i p u l a t o r , w i t h s e v e r a l a r e a s , f o r t h e h a n d l i n g o f w o r k p i e c e s , t o o l s , o r s p e c i a l d e v i c e s . V a r i a b l y p r o g r a m m e d o p e r a t i o n s m a k e t h e e x e c u t i o n o f a m u l t i p l i c i t y o t a s k s p o s s i b l e " . A l t h o u g h t h e r e i s a w i d e r a n g e o f d e f i n i t i o n s e x i s t , n o n e c o v e r s t h e f e a t u r e s o f a r o b o t c o m p r e h e n s i v e l y . T h e R I A d e f i n i t i o n l a y s i m p o r t a n c e o n p r o g r a m m a b i l i t y , w h i l e t h e B R A d e f i n i t i o n s u c c e e d s m i n i m u m d e g r e e s o f f r e e d o m . T h e J I R A d e f i n i t i o n i s f r a g m e n t e d . A s a r e s u l t o f t h e s e , s t i l l i t i s u n c e r t a i n i n d i s t i n g u i s h i n g a r o b o t f r o m a u t o m a t i o n a n d i n d e s c r i b i n g f u n c t i o n s o f a r o b o t . T o d i f f e r e n t i a t e b e t w e e n a r o b o t a n d a u t o m a t i o n , f o l l o w i n g g u i d e l i n e s c a n b e u s e d . F o r a m a c h i n e t o b e c a l l e d a r o b o t , i t m u s t b e a b l e t o r e s p o n d t o s t i m u l i b a s e d o n t h e i n f o r m a t i o n r e c e i v e d f r o m t h e e n v i r o n m e n t . T h e r o b o t m u s t i n t e r p r e t t h e s t i m u l i e i t h e r p a s s i v e l y o r t h r o u g h a c t i v e s e n s i n g t o b r i n g a b o u t t h e c h a n g e s r e q u i r e d i n i t s e n v i r o n m e n t . T h e d e c i s i o n - m a k i n g , p e r f o r m a n c e o f t a s k s a n d s o o n , a l l a r e d o n e a s d e f i n e d i n t h e p r o g r a m s t a u g h t t o t h e r o b o t . T h e f u n c t i o n s o f a r o b o t c a n b e c l a s s i f i e d i n t o t h r e e a r e a s a s f o l l o w s . " S e n s i n g " t h e e n v i r o n m e n t b y e x t e r n a l s e n s o r s , f o r e x a m p l e , v i s i o n , v o i c e , t o u c h , a n d p r o x i m i t y a n d s o o n , " d e c i s i o n - m a k i n g " b a s e d o n t h e i n f o r m a t i o n r e c e i v e d f r o m t h e s e n s o r s , a n d " p e r f o r m i n g " t h e t a s k d e c i d e d . 3 . . 1 . 1 . 2 L a w s o f R o b o t i c s i s s a c A s i m o v c o n c e i v e d t h e r o b o t s a s h u m a n o i d s , d e v o i d o f f e e l i n g s , a n d u s e d t e r n i n a n u m b e r o f s t o r i e s . H i s r o b o t s w e r e w e l l - d e s i g n e d , f a i l - s a f e m a c h i n e s , w h o s e b r a i n s w e r e p r o g r a m m e d b y h u m a n b e i n g s . A n t i c i p a t i n g t h e d a n g e r s a n d h a v o c s u c h a d e v i c e c o u l d c a u s e , h e p o s t u l a t e d r u l e s f o r t h e i r e t h i c a l c o n d u c t . R o b o t s w e r e r e q u i r e d t o p e r f o r m a c c o r d i n g t o t h r e e p r i n c i p l e s k n o w n a s " t h r e e l a w s o f r o b o t i c s " , w h i c h a r e a s v a l i d f o r r e a l r o b o t s a s t h e y w e r e f o r A s i m o v ' s r o b o t s , a n d t h e y a r e : 1 . A r o b o t s h o u l d n o t i n j u r e a h u m a n b e i n g o r , t h r o u g h i n a c t i o n , a l l o w a h u m a n t o b e h a r m e d . 2 . A r o b o t m u s t o b e y o r d e r s g i v e n b y h u m a n s e x c e p t w h e n t h a t c o n f l i c t s w i t h t h e F i r s t L a w . ; 3 . A r o b o t m u s t p r o t e c t i t s o w n e x i s t e n c e u n l e s s t h a t c o n f l i c t s w i t h t h e F i r s t o r S e c o n d L a w . T h e s e a r e v e r y g e n e r a l l a w s a n d a p p l y e v e n t o o t h e r m a c h i n e s a n d a p p l i a n c e s . T h e y a r e a l w a y s t a k e n c a r e o f i n a n y r o b o t d e s i g n . 1 . 1 . 3 R o b o t A n a t o m y T h e m e c h a n i c a l s t r u c t u r e o f a r o b o t i s l i k e t h e s k e l e t o n i n t h e h u m a n b o d y . T h e r e f o r e t h e r o b o t a n a t o m y i s s t u d y i n g o f t h e r o b o t s k e l e t o n t h a t m e a n s t h e p h y s i c a l c o n s t r u c t i o n o f t h e m a n i p u l a t o r s t r u c t u r e . T h e m e c h a n i c a l s t r u c t u r e o f a m a n i p u l a t o r c o n s i s t s o f r i g i d b o d i e s ( l i n k s ) c o n n e c t e d b y m e a n s o f a r t i c u l a t i o n s ( j o i n t s ) , i s s e g m e n t e d i n t o a n a r m t h a t e n s u r e s m o b i l i t y a n d r e a c h a b i l i t y , a w r i s t t h a t c o n f e r s o r i e n t a t i o n , a n d a n e n d e f f e c t o r t h a t p e r f o r m s t h e r e q u i r e d t a s k . M o s t m a n i p u l a t o r s a r e m o u n t e d o n a b a s e f a s t e n e d t o t h e f l o o r o r o n t h e m o b i l e p l a t f o r m o f a n a u t o n o m o u s g u i d e d v e h i c l e ( A G V ) . T h e a r r a n g e m e n t o f b a s e , a r m , w r i s t , a n d e n d - e f f e c t o r i s s h o w n i n f i g u r e 1 . 3 . W r i s t E n d - e f f e c t o r E J ' w m l < p i e c o F i g u r e 1 . 3 : T h e b a s e , a r m , w r i s t , a n d e n d - e f f e c t o r f o r m i n g t h e m e c h a n i c a l s t r u c t u r e o f a m a n i p u l a t o r 4 . . 1 . 1 . 4 R o b o t a p p l i c a t i o n s R o b o t i c s h a s r a p i d l y m o v e d f r o m t h e o r y t o a p p l i c a t i o n s a n d f r o m t h e r e s e a r c h l a b s t o i n d u s t r i e s o v e r t h e l a s t 2 0 y e a r s o r s o y e a r s . T h e m a t h e m a t i c a l m o d e l s d e v e l o p e d h e l p i n d e s i g n o f r o b o t s , c a l c u l a t i n g t h e i r m o t i o n s , c o n t r o l t h e m a n d p l a n o r d e t e r m i n e t h e t r a j e c t o r y a n d f r a m e t r a n s f o r m a t i o n s r e q u i r e d f o r p e r f o r m i n g s p e c i f i e d t a s k s d u r i n g t h e w o r k c y c l e . O n e o f t h e k e y f e a t u r e s o f a r o b o t i s i t s v e r s a t i l i t y . A s a d e s i g n e r , d e v e l o p e r , p l a n n e r o r u s e r o f t h i s t e c h n o l o g y o n e h a s t o b e f a m i l i a r w i t h t h e v a r i o u s i s s u e s i n v o l v e d i n t h e a p p l i c a t i o n s o f r o b o t s . A s t h e t e c h n o l o g y i s n e w , t h e p r o s p e c t i v e u s e r o r b u y e r o f r o b o t t e c h n o l o g y , w h o i s a c c u s t o m e d t o b u y c o n v e n t i o n a l i t e m s , w i l l f i n d t h e r o b o t a p p l i c a t i o n s a c o m p l e x s u b j e c t . . ; T h e i n d u s t r i a l a p p l i c a t i o n o f r o b o t i c s i s g o i n g t o b e a p r o m i n e n t c o m p o n e n t o f m a n u f a c t u r i n g i n d u s t r y , w h i c h w i l l a f f e c t h u m a n l a b o u r a t a l l l e v e l s , f r o m m a n a g e r s o f p r o d u c t i o n t o s h o p f l o o r u n s k i l l e d w o r k e r s . i \ p r o g r a m m a b l e r o b o t w i t h a n u m b e r o f d e g r e e s o f f r e e d o m a n d d i f f e r e n t c o n f i g u r a t i o n s c a n p e r f o r m s p e c i f i c a n d d i v e r s e t a s k s w i t h t h e h e l p o f t h e v a r i e t y o f e n d - e f f e c t o r s . O n t h e i n d u s t r i a l s c e n e i t c a n b e r e p r o g r a m m e d a n d a d a p t e d t o c h a n g e s i n p r o c e s s o r p r o d u c t i o n l i n e . R o b o t s a r e a l s o f i n d i n g m a n y a p p l i c a t i o n s o u t s i d e o f t h e i n d u s t r y , i n r e s e a r c h , h o s p i t a l s , s p a c e , s u p e r m a r k e t s , s e r v i c e s e c t o r , f a r m h o u s e s , a n d e v e n i n h o m e s a s p e t s . T h e a p p l i c a t i o n s o u t s i d e o f a f a c t o r y a r e m u c h m o r e c o m p l e x , d i v e r s e a n d a r e b a s e d o n h u m a n i m a g i n a t i o n . W h e n t a l k i n g a b o u t r o b o t a p p l i c a t i o n s i n i n d u s t r y a s w e l l a s o t h e r p l a c e s , o n e n e e d s t o b e c o n c e r n e d a b o u t t h e s a f e t y . A f t e r a l l , a r o b o t , a s i t i s t o d a y a n d g o i n g t o b e f o r d e c a d e s t o c o m e , i s a d u m b m a c h i n e , w h i c h i s s u p p o s e d t o o b e y t h e c o m m a n d s . A l t h o u g h r o b o t s a r e b e c o m i n g c o m m o n i n t h e w o r k p l a c e , i t i s i m p o r t a n t t o r e m e m b e r t h a t r o b o t s a r e n o t " s u p e r w o r k e r s " . T h e y h a v e s o m e r e a l s h o r t c o m i n g s a n d a r e t o b e u n d e r s t o o d a s t o o l s o r m a c h i n e p e o p l e u s e . T o d a y ' s r o b o t s : • A r e n o t c r e a t i v e o r i n n o v a t i v e • C a n n o t r e a c t t o u n k n o w n s i t u a t i o n s • H a v e n o h u m a n f e e l i n g s • H a v e n o t c o n s c i o u s n e s s • D o n o t t h i n k i n d e p e n d e n t l y • C a n n o t m a k e c o m p l i c a t e d d e c i s i o n s . • D o n o t l e a r n f r o m m i s t a k e s o r o t h e r w i s e . • D o n o t a d a p t q u i c k l y t o t h e c h a n g e s i n t h e i r e n v i r o n m e n t . T h e c u r r e n t d a y a p p l i c a t i o n s o f r o b o t s c a n b e c a t e g o r i z e d i n t o t w o b r o a d a r e a s : i n d u s t r i a l a p p l i c a t i o n s a n d n o n i n d u s t r i a l a p p l i c a t i o n s . 5 0 ' I ! J e r o b o t s i n t h e w o r l d t o d a y a b o u t 9 0 % a r e f o u n d i n i n d u s t r i e s . T h e s e r o b o t s a r e r e k r - r e d t o a s i n d u s t r i a l r o b o t s a n d a r e r e g a r d e d a s " S t e e l C o l l e r W o r k e r s " . O f t h e s e m o r e t h , t n 5 0 % a r e d e p l o y e d i n a u t o m o t i v e i n d u s t r y . R o b o t s a r e u s e f u l i n t h e i n d u s t r i e s i n m a n y w~t\-, I n t o d a y ' s e c o n o m y , i n d u s t r y n e e d s t o b e e f f i c i e n t t o c o p e w i t h t h e c o m p e t i t i o n . l n - , t a l l i n g r o b o t s i n t h e i n d u s t r y i s o f t e n a s t e p t o b e m o r e c o m p e t i t i v e b e c a u s e r o b o t s c a n d ( • n : r t a i n t a s k s m o r e e f f i c i e n t l y t h a n h u m a n s . S ( ' l l l l . . ' o f t h e t a s k s R o b o t s c a n d o b e t t e r a r e : • H a n d l i n g d a n g e r o u s m a t e r i a l s • A s s e m b l i n g p r o d u c t s • S p r a y f i n i s h i n g • P o l i s h i n g a n d c u t t i n g , • I n s p e c t i o n • R e p e t i t i v e , b a c k b r e a k i n g a n d u n r e w a r d i n g t a s k s • T a s k s i n v o l v i n g d a n g e r o u s t o h u m a n s o r d a n g e r o u s t a s k s R u h n t s o f f e r a n d e x c e l l e n t m e a n s o f u t i l i z i n g t e c h n o l o g y t o m a k e a g i v e n m a n u f a c t u r i n g o p . : r a t i o n m o r e p r o f i t a b l e a n d c o m p e t i t i v e . T h e m a i n a d v a n t a g e o f f e r e d f o r t h e i n d u s t r i a l n e e d s i s t h e i m p r o v e d p r o d u c t i v i t y a n d q u a l i t y o f f e r e d b y t h e r o b o t s . H o w e v e r , t h e t e c h n o l o g y i s r e l a t i v e l y n e w o n t h e i n d u s t r i a l s c e n e . I t s u s e i n t h e m a n u f a c t u r i n g p r o c e s s e s i s g r e a t l y l i m i t e d f o r m u l t i p l e r e a s o n s . R o h o t s a p p l i c a t i o n s i n t h e i n d u s t r i e s t o d a y a r e p r i m a r i l y i n f o u r f i e l d s : • M a t e r i a l h a n d l i n g • O p e r a t i o n s • A s s e m b l y • I n s p e c t i o n 1 . 2 R o b o t l o c o m o t i o n A m o b i l e r o b o t n e e d s l o c o m o t i o n m e c h a n i s m s t h a t e n a b l e i t t o m o v e u n b o u n d e d t h r o u g h o u t i t s e n v i r o n m e n t . B u t t h e r e a r e a l a r g e v a r i e t y o f p o s s i b l e w a y s t o m o v e , a n d s o t h e s e l e c t i o n o f r o b o t ' s a p p r o a c h t o l o c o m o t i o n i s a n i m p o r t a n t a s p e c t o f m o b i l e r o b o t d e s i g n . I n t h e l a b o r a t o r y , t h e r e a r e r e s e a r c h r o b o t s t h a t c a n w a l k , j u m p , r u n , s l i d e , s k a t e , s w i m . f 1 y a n d , o f c o u r s e , r o l l . M o s t o f t h e s e l o c o m o t i o n m e c h a n i s m s h a v e b e e n i n s p i r e d b y t h e i r b i o l o g i c a l c o u n t e r p a r t s . T h e r e i s , h o w e v e r , o n e e x c e p t i o n : t h e a c t i v e l y p o w e r e d w h e e l i s a h u m a n i n v e n t i o n t h a t a c h i e v e s e x t r e m e l y h i g h e f f i c i e n c y o n f l a t g r o u n d . T h i s m e c h a n i s m i s n o t c o m p l e t e l y f o r e i g n t o b i o l o g i c a l s y s t e m s . O u r b i p e d a l w a l k i n g s y s t e m c a n b e a p p r o x i m a t e d b y a r o l l i n g p o l y g o n , w i t h s i d e s e q u a l i n l e n g t h d t o t h e s p a n o f t h e s t e p ( F i g u r e 1 . 4 ) A s t h e s t e p s i z e d e c r e a s e s , t h e p o l y g o n a p p r o a c h e s a c i r c l e o r w h e e l . B u t n a t u r e d i d n o t d e v e l o p a f u l l y r o t a t i n g , a c t i v e l y p o w e r e d j o i n t , w h i c h i s t h e t e c h n o l o g y n e c e s s a r y f o r w h e e l e d l o c o m o t i o n . 6 F i g u r e 1 . 4 : A p p r o x i m a t e d b i p e d a l w a l k i n g s y s t e m B t o l o g i c a l s y s t e m s s u c c e e d i n m o v i n g t h r o u g h a w i d e v a r i e t y o f h a r s h e n v i r o n m e n t s , T h e r e f o r e i t c a n b e d e s i r a b l e t o c o p y t h e i r s e l e c t i o n o f l o c o m o t i o n m e c h a n i s m s . H o w e v e r , r e p l i c a t i n g n a t u r e i n t h i s r e g a r d i s e x t r e m e l y d i f f i c u l t f o r s e v e r a l r e a s o n s . T o b e g i n w i t h , m e c h a n i c a l c o m p l e x i t y i s e a s i l y a c h i e v e d i n b i o l o g i c a l s y s t e m s t h r o u g h s t r u c t u r a l r e p l i c a t i o n . C e l l d i v i s i o n , i n c o m b i n a t i o n w i t h s p e c i a l i z a t i o n c a n r e a d i l y p r o d u c e a m i l l i p e d e w i t h s e v e r a l h u n d r e d l e g s a n d s e v e r a l t e n s o f t h o u s a n d s o f i n d i v i d u a l l y s e n s e d c i l i a . I n m a n m a d e s t r u c t u r e s , e a c h p a r t m u s t b e f a b r i c a t e d i n d i v i d u a l l y a n d s o n o s u c h e c o n o m i e s o f s c a l e e x i t . A d d i t i o n a l l y , t h e c e l l i s a m i c r o s c o p i c b u i l d i n g b l o c k t h a t e n a b l e s e x t r e m e m i n i a t u r i z a t i o n . W i t h v e r y s m a l l s i z e a n d w e i g h t , i n s e c t s a c h i e v e a l e v e l o f r o h u s t n e s s t h a t w e h a v e n o t b e e n a b l e t o m a t c h w i t h h u m a n f a b r i c a t i o n t e c h n i q u e s . F i n a l l y , t h e b i o l o g i c a l e n e r g y s t o r a g e s y s t e m a n d t h e m u s c u l a r a n d h y d r a u l i c a c t i v a t i o n s y s t e m s u s e d b y l a r g e a n i m a l s a n d i n s e c t s a c h i e v e t o r q u e , r e s p o n s e t i m e , a n d c o n v e r s i o n e t t i c i e n c i e s t h a t f a r e x c e e d s i m i l a r l y s c a l e d m a n - m a d e s y s t e m s . O m n g t o t h e s e l i m i t a t i o n s , m o b i l e r o b o t s g e n e r a l l y l o c o m o t e e i t h e r u s i n g w h e e l e d m e c h a n i s m s , a w e l l - k n o w n h u m a n t e c h n o l o g y f o r v e h i c l e s , o r u s i n g a s m a l l n u m b e r o f a r t i c u l a t e d l e g s , t h e s i m p l e s t o f t h e b i o l o g i c a l a p p r o a c h e s t o l o c o m o t i o n ( F i g u r e 1 . 4 ) . I n g e n e r a l , l e g g e d l o c o m o t i o n r e q u i r e s h i g h e r d e g r e e s o f f r e e d o m a n d t h e r e f o r e g r e a t e r m e c h a n i c a l c o m p l e x i t y t h a n w h e e l e d l o c o m o t i o n . W h e e l s , i n a d d i t i o n t o b e i n g s i m p l e , a r e e x t r e m e l y w e l l s u i t e d t o f l a t g r o u n d . O n f l a t s u r f a c e s w h e e l e d l o c o m o t i o n i s o n e t o t w o o r d e r s o f m a g n i t u d e m o r e e f f i c i e n t t h a n l e g g e d l o c o m o t i o n . T h e r a i l w a y i s e n g i n e e r e d f o r w h e e l e d l o c o m o t i o n b e c a u s e r o l l i n g f r i c t i o n i s m i n i m i z e d o n a h a r d a n d f l a t s t e e l s u r f a c e . B u t , a s t h e s u r f a c e b e c o m e s s o f t , w h e e l e d l o c o m o t i o n a c c u m u l a t e s i n e f f i c i e n c i e s d u e t o r o l l i n g f r i c t i o n w h e r e a s l e g g e d l o c o m o t i o n s u f f e r s m u c h l e s b e c a u s e i t c o n s i s t s o n l y o f p o i n t s c o n t a c t s w i t h t h e g r o u n d . I n e f f e c t , t h e e f f i c i e n c y o f w h e e l e d l o c o m o t i o n d e p e n d s g r e a t l y o n e n v i r o n m e n t a l q u a l i t i e s , p a r t i c u l a r l y t h e f l a t n e s s a n d h a r d n e s s o f t h e g r o u n d , w h i l e t h e e f f i c i e n c y o f l e g g e d l o c o m o t i o n d e p e n d s o n t h e l e g m a s s a n d b o d y m a s s , b o t h o f w h i c h t h e r o b o t m u s t s u p p o r t a t v a r i o u s p o i n t s i n a l e g g e d g a i t . 7 1 . 2 . 1 K e y i s s u e s f o r l o c o m o t i o n L 1 c o m o t i o n i s t h e c o m p l e m e n t o f m a n i p u l a t i o n . I n m a n i p u l a t i o n , t h e r o b o t a r m i s f i x e d b u t m o v e s o b j e c t s i n t h e w o r k s p a c e b y i m p a r t i n g f o r c e t o t h e m . I n l o c o m o t i o n , t h e e m i r o n m e n t i s f i x e d a n d t h e r o b o t m o v e s b y i m p a r t i n g f o r c e t o t h e e n v i r o n m e n t . I n b o t h c a s e s . t h e s c i e n t i f i c b a s i s i s t h e s t u d y o f a c t u a t o r s t h a t g e n e r a t e i n t e r a c t i o n f o r c e s , a n d m e c h a n i s m s t h a t i m p l e m e n t d e s i r e d k i n e m a t i c a n d d y n a m i c p r o p e r t i e s . L o c o m o t i o n a n d m a n i p u l a t i o n t h u s s h a r e t h e s a m e c o r e i s s u e s o f s t a b i l i t y , c o n t a c t c h a r a c t e r i s t i c s , a n d e m i r o n m e n t t y p e : • S t a b i l i t y 1 . N u m b e r a n d g e o m e t r y o f c o n t a c t p o i n t s J 2 . C e n t r e o f g r a v i t y 3 . S t a t i c / d y n a m i c s t a b i l i t y 4 . I n c l i n a t i o n o f t e r r a i n • C h a r a c t e r i s t i c s o f c o n t a c t 1 . C o n t a c t p o i n t / p a t h s i z e a n d s h a p e 2 . A n g l e o f c o n t a c t 3 . F r i c t i o n • T y p e o f e n v i r o n m e n t 1 . S t r u c t u r e 2 . M e d i u m ( e g . A i r , w a t e r e t c . . ) A t h e o r e t i c a l a n a l y s i s o f l o c o m o t i o n b e g i n s w i t h m e c h a n i c s a n d p h y s i c s . F r o m t h i s s t a r t i n g p o i n t , w e c a n f o r m a l l y d e f i n e a n d a n a l y z e a l l a m a n n e r o f m o b i l e r o b o t l o c o m o t i o n s y s t e m s . 1 . 3 L e g g e d M o b i l e R o b o t L e g g e d l o c o m o t i o n i s c h a r a c t e r i z e d b y a s e r i e s o f p o i n t c o n t a c t s b e t w e e n t h e r o b o t a n d t h e g r o u n d . T h e k e y a d v a n t a g e s i n c l u d e a d a p t a b i l i t y a n d m a n e u v e r a b i l i t y i n r o u g h t e r r a i n . B e c a u s e o n l y a s e t o f p o i n t c o n t a c t s i s r e q u i r e d , t h e q u a l i t y o f t h e g r o u n d b e t w e e n t h o s e p o i n t s d o e s n o t m a t t e r s o l o n g a s t h e r o b o t c a n m a i n t a i n a d e q u a t e g r o u n d c l e a r a n c e . I n a d d i t i o n , a w a l k i n g r o b o t i s c a p a b l e o f c r o s s i n g a h o l e o r c h a s m s o l o n g a s i t s r e a c h e x c e e d s t h e w i d t h o f t h e h o l e . A f i n a l a d v a n t a g e o f l e g g e d l o c o m o t i o n i s t h e p o t e n t i a l t o m a n i p u l a t e o b j e c t s i n t h e e n v i r o n m e n t w i t h g r e a t s k i l l . T h e m a i n d i s a d v a n t a g e s o f l e g g e d l o c o m o t i o n i n c l u d e p o w e r a n d m e c h a n i c a l c o m p l e x i t y . T h e l e g , w h i c h m a y i n c l u d e s e v e r a l d e g r e e s o f f r e e d o m , m u s t b e c a p a b l e o f s u s t a i n i n g p a r t o f t h e r o b o t ' s t o t a l w e i g h t , a n d i n m a n y r o b o t s m u s t b e c a p a b l e o f l i f t i n g a n d l o w e r i n g t h e r o b o t . A d d i t i o n a l l y , h i g h m a n e u v e r a b i l i t y w i l l o n l y b e a c h i e v e d i f t h e l e g s h a v e a s u f f i c i e n t n u m b e r o f d e g r e e s o f f r e e d o m t o i m p a r t f o r c e s i n n u m b e r o f d i f f e r e n t d i r e c t i o n s . 8 1 . 3 . 1 L e g c o n f i g u r a t i o n a n d s t a b i l i t y L e g g e d r o b o t s a r e b i o l o g i c a l l y i n s p i r e d a n d t h e r e f o r e , i t i s i n f o r m a t i v e t o e x a m i n e b i o l o g i c a l l y s u c c e s s f u l l e g g e d s y s t e m s . A n u m b e r o f d i f f e r e n t l e g c o n f i g u r a t i o n s h a v e b e e n s u c c e s s f u l i n a v a r i e t y o f o r g a n i s m . L a r g e a n i m a l s h a v e f o u r l e g s , w h e r e a s i n s e c t s h a v e s i x o r m o r e l e g s . I n s o m e m a m m a l s , t h e a b i l i t y t o w a l k o n o n l y t w o l e g s h a v e b e e n p e r f e c t e d . 1 . 3 . 2 B i p e d R o b o t O u t o f v a r i o u s d e s i g n s o f m u l t i l e g g e d r o b o t s , t w o l e g g e d r o b o t s h a v e r e c e i v e d m u c h a t t e n t i o n i n r o b o t i c s r e s e a r c h , d u e t o t h e i r s i m i l a r i t y w i t h t h e h u m a n b e i n g s . A g a i t i s a s e q u e n c e o f l e g m o t i o n s c o o r d i n a t e d w i t h t h e b o d y m o t i o n ' f o r t h e p u r p o s e o f n a v i g a t i n g o v e r a t e r r a i n . I t i s i m p o r t a n t t o m e n t i o n t h a t a t w o l e g g e d r o b o t h a s t o d y n a m i c a l l y b a l a n c e d u r i n g i t s l o c o m o t i o n . A b i p e d r o b o t s h o u l d b e a b l e t o n e g o t i a t e t h e s t a i r - c a s e s s l o p i n g s u r f a c e s , d i t c h e s a n d o t h e r s , a s t h e s i t u a t i o n d e m a n d s . T h e p r o b l e m s o f t a c k l i n g t h e s l o p i n g s u r f a c e [ 2 ] i s f u n d a m e n t a l l y d i f f e r e n t f o r m t h a t o f h a n d l i n g t h e s t a i r - c a s e s d u e t o t h e f o l l o w i n g r e a s o n s : • T h e f e e t a r e p l a c e s o n t h e i n c l i n e d p l a n e w h i l e n a v i g a t i n g a l o n g a s l o p i n g s u r f a c e , i n p l a c e o f t h e f l a t s u r f a c e . • T h e a n g l e o f s l o p e a n d c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n b e t w e e n t h e s l o p i n g s u r f a c e a n d f o o t h a s s o m e s i g n i f i c a n t i n f l u e n c e s t o e n s u r e t h e m o v e m e n t w i t h o u t s l i p p i n g o n a n i n c l i n e d p l a n e . • T h e p r o j e c t e d a r e a o f f o o t - s u p p o r t p o l y g o n r e d u c e s w i t h t h e i n c r e a s e i n a n g l e o f s l o p e a n d i t h a s a s i g n i f i c a n t c o n t r i b u t i o n o n t h e d y n a m i c b a l a n c e o f t h e r o b o t . 1 . 3 . 3 B i p e d w a l k i n g I n o r d e r t o u n d e r s t a n d t h e m e c h a n i c a l b i p e d a l r o b o t s m e c h a n i c s d e s i g n [ 3 ] , i s n e c e s s a r y f i r s t t o u n d e r s t a n d t h e b i p e d w a l k i n g p r o c e s s o r b i p e d l o c o m o t i o n . T h i s a r e a h a s b e e n s t u d i e s f o r a l o n g t i m e , b u t , i t i s o n l y i n t h e p a s t y e a r s , t h a n k s t o t h e f a s t d e v e l o p m e n t o f c o m p u t e r s , t h a t r e a l r o b o t s t a r t e d t o w a l k o n t w o l e g s . S i n c e t h e n t h e p r o b l e m h a s b e e n t a c k l e d f r o m d i f f e r e n t d i r e c t i o n s . F i r s t , t h e r e w e r e r o b o t s t h a t u s e d s t a t i c w a l k i n g . T h e c o n t r o l a r c h i t e c t u r e h a d t o m a k e s u r e t h a t t h e p r o j e c t i o n o f t h e c e n t r e o f g r a v i t y o n t h e g r o u n d w a s a l w a y s i n s i d e t h e f o o t s u p p o r t a r e a . T h i s a p p r o a c h w a s a b a n d o n e d b e c a u s e o n l y s l o w w a l k i n g s p e e d s c o u l d b e a c h i e v e d , a n d o n l y o n f l a t s u r f a c e s . T h e n d y n a m i c w a l k i n g r o b o t s a p p e a r e d , t h e c e n t e r o f g r a v i t y ( o r c e n t r e o f m a s s ) c a n b e o u t s i d e o f t h e s u p p o r t a r e , b u t t h e Z e r o M o m e n t u m P o i n t ( Z M P ) , w h i c h i s t h e p o i n t w h e r e t h e t o t a l a n g u l a r m o m e n t u m i s z e r o , c a n n o t . D y n a m i c w a l k e r s c a n a c h i e v e f a s t e r w a l k i n g s p e e d s , r u n n i n g , s t a r c l i m b i n g , e x e c u t i o n o f s u c c e s s i v e f l i p s , a n d e v e n w a l k i n g w i t h n o a c t u a t o r s . 9 S t a t i c w a l k i n g : S t a t i c w a l k i n g a s s u m e s t h a t t h e r o b o t i s s t a t i c a l l y s t a b l e . T h i s m e a n t h a t , a t a n y t i m e i f a l l m o t i o n i s s t o p p e d t h e r o b o t w i l l s t a y i n d e f i n i t e l y i n a s t a b l e p o s i t i o n . I t i s n e c e s s a r y t h a t t h e p r o j e c t i o n o f t h e c e n t r e o f g r a v i t y o f t h e r o b o t o n t h e g r o u n d m u s t b e c o n t a i n e d w i t h i n t h e f o o t s u p p o r t a r e a ( F i g u r e 1 . 5 ) . T h e s u p p o r t a r e a i s e i t h e r t h e f o o t s u r f a c e i n c a s e o f o n e s u p p o r t i n g l e g m i n i m u m c o n v e x a r e a c o n t a i n i n g b o t h f o o t s u r f a c e s i n c a s e b o t h f e e t a r e o n t h e g r o u n d . T h e s e a r e r e f e r r e d t o a s s i n g l e a n d d o u b l e s u p p o r t p h a s e s , r e s p e c t i v e l y . A l s o , w a l k i n g s p e e d m u s t b e l o w s o t h a t i n e r t i a l f o r c e s a r e n e g l i g i b l e . T h i s k i n d o f w a l k i n g r e q u i r e s l a r g e f e e t ; s t r o n g a n k l e j o i n t s a n d c a n a c h i e v e o n l y s l o w w a l k i n g s p e e d s . I t h a s b e e n a b a n d o n e d b y m o s t r e s e a r c h e s f o r d y n a m i c w a l k i n g , w h i c h p r o v i d e s m o r e r e a l i s t i c a n d a g i l e m o v e m e n t s . S~e s u w o r t p h a s e S t e b l a p o s i t i o n D o 1 i l l a ' U W O t p h a s e S~pcitiWII J U l l l l a b l e p c s i ! Y J n F i g u r e 1 . 5 : S t a b i l i t y i n s t a t i c w a l k i n g D y n a m i c w a l k i n g : B i p e d d y n a m i c w a l k i n g a l l o w s t h e c e n t r e o f g r a v i t y t o b e o u t s i d e t h e s u p p o r t r e g i o n f o r l i m i t e d a m o u n t s o f t i m e . T h e r e i s n o a b s o l u t e c r i t e r i o n t h a t d e t e r m i n e s w h e t h e r t h e d y n a m i c w a l k i n g i s s t a b l e o r n o t . I n d e e d a w a l k e r c a n b e d e s i g n e d t o r e c o v e r f r o m d i f f e r e n t k i n d s o f i n s t a b i l i t i e s . H o w e v e r , i f t h e r o b o t h a s a c t i v e a n k l e j o i n t s a n d a l w a y s k e e p s a t l e a s t o n e f o o t f l a t o n t h e g r o u n d t h e n t h e Z M P c a n b e u s e d a s a s t a b i l i t y c r i t e r i o n . T h e Z M P i s t h e p o i n t w h e r e t h e r o b o t ' s t o t a l m o m e n t a t t h e g r o u n d i s z e r o . A s l o n g t h e Z M P i s i n s i d e t h e s u p p o r t r e g i o n t h e w a l k i n g i s c o n s i d e r e d d y n a m i c a l l y s t a b l e b e c a u s e i s t h e o n l y c a s e w h e r e t h e f o o t c a n c o n t r o l t h e r o b o t ' s p o s t u r e . I t i s c l e a r t h a t f o r r o b o t s t h a t d o n o t c o n t i n u o u s l y k e e p a t l e a s t o n e f o o t o n t h e g r o u n d o r t h a t d o n o t h a v e a c t i v e a n k l e j o i n t s ( w a l k i n g o n s t i l t s ) , t h e n o t i o n o f s u p p o r t a r e a d o e s n o t e x i s t , t h e r e f o r e t h e Z M P c r i t e r i o n c a n n o t a p p l i e d . D y n a m i c w a l k i n g i s a c h i e v e d b y e n s u r i n g t h a t t h e r o b o t i s a l w a y s r o t a t i n g a r o u n d a p o i n t i n t h e s u p p o r t r e g i o n . I f t h e r o b o t r o t a t e s a r o u n d a p o i n t o u t s i d e t h e s u p p o r t r e g i o n t h e n t h i s m e a n s t h a t t h e s u p p o r t i n g f o o t w i l l t e n d t o g e t o f f t h e g r o u n d o r g e t p r e s s e s a g a i n s t t h e g r o u n d . B o t h c a s e s l e a d t o i n s t a b i l i t y . T o d r a w a n a n a l o g y w i t h s t a t i c w a l k i n g , i f a l l m o t i o n i s s t o p p e d t h e n t h e r o b o t w i l l t e n d t o r o t a t e a r o u n d t h e Z M P . 1 0 1 . 4 R e s e a r c h o b j e c t i v e s T h e m a i n o b j e c t i v e o f t h i s r e s e a r c h i s t o i m p l e m e n t a k i n e m a t i c m o d e l f o r b i p e d r o b o t t o n e g o t i a t e s l o p i n g s u r f a c e s . T h e d e r i v a t i o n o f e q u a t i o n s f o r j o i n t a n g l e s o f t h e s a i d r o b o t i s t h e k i n e m a t c m o d e l i n g . I n t h i s r e s e a r c h , t h e b a s i c r o b o t i c s t h e o r i e s a r e u s e d t o i m p l e m e n t t h e k i n e m a t i c m o d e l a n d i t i s a d i r e c t a p p r o a c h . T h i s r e s e a r c h c a n b e d i v i d e d i n t o t w o s t e p s a s f o l l o w s ; ( i ) ( i i ) D e v e l o p m e n t o f k i n e m a t i c m o d e l S i m u l a t i o n a n d b e h a v i o r a l a n a l y s i s A f t e r d e v e l o p i n g t h e k i n e m a t i c m o d e l , t h e b e h a v i o r a l a n a l y s i s c a n b e o b t a i n e d b y u s i n g t h e s i m u l a t i o n r e s u l t . T h e s t a b i l i t y a n a l y s i s i s s o i m p o r t a n t t o s e l e c t p a r a m e t e r s , i n t h e c o n s t r u c t i o n s t a g e , o f t h e r o b o t b o d y . " I n t h i s d i s s e r t a t i o n , i t i s c o n s i d e r e d o n l y w a l k i n g o n s a g i t a l p l a n e a n d a s s u m e d a l l j o i n t s a r e f r i c t i o n l e s s . T h i s i s a r e m a r k a b l e m o d e l i n g a s t h e r o b o t c a n m a i n t a i n i t ' s s t a b i l i t y w i t h n o t r o u b l e w h e n i n c r e a s i n g t h e r a m p a n g l e t o s o m e e x t e n t . T h e m o d e l i n g m e t h o d i s s i m p l e , d i r e c t a n d i n e x p e n s i v e b u t , t h e a c c u r a c y i s i n h i g h s t a n d a r d t h a t c a n b e s e e n i n s i m u l a t i o n r e s u l t s . 1 . 5 O v e r v i e w T h e s t r u c t u r e o f t h i s d i s s e r t a t i o n d i v i d e d i n t o 8 p a r t s . C h a p t e r 2 , r e v i e w s p a s t l i t e r a t u r e a n d t h e c u r r e n t s t a t e o f r e s e a r c h i n b i p e d a l r o b o t s . A l s o , t h e P r o b l e m S t a t e m e n t i s i n c l u d e d . I n c h a p t e r 3 , k i n e m a t i c m o d e l i n g o f s w i n g l e g i s i n c l u d e d a n d d e r i v a t i o n s o f e q u a t i o n s f o r j o i n t a n g l e s a r e a l s o p r e s e n t e d . I n c h a p t e r 4 , t h e g a i t d e v e l o p m e n t i s d i s c u s s e d w i t h t r a j e c t o r y p l a n n i n g o f s w i n g l e g . C h a p t e r 5 , d e s c r i b e s , h o w t o o b t a i n t h e k i n e m a t i c m o d e l o f s t a n c e l e g . I n t h i s c h a p t e r j o i n t a n g l e e q u a t i o n s a r e a l s o d e r i v e d a n d , t h e d e r i v e d s w i n g l e g k i n e m a t i c m o d e l i s m o d i f i e d b y c o n s i d e r i n g " m o v i n g h i p " . T o m o d e l t h e h i p t r a j e c t o r y t h e R i m l e s s w h e e l s i m u l a t i o n i s u s e d . I n c h a p t e r 6 , i t i s d i s c u s s e d h o w t o a n a l y z e t h e d y n a m i c b a l a n c e f o r l o w e r b o d y a n d c a l c u l a t i o n o f Z M P . T h e c h a p t e r 7 d e s c r i b e s t h e c a l c u l a t i o n o f Z M P a f t e r a d d i n g o f t o r s o . I n t h i s c h a p t e r t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s a n d e x p l a n a t i o n s a r e i n c l u d e d . C h a p t e r 8 c o n c l u d e s a l l d e r i v a t i o n s a n d p r e s e n t e d t h e f u t u r e w o r k o f t h i s r e s e a r c h . 1 1 C h a p t e r 2 L i t e r a t u r e R e v i e w a n d P r o b l e m S t a t e m e n t 2 . 1 L i t e r a t u r e R e v i e w T h e f i r s t b i p e d r o b o t t o b e s u c c e s s f u l l y c r e a t e d a n d u s e d y n a m i c b a l a n c e w a s d e v e l o p e d b y K a t o i n 1 9 8 3 [ 4 ] . W h i l e t h i s r o b o t l a r g e l y u s e d s t a t i c w a f k i n g , i t w a s t e r m e d q u a s i - d y n a m i c d u e t o a s m a l l p e r i o d i n t h e g a i t w h e r e t h e b o d y w a s t i p p e d f o r w a r d t o e n a b l e t h e r o b o t t o g a i n f o r w a r d a c c e l e r a t i o n a n d t h u s a c h i e v e a f o r w a r d v e l o c i t y . T h i s a c h i e v e m e n t h a s l a r g e l y b e e n c i t e d a s t h e d e f i n i n g m o m e n t w h e r e t h e f o c u s o f r e s e a r c h s h i f t e d f r o m s t a t i c t o d y n a m i c w a l k i n g . S i n c e t h i s t i m e , p r o g r e s s h a s b e e n s o m e w h a t s l u g g i s h . T h e s a m e r e s e a r c h g r o u p p r o d u c e d t h e W L - 1 0 R D r o b o t w h i c h w a l k e d o n c e m o r e w i t h q u a s i - d y n a m i c b a l a n c e i n 1 9 8 5 [ 5 ] . T h e r o b o t w a s r e q u i r e d t o r e t u r n a g a i n t o s t a t i c b a l a n c e a f t e r t h e d y n a m i c t r a n s f e r o f s u p p o r t t o t h e o p p o s i t e f o o t . H o w e v e r , M i u r a a n d S h i m o y a m a [ 6 ] a b a n d o n e d s t a t i c b a l a n c e e n t i r e l y i n 1 9 8 4 w h e n t h e i r s t i l t b i p e d B I P E R - 3 , w h i c h w a s m o d e l e d a f t e r a h u m a n w a l k i n g o n s t i l t s , s h o w e d t r u e a c t i v e b a l a n c e . S i m p l e i n c o n c e p t , i t c o n t a i n e d o n l y t h r e e a c t u a t o r s ; o n e t o c h a n g e t h e a n g l e s e p a r a t i n g t h e l e g s i n t h e d i r e c t i o n o f m o t i o n , a n d t h e r e m a i n i n g t w o w h i c h l i f t e d t h e l e g s o u t t o t h e s i d e i n t h e l a t e r a l p l a n e . S i n c e t h e l e g s c o u l d n o t c h a n g e l e n g t h , t h e s l i d e a c t u a t o r s w e r e u s e d t o s w i n g t h e l e g t h r o u g h w i t h o u t s c u f f i n g t h e f o o t o n t h e w a l k i n g s u r f a c e . A n i n v e r t e d p e n d u l u m w a s u s e d t o p l a n f o r f o o t p l a c e m e n t b y a c c o u n t i n g f o r t h e a c c e l e r a t i n g t i p p i n g m o m e n t s w h i c h w o u l d b e p r o d u c e d . T h i s t h r e e d e g r e e - o f - f r e e d o m r o b o t w a s l a t e r e x t e n d e d t o t h e s e v e n d e g r e e - o f - f r e e d o m B I P E R - 4 r o b o t . A n o t h e r a p p r o a c h h a d b e e n t a k e n b y R a i b e r t [ 7 ] , w h o d e v e l o p e d a p l a n e r h o p p i n g r o b o t . T h i s r o b o t u s e d a p n e u m a t i c a l l y d r i v e n l e g o r t h e h o p p i n g m o t i o n a n d w a s a t t a c h e d t o a t e t h e r w h i c h r e s t r i c t e d t h e m o t i o n t o t h r e e d e g r e e s o f f r e e d o m ( p i t c h m o t i o n , v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l t r a n s l a t i o n ) a l o n g a r a d i a l p a t h i n s c r i b e d b y t h e t e t h e r . A s t a t e m a c h i n e w a s u s e d t o t r a c k t h e c u r r e n t p r o g r e s s o f t h e h o p p i n g c y c l e , t r i g g e r e d b y s e n s o r f e e d b a c k . T h e s t a t e m a c h i n e w a s t h e n u s e d t o m o d i f y t h e c o n t r o l a l g o r i t h m u s e d t o e n s u r e t h e s t a b i l i t y o f t h e m a c h i n e . A r e l a t i v e l y s i m p l e c o n t r o l s y s t e m w a s u s e d w h i c h m o d i f i e d t h r e e p a r a m e t e r s o f t h e h o p p i n g g a i t , n a m e l y f o r w a r d s p e e d , f o o t p l a c e m e n t a n d b o d y a t t i t u d e . T h e s u c c e s s o f t h i s r e s e a r c h m o t i v a t e d R a i b e r t t o e x t e n d t h e r o b o t a n d c o n t r o l s y s t e m t o h o p p i n g i n t h r e e d i m e n s i o n s , p i o n e e r i n g t h e a r e a o f b a l l i s t i c f l i g h t i n l e g g e d l o c o m o t i o n . C o n t i n u i n g t h r o u g h t h e y e a r s , a d y n a m i c r u n n i n g r o b o t w a s d e v e l o p e d b y H o d g i n s , K o e c h l i n g a n d R a i b e r t [ 7 ] , [ 8 ] , e x t e n d i n g t h e p r e v i o u s s t u d i e s o f o n e - l e g g e d h o p p i n g m a c h i n e s i n t w o a n d t h r e e d i m e n s i o n s . T h i s r o b o t w a s c o n s t r a i n e d t o t w o d i m e n s i o n s 1 2 ( m o t i o n i n t h e s a g i t t a l p l a n e ) , a n d u s e d a s i m i l a r c o n t r o l m e t h o d a s f o r t h e h o p p i n g r o b o t i n t w o d i m e n s i o n s . T h i s c o n t r o l s y s t e m d e c o u p l e d t h e t h r e e i m p o r t a n t c o n t r o l p a r a m e t e r s o f b o d y h e i g h t , f o o t p l a c e m e n t a n d b o d y a t t i t u d e , c o n t r o l l i n g t h e s e t h r e e a s p e c t s o f t h e r u n n i n g g a i t t h r o u g h t h e u s e o f a s t a t e m a c h i n e . T h e s t a t e m a c h i n e s w i t c h e d s t a t e s w h e n c e r t a i n k e y f e e d b a c k e v e n t s o c c u r r e d , a n d t h e r o b o t w a s c o n t r o l l e d d i f f e r e n t l y d e p e n d i n g u p o n t h e c u r r e n t s t a t e o f t h e s y s t e m . M u c h e a r l y r e s e a r c h a r o u n d t h i s t i m e f o c u s e d o n i n t e n s e l y a n a l y t i c a l t e c h n i q u e s f o r d e - s i g n i n g a n d c o n t r o l l i n g r o b o t m o t i o n . T h i s h a d t h e t e n d e n c y t o p r o d u c e c o m p l e x e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e m o t i o n o f t h e r o b o t , w h i c h o f t e n h a d n o s o l u t i o n a n d h a d t o b e a p p r o x i m a t e d o r l i n e a r i s e d . S o m e t i m e s t h i s a p p r o a c h w a s s u c c e s s f u l d e s p i t e s u c h s h o r t c o m i n g s . K a j i t a e t a l [ 9 ] u s e d t h i s a p p r o a c h t o c o n t r o l b i p e d a l d y n a m i c w a l k i n g b y r e s t r i c t i n g t h e m o v e m e n t o f t h e c e n t r e o f m a s s ( C O M ) i n a n i d e a l s e n s e t o t h e h o r i z o n t a 1 p l a n e o n l y . T h i s m o t i o n w a s t e r m e d a " p o t e n t i a l e n e r g y c o n s e r v i n g o r b i t " a n d c o u l d b e e x p r e s s e d b y a s i m p l e l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n , w h i c h s i m p l i f i e d t h e c a l c u l a t i o n s i n v o l v e d . O t h e r s i m i l a r a n a l y t i c a l a p p r o a c h e s a c t u a l l y i n c r e a s e d t h e c o m p l e x i t y o f t h e p r o b l e m b y i n t r o d u c i n g n e w l i n k s t o t h e b i p e d a l m o d e l . T a k a n i s h i e t a l . [ 1 0 ] u s e d t h e r o b o t W L - 1 2 R I I I w i t h a c o n t r o l s y s t e m w h i c h m a n i p u l a t e d t h e z e r o m o m e n t p o i n t ( Z M P ) t o a c h i e v e d y n a m i c s t a b i l i t y , e v e n o n u n e v e n s u r f a c e s . T h i s r o b o t h a d s e v e n l i n k s i n c l u d i n g a t r u n k o r u p p e r t o r s o l i n k w i t h t w o d e g r e e s o f f r e e d o m , t h u s a l l o w i n g i t t o p i t h a n d r o l l r e l a t i v e t o t h e f o r w a r d d i r e c t i o n o f t h e r o b o t . A s a n e x t e n s i o n t o t h i s w o r k , Y a m a g u c h i e t a / . [ 1 1 ] u s e d t h e r o b o t W L - 1 2 R V i n a s i m i l a r f a s h i o n , a d d i n g t h e f e a t u r e o f a y a w - a x i s m o v e m e n t t o t h e t r u n k m o t i o n . T h i s a l l o w e d c o m p e n s a t i o n f o r y a w m o m e n t s o c c u r r i n g a b o u t t h e f o o t i n c o n t a c t w i t h t h e g r o u n d , e l i m i n a t i n g t h e u n w a n t e d b e h a v i o u r o f t h e r o b o t t o t u m a t h i g h e r v e l o c i t i e s . T h i s a d d i t i o n a l l o w e d t h e r o b o t t o t r a v e l 5 0 p e r c e n t f a s t e r t h a n p r e v i o u s e f f o r t s h a d a c h i e v e d . A d i f f e r e n t a n a l y t i c a l a p p r o a c h e x a m i n e d h o w m e c h a n i c a l d e s i g n c o n t r i b u t e s t o r o b o t p e r f o r m a n c e . M c G e e r [ 1 2 ] s h o w e d t h a t a c o r r e c t l y d e s i g n e d b i p e d w a l k e r w i t h n o a c t u a t i o n a n d n o c o n t r o l c o u l d w a l k d o w n g e n t l e s l o p e s . H i s r e s e a r c h s h o w e d t h a t p a s s i v e d y n a m i c w a l k i n g i s p o s s i b l e 1 . T h e s l o p e a l l o w e d t h e r o b o t t o r e g a i n t h r o u g h g r a v i t y e n e r g y l o s t t h r o u g h f r i c t i o n a n d i m p u l s e c o l l i s i o n s . G a r c i a e t a l . [ 1 3 ] a l s o s h o w e d t h i s u s i n g t h e s i m p l e s t p u r e l y m e c h a n i c a l m o d e l p o s s i b l e - a d o u b l e p e n d u l u m . T h i s w o r k h i g h l i g h t e d t h e f a c t t h a t m e c h a n i c a l d e s i g n i s e q u a l l y , i f n o t m o r e i m p o r t a n t , t h a n t h e c o n t r o l m e t h o d u s e d . T h i s s u g g e s t s t h a t m o r e e f f o r t s p e n t o n e n s u r i n g a c o r r e c t m e c h a n i c a l s y s t e m d e s i g n w i l l s i m p l i f y t h e c o m p l e x i t y o f t h e c o n t r o l s y s t e m r e q u i r e d . A t h i r d a p p r o a c h t o b i p e d a l d y n a m i c w a l k i n g h a s o n l y r e c e n t l y e m e r g e d i n t h e l a s t f e w y e a r s . A n a l y s i s u s i n g t h e d y n a m i c e q u a t i o n s o f m o t i o n c a n b e c o m p l e x , n o n - l i n e a r a n d m a y h a v e n o c l o s e d f o r m s o l u t i o n . A r t i f i c i a l n e u r a l n e t w o r k s a r e w e l l s u i t e d t o t h i s t y p e o f c o n t r o l p r o b l e m h a v i n g t h e a d v a n t a g e t h a t t h e y c a n l e a r n a n d a d o p t t h e b e h a v i o u r o f t h e s y s t e m t o a d e s i r e d s t a t e , e v e n i f t h i s s t a t e i s n o t c l e a r l y d e f i n e d . T h e b e n e f i t s o f t h i s a p p r o a c h i s t h a t c o m p l e x d y n a m i c s a n d k i n e m a t i c e q u a t i o n s n e e d n o t t o b e k n o w n , o r g r e a t l y s i m p l i f i e d v e r s i o n m a y b e u s e d i n s t e a d . T h e r e s u l t i s t h a t n e u r a l n e t w o r k s m a y b e 1 T h e t e r m p a s s i v e h e r e r e f e r s t o t h e f a c t t h a t a c t u a t i o n i s n o t p r e s e n t i n t h i s w a l k e r 1 3 u s e d i n r e a l - t i m e t o a d a p t t h e w a l k i n g g a i t o n - l i n e , a p r o b l e m w h i c h p r e v i o u s c o n t r o l m e t h o d s h a v e n o t b e e n a b l e t o s i g n i f i c a n t l y a d d r e s s . D o e r s c h u k e t a l . [ 1 4 , 1 5 ] a p p l i e d a n i n t e l l i g e n t l e a r n i n g a p p r o a c h t o c o n t r o l t h e l e g s o f a s i m u l a t e d b i p e d r o b o t w h i l e i n b a l l i s t i c f l i g h t . T h e y u s e d a C e r e b e l l a r M o d e l A r t i c u l a t i o n C o n t r o l l e r ( C M A C ) n e u r a l n e t w o r k t o i m p o s e a p r e v i o u s l y g e n e r a t e d g a i t o n t o a s i m u l a t e d s e v e n l i n k b i p e d r o b o t . A m o r e i m p r e s s i v e u s e o f n e u r a l n e t w o r k s c a n b e s e e n i n t h e r e s e a r c h o f M i l l e r a n d K u n [ 1 6 , 1 7 ] , w h o u s e d t h r e e C M A C n e u r a l n e t w o r k s i n a n a t t e m p t t o p r o d u c e a c o n t r o l s y s t e m w h i c h c o u l d o p e r a t e i n a w i d e r r a n g e o f e n v i r o n m e n t s b y a d a p t i n g v a r i o u s p a r a m e t e r s o f t h e w a l k i n g g a i t s u c h a s s t e p l e n g t h , s t e p h e i g h t a n d s t e p p e r i o d . O n e n e t w o r k w a s u s e d t o l e a r n t h e r e q u i r e d m o t i o n s t o a c h i e v e s i d e b a l a n c e i n t h e s a g i t t a l p l a n e , o n e p e r f o r m e d f o r w a r d / b a c k w a r d b a l a n c e i n t h e l a t e r a l p l a n e , a n d t h e l a s t n e t w o r k l e a r n e d t h e c l o s e d c h a i n k i n e m a t i c s i n o r d e r t o k e e p the~feet p a r a l l e l t o t h e g r o u n d v i a a c t u a t e d a n k l e s . W h i l e n o t e n t i r e l y s u c c e s s f u l , t h e r o b o t d i d l e a r n t h e r e q u i r e d b e h a v i o u r i n o r d e r t o s t a r t w a l k i n g f r o m a s t a t i o n a r y p o s i t i o n a n d l a t e r c o m e t o r e s t t h r o u g h v a r i a t i o n o f t h e p a r a m e t e r s w i t h i n a l i m i t e d r a n g e . M o r e r e c e n t r e s e a r c h i s b e i n g p e r f o r m e d i n t h e U n i t e d K i n g d o m b y t h e S h a d o w R o b o t G r o u p w h o h a v e d e v e l o p e d t h e S h a d o w W a l k e r p r o t o t y p e ( s e e f i g u r e 2 . 1 ) . F o l l o w i n g a n a n t h r o p o m o r p h i c d e s i g n a n d u s i n g a w o o d e n f r a m e , t h e y h a v e c o n s t r u c t e d a b i p e d r o b o t u s i n g s p e c i a l ' a i r ' m u s c l e s d e v e l o p e d b y t h e g r o u p . T h e p n e u m a t i c a i r m u s c l e b e h a v e s i n a s i m i l a r m a n n e r t o a b i o l o g i c a l m u s c l e , c o n t r a c t i n g u p t o 4 0 % o f i t s l e n g t h w h e n a c t u a t e d w i t h a s u p p l y o f a i r . T h e c o m p l a i n t m u s c l e h a s a p o w e r t o w e i g h t r a t i o n o f a p p r o x i m a t e l y 4 0 0 : 1 , v a s t l y o u t p e r f o r m i n g c o n v e n t i o n a l a c t u a t o r s . T w e n t y - e i g h t a i r m u s c l e s ( F o u r t e e n p e r l e g ) a c t u a t e t h e e i g h t j o i n t s i n t h e r o b o t . W i t h t w e l v e d e g r e e s o f f r e e d o m , t h e m u s c l e a r r a n g e m e n t i s d e s i g n e d t o c l o s e l y m i m i c t h e h u m a n l e g m u s c l e s b y p l a c i n g t h e a i r - m u s c l e s i n c o r r e s p o n d i n g h u m a n m u s c l e p o i n t s . A n o t h e r c u r r e n t r e s e a r c h p r o j e c t i s t h e W A B I A N H u m a n o i d p r o j e c t a t t h e U n i v e r s i t y o f W a s e d a i n J a p a n . T h e a i m o f t h i s r e s e a r c h g r o u p i s t o d e v e l o p a n t h r o p o m o r p h i c r o b o t m e c h a n i s m u s i n g b i o - m e c h a t r o n i c t e c h n i q u e s . T h i s i n c l u d e s r e s e a r c h o n h u m a n m o t i o n d y n a m i c s , h u m a n - l i k e m e c h a n i s m s d e s i g n , a n d m i n d a n a l y s i s a n d s y n t h e s i s . B a s e d u p o n t h e p r e v i o u s w o r k b y K a t o , T a k a n i s h i a n d Y a m a g u c h i , w i t h t h e W L s e r i e s o f r o b o t s , t h e p r o j e c t w a s e s t a b l i s h e d i n 1 9 9 2 t o c o m b i n e t h e f i e l d s o f v i s i o n , i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g , b r a i n m o d e l i n g , m e c h a n i c a l d e s i g n , a c t i v e s e n s o r i n t e g r a t i o n ( t a c t i l e , v i s u a l a n d s o u n d ) , r o b o t p s y c h o l o g y , s p e e c h r e c o g n i t i o n a n d c o n v e r s a t i o n . I n a n a t t e m p t t o e n a b l e r o b o t s a n d h u m a n s t o b u i l d c o m m o n m e n t a l a n d p h y s i c a l s p a c e s , t h e p r o j e c t c o m p r i s e s o f o v e r 5 0 f u l l - t i m e r e s e a r c h e r s . 1 4 F i g u r e 2 . 1 : A p h o t o g r a p h o f s h a d o w b i p e d r o b o t ( s o u r c e - h t t p : / / w w w . s h a d o w . o r g . u k / ) F i g u r e 2 . 2 : A p h o t o g r a p h o f w a b i a n r o b o t ( s o u r c e h t t p : / / w w w . s h i r a i . i n f o . w a s e d a . a c . j p ) 1 5 2 . 2 P r o b l e m S t a t e m e n t I n t h i s c h a p t e r , t h e n e c e s s i t y o f t h i s r e s e a r c h i s d i s c u s s e d a n d t h e d i s s i m i l a r i t y f r o m t h e o t h e r r e l a t e d r e s e a r c h e s i s j u s t i f i e d . A d i r e c t m e t h o d t o s t a b i l i z e t h e r o b o t , w h e n i t l o o s e s t h e s t a b i l i t y , i s o n e o f t h e n e w a n d r e m a r k a b l e f i n d i n g s o f t h i s w o r k . T h e s e c o n t e n t s a r e d e s c r i b e d u n d e r t h e f o l l o w i n g t h r e e s u b t o p i c s . 2 . 2 . 1 P r e l i m i n a r i e s M o s t o f t h e p r e v i o u s w o r k s i n t h i s f i e l d h a v e f o c u s e d o n d e r i v a t i o n o f k i n e m a t i c s w i t h t h e u s e o f A r t i f i c i a l I n t e l l i g e n c e . V u n d a v i l l i a n d P r a t i h a r [ 2 ] h a v e p r o p o s e d a m e t h o d f o r s w i n g l e g k i n e m a t i c s b y u s i n g a n e u r a l n e t w o r k . I t i s n o t a direct~ a p p l i c a t i o n o f r o b o t i c s t e c h n o l o g y t h e o r i e s . T h e m a j o r d i f f i c u l t y o f t h i s m e t h o d i s b u i l d i n g o f n e u r a l n e t w o r k a s i t n e e d s l a r g e n u m b e r o f d a t a f o r t r a i n i n g , c a l l e d t r a i n i n g c a s e s . T h e a c c u r a c y o f t h i s m e t h o d d e p e n d s o n t h e n u m b e r o f t r a i n i n g c a s e s u s e d t o t r a i n t h e n e u r a l n e t w o r k . Y a m a g u c h i , T a k a n a s h i a n d K a t o [ 1 1 ] h a v e u s e d t r u n k s w i n g a n d y a w m o t i o n s t o i n c r e a s e t h e l o c o m o t i o n s t a b i l i t y o f a r o b o t . T h i s a p p r o a c h h a s a p p l i e d o n l y f o r w a l k i n g o n a f l a t s u r f a c e . A g r a w a l l [ 2 4 ] h a s p r o p o s e d a m e t h o d t o i d e n t i f y j o i n t m o t i o n o f B I P E D r o b o t s a n d d e r i v e d t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l b u t , h a s n o t s o l v e d t h e e q u a t i o n s d u e t o i t s c o m p l e x i t y . Z e r r u g h a n d R a d e l i f f e [ 2 5 ] h a v e i n v e s t i g a t e d t h e w a l k i n g p a t t e r n f o r a B I P E D r o b o t b y r e c o r d i n g h u m a n k i n e m a t i c s d a t a . T h i s c o n c e p t h a s b e e n d e e p l y s t u d i e d a n d u n d e r s t o o d t h a t i t i s v e r y d i f f i c u l t t o a p p l y t h e s e d a t a t o p r a c t i c a l B I P E D r o b o t s . B e c a u s e , t h e h u m a n l e g c o n s i s t s o f l a r g e n u m b e r o f d e g r e e o f f r e e d o m s a n d h a v i n g c o m p l e x j o i n t s . 2 . 2 . 2 P r o b l e m I d e n t i f i c a t i o n W h e n c o n s i d e r t h e p r e v i o u s w o r k d o n e i n B i p e d a l w a l k i n g w e c a n i d e n t i f y t h a t t h e l a t e s t t o p i c a s r a m p w a l k i n g . T h e l a t e s t d e v e l o p e d r o b o t A s i m o c a n n e g o t i a t e s t a i r c a s e s o n l y . I t c a n n o t n e g o t i a t e i n c l i n e d s u r f a c e s a s i t s l e g s h a v e b e e n d e s i g n e d f o r v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l m o v e m e n t s o n l y . I n r a m p w a l k i n g , s t a b i l i t y i s a p r o b l e m t h a n i n s t a i r c a s e h a n d l i n g b e c a u s e , i n r a m p w a l k i n g , t h e s t a n c e f o o t i s i n i n c l i n e d s u r f a c e a n d i t t o u c h e s t h e f l a t s u r f a c e i n s t a i r c a s e h a n d l i n g . B y f o c u s i n g w i t h p r e v i o u s p a p e r s , i t i s n o t e d t h a t a l i m i t e d p a p e r s w e r e p u b l i s h e d i n t h i s f i e l d a n d n o d i r e c t a p p r o a c h t o d e r i v a t i o n o f k i n e m a t i c m o d e l . A l s o i t h a s n o t i n t r o d u c e d a d i r e c t m e t h o d i n p r e v i o u s r e s e a r c h s t u d i e s t o r e - s t a b i l i z e t h e r o b o t i f i t i s i n a n u n s t a b l e z o n e . 2 . 2 . 3 N e w s u g g e s t i o n s I n t h i s d i s s e r t a t i o n t h e d e r i v a t i o n o f k i n e m a t i c m o d e l , i . e . d e r i v a t i o n o f j o i n t a n g l e e q u a t i o n s , i s b a s e d o n d i r e c t k i n e m a t i c s a n d i n v e r s e k i n e m a t i c s . L i n k t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x , h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x a n d D - H n o t a t i o n a r e a l s o u t i l i z e d . T h e s t a b i l i t y o f t h e r o b o t i s a n a l y z e d b y u s i n g Z M P c r i t e r i a . T o c a l c u l a t e Z M P , t h e i n d i v i d u a l l i n k a c c e l e r a t i o n s a r e n e e d e d . A n i t e r a t i o n m e t h o d i s p r o p o s e d t o a p p l y f o r t h i s m o d e l t o c a l c u l a t e l i n k l i n e a r a c c e l e r a t i o n s a n d t o s t a b i l i z e t h e r o b o t w h e n w a l k i n g , a Z M P b a s e d m e t h o d i s p r o p o s e d . 1 6 C h a p t e r 3 S w i n g L e g K i n e m a t i c s o f B i p e d a l R o b o t 3 . 1 P r e l i m i n a r i e s T o m o d e l i n g o f s w i n g l e g k i n e m a t i c s i t i s n e e d e d t o s t u d y t h e b a s i c r o b o t i c s t h e o r i e s [ 1 8 ] . T h e s e t h e o r i e s c a n b e u t i l i z e d t o d e r i v e j o i n t a n g l e e q u a t i o n s . A p p l i c a t i o n o f t h e b a s i c r o b o t i c t h e o r y t o s o l v e r e a l w o r l d p f o b l e m i s o n e o f t h e g o a l s o f t h i s r e s e a r c h . I n t h i s r e s e a r c h , b o t h l e g s a r e c o n s i d e r e d a s p l a n e r m a n i p u l a t o r s . H e n c e , s t u d y i n g o f m a n i p u l a t o r k i n e m a t i c s i s m u c h i m p o r t a n t f o r d e r i v a t i o n o f k i n e m a t i c s m o d e l . 3 . 1 . 1 M a n i p u l a t o r k i n e m a t i c s K i n e m a t i c s i s t h e s c i e n c e o f m o t i o n w h i c h t r e a t s m o t i o n w i t h o u t r e g a r d t o t h e f o r c e s w h i c h c a u s e i t . W i t h i n t h e s c i e n c e o f k i n e m a t i c s o n e s t u d i e s t h e p o s i t i o n , v e l o c i t y , a c c e l e r a t i o n , a n d a l l h i g h e r o r d e r d e r i v a t i v e s o f t h e p o s i t i o n v a r i a b l e s ( w i t h r e s p e c t t o t i m e o r a n y o t h e r v a r i a b l e ( s ) ) . H e n c e , t h e s t u d y o f t h e k i n e m a t i c s o f m a n i p u l a t o r s r e f e r s t o a l l t h e g e o m e t r i c a l a n d t i m e b a s e d p r o p e r t i e s o f t h e m o t i o n . T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s e m o t i o n s a n d t h e f o r c e s a n d t o r q u e s w h i c h c a u s e t h e m t h e p r o b l e m o f d y n a m i c s . I n o r d e r t o d e a l w i t h t h e c o m p l e x g e o m e t r y o f a m a n i p u l a t o r i t w i l l a f f i x f r a m e s t o t h e v a r i o u s p a r t s o f t h e m e c h a n i s m a n d t h e n d e s c r i b e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s e f r a m e s . T h e s t u d y o f m a n i p u l a t o r k i n e m a t i c s i n v o l v e s , a m o n g o t h e r t h i n g s , h o w t h e l o c a t i o n s o f t h e s e f r a m e s c h a n g e a s t h e m e c h a n i s m a r t i c u l a t e s . T h e m e t h o d m e n t i o n e d i n t h i s s u b t o p i c i s t o c o m p u t e t h e p o s i t i o n a n d o r i e n t a t i o n o f t h e m a n i p u l a t o r ' s e n d - e f f e c t o r r e l a t i v e t o t h e b a s e o f t h e m a n i p u l a t o r a s a f u n c t i o n o f t h e j o i n t v a r i a b l e s . 3 . 1 . 2 L i n k D e s c r i p t i o n A m a n i p u l a t o r m a y b e t h o u g h t o f a s a s e t o f b o d i e s c o n n e c t e d i n a c h a i n b y j o i n t s . T h e s e b o d i e s a r e c a l l e d l i n k s . E a c h j o i n t u s u a l l y e x h i b i t s o n e d e g r e e o f f r e e d o m . M o s t m a n i p u l a t o r s h a v e j o i n t s w h i c h a r e l i k e h i n g e s , c a l l e d r e v o l u t e j o i n t s , o r h a v e s l i d i n g j o i n t s c a l l e d p r i s m a t i c j o i n t s . I n t h e r a r e c a s e t h a t a m e c h a n i s m i s b u i l t w i t h a j o i n t h a v i n g n d e g r e e s o f f r e e d o m , i t c a n b e m o d e l e d a s n j o i n t s o f o n e d e g r e e f r e e d o m c o n n e c t e d w i t h n - 1 l i n k s o f z e r o l e n g t h . T h e r e f o r e , w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , i t w i l l c o n s i d e r o n l y m a n i p u l a t o r s w h i c h h a v e j o i n t s w i t h a s i n g l e d e g r e e o f f r e e d o m . T h e l i n k s a r e n u m b e r e d s t a r t i n g f r o m t h e i m m o b i l e b a s e o f t h e a r m , w h i c h m i g h t b e c a l l e d l i n k 0 . T h e f i r s t m o v i n g b o d y i s l i n k 1 , a n d s o o n , o u t t o t h e f r e e e n d o f t h e a r m , w h i c h i s l i n k n . I n o r d e r t o p o s i t i o n e n d - e f f e c t o r g e n e r a l l y i n 3 - s p a c e , a m i n i m u m o f 6 1 7 , l l i n t s a r e r e q u i r e d . T y p i c a l m a n i p u l a t o r s h a v e 5 o r 6 j o i n t s . S o m e r o b o t s m a y a c t u a l l y 1 1 0 t b e a s s i m p l e a s a s i n g l e k i n e m a t i c c h a i n - t h e y m a y h a v e p a r a l l e l o g r a m l i n k a g e s o r 1 1 t h e r c l o s e d k i n e m a t i c s t r u c t u r e s . \ s i n g l e l i n k o f a t y p i c a l r o b o t h a s m a n y a t t r i b u t e s w h i c h a m e c h a n i c a l d e s i g n e r h a d t o ~.·onsider d u r i n g i t s d e s i g n . T h e s e i n c l u d e t h e t y p e o f m a t e r i a l u s e d , t h e s t r e n g t h a n d : ; t i f f n e s s o f t h e l i n k , t h e l o c a t i o n a n d t y p e o f t h e j o i n t b e a r i n g , t h e e x t e r n a l s h a p e , t h e \ \ · e i g h t a n d i n e r t i a e t c . H o w e v e r , f o r t h e p u r p o s e s o f o b t a i n i n g t h e k i n e m a t i c s e q u a t i o n s o f t h e m e c h a n i s m , a l i n k i s c o n s i d e r e d o n l y a s a r i g i d b o d y w h i c h d e f i n e s t h e , · c l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o n e i g h b o r i n g j o i n t a x e s o f a m a n i p u l a t o r . J o i n t a x e s a r e J e f i n e d b y l i n e s i n s p a c e . J o i n t a x i s i i s d e f i n e d b y a l i n e i n s p a c e , o r a v e c t o r d i r e c t i o n , a b o u t w h i c h i r o t a t e s r e l a t i v e t o l i n k i - 1 . I t t u r n s o u t t h a t f o r k i n e m a t i c p u r p o s e s , a l i n k c a n b e s p e c i f i e d w i t h t w o n u m b e r s w h i c h defin~ t h e r e l a t i v e l o c a t i o n o f t h e t w o a x e s i n s p a c e . I o r a n y t w o a x e s i n 3 - s p a c e t h e r e e x i s t s a w e l l - d e f i n e d m e a s u r e o f d i s t a n c e b e t w e e n t h e m . T h i s d i s t a n c e i s m e a s u r e d a l o n g a l i n e w h i c h u s m u t u a l l y p e r p e n d i c u l a r t o b o t h . t x e s . T h i s m u t u a l p e r p e n d i c u l a r a l w a y s e x i s t s a n d i s u n i q u e e x c e p t w h e n b o t h a x e s a r e p a r a l l e l , i n w h i c h c a s e t h e r e a r e m a n y m u t u a l p e r p e n d i c u l a r o f e q u a l l e n g t h . F i g u r e 1 l . l ) s h o w s l i n k i - 1 a n d t h e m u t u a l l y p e r p e n d i c u l a r l i n e a l o n g w h i c h t h e l i n k l e n g t h , u , 1 i s m e a s u r e d . T h e s e c o n d p a r a m e t e r n e e d e d t o d e f i n e t h e r e l a t i v e l o c a t i o n o f t h e t w o a x e s i s c a l l e d t h e l i n k t w i s t . I f w e i m a g i n e a p l a n e w h o s e n o r m a l i s t h e m u t u a l l y p e r p e n d i c u l a r l i n e j u s t c o n s t r u c t e d , i t c a n b e p r o j e c t e d t h a t b o t h a x e s i - 1 a n d i o n t o t h i s p l a n e a n d m e a s u r e t h e a n g l e b e t w e e n t h e m . T h i s a n g l e i s m e a s u r e d f r o m a x i s i - 1 t o a x i s i i n t h e r i g h t h a n d s e n s e a b o u t a i - J . W e w i l l u s e t h i s d e f i n i t i o n o f t h e t w i s t o f I i n k i - 1 , a , _ 1 • I n F i g u r e ( 3 . 1 ) a , _ 1 i s i n d i c a t e d a s t h e a n g l e b e t w e e n a x i s i - 1 a n d a x i s i . . . - \ . . ' \ l . S l - 1 L u l l : I - I . - \ . x H ! F i g u r e 3 . 1 : R e l a t i o n s h i p o f l i n k l e n g t h a n d l i n k t w i s t 1 8 .~· 3 . 1 . 3 L i n k p a r a m e t e r s A n y r o b o t c a n b e d e s c r i b e d k i n e m a t i c a l l y b y g i v i n g t h e v a l u e s o f f o u r q u a n t i t i e s f o r e a c h l i n k . T w o d e s c r i b e t h e l i n k i t s e l f , a n d t w o d e s c r i b e t h e l i n k ' s c o n n e c t i o n t o a n e i g h b o r i n g l i n k . I n t h e u s u a l c a s e o f a r e v o l u t e j o i n t , ( ) ; i s c a l l e d t h e j o i n t v a r i a b l e , a n d t h e o t h e r t h r e e q u a n t i t i e s w o u l d b e f i x e d l i n k p a r a m e t e r s a s s h o w n i n F i g u r e ( 3 . 2 ) . F o r p r i s m a t i c j o i n t s , d , i s t h e j o i n t v a r i a b l e a n d t h e o t h e r t h r e e q u a n t i t i e s a r e f i x e d l i n k p a r a m e t e r s . T h e d e f i n i t i o n o f m e c h a n i s m s b y m e a n s o f t h e s e q u a n t i t i e s i s a c o n v e n t i o n u s u a l l y c a l l e d t h e D e n a v i t - H a r t e n b e r g n o t a t i o n . A . . ' " " 1 - I L i n k i - l A x i s i -~ . / ...........--Lin~ F i g u r e 3 . 2 : P a r a m e t e r s u s e d t o d e s c r i b e t h e c o n n e c t i n g b e t w e e n n e i g h b o r i n g l i n k s A T h a t ( ) " = 0 . 0 a n d t h e o r i g i n o f f r a m e { N } i s c h o s e n a t t h e i n t e r s e c t i o n o f X N - J a n d j o i n t a x i s n w h e n d " = 0 . 0 I f t h e l i n k f r a m e s h a v e b e e n a t t a c h e d t o t h e l i n k s a c c o r d i n g t o o u r c o n v e n t i o n , t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n s o f t h e l i n k p a r a m e t e r s a r e v a l i d . A A A a , = t h e d i s t a n c e f r o m z , t o Z , + l m e a s u r e d a l o n g X , , A A a , = t h e a n g l e b e t w e e n z , a n d z , + J m e a s u r e d a b o u t X , , A A A d , = t h e d i s t a n c e f r o m X 1 - 1 t o X m e a s u r e d a l o n g Z , a n d A A A B , = t h e a n g l e b e t w e e n X 1 - 1 a n d X , m e a s u r e d a b o u t Z , W e u s u a l l y c h o o s e a ) 0 s i n c e i t c o r r e s p o n d s t o a d i s t a n c e , h o w e v e r , a , , d , a n d B ; a r e s i g n e d q u a n t i t i e s . 1 9 9~5~7 c l i l l · c o n v e n t i o n o u t l i n e d a b o v e d o e s n o t r e s u l t i n a u n i q u e a t t a c h m e n t o f f r a m e s t o ( \ l l l l h . s . F i r s t o f a l l , w h e n w e f i r s t a l i g n t h e Z , a x i s w i t h j o i n t a x i s i , t h e r e a r e t w o c h o i c e s ( > . ( ' l \ i r e c t i o n i n w h i c h t o p o i n t Z , . F u r t h e r m o r e , i n t h e c a s e o f i n t e r s e c t i n g j o i n t a x e s ( \ 1 : a , = 0 ) , t h e r e a r e t w o c h o i c e s f o r t h e d i r e c t i o n o f X , , c o r r e s p o n d i n g t o t h e c h o i c e ( \ ( \ ( · i ~igns f o r t h e n o r m a l t o t h e p l a n e c o n t a i n i n g Z , a n d Z 1 + l • A l s o , w h e n p r i s m a t i c i ' ' l n t s a r e p r e s e n t t h e r e i s q u i t e a b i t o f f r e e d o m i n f r a m e a s s i g n m e n t . J . I A D e r i v a t i o n o f l i n k t r a n s f o r m a t i o n s " I >~.termination o f t h e t r a n s f o r m w h i c h d e f i n e s f r a m e { i } r e l a t i v e t o t h e f r a m e { i - 1 } . I n ~encral, t h i s t r a n s f o r m a t i o n w i l l a f u n c t i o n o f t h e f o u r l i n k p a r a m e t e r s . F o r a n y g i v e n l \ l h o t , t h i s t r a n s f o r m a t i o n w i l l b e a f u n c t i o n o f o n l y o n e v a r i a b l e , t h e o t h e r t h r e e p a r a m e t e r s b e i n g f i x e d b y m e c h a n i c a l d e s i g n . B y d e f i n i n g a f r a m e f o r e a c h l i n k w e h a \ e b r o k e n t h e k i n e m a t i c s p r o b l e m i n t o n s u b p r o b l e m s . I n o r d e r t o s o l v e e a c h o f u w s e s u b p r o b l e m s , n a m e l y ~-~T , w e w i l l f u r t h e r b r e a k t h e p r o b l e m i n t o f o u r s u b - ~uhproblems. E a c h o f t h e s e f o u r t r a n s f o r m a t i o n s w i l l b e a f u n c t i o n o f o n e l i n k pc~rameter o n l y , a n d w i l l b e s i m p l e e n o u g h t h a t w e c a n w r i t e d o w n i t s f o r m b y i 1 1 s p e c t i o n . W e b e g i n b y d e f i n i n g t h r e e i n t e r m e d i a t e d f r a m e s f o r e a c h l i n k , n a m e l y : : J ' f . { Q } , a n d { R } . \ . x i s i - 1 A x i a i F i g u r e 3 . 3 : A t t a c h m e n t o f f r a m e { i } r i g i d l y t o t h e l i n k i F t g u r e ( 3 . 3 ) s h o w s t h e s a m e p a i r o f j o i n t s a s b e f o r e w i t h f r a m e s { P } , { Q } a n d { R } d e f i n e d . ( \ ( \ N l l t e t h a t o n l y t h e X a n d Z a x e s a r e s h o w n f o r e a c h f r a m e t o m a k e t h e d r a w i n g c l e a r e r . F r a m e { R } d i f f e r s f r o m f r a m e { i - 1 } o n l y b y a r o t a t i o n o f a , _ 1 • F r a m e { Q } d i f f e r s f r o m { R } b y a t r a n s l a t i o n a , _ 1 . F r a m e { P } d i f f e r s f r o m { Q } b y a r o t a t i o n B , , a n d h a m e { i } d i f f e r s f r o m { P } b y a t r a n s l a t i o n d ; . I f w e w i s h t o w r i t e t h e t r a n s f o r m a t i o n w h i c h t r a n s f o r m s v e c t o r s d e f i n e d i n { i } t o t h e i r d e s c r i p t i o n i n { i - 1 } w e m a y w r i t e 2 0 / ' = 1 · 1 T l i T ( } T l ' T I I I ( } I ' 1 p ( 3 . 1 ) 1 : l ' = I - 1 T 1 P I ( 3 . 2 ) \ \ h e r e T = l - l T 1 1 T I J T F T I I ( } I ' I ( 3 . 3 ) 1 . u n s i d e r i n g e a c h o f t h e s e t r a n s f o r m a t i o n s t h e e q u a t i o n w r i t t e n a~: 1 \ 1 \ 1 \ ( \ T = Rot(X~,a 1 _ 1 ) T r a n s ( X , , a 1 _ J R o t ( Z , , B , ) T r n a s ( Z ; , d J ( 3 . 4 ) \ I I A A r = S c r e w ( X , , a , _ P a i - I ) S c r e w ( Z , , d , , B , ) ( 3 . 5 ) A A \ \ h e r e S c r e w ( Q , r , c D ) s t a n d s f o r a t r a n s l a t i o n a l o n g a n a x i s Q b y a d i s t a n c e r , a n d a r o t a t i o n a b o u t t h e s a m e a x i s b y a n a n g l e c D . M u l t i p l y i n g o u t ( 3 . 4 ) w e o b t a i n t h e g e n e r a l . f l - I T l n n n o , . c e , - s e , 0 a , _ l 7 = I S B , C a , _ 1 c e i c a , _ 1 - S a 1 J - - S a , _ 1 d , ( 3 . 6 ) S B , S a 1 _ 1 C B , S a , _ 1 C a , _ 1 C a ; _ 1 d , 0 0 0 3 . 1 . 5 C o n c a t e n a t i n g l i n k t r a n s f o r m a t i o n s t _ ! n e e t h e l i n k f r a m e s h a v e b e e n d e f i n e d a n d t h e c o r r e s p o n d i n g l i n k p a r a m e t e r s f o u n d , J c v e l o p i n g t h e k i n e m a t i c e q u a t i o n s i s s t r a i g h t f o r w a r d . U s i n g t h e v a l u e s o f t h e l i n k p a r a m e t e r s t h e i n d i v i d u a l l i n k t r a n s f o r m a t i o n m a t r i c e s c a n b e c o m p u t e d . T h e n , t h e l i n k t r a n s f o r m a t i o n s c a n b e m u l t i p l i e d t o g e t h e r t o f i n d t h e s i n g l e t r a n s f o r m a t i o n t h a t r e l a t e s l i · a m e { N } t o f r a m e { o } : ( ) T O T I T 2 T N - I T x - 1 2 3 · · · N ( 3 . 7 ) T I 1 1 S t r a n s f o r m a t i o n , ,~Twill b e a f u n c t i o n o f a l l n j o i n t v a r i a b l e s . I f t h e r o b o t ' s j o i n t p o s i t i o n s e n s o r s a r e q u e r i e d , t h e C a r t e s i a n p o s i t i o n a n d o r i e n t a t i o n o f t h e l a s t l i n k m a y b e c o m p u t e d b y ,~T . 2 1 .~.2 D e r i v a t i o n o f j o i n t a n g l e e q u a t i o n s f o r s w i n g l e g I , ) d e r i v e t h e j o i n t a n g l e e q u a t i o n s , t h e d i r e c t k i n e m a t i c s a n d i n v e r s e k i n e m a t i c s t h e o r i e s . t : L ' u s e d . H ):~ y E h e s L • L c L 3 . . . T \ - - 0 . \--~~.~~-·-·c.-;'-:;_· ·":'i;·--~~:."' . . . . . . - . ---~ \~~~ X , ; c : . F i g u r e 3 . 4 : R o b o t l o w e r b o d y a n d n o m e n c l a t u r e l~y u t i l i z i n g t h e l i n k d e s c r i p t i o n t h e o r i e s a n d b y i n s p e c t i n g t h e a b o v e d i a g r a m t h e D - H t a b l e o f s w i n g l e g c a n b e o b t a i n e d a s : a i - 1 a i - 1 d i - 1 8 i - 1 1 0 0 0 - 8 1 2 0 L 1 0 - 8 2 3 0 L 2 0 - 8 3 T a b l e 3 . 1 : D - H p a r a m e t e r s o f s w i n g l e g I o r a p l a n e r s e r i a l m a n i p u l a t o r t h e l i n k t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x i s g i v e n b y t h e e q u a t i o n ( ~ . 6 ) a s , c e , - s e I 0 a , . J 1 T = I s e , c a , _ 1 C B , C a H - S a H - S a , _ 1 d ; . S B , S a , _ 1 c e , s a , _ 1 C a , _ 1 C a , _ 1 d , 0 0 0 1 L n t h 1 s s w i n g L e g , n u m b e r o f l i n k s a r e 3 . T h e r e t o r e t h e i n d i v i d u a l l i n k t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x c a n b e o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g i = 1 , 2 , 3 f o r g e n e r a l e q u a t i o n s a s : 2 2 ' = 1 . - e e 1 - S e 1 0 0 : r = I s e l e e l 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 L 1 - e e 2 - s e 2 0 L l s e 2 e e 2 0 0 0 0 1 0 I J 0 0 0 1 L ( / / l ( ( I c e - s e 0 L 2 se~ 3 c e 0 0 - 1 ' 3 l ~ 0 1 0 0 0 1 T h l ' n t h e m a t r i x ~T c a n b e d e r i v e d b y u s i n g t h e r e l a t i o n s h i p i n e q u a t i o n ( 3 . 7 ) a s o - , r 1 T 1 T 2 T 1 ' I X 2 X 3 S 1 1 n p l i f y i n g t o , c e 1 2 3 - s e 1 2 3 0 L 2 e e 1 2 + L 1 e e 1 . - s e p , i = I - - e e 1 2 3 0 - [ L 2 S e 1 2 + L 1 S e 1 ] e e = c o s e , e e 1 2 3 = c o s ( e 1 + e 2 + e 3 ) 0 0 1 0 s e = s i n e , s e 1 2 3 = s i n ( e l + e 2 + e 3 ) 0 0 0 1 T h i s i s t h e h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x f o r t h e s w i n g l e g . 2 3 3 . 2 . 1 D e r i v a t i o n o f e q u a t i o n f o r j o i n t a n g l e 8 2 T o p e r f o r m i n v e r s e k i n e m a t i c s o p e r a t i o n i t i s n e e d e d t o s u g g e s t e n d e f f e c t e r m a t r i x a s b e l o w , c o s ¢ - s i n ¢ 0 X i - - s i n ¢ c o s ¢ 0 - Y X = X - x 1 C o s a 0 0 1 0 Y = - [ H + x 1 S i n a - y ] 0 0 0 1 T h i s m o d e l c a n b e u t i l i z e d i f k n o w n p a r a m e t e r s a r e p o s e a n d t > r i e n t a t i o n a n d u n k n o w n s a r e j o i n p a r a m e t e r s . P o s e a n d O r i e n t a t i o n _ . I n v e r s e k i n e m a t i c s _ . M o d e l _ . J o i n t - . P a r a m e t e r s I n s w i n g l e g k i n e m a t i c s m o d e l w e k n o w t h e p o s e a n d o r i e n t a t i o n o f t h e f o o t ( e n d e f f e c t e r ) u t i l i z i n g t r a j e c t o r y g e n e r a t i o n , u n k n o w n s a r e j o i n t a n g l e s . H e n c e i n v e r s e k i n e m a t i c s m o d e l i s s u i t a b l e t o s o l v e t h i s p r o b l e m . B y u s i n g i n v e r s e k i n e m a t i c s , t h a t i s e q u a t i n g h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x a n d e n d e f f e c t e r m a t r i x t h e f o l l o w i n g t w o e q u a t i o n s c a n b e o b t a i n e d . B y e q u a t i n g , • E l e m e n t ( 4 , 1 ) o f h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x a n d ( 4 , 1 ) o f e n d e f f e c t e r m a t r i x E l e m e n t ( 4 , 2 ) o f h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x a n d ( 4 , 2 ) o f e n d e f f e c t e r m a t r i x X = l 2 C 1 2 + l 1 C 1 y = L 2 S I 2 + L I S ] S q u a r e X a n d Y t h e n a d d i n g [ X 2 + Y 2 -L~ -L~- c o s B J = = C 2 - 2 L 1 L 2 h S ~I - c o s 2 B , T e n 2 = - B 2 = A t a n 2 [ S 2 , C 2 ] ( 3 . 8 ) T h e f u n c t i o n A t a n 2 [ S 2 , C 2 ] r e p r e s e n t t a n - 1 ( S 2 / C 2 ) . B u t , u s e s t h e s i g n o f b o t h S 2 a n d c 2 t o d e t e r m i n e t h e q u a d r a n t i n w h i c h t h e r e s u l t i n g a n g l e l i e s . 2 4 l 3 . 2 . 2 D e r i v a t i o n o f e q u a t i o n f o r j o i n t a n g l e B 1 A f t e r d e r i v e d 8 2 , w e h a v e t o d e r i v e d a n e q u a t i o n f o r 8 1 X = l 1 C 1 + L 2 C 1 2 y = l 1 S 1 + l 2 S 1 2 R e - w r i t i n g t h e X a n d Y , b y i n t r o d u c i n g K 1 , K 2 . X = K 1 C 1 - K 2 S 1 Y = K 1 S 1 + K 2 C 1 W h e r e K I = L I + L 2 C 2 K 2 = L 2 S 2 P e r f o r m i n g c h a n g e o f v a r i a b l e s I f , r = ~(K 1 2 + K i ) A n d y = A t a n 2 ( K 2 , K 1 ) K I = r c o s r T h e n K 2 = r s i n y T h e e q u a t i o n ( 3 . 1 1 ) a n d ( 3 . 1 2 ) c a n b e r e w r i t e a s , + = C O S r C O S [ ) I - s i n y S i n [ ) 1 ~- = C O S y s i n [ ) 1 + s i n r C O S [ ) 1 c o s ( y + B 1 ) = + s i n ( y + B 1 ) = f . . . r + [ ) = A t a n 2 [ L X ] I r ' r t h e n , B 1 = A t a n 2 [ Y , X ] - A t a n 2 [ K 2 , K 1 ] 3 . 2 . 3 D e r i v a t i o n o f e q u a t i o n f o r j o i n t a n g l e 8 3 ; ( 3 . 9 ) ( 3 . 1 0 ) ( 3 . 1 1 ) ( 3 . 1 2 ) ( 3 . 1 3 ) A f t e r d e r i v a t i o n o f B 1 a n d B 2 t h e a n g l e B 3 c a n b e o b t a i n e d u s i n g t h e c o n c e p t " I n a s e r i a l m a n i p u l a t o r t h e l a s t j o i n t a n g l e i s e q u a l t o t o t a l o f p r e v i o u s j o i n t a n g l e s " T h e r e f o r e , [ ) 3 = B 1 + [ ) 2 + a ( 3 . 1 4 ) W h e r e a i s t h e a n g l e o f s l o p e . 2 5 C h a p t e r 4 G a i t D e v e l o p m e n t B e f o r e a b i p e d a l r o b o t c a n w a l k , a g a i t o r w a l k i n g p a t t e r n m u s t b e d e v e l o p e d f o r t h e r o b o t t ( \ f o l l o w . T h e r e a r e m a n y d i f f e r e n t w a y s [ 1 9 ] o f d o i n g t h i s , h o w e v e r t h e a i m o f g a i t d e \ d o p m e n t i s t o p r o d u c e a g a i t w h i c h i s d y n a m i c a l l y s t a b l e . I f t h e g a i t i s d y n a m i c a l l y s t a b l e . w h e n t h e r o b o t w a l k s a c c o r d i n g t o t h e g a i t i n t h e a b s e n c e o f e x t e r n a l d i s t u r b a n c e s , i t \ \ i I I a c h i e v e d y n a m i c w a l k i n g . H o w e v e r , i f t h e g a i t i s n o t d y r f a m i c a l l y s t a b l e t h e n t h e r o b o t w i l l f a l l o v e r , s i n c e t h e s y s t e m w i l l b e u n s t a b l e . W a l k i n g i s a r e p e t i t i v e m o t i o n , w h i c h c o n s i s t s o f t w o m a i n p h a s e s w h i c h a l t e r n a t e o n e a c h k t : 1 . D o u b l e s u p p o r t p h a s e T h i s p h a s e e x i s t s w h e n b o t h f e e t a r e i n s o l i d c o n t a c t w i t h t h e g r o u n d p l a n e . I n t h i s p h a s e t h e r o b o t i s s t a b l e w i t h a r e l a t i v e l y l a r g e s u p p o r t b a s e . T h e s y s t e m e n t e r s t h i s s t a t e w h e n t h e f r o n t f o o t c o n t a c t s t h e g r o u n d , a n d l e a v e s t h i s s t a t e w h e n t h e r e a r f o o t b r e a k s c o n t a c t w i t h t h e g r o u n d . 2 . S i n g l e s u p p o r t p h a s e o r s w i n g p h a s e T h i s p h a s e e x i s t s w h e r e o n l y o n e f o o t i s i n s o l i d c o n t a c t w i t h t h e g r o u n d p l a n e . D u r i n g t h i s p h a s e t h e c e n t r e o f m a s s ( C O M ) o f t h e r o b o t r o t a t e s a b o u t t h i s c o n t a c t p o i n t i n t h e m a n n e r o f a n i n v e r s e p e n d u l u m , w h i l e t h e o t h e r l e g k n o w n a s t h e s w i n g l e g t r a n s l a t e s i n p r e p a r a t i o n t o c o m e i n c o n t a c t w i t h t h e g r o u n d f o r t h e n e x t d o u b l e s u p p o r t p h a s e . T h e s y s t e m s e n t e r s t h i s s t a t e w h e n t h e s w i n g l e g f o o t b r e a k s c o n t a c t w i t h t h e g r o u n d a n d l e a v e s t h i s s t a t e w h e n t h e s w i n g l e g f o o t c o n t a c t s t h e g r o u n d . T h i s c y c l e c a n b e s e e n i n F i g u r e ( 4 . 1 ) . A s c a n b e s e e n f r o m t h e s t a t e d i a g r a m , t h e w a l k i n g p a t t e r n a l t e r n a t e s t h e s i n g l e s u p p o r t p h a s e s b e t w e e n e a c h l e g , i n t e r s p e r s e d w i t h a d o u b l e s u p p o r t p h a s e b e t w e e n e a c h a l t e r n a t i o n . R I G H T L E G L E F T L E G \ , . @ 2 t o e o f f I " L . } \ 1 1 2 l~ 4 F i g u r e 4 . 1 : I l l u s t r a t i o n o f t h e g a i t c y c l e a n d d y n a m i c b i p e d w a l k i n g 2 6 '-'(>~llL' d i f f e r e n t a p p r o a c h e s t o g a i t d e v e l o p m e n t a r e d i s c u s s e d b e l o w . - L 1 I n t u i t i v e a p p r o a c h I l l , · m t u i t i v e a p p r o a c h t o g a i t d e v e l o p m e n t i s n o t d i r e c t l y b a s e d u p o n d y n a m i c p r i n c i p l e s , r a t 1\~_'r i t i s m o r e a m e t h o d o f b u i l d i n g o n e s t e p o f t h e g a i t a t a t i m e . T h i s i s a c h i e v e d b y t . : : \ ! 1 L T i m e n t a l m o d i f i c a t i o n o f t h e g a i t b y e x a m i n i n g t h e p e r f o r m a n c e o f t h e g a i t o n t h e r o h u t T h i s a p p r o a c h , h a s n o p r e v i o u s l y k n o w n d a t a t o c o m p a r e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e r o b o t a g a i n s t , a n d t h e r e f o r e w e c a n n o t g e n e r a t e a p e r f o r m a n c e m e a s u r e f o r t h e g a i t . W 1 t h o u t s u c h a q u a n t i t a t i v e m e a s u r e w e c a n o n l y o b s e r v e t h e r o b o t w h i l e i t i s e n a c t i n g t h e g a i t t o d e t e r m i n e t h e s t a b i l i t y o f t h e g a i t . F o r t h i s r e a s o n t h e a p p r o a c h i s c a l l e d i n t u i t i v e . T h 1 ' m e t h o d w a s c h o s e n f i r s t t o d e v e l o p a g a i t d u e t o i t s s i m p l e " n a t u r e . T h e a n a l y t i c a l a p p r o a c h e s a r e c o m p l e x a n d o f t e n h a v e n o s o l u t i o n o r n o u n i q u e s o l u t i o n . A n i n t u i t i v e a p p r o a c h a l l o w s t h e c o n s i d e r a t i o n o f m o r e s u b j e c t i v e m e a s u r e s s u c h a s d e v e l o p i n g t h e g a i t t h r u u g h e x a m i n a t i o n o f t h e h u m a n g a i t , w h i c h i s h i g h l y e f f i c i e n t . I n t h i s w a y , t h r o u g h m a n y t r i a l s a n d e x a m i n a t i o n s o f t h e b e h a v i o u r o f t h e r o b o t , a n i n t u i t i Y e u n d e r s t a n d i n g i s b u i l t u p w h i c h a l l o w s a r e a s o n a b l e d y n a m i c a l l y s t a b l e g a i t t o b e d e ' e l o p e d . U s i n g t h i s m e t h o d , j o i n t a n g l e s w e r e d e t e r m i n e d o v e r t i m e , a n d a l l o w e d t h e r o h 1 ) t t o t a k e t h r e e s t e p s b e f o r e f a l l i n g o v e r w i t h o u t f e e d b a c k a n d c o n t r o l . T h i s s h o w s t h a t a l t h P u g h t h e i n t u i t i v e a p p r o a c h i s n o t a s o b j e c t i v e a n d t h e o r e t i c a l l y g r o u n d e d i n t h e d y n a m i c s o f t h e r o b o t s y s t e m , i t c a n b e s u c c e s s f u l i n a l l o w i n g a d y n a m i c a l l y s t a b l e g a i t t o b e r a p i d l y d e v e l o p e d . O f m o r e i m p o r t a n c e i s t h e e x p e r i e n c e a n d u n d e r s t a n d i n g o f t h e s y s t e m w h i c h w a s g a i n e d t h r o u g h t h i s m e t h o d . - U P e r i o d i c f u n c t i o n a p p r o a c h O n , · m a j o r d r a w b a c k t o t h e i n t u i t i v e a p p r o a c h i s t h a t t h e g a i t w h i c h i s d e v e l o p e d i s n o t e a s i l y s c a l a b l e . F o r e x a m p l e , p a r a m e t e r s w h i c h w e m i g h t l i k e t o a l t e r s u c h a s s t e p l e n g t h , s t e p h e i g h t o r s t e p p e r i o d c a n n o t e a s i l y b e a l t e r e d o f f l i n e , a n d a r e e v e n m o r e d i f f i c u l t t o a l t e r w h i l e t h e r o b o t i s i n m o t i o n . T o u n d e r s t a n d w h y w e w o u l d w a n t s u c h p a r a m e t e r s , w e n e e d t o c o n s i d e r t h e e n t i r e w a l k i n g c y c l e . T h e w a l k i n g c y c l e b e g i n s w i t h t h e r o b o t s t a t i o n a r y , a n d a c c e l e r a t e s t o t h e d e s i r e d v e l o c i t y . T h e c y c l e e n d s w i t h t h e r o b o t d e c e l e r a t i n g a n d e v e n t u a l l y c o m i n g t o r e s t . I n o r d e r t o v a r y t h e v e l o c i t y , w e r e q u i r e a m e t h o d o f s c a l i n g t h e g a i t u n d e r d i f f e r e n t s i t u a t i o n s . I n t h i s m a n n e r , w e c a n d e v e l o p a s i n g l e s e t o f j o i n t a n g l e r e l a t i o n s h i p s o v e r t i m e t h a t c o m p l e t e l y s p e c i f y t h e w a l k i n g g a i t a n d a l l o w t h e v a r i a t i o n o f t h e d e s i r e d p a r a m e t e r s . S i n c e w a l k i n g i s a r e p e t i t i v e m o t i o n w h i c h r e p e a t s o v e r t i m e , w e u s e p e r i o d i c f u n c t i o n s a s a b a s i s f o r d e v e l o p i n g t h e g a i t . I n t h i s w a y , w e c a n s p e c i f y t h e p e r i o d o f t h e s t e p . F u r t h e r , i n o r d e r t o s p e c i f y p a r a m e t e r s f o r c h a n g i n g t h e s t e p l e n g t h a n d s t e p h e i g h t , w e s p e c i f y t h e t r a j e c t o r y o f t h e f o o t o v e r t i m e . T h i s a l l o w s u s t o s o l v e f o r t h e r e q u i r e d a n g l e s o f t h e l e g l i n k j o i n t a n g l e s . 2 7 - L 3 F o o t t r a j e c t o r y t \ s m e n t i o n e d a b o v e , s p e c i f y i n g t h e f o o t t r a j e c t o r y o v e r t i m e a l l o w s t h e p a r a m e t e r s o f s t e p l e n g t h a n d s t e p h e i g h t t o b e i n t r o d u c e d t o t h e g a i t . U s i n g i n v e r s e k i n e m a t i c s , w e c a n t h e n s o l v e f o r t h e j o i n t a n g l e s o f t h e l e g l i n k s o v e r t i m e , t h e r e b y s p e c i f y i n g t h e g a i t . W h e n c o n s i d e r i n g t h e f o o t t r a j e c t o r y , w e c o n s i d e r t h e p e r i o d a s o n e s t e p . I n t h i s w a y w e o n l y n e e d t o c o n s i d e r t h e s w i n g l e g f o o t t r a j e c t o r y s i n c e t h e s u p p o r t l e g f o o t i s i n c o n t a c t w i t h t h e f l o o r , a n d t h e r e f o r e s t a t i o n a r y . W e c a n s p e c i f y a n y t r a j e c t o r y a s b e l o w ; ( i ) ( i i ) ( i i i ) u s e o f a p - d e g r e e p o l y n o m i a l a s i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n c u b i c p o l y n o m i a l t r a j e c t o r i e s L i n e a r f u n c t i o n w i t h p a r a b o l i c b l e n d s . . I n t h i s r e s e a r c h , c u b i c p o l y n o m i a l t r a j e c t o r y i s s e l e c t e d t o d e s c r i b e t h e p a t h o f t h e a n k l e o f s w i n g l e g a s , 2 3 y = a 0 + a 1 x + a 2 x + a 3 x T o d e s c r i b e t h e f o o t t r a j e c t o r y t h e c o n s t a n t s a 0 , a 1 , a 2 , a 3 n e e d t o b e f o u n d . T o f i n d o u t t h e c o n s t a n t s f o l l o w i n g k n o w n x a n d y v a l u e s c a n b e u s e d . B y s u b s t i t u t i n g t h e s e k n o w n v a l u e s t o t h e c u b i c p o l y n o m i a l e q u a t i o n a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n x a n d y i s o b t a i n e d . A t x = x i c o s a , y = x 1 s i n a A t x = ( x i c o s a + x 2 c o s a ) / 2 , y = x 2 s i n a + f 1 2 A t x = ( x 2 c o s a + x 3 c o s a ) / 2 y = x 3 s i n a + f l 2 A t x = x 3 c o s a , y = x 3 s i n a T o f i n d o u t t h e y v a l u e s r e l a t i v e t o t h e d i f f e r e n t x v a l u e s t h e a b o v e r e l a t i o n i s u s e d . 2 8 C h a p t e r 5 S t a n c e L e g K i n e m a t i c s 5 . 1 S t a n c e l e g m o d e l i n g I n r o b o t i c m o d e l i n g , t h e i m p l e m e n t a t i o n o f s t a n c e f o o t k i n e m a t i c s m o d e l i s i m p o r t a n t s m c e , " ( i ) t h e c y c l i c g a i t r e q u i r e m e n t s d e p e n d o n t h i s m o d e l i n g ( i i ) t h e m o v e m e n t o f t h e h i p i n f o r w a r d d i r e c t i o n i s b a s e d o n t h e s t a n c e f o o t k i n e m a t i c s m o d e l i n g l ' l l e r e f o r e , t h e s t a n c e f o o t i s n e e d t o b e o r i e n t a t e d i t s j o i n t s a c c o r d i n g t o m o v e t h e h i p i n f o r w a r d d i r e c t i o n w h i l e p e r f o r m i n g t h e s w i n g i n g o p e r a t i o n s i m u l t a n e o u s l y . T h e t i m e p n i o d m u s t b e s i m i l a r f o r b o t h c a s e s . 5 . 2 M a t h e m a t i c a l m o d e l i n g y X . _ - - - - - _ . ~~ : " " ~ ~ y e , I Y o {~ ;86~ _ L _ _ _ . X o X F i g u r e 5 . 1 : S t a n c e l e g a n d n o m e n c l a t u r e 5 . 2 . 1 D H p a r a m e t e r s f o r s t a n c e l e g I n t h i s m o d e l i n g , t h e s t a n c e l e g i s a l s o a s s u m e d t o b e a s e r i a l l i n k p l a n e r m a n i p u l a t o r i n \ \ i 1 i c h i t s b a s e i s a n k l e a n d e n d e f f e c t o r b e i n g h i p . I n t h i s c a s e , t h e n u m b e r o f l i n k i s e q u a l t n t w o s i n c e t h e s t a n c e f o o t i s s t a t i o n a r y . 2 9 1 a i - 1 a i - 1 d i 8 1 1 0 0 0 8 6 2 0 L I 0 8 s 3 0 L 2 0 0 T a b l e 5 . 1 : D H p a r a m e t e r s o f s t a n c e l e g I n t h i s c a s e B 1 = 0 a s t h e r e i s n o 3 r d l i n k . J 5 . 2 . 2 L i n k t r a n s f o r m a t i o n , h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n a n d e n d e f f e c t o r m a t r i c e s f o r s t a n c e l e g T o o b t a i n h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x f o r t h e s t a n c e l e g i t i s n e e d e d t o d e r i v e i n d i v i d u a l l i n k t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x , u s i n g t h e e q u a t i o n ( 3 . 6 ) , t h e g e n e r a l f o r m o f l i n k t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x i s , c e , - s e , 0 a , _ ] , - ] r _ 1 S B , C a I - / - ] S B , S a ; _ 1 C B , C a , _ 1 - S a , _ 1 - S a , _ 1 d , C B , S a , _ 1 C a , _ 1 C a , _ 1 d , 0 0 0 1 a n d t h e D - H t a b l e f o r s t a n c e l e g , ~T, ~T, ~T c a n b e c a l c u l a t e d a s i = 1 c e 6 - s e 6 0 0 o r = I s e 6 c e 6 o o I 0 0 1 0 0 0 0 i = 2 c e 5 1 r _ I s e . 1 - ) 0 0 - s B 5 c B 5 0 0 0 L 1 0 0 1 0 0 3 0 0 0 L 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 l h t h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x ~T c a n b e o b t a i n e d a s : 1 1 ' ' T 1 T 2 T I X 2 X 3 a~ ; c o s ( B 6 + B 5 ) - s i n ( B 6 + B J 0 L 1 c o s B 6 + L 2 c o s ( B 6 + B 5 ) ( l l · / sin([)~+ B J c o s ( [ ) 6 + B 5 ) 0 L 1 s i n B 6 + L 2 s i n ( B 6 + B J / J 0 1 0 0 0 0 1 ( 5 . 1 ) T o a p p l y i n v e r s e k i n e m a t i c s , i t i s n e e d e d t o d e f i n e t h e e n d e f f e c t o r m a t r i x f o r t h i s s t a n c e l e g . T h a t i s t h e m a t r i x t h a t d e s c r i b e s p o s i t i o n a n d o r i e n t a t i o n o f t h e h i p r e f e r e n c e t o t h e a n k l e . B y i n s p e c t i n g t h e p a t t e r n o f t h e h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x i t c a n b e p r o p o s e d t h a t , ~·t)S r j J - s i n ¢ 0 - X o s i n ¢ c o s ¢ 0 Y o ( 5 . 2 ) 0 0 1 0 0 0 0 1 a~ t n e e n d e f f e c t o r m a t r i x . V v l w r e ¢ r e p r e s e n t s t h e o r i e n t a t i o n o f t h e h i p r e f e r e n c e t o t h e - X 0 a x i s a n d ( x 0 , Y o ) i s t h e c t w r d i n a t e s o f h i p . 5 . 2 . 3 D e r i v a t i o n o f j o i n t a n g l e e q u a t i o n s l l w - d e r i v a t i o n i s b a s e d o n t h e i n v e r s e k i n e m a t i c s t h e o r y . I n i n v e r s e k i n e m a t i c s , t h e h o m u g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x c a n b e e q u a l t o e n d e f f e c t o r m a t r i x . L 1 : e q u a t i n g e l e m e n t ( 1 , 4 ) o f h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x ( 5 . 1 ) t o e l e m e n t ( 1 , 4 ) o f e n d e t T e c t o r m a t r i x ( 5 . 2 ) t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n c a n b e o b t a i n e d . \ . - l L 1 c o s B 6 + L 2 c o s ( B 6 + B 5 ) J ( 5 . 3 ) H : e q u a t i n g e l e m e n t ( 2 , 4 ) o f h o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x ( 5 . 1 ) t o e l e m e n t ( 2 , 4 ) o f e n d e f f e c t o r m a t r i x ( 5 . 2 ) t h e e x p r e s s i o n f o r Y 0 i s a s b e l o w ; 3 1 Y0 = L 1 s i n 8 6 + L 2 s i n ( B 6 + 8 5 ) B \ s q u a r i n g ( 5 . 3 ) a n d ( 5 . 4 ) , t h e n a d d i n g \ + Y o 2 = [ L I c o s e 6 + L 2 c o s ( e 5 + e 6 ) ] 2 + [ L I s i n e 6 + L 2 s i n ( e 6 + e 5 ) ] 2 x 2 2 ? 2 , . l l S 1 1 - o + Y o + L - + L . u 5 - I 2 2 L 1 L 2 l 1 1 c r e f o r e , ' > I l l & 5 = ) 1 - c o s B 5 I I = A t a n 2 [ S 5 , C s ) 5 . . ~ M o d i f i c a t i o n o f s w i n g l e g k i n e m a t i c s " ( 5 . 4 ) ( 5 . 5 ) \ \ h e n d e r i v a t i o n o f k i n e m a t i c m o d e l f o r s w i n g l e g , i t i s a s s u m e d t h a t t h e " s w i n g l e g i s e q u a l t o 3 l i n k p l a n n e r m a n i p u l a t o r a n d i t ' s s t a t i o n a r y b a s e i s h i p a n d e n d e f f e c t o r i s a n k l e " . I n s t a n c e l e g m o d e l d e r i v a t i o n s , i t i s a s s u m e d t h a t t h e " s t a n c e l e g i s a 2 - l i n k p l a n n e r m a n i p u l a t o r w h o s e s t a t i o n a r y b a s e i s a n k l e a n d m o v i n g e n d e f f e c t o r i s h i p " . T h e s e t w o c a s e s c r e a t e a c o n t r a d i c t i o n i . e . i n f i r s t c a s e h i p i s c o n s i d e r e d a s f i x e d b u t , i n s e c o n d c a s e i t 1 s m o v i n g . T o a v o i d t h i s c o n t r a d i c t i o n , t h e s w i n g l e g k i n e m a t i c s m o d e l i s n e e d t o b e m o d i f i e d b y a d d i n g a n o t h e r c o - o r d i n a t e f r a m e t o h i p i n f i r s t c a s e a s i l l u s t r a t e d b y t h e F 1 g u r e 5 . 2 r X H · · · . . . . ; · · , y j e , l L -----~ - - r - j I~ . _ _ ,_-;,--~~+"1.- - - - ' • - - - - - - - - t~~~~~;:?:::.-----~ _ _ _ ' - ; / " ' . \ \.o~::·--- F i g u r e 5 . 2 : R o b o t l o w e r b o d y w i t h m o v i n g h i p I t : t h i s m o d i f i c a t i o n X a n d Y c o o r d i n a t e s a r e m o d i f i e d a s , = ( x - x 1 c o s a ) - x ' } = ( H + x 1 s i n a - y ) + L 1 y ( 5 . 6 ) ( 5 . 7 ) 3 2 \ \ ' h e r e , x ' i s t h e h o r i z o n t a l h i p m o v e m e n t f r o m i n i t i a l p o i n t a n d f l y i s t h e v e r t i c a l h i p n 1 0 v e m e n t f r o m i n i t i a l p o i n t . 5 . 3 . 1 T r a j e c t o r y p l a n n i n g o f h i p h p r e v i o u s c a s e , i t i s n o t e d t h a t t h e h i p i s a l s o m o v i n g s i m u l t a n e o u s l y w i t h s w i n g l e g L • p e r a t i o n . T h e r e f o r e , i t i s n e e d e d t o p r e d e f i n e t h e h i p t r a j e c t o r y . l u p l a n h i p t r a j e c t o r y , t h e r i m l e s s w h e e l s i m u l a t i o n c a n b e a d o p t e d . 5 . 3 . 2 R i m l e s s w h e e l s i m u l a t i o n " I n r i m l e s s w h e e l s i m u l a t i o n [ 2 0 ] i t i s c o n s i d e r e d a w h e e l w i t h s p o k e s a n d r i m . W h e n r u l l i n g t h e w h e e l , i t c a n b e s e e n t h a t t h e t r a j e c t o r y o f t h e c e n t r e o f t h e w h e e l i s s t r a i g h t l i n e . I n t h e c a s e o f r i m l e s s w h e e l s i m u l a t i o n , t h e t r a j e c t o r y o f t h e c e n t r e i s n o t a s t r a i g h t l i n e . I f n u m b e r o f s p o k e s i n c r e a s e s , t h i s t r a j e c t o r y c l o s e s t o a s t r a i g h t l i n e a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e ' " : : _ ) \ i / T r a j e c t o r y o f t h e · · · · · - . \ / . . . . . c e n t e r o f t h e w h e e l '"·~ • • • • • • ~·· . - : • • • • ~ . . • • • • • • • - - " " * ' - - - - . . . . . _ . . - - . . < # I . . . . " ' ' · · · · · · · . • • · • • · . . . . . . ' - ' . . . . ~,.,"' . . . . . . # # I ' . . . . . . . · · · ' ' ' / . / \~ · . . . . . . . . . . . . . , . . . . . • \ , \ / : / F i g u r e 5 . 3 : T h e s i m u l a t i o n o f r i m l e s s w h e e l H y a p p l y i n g t h i s c o n c e p t f o r h i p t r a j e c t o r y p l a n n i n g , i t c a n b e a s s u m e d t h a t t h e h i p t r a j e c t o r y i s a s t r a i g h t l i n e . I n t h e c a s e o f r a m p w a l k i n g , t h e h i p t r a j e c t o r y i s a s t r a i g h t l i n e r a r a l l e l t o t h e s l o p i n g s u r f a c e . ! h e n t h e e q u a t i o n f o r e 6 c a n b e d e r i v e d a s f o l l o w s , H y r i m l e s s w h e e l s i m u l a t i o n r e s u l t , i t c a n b e a s s u m e d t h a t , , \ H = ( t a n a ) . x P e r f o r m i n g c h a n g e o f v a r i a b l e s a n d i n t r o d u c i n g K 1 a n d K 2 8 6 c a n b e f o u n d a s , 1 1 = A t a n 2 ( Y 0 , X 0 ) - A t a n 2 ( K p K 2 ) \ \ ' h e r e , X 0 , Y 0 a s a b o v e ( 5 . 6 ) a n d ( 5 . 7 ) ! > . 1 = L 1 + L 2 c o s 8 5 I \ 2 = L 2 s i n 8 5 ( 5 . 8 ) ( 5 . 9 ) 3 3 I n b i p e d a l w a l k i n g c y c l i c g a i t c o n c e p t i s i m p o r t a n t s i n c e i t r e p e a t s t h e r o b o t p o s i t i o n o f e a c h w a l k i n g c y c l e . D u e t o t h i s r e p e t i t i o n t h e e q u a t i o n s d e r i v e d f o r o n e w a l k i n g c y c l e c a n h e u s e d f o r t h e o t h e r w a l k i n g c y c l e s a l s o . T h e b a s i c r e q u i r e m e n t f o r c y c l i c g a i t i s a s t o l l o w s ; ! I n i t i a l p o s e o f s w i n g l e g ] = [ F i n a l p o s e o f s t a n c e l e g ] I ( ) 2 ] i n i t i a l = [ ( ) 5 J t i n a l I O , ] i n i t i a l = [ 8 6 ] t i n a ! I t t h e s e r e q u i r e m e n t s a r e s a t i s f i e d , t h e s t a n c e l e g b e c o m e s s w i n g l e g i n t h e n e x t g a i t c y c l e a n d v i c e v e r s a . 5 . 3 . 3 C a l c u l a t i o n s o f h i p m o v e m e n t \ \ h e n s w i n g l e g m o v e s o n e s t e p l e n g t h i t i s n e e d e d t o f i n d t h e d i s t a n c e o f h i p m o v e m e n t t o m a i n t a i n c y c l i c g a i t r e q u i r e m e n t s . I n t h i s r e s e a r c h , u s e d a g r a p h i c a l m e t h o d t o f i n d h i p m o v e m e n t d i s t a n c e . T h e s t e p s o f t h i s g r a p h i c a l m e t h o d a r e a s f o l l o w s . F i n d i n i t i a l p o s e o f t h e s t a n c e l e g , u s i n g t h e e q u a t i o n s d e r i v e d f o r ( ) 5 a n d 8 6 • T o f i n d i n i t i a l p o s i t i o n i t n e e d s X 0 a n d Y o t e r m s a s X 0 = x - [ x 2 - x 1 ] c o s a f c 1 = H - [ x 2 -x 1 ]sina+~H S u b s t i t u t i n g i n i t i a l c o n d i t i o n , x = 0 a n d ~H = 0 ( ) 5 a n d 8 6 c a n b e c a l c u l a t e d u t i l i z i n g t h e e q u a t i o n s ( 5 . 5 ) a n d ( 5 . 9 ) F i n d i n i t i a l p o s e o f s w i n g l e g u s i n g t h e e q u a t i o n s ( 3 . 8 ) a n d ( 3 . 1 3 ) d e r i v e d f o r e , a n d 8 2 a n d e q u a t i o n s f o r x a n d y w i t h f o l l o w i n g i n i t i a l c o n d i t i o n s . x = x i c o s a , y = x i s m a X = 0 ~y=O E q u a t e f i n a l p o s e o f s t a n c e l e g t o i n i t i a l p o s e o f s w i n g l e g a n d o b t a i n 8 5 a n d ( ) 6 f i n a l v a l u e s . " + D r a w i n g t h e t w o p o s i t i o n s o f s t a n c e f o o t a n d m e a s u r e t h e h i p m o v e m e n t d i s t a n c e . B ) u s i n g t h i s g r a p h i c a l m e t h o d i t c a n b e v e r i f i e d t h a t t h e h i p m o v e m e n t d i s t a n c e i s e q u i v a l e n t t o h a l f o f t h e s t e p l e n g t h . 3 4 C h a p t e r 6 D y n a m i c S t a b i l i t y A n a l y s i s f o r L o w e r B o d y 6 . 1 M e t h o d s f o r s t a b i l i t y a n a l y s i s o f b i p e d r o b o t s I 1 1 l ' d y n a m i c s t a b i l i t y c a n b e a n a l y z e d i n b i p e d a l r o b o t u t i l i z i n g t w o m e t h o d s a s : ( 1 ) ( 2 ) C O M - c e n t r e o f m a s s Z M P - Z e r o M o m e n t P o s i t i o n ; 1 \ L c o r d i n g t o t h e l i t e r a t u r e s u r v e y o f b i p e d a l w a l k i n g , t h e c o m m o n m e t h o d t h a t u s e d t o a n a l y z e d y n a m i c s t a b i l i t y i s Z M P m e t h o d . T h e r e f o r e , a s p r e v i o u s , t h e Z M P i s u s e d t o a n a l y z e t h e d y n a m i c s t a b i l i t y i n t h i s r e s e a r c h . 6 . 1 . I Z e r o M o m e n t P o s i t i o n f i l e Z M P i s t h e m o s t c o m m o n l y u s e d c o n c e p t f o r b i p e d a l s t a b i l i t y a n a l y s i s w h i c h w a s I l l \ c n t c d b y P r o f . M i o m i r a t S e r b i a i n 1 9 7 2 [ 2 1 ] . L e t u s c o n s i d e r t h e s i n g l e s u p p o r t p h a s e a~ s h o w n i n F i g u r e ( 6 . 1 ) , i . e . t h e c a s e w h e n o n l y o n e f o o t i s i n c o n t a c t w i t h t h e g r o u n d ( s t a n c e l e g ) w h i l e t h e o t h e r i s i n t h e s w i n g p h a s e , r e l a t i v e l y p a s s i n g f r o m t h e b a c k t o t h e f r u n t p o s i t i o n . T o m a i n t a i n t h e m e c h a n i s m ' s d y n a m i c e q u i l i b r i u m , t h e g r o u n d r e a c t i o n f o r c e R s h o u l d a c t a s t h e a p p r o p r i a t e s p o i n t o n t h e f o o t s o l e t o b a l a n c e a l l t h e f o r c e s a c t i n g o n t h e m e c h a n i s m d u r i n g m o t i o n ( i n e r t i a l , g r a v i t a t i o n a l , C o r i o l i s a n d c e n t r i f u g a l f o r c e s a n d t l w c o r r e s p o n d i n g m o m e n t s ) , a s s h o w n i n F i g u r e ( 6 . 1 ) . F i g u r e 6 . 1 : S i n g l e s u p p o r t p h a s e 3 5 I t ' ' e p l a c e t h e c o o r d i n a t e s y s t e m a t t h e p o i n t w h e r e R i s a c t i n g ( l e t u s a s s u m e f o r a mt~ment t h a t t h i s p o i n t i s u n d e r t h e f o o t ) , i t i s c l e a r f r o m t h e e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n s t h a t t h e l 1 1 l ' m e n t s a c t i n g a b o u t t h e h o r i z o n t a l a x e s x a n d y w i l l a l w a y s b e e q u a l t o z e r o , i e . \ r = 0 a n d M Y = 0 . T h e o n l y m o m e n t c o m p o n e n t t h a t m a y e x i s t i s M z . I t i s a v e r y r~..·dilstic a s s u m p t i o n t h a t t h e M z i s b a l a n c e d b y f r i c t i o n f o r c e s . s i n c e t h e b o t h m o m e n t s r L · L n i v e t o t h e g a i t c o n t i n u a t i o n ( M x a n d M v ) a r e e q u a l z e r o , a n a t u r a l c h o i c e t o n a m e t h e ~·wund r e a c t i o n f o r c e a c t i n g a t t h i s p o i n t w i l l b e z e r o - m o m e n t p o i n t . A n y c h a n g e i n t h e l n c o m o t i o n d y n a m i c s w i l l c h a n g e t h e v e c t o r o f t h e g r o u n d r e a c t i o n f o r c e , c a u s i n g s i m u l t a n e o u s c h a n g e s i n i t s d i r e c t i o n , i n t e n s i t y , a n d a c t i n g p o i n t ( Z M P p o s i t i o n ) . 1 1 1 . . : f o l l o w i n g b a s i c Z M P d e f i n i t i o n r e f l e c t s t h e a b o v e c o n s i d e r a t i o n . ; l k t i n i t i o n l ( T h e n o t i o n o f t h e Z M P ) : T h e p r e s s u r e u n d e r s u p p o r t i n g f o o t c a n b e r e p l a c e d b ' t h e a p p r o p r i a t e r e a c t i o n f o r c e a c t i n g a t a c e r t a i n p o i n t o f t h e m e c h a n i s m ' s f o o t . S i n c e t h t · s u m o f a l l m o m e n t s o f a c t i v e f o r c e s w i t h r e s p e c t t o t h i s p o i n t i s e q u a l t o z e r o , i t i s t e r m e d t h e z e r o - m o m e n t p o i n t ( Z M P ) I 1 1 < l r d e r t o d e f i n e Z M P i n a m a t h e m a t i c a l f o r m l e t u s c o n s i d e r t h e d y n a m i c m o d e l o f t h e h t p e d l o c o m o t i o n s y s t e m . T h e r o b o t d y n a m i c s w i l l b e m o d e l e d u s i n g t h e m u l t i - b o d y S \ s t e m m o d e l c o n s i s t i n g o f N c h a i n s i n v o l v i n g t h e b o d y p a r t s . E a c h c h a i n c o n s i s t o f 1 1 r · i g i d l i n k s i = 1 , . . . , N ) i n t e r c o n n e c t e d w i t h s i n g l e D O F j o i n t s . D u r i n g l o c o m o t i o n t h e l l ' I l o w i n g a c t i v e m o t i o n f o r c e s a c t o n t h e b o d y l i n k s : G ; - g r a v i t a t i o n f o r c e o f t h e i - t h l i n k C t l t m g a t t h e m a s s c e n t r e C , , F , - i n e r t i a l f o r c e o f t h e i - t h l i n k a c t i n g a t t h e m a s s c e n t r e ~~~-moment o f t h e i n e r t i a l f o r e o f t h e i - t h l i n k f o r C , , R r e s u l t a n t g r o u n d r e a c t i o n f o r c e . 1 \ l . a c t i v e m o t i o n f o r c e s ( g r a v i t a t i o n a l a n d i n e r t i a l f o r c e s a n d m o m e n t s ) c a n b e r e p l a c e s b y t i l t m a i n r e s u l t a n t g r a v i t a t i o n a n d i n e r t i a l f o r c e a n d , i n g e n e r a l c a s e , t h e r e s u l t a n t i n e r t i a l n w m e n t r e d u c e d a t t h e b o d y c e n t r e o f m a s s ( C O M ) . T h e g r o u n d r e a c t i o n f o r c e a n d l l l u m e n t c a n b e d e c o m p o s e d i n t o t h e v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l c o m p o n e n t s w i t h r e s p e c t t o t h e r d e r e n c e f r a m e i n t h e f o l l o w i n g w a y N - R , - + R t S - - \ 1 = M 1 1 + M t \ \ i 1 e r e t h e i n d i c e s h a n d v d e n o t e t h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l c o m p o n e n t s r e s p e c t i v e l y , \ \ h i l e f i n d i c a t e s t h e f r i c t i o n r e a c t i o n f o r c e a n d m o m e n t c o m p o n e n t s . T h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s d e s c r i b e t h e d y n a m i c e q u i l i b r i u m d u r i n g t h e m o t i o n i n t h e r e f e r e n c e c o o r d i n a t e s ~·stem i f w e s e l e c t t h e Z M P a s t h e r e d u c t i o n p o i n t o f i n t e r e s t 3 6 l v ' 1 1 ' l~,.+Rt+L I C F ; + G J = O j = l 1 = 1 ( 6 . 1 ) l v ' n , N n , I 1/~!Px R + I I o c l x ( f t ; + G J + I I M I + M h Z M I ' + M f Z M P = 0 j = ) 1 = 1 j = l 1 = 1 \ \ n e r e 0 d e n o t e s t h e o r i g i n o f t h e r e f e r e n c e f r a m e ( F i g u r e 6 . 1 ) . T h e n , b a s e d o n t h e Z M P d e f i n i t i o n w e h a v e \ / , / \ 1 1 ' = 0 ~uhstituting t h e r e l a t i o n " - < J C · , = O Z M P + Z M P C 1 ( 6 . 2 ) l 1 1 1 u t h e s e c o n d e q u a t i o n o f ( 7 . 1 ) a n d t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e f i r s t e q u a t i o n o f ( 7 . 1 ) g i v e s ! 1 , - - N I l l - I I Z M P C 1 x ( F 1 +G~)+ L L M . t z M F = 0 ( 6 . 3 ) 1 = 1 j = l 1 = 1 ( ( 1 n s i d e r i n g o n l y t h e d y n a m i c m o m e n t e q u i l i b r i u m i n t h e h o r i z o n t a l g r o u n d p l a n e ( i . e . t h e n w m e n t s t h a t a r e n o t c o m p e n s a t e d b y f r i c t i o n ) w e c a n w r i t e ~~ZMPC, x ( F , + G , ) + t~M1 ~ 0 ( 6 . 4 ) ~uhstituting ( 6 . 2 ) i n ( 6 . 4 ) w e g e t O Z M P x t~(F, + G , l , ~ ( R ) x o Z M P ) h ~(t~oc, x ( F , + G , ) + t~M,) ( 6 . 5 ) l q u a t i o n s ( 6 . 4 ) a n d ( 6 . 5 ) r e p r e s e n t t h e m a t h e m a t i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f Z M P a n d p r o v i d e t h e f l n m a l i s m f o r c o m p u t i n g t h e Z M P c o o r d i n a t e s i n t h e g r o u n d p l a n e . F i n a l l y a n e q u a t i o n f o r / \ 1 P c a n b e o b t a i n e d a s = i 4 _ ( _ _ : 1 _ 0 J _ · _ 1 + _ m _ 1 _ _ : X _ 1 _ ( y _ · _ ; -_g_)_-_m_ 1 _x_·~_Y_ 1 ) \ I / ' 1 = 1 i = 4 ~~~ m 2 C.Y~- g ) W h e r e \ 1 1 1 • - D i s t a n c e t o t h e Z M P i n x d i r e c t i o n f r o m ( x , y ) c o o r d i n a t e f r a m e . · , \ ; f o m e n t o f i n e r t i a o f e a c h l i n k 3 7 t ' ! A n g u l a r a c c e l a r a t i o n o f e a c h l i n k 1 1 1 W e i g h t o f e a c h l i n k ! . i n e a r a c c e l a r a t i o n o f l i n k i i n X d i r e c t i o n 1 · U n e a r a c c e l a r a t i o n o f l i n k i i n Y d i r e c t i o n 6 . 2 Z M P c a l c u l a t i o n f o r l o w e r b o d y ; ' I ( 1 - : h e c k t h e d y n a m i c s t a b i l i t y o f d e r i v e d l o w e r b o d y m o d e l i t i s e s s e n t i a l t o c a l c u l a t e I M P . T h e c o m m o n l y u s e d e q u a t i o n f o r Z M P a s . -'~ 4 (l,m,+m,x 1 (y,-g)-m,x,y 1 ) L l l l ' - L . £ . 1~1 1~4 L m , ( j i 1 - g ) 1~1 - t i J i / i n g t h e a b o v e e q u a t i o n , i t i s v e r y c o m p l e x t o c a l c u l a t e t h e Z M P f o r t h e l o w e r b o d y o f t h t · r o b o t . F o l l o w i n g i s t h e r e m e d i e s t o a v o i d c o m p l e x i t y . T h e f o o t o f s t a n c e l e g i s n o t m o v i n g d u r i n g t h a t g a i t c y c l e , h e n c e t h i s f o o t l i n k c a n b e o m i t t e d f o r Z M P c a l c u l a t i o n . I t c a n b e s h o w n t h a t t h e e f f e c t o n Z M P f r o m f o o t l i n k o f s w i n g l e g i s n e g l i g i b l e . T h e r e f o r e , t h e t o t a l n u m b e r o f l i n k s c a n b e r e d u c e d f r o m 6 t o 4 . T h e e a c h t e r m o f t h e e q u a t i o n c a n b e c a l c u l a t e d s e p a r a t e l y a n d f i n a l l y s u b s t i t u t e t o t h e o r i g i n a l e q u a t i o n s . I h e s e p a r a t e t e r m s a r e a s b e l o w ; I n e r t i a t e r m s ( 1 1 ) a n d w e i g h t t e r m ( m 1 ) A n g u l a r a c c e l e r a t i o n t e r m ( w 1 ) C o o r d i n a t e s o f m a s s c e n t e r s [ ( x 1 y 1 ) ] - l L i n e a r a c c e l e r a t i o n o f e a c h l i n k x 1 a n d y 1 C a l c u l a t i o n o f t e r m s 1 - 3 a r e d i r e c t f o r w a r d b u t c a l c u l a t i o n o f l i n e a r a c c e l e r a t i o n t e r m s a r e c o m p l e x a n d n e e d t o b e a d o p t a n i t e r a t i o n m e t h o d . 6 . 2 . 1 C a l c u l a t i o n o f i n e r t i a t e r m l 1 1 L · I n e r t i a t e r m i s d e p e n d i n g o n t h e r o b o t l i n k t y p e . I n t h i s r e s e a r c h i t i s a s s u m e d t h a t t h e l m b a r e m a d e o u t o f s l e n d e r b a r s . T h e e q u a t i o n u s e d t o c a l c u l a t e t h e i n e r t i a t e r m a s , 3 8 j I ! / 1 2 m L - \ \ 11~re m - m a s s o f t h e l i n k L - l e n g t h o f t h e l i n k I , 1 1 t h i s m o d e l i t i s a l s o a s s u m e d a s , o L 4 , L 2 = L s , , , = n 1 4 , m 2 = m 3 ' I 1 1 e r e f o r e , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 c a n b e c a l c u l a t e d a s f o l l o w s ; , . = 1 1 1 2 m 1 L~ = 1 1 1 2 m 2 L~ a n d = [ , · ' = 1 4 , ; \ \ h~re. m 1 • • • m 4 a n d L 1 . . . L 4 a r e t h e m a s s e s a n d l e n g t h s o f e a c h l i n k r e s p e c t i v e l y . 6 . 2 . 2 C a l c u l a t i o n o f a n g u l a r a c c e l e r a t i o n t e r m s ( w ) ( 6 . 6 ) I t l ' c h a p t e r 3 a n d 5 w e d e r i v e d e q u a t i o n s f o r j o i n t a n g l e s B 1 , B 2 , ( i 3 , ( ) s , B 6 i n e q u a t i o n s ( ~. I 3 ) ( 3 . 8 ) ( 3 . 1 4 ) ( 5 . 5 ) ( 5 . 9 ) t h e s e e q u a t i o n s a r e i n C a r t e s i a n d o m a i n t h a t i s i t r e p r e s e n t a n : a n g l e r e s p e c t t o s w i n g l e g m o v e m e n t . T h e a n g u l a r a c c e l e r a t i o n c a n b e f o u n d b y 2 n d d c n v a t i v e o f e a c h e q u a t i o n . B u t t h e r e i s a p r o b l e m a r i s i n g s i n c e w e d e r i v e d j o i n t a n g l e l ' q u a t i o n s i n C a r t e s i a n p l a n e . I t i s i m p o s s i b l e t o o b t a i n 2 n d d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o t i m e i l J o i n t a n g l e e q u a t i o n s a r e i n C a r t e s i a n d o m a i n . T h e r e f o r e , w e n e e d t o c o n v e r t i t t o t i m e c h l l n a i n . T o c o n v e r t t h i s t o t i m e d o m a i n f i f t h o r d e r p o l y n o m i a l i s u s e d . T h e a d v a n t a g e o f u~ing t h i s f i f t h - o r d e r p o l y n o m i a l i s t o e n s u r e s m o o t h f u n c t i o n i n g o f j o i n t a n g l e v a r i a t i o n . l i 1 l ' f i f t h - o r d e r p o l y n o m i a l a s - 7 3 4 - t j ( / ) = a o + a l ( t ) + a 2 ( t ) - + a 3 ( t ) + a 4 ( t ) + a s u r ( 6 . 7 ) \ \ h e r e a 1 , a 2 , a 3 , a 4 a n d a s a r e t h e c o e f f i c i e n t s , w h o s e v a l u e s a r e d e t e r m i n e d u s m g d i l f e r e n t v a l u e s o f j o i n t a n g l e s a t d i f f e r e n t i n t e r v a l s o f t i m e c y c l e . ' l h < : a s s u m e d v e l o c i t y v a r i a t i o n w i t h t i m e i s s h o w n i n F i g u r e 6 . 2 . T h i s t y p e o f v e l o c i t y p r o t i l e h a s b e e n s e l e c t e d t o m i n i m i z e j e r k s a t t h e b e g i n n i n g a n d t h e e n d o f t h e s w i n g i n g f l l O l . lh~· c o e f f i c i e n t s a~' a 2 , a 3 , a 4 a n d a s a r e f o u n d u s i n g f o l l o w i n g c o n s t r a i n s i n o r d e r t o s a t i s f y t h e v e l o c i t y p r o f i l e . 3 9 \ t r = 0 i n i t i a l a n g u l a r p o s i t i o n \ t r = / 1 f i n a l a n g u l a r p o s i t i o n \ t 1 = 0 I n i t i a l a n g u l a r v e l o c i t y \ t t = t 3 f i n a l a n g u l a r v e l o c i t y \ t 1 = 1 1 i n i t i a l a n g u l a r a c c e l e r a t i o n \ t t = t 2 f i n a l a n g u l a r a c c e l e r a t i o n v e l o c r : · y ( m / s e c _ l / , / 0 , / ' / / t z t , ; T i m e ( s e c ) F i g u r e 6 . 2 : T h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n o f s w i n g l e g I h~ a n g u l a r a c c e l e r a t i o n a t a n y i n s t a n t c a n b e f o u n d o u t b y d e r i v a t i o n o f t h e j o i n t a n g l e p o l y n o m i a l . l ' h e r e f o r e , ' ' ' 2 a 2 + 6 a 3 t + 1 2 a i 2 + 2 0 a 5 t 3 lh~n u s i n g t h i s e q u a t i o n B 1 ( t ) , B 2 ( t ) , B s ( t ) a n d ( ) 6 ( t ) c a n b e o b t a i n e d . T h e s e a r e t h e L 1 n g u l a r a c c e l e r a t i o n s o f e a c h l i n k ( d J 1 , d J 2 , w 3 , W 4 ) 4 0 6 . 2 . ~ F i n d i n g o f m a s s c e n t e r c o o r d i n a t e s I I l L ' m a s s c e n t r e c o o r d i n a t e s h a s b e e n d e r i v e d u s i n g g e o m e t r i c r e l a t i o n s h i p s o f l i n k s . T h e 1 - i ' - ' . 6 . 3 s h o w s t h e m a s s c e n t r e o f e a c h l i n k a n d r e l e v a n t c o o r d i n a t e s . --~ . . . : l . y H y " f - = x , _ , > : --;g..__----~ . x · ' . -------_,;_-.~,.....--------~ X F i g u r e 6 . 3 : M a s s C e n t r e c o o r d i n a t s o f e a c h l i n k 1 1 1 m 4 , m 2 = m 3 a n d L 1 = L 4 , L 2 = L 5 . \ . x 1 c o s a + ~-x: + 0 . 5 L 1 c o s B 1 1 , v + 0 . 5 L 1 s i n B 1 + L 2 s i n [ n - ( B 1 + B 2 ) ] . c ~:+0.5L 2 c o s [ n - ( B 1 + B 2 ) ] 1 , r + 0 . 5 L 2 s i n [ n - ( B 1 + B 2 ) ] . \ . ~: 2 c o s a + 0 . 5 L 2 c o s B 6 1 = x 2 s i n a + 0 . 5 L 2 s i n B 6 . \ , . . = & + 0 . 5 L 1 c o s [ n - ( B 5 + B 6 ) ] + x 1 c o s a . · : = x 2 s i n a + L 2 s i n B 6 + 0 . 5 L 1 s i n [ n - ( B 5 + B 6 ) ] ( 6 . 8 ) ( 6 . 9 ) ( 6 . 1 0 ) ( 6 . 1 1 ) 4 1 h . . . \ C a l c u l a t i o n o f I n d i v i d u a l l i n k a c c e l e r a t i o n s I h e r e i s n o d i r e c t a p p r o a c h t o f i n d l i n e a r a c c e l e r a t i o n s o f l i n k s . I n t h i s m o d e l , a l l l i n k s a r e - , u b j e c t e d t o c o m b i n e l i n e a r a n d a n g u l a r m o t i o n s . T h e a c c e l e r a t i o n o f o n e l i n k d e p e n d s o n t I l l ' m o t i o n o f t h e n e i g h b o r i n g l i n k . T h e r e f o r e , a n i t e r a t i o n m e t h o d i s p r e f e r r e d t o s o l v e t h i s p r u b l e m . I , 1 s o l v e t h i s p r o b l e m t h e N e w t o n E u l e r R e c u r s i v e i t e r a t i o n [ 1 8 ] i s u s e d . h . J . l N e w t o n E u l e r F o r m u l a t i o n I h e N e w t o n E u l e r ( N E ) f o r m u l a t i o n i s b a s e d o n t h e N e w t o n ' s s e c o n d l a w a n d d ' A l e m b e r t p r i n c i p l e . T h e b a l a n c e o f a l l f o r c e s a c t i n g o n a l i n k o f t h e m a n i p u l a t o r l e a d s t o a s e t o f e q u a t i o n s , w h o s e s t r u c t u r e a l l o w s a r e c u r s i v e s o l u t i o n . A f o r w a r d r e c u r s i o n , w h i c h , k s c r i b e s t h e k i n e m a t i c r e l a t i o n s o f a m o v i n g c o o r d i n a t e f r a m e , i s p e r f o r m e d f o r p r o p a g a t i n g v e l o c i t i e s a n d a c c e l e r a t i o n s , f o l l o w e d b y a b a c k w a r d r e c u r s i o n f o r p r o p a g a t i n g t ( 1 r c e s a n d m o m e n t s , I n i t i a l l y , i t i s a s s u m e d t h a t t h e p o s i t i o n , v e l o c i t y , a n d a c c e l e r a t i o n o f , : a c h j o i n t , ( q , i j , q ) a r e k n o w n . T h e j o i n t t o r q u e s r e q u i r e d t o c a u s e t h e s e t i m e d e p e n d e n t l t l l ) t i o n s t o r e a l i z e a t r a j e c t o r y a r e c o m p u t e d u s i n g t h e r e c u r s i v e N E d y n a m i c e q u a t i o n s o f t 1 1 1 1 t i o n . T o u n d e r s t a n d t h e N e w t o n - E u l e r f o r m u l a t i o n , s o m e b a s i c c o n c e p t s o f k i n e m a t i c s a r e r e v i e w e d f i r s t . l 1 1 e m a s s d i s t r i b u t i o n o f a l i n k i s c o m p l e t e l y c h a r a c t e r i z e d b y t h e l o c a t i o n o f t h e c e n t r e o f m a s s a n d t h e i n e r t i a t e n s o r o f t h e l i n k . T h e f o r c e s o r t o r q u e s r e q u i r e d f o r m o v i n g t h e l i n k s , , t n d a c c e l e r a t i n g o r d e c e l e r a t i n g t h e m , a r e a f u n c t i o n o f t h e m a s s d i s t r i b u t i o n a n d i n e r t i a l l ' n s o r o f t h e l i n k s . ( i - 1 } z , _ ' , _ , , _ , - - _ / X o U n k / / , - 7 ; X i F i g u r e 6 . 4 : T h e G e o m e t r y a n d K i n e m a t i c s o f L i n k i f o r N e w t o n E u l e r F o r m u l a t i o n 1 · • . m s i d e r t h e r i g i d l i n k i o f t h e m a n i p u l a t o r k i n e m a t i c c h a i n c o n n e c t e d b e t w e e n j o i n t s i c~nd ( i + 1 ) . T h e f r a m e s a t t h e t w o e n d s a r e f r a m e { i - 1 } a n d f r a m e { i } a s s h o w n i n F i g u r e 4 2 ' n ; ) w i t h r e f e r e n c e t o i n e r t i a l f r a m e { 0 } . T h e c e n t r e o f m a s s o f t h e l i n k i s C , a n d t h e p a r a m e t e r s l i s t e d b e l o w c h a r a c t e r i z e t h e g e o m e t r y a n d k i n e m a t i c s . I p o s i t i o n v e c t o r o f C , f r o m f r a m e { i - 1 } , p o s i t i o n v e c t o r o f C , f r o m f r a m e { i } , m a s s o f l i n k , i n e r t i a t e n s o r o f l i n k w i t h r e s p e c t t o a f r a m e { C , } w h o s e o r i g i n i s l o c a t e d a t t h e c e n t r e o f m a s s o f t h e l i n k C , a n d o r i e n t a t i o n o f f r a m e { C 1 } i s s a m e a s t h e o r i e n t a t i o n o f t h e b a s e f r a m e { 0 } , ' ) l i n e a r v e l o c i t y o f c e n t r e o f m a s s o f l i n k l i n e a r a c c e l e r a t i o n o f c e n t r e o f m a s s , a n g u l a r v e l o c i t y o f l i n k , a n g u l a r a c c e l e r a t i o n o f l i n k . " t o t a l e x t e r n a l f o r c e a c t i n g a t t h e c e n t r e o f m a s s o f l i n k t o t a l e x t e r n a l m o m e n t a c t i n g o n l i n k a t t h e c e n t r e o f m a s s o f l i n k I h e t r a n s l a t i o n a l m o t i o n o f t h e l i n k i n t e r m s o f t h e b a l a n c e o f f o r c e s i s d e s c r i b e d b y t h e \ c \ t ' t o n ' s e q u a t i o n . T h e f o r c e F , , a c t i n g a t t h e c e n t r e o f m a s s o f t h e l i n k i s g i v e n b y = m , v , ( 6 . 1 2 ) \ V h e r e v , i s t h e l i n e a r a c c e l e r a t i o n o f t h e l i n k . i h e E u l e r e q u a t i o n f o r t h e r o t a t i o n a l m o t i o n o f t h e l i n k d e s c r i b e s t h e m o m e n t b a l a n c e a b \ m t t h e c e n t r e o f m a s s o f t h e l i n k . T h e a n g u l a r v e l o c i t y o f t h e l i n k m i a n d t h e m o m e n t o f 1 l t l ' r t i a t e n s o r I , r e l a t e t o t h e t o t a l m o m e n t N , a c t i n g o n l i n k a s \ - ! ! _ _ _ _ ( I ) - I . X ( I ) - m , - 1 m 1 + l V 1 , m , d t I ( 6 . 1 3 ) W h e r e t h e s e c o n d t e r m i s t h e g y r o s c o p i c t o r q u e i n d u c e d b y t h e d e p e n d e n c e o f I i o n l i n k ' s P n e n t a t i o n w i t h r e s p e c t t o b a s e f r a m e . I - 1 u a t i o n s ( 6 . 1 2 ) a n d ( 6 . 1 3 ) a r e t h e N e w t o n - E u l e r e q u a t i o n s t h a t a r e r e c u r s i v e l y a p p l i e d t o c o m p u t e t h e i n e r t i a f o r c e a n d t o r q u e a c t i n g a t t h e c e n t r e o f m a s s o f e a c h l i n k o f t h e 1 n a n i p u l a t o r . 1 1 1 t h i s c a s e N e w t o n ' s f o r m u l a i s e n o u g h b e c a u s e w e n e e d l i n e a r a c c e l e r a t i o n s o n l y . E u l e r e q u a t i o n f o r m u l a t e s a n g u l a r a c c e l e r a t i o n s a n d i s o b t a i n e d u s i n g a f i f t h - o r d e r p o l y n o m i a l i n ~L'ction 6 . 2 . 2 . 4 3 6 . J . 2 K i n e m a t i c s o f l i n k s 1 1 1 , · k i n e m a t i c r e l a t i o n s h i p o f t h e a b o v e m o v i n g - r o t a t i n g l i n k s w i t h r e s p e c t t o t h e b a s e c , • o r d i n a t e s y s t e m i s f i r s t d e s c r i b e d a s a s e t o f m a t h e m a t i c a l e q u a t i o n s t h a t n e e d s t o f i n d < . h : L d e r a t i o n s . T w o a d j a c e n t l i n k s i a n d ( i - 1 ) , f o r m i n g t h e j o i n t i a r e s h o w n i n F i g u r e ( l 1 . ~ l . T h e o r t h o g o n a l c o o r d i n a t e f r a m e s a r e e s t a b l i s h e d w i t h f r a m e { 0 } a s t h e b a s e c , • l l r d i n a t e f r a m e ; f r a m e f r a m e { i - 1 } a t j o i n t i a t t a c h e d t o l i n k ( i - 1 ) w i t h p o i n t B a s t h e o r i C ; ! m , a n d f r a m e ( i ) a t j o i n t ( i + 1 ) a t t a c h e d t o l i n k i w i t h o r i g i n D . T h e o r i g i n D a n d o n g m B a r e l o c a t e d b y p o s i t i o n v e c t o r s 0 D i a n d 0 D 1 _ 1 w i t h r e s p e c t t o t h e b a s e f r a m e { 0 } , r c · s p e c t i v e l y , a n d t h e p o s i t i o n v e c t o r I - I D 1 l o c a t e s t h e o r i g i n D f r o m t h e o r i g i n B w i t h r L · s p e c t t o t h e b a s e c o o r d i n a t e s y s t e m . " L i n k I ; x ; ; ' Z ; w , , _ _ ' . I x A x i s ( i - 1 ) ! { I } ~-": _ _ _ ' . . . . . _ 1 1 1 J o i n t / 1 1 D \ ' 1 - 1 0 , ; ' / A ' , j . , _ , / ' ~-, Z . , . j / I \ ' - . . . . . . . . _ v 1 , _ t l ~-~· / I . \ . . . . . . . . . _ , - , ! / · - . / ~~---· / , ~-,~~--~--1 : ' O D ; { i - 1 } B - - / 6 1 / ~'--......' ' ' - - . . . : ' - < . . . . . x , _ 1 Z o / 0~, J / / · , _ ! --~Yo ~ X o { 0 } / A x i s / J o i n ! ( i + 1 ) F i g u r e 6 . 5 : C h a r a c t e r i z a t i o n o f t w o a d j u t a n t l i n k s f o r m i n g t h e j o i n t i f o r N E f o r m u l a t i o n L . : l t h e l i n e a r a n d a n g u l a r v e l o c i t i e s o f f r a m e { i - 1 } , w i t h r e s p e c t t o t h e b a s e f r a m e { 0 } , b e 1 · 1 a n d m 1 _ 1 , r e s p e c t i v e l y , a n d Q J 1 b e t h e a n g u l a r v e l o c i t y o f f r a m e { i } w i t h r e s p e c t t o t h e h a s L ' f r a m e { 0 } . L e t I - I m 1 b e t h e r e l a t i v e a n g u l a r v e l o c i t y o f f r a m e i w i t h r e s p e c t t o f r a m e : 1 - I } r e f e r r e d t o b a s e f r a m e { 0 } . N o t e t h a t s u p e r s c r i p t ' 0 ' i s o m i t t e d f o r q u a n t i t i e s ( ' . \ f J r e s s e d i n t h e b a s e f r a m e { 0 } . r i l l . : ' l i n e a r v e l o c i t y V 1 o f t h e f r a m e ( i ) w i t h r e s p e c t t o { o } a s \ ' c v + I - I J J + ( / ) X 1 - l D 1 - l 1 1 - l 1 \ \ h . : 1 - e I - I b 1 d e n o t e s t h e v e l o c i t y o f f r a m e { i } w i t h r e s p e c t t o t h e o r i g i n o f f r a m e : 1 - I ) e x p r e s s e d i n b a s e f r a m e { 0 } . ( 6 . 1 4 ) 4 4 I t j o i n t i i s p r i s m a t i c , l i n k i t r a v e l s i n t h e d i r e c t i o n o f a x e s z , _ 1 w i t h a l i n e a r j o i n t v e l o c i t y 1 \ 0 1 \ , i r e l a t i v e t o l i n k ( i - 1 ) , t h a t i s , , _ 1 b , = z 1 1 - 1 d , , w i t h z 1 - 1 a s t h e u n i t v e c t o r a l o n g z , _ 1 a x i s . i IH~ a n g u l a r v e l o c i t y o f p r i s m a t i c l i n k i i s s a m e a s t h a t o f l i n k , t h a t i s O J , _ 1 = O J , . S i m i l a r l y , i t t h e j o i n t i s r e v o l u t e , t h e l i n k i h a s a n a n g u l a r m o t i o n a b o u t t h e z , _ 1 a x i s w i t h t h e a n g u l a r 1 \ \ L ' i o c i t y Z J - 1 e , a n d z e r o l i n e a r v e l o c i t y , t h a t i s I - I b I = 0 ' - . u b s t i t u t i n g t h e s e l i n e a r v e l o c i t i e s i n e q u a t i o n ( 7 . 1 4 ) , t h e l i n e a r v e l o c i t y o f l i n k i w i t h r~..·spect t o r e f e r e n c e f r a m e i s . . ' = { v , _ 1 + ; , _ 1 d , + O J , x ' - 1 D , f o r p r i s m a t i c j o i n t f o r r e v o l u t e j o i n t ( 6 . 1 5 ) 1 - I D V 1 _ 1 + 0 J 1 X 1 I h e l i n e a r v e l o c i t y i s a s s o c i a t e d w i t h a p o i n t a n d a n g u l a r v e l o c i t y i s a s s o c i a t e d w i t h a b o d y . H e n c e , v , , t h e l i n e a r v e l o c i t y o f t h e l i n k { i } , a n d t h e a n g u l a r v e l o c i t y o f t h e f r a m e ( i ) i s t h e v e l o c i t y o f t h e o r i g i n o f t h e f r a m e ( i ) , O J , i s t h e a n g u l a r v e l o c i t y o f t h e w h o l e l i n k i . 6 . 3 . 3 L i n k a c c e l e r a t i o n s I : : 6 . 3 . 2 n 1 h e q u a t i o n f o r l i n e a r v e l o c i t y f o r a l i n k i s d e r i v e d . B u t , t o c a l c u l a t e Z M P i t i s n e e d e d t o f i n d l i n k a c c e l e r a t i o n s a t i t s m a s s c e n t e r s . T h e r e f o r e , t h e l i n k a c c e l e r a t i o n c a n b e ' - ) h t a i n e d b y d i f f e r e n t i a t i n g e q u a t i o n ( 6 . 1 5 ) w i t h r e s p e c t t o t i m e a s : . . 1 - 1 D · ( 1 - I D ) \ = \ ' J - 1 + O J , X I + O J , X O J , X I ( 6 . 1 6 ) I h i s i s t h e l i n e a r a c c e l e r a t i o n o f t h e l i n k a t i t s o r i g i n , b u t f o r Z M P c o m p u t a t i o n i t i s n e e d e d t o f i n d l i n e a r a c c e l e r a t i o n a t i t s m a s s c e n t e r a n d i t c a n b e o b t a i n e d a s , ' = v + O J ' r I I I 1 · = v , + d J , x ' r , + O J , x ( O J , x ' F , ) ( 6 . 1 7 ) W h e r e ' r , i s t h e p o s i t i o n v e c t o r o f c e n t r e o f m a s s o f l i n k i w i t h r e s p e c t t o b a s e f r a m e [ 0 ] b . 3 . 4 R e c u r s i v e N e w t o n E u l e r F o r m u l a t i o n I h e r e c u r s i v e f o r m u l a t i o n o f d y n a m i c e q u a t i o n s b a s e d o n N E e q u a t i o n s i s n o w c a r r i e d o u t : i · u m t h e a b o v e k i n e m a t i c i n f o r m a t i o n o f e a c h l i n k . I n t h e r e c u r s i v e f o r m u l a t i o n t h e s e r i a l ( ) p e n k i n e m t i c c h a i n s t r u c t u r e o f a m a n i p u l a t o r i s e x p l o i t e d . T h e N E f o r m u l a t i o n r e q u i r e s 4 5 t \ \ o p a s s e s o v e r t h e l i n k s o f t h e m a n i p u l a t o r , o n e f o r c o m p u t i n g t h e v e l o c i t i e s a n d J c c e l e r a t i o n s o f t h e l i n k s a n d , s e c o n d , t o c o m p u t e j o i n t f o r c e s a n d t o r q u e s , a s s h o w n i n l t g u r e ( 6 . 6 ) B a c k w a r d I t e r a t i o n s ( f o r c e s , m o m e n t s ) ~~ ~:~~ / ( v e l o d t l e s , Z o { 0 } J - - - - - - - . . . . . . . Y o J ' X o a c c e l e r a t i o n s ) f n + 1 I J n + 1 F i g u r e 6 . 6 : T w o - p a s s r e c u r s i v e N e w t o n E u l e r F o r m u l a t i o n o f d y n a m i c e q u a t i o n s I h e f o r w a r d i t e r a t i o n o r o u t w a r d i t e r a t i o n i s c a r r i e d o u t t o c o m p u t e t h e v e l o c i t i e s a n d d e c e l e r a t i o n s o f e a c h l i n k r e c u r s i v e l y , s t a r t i n g a t t h e b a s e a n d p r o p a g a t i n g f o r w a r d t o t h e e n d - e f f e c t o r . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e b a s e v e l o c i t y , l i n e a r a n d a n g u l a r , w h i c h a r e z e r o , 1 i f t h e b a s e i s s t a t i o n a r y ) a n d t h e b o u n d a r y a c c e l e r a t i o n i s t h e g r a v i t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n . l 1 1 t h e b a c k w a r d o r i n w a r d i t e r a t i o n , t h e f o r c e s a n d m o m e n t s a c t i n g o n e a c h l i n k a r e ~.:umputed u s i n g t h e N e w t o n ' s a n d E u l e r ' s e q u a t i o n s . h . 3 . 5 F o r w a r d i t e r a t i o n ! 1 t h e e q u a t i o n s f o r v e l o c i t y a n d a c c e l e r a t i o n , e q u a t i o n s ( 6 . 1 5 ) , ( 6 . 1 6 ) a n d ( 6 . 1 7 ) , a l l t h e p h y s i c a l p a r a m e t e r s a r e r e f e r e n c e d t o t h e b a s e f r a m e { O } . B e c a u s e t h e p a r a m e t e r s r e f e r r e d t c ' t h e b a s e f r a m e c h a n g e , a s t h e m a n i p u l a t o r i s m o v i n g , t h e c o m p u t a t i o n s a r e c o m p l e x . 1 ' 1 1 e c o m p u t a t i o n s a r e m u c h s i m p l i f i e d b y r e f e r r i n g a l l v e l o c i t i e s , a c c e l e r a t i o n s , i n e r t i a t e n s o r s , a n d l o c a t i o n o f c e n t r e o f m a s s o f e a c h l i n k t o t h e i r o w n l i n k - c o o r d i n a t e f r a m e s . l ' l 1 e r e f e r e n c e t o l i n k f r a m e { i } r e s u l t s i n c o n s t a n t i n e r t i a t e n s o r I , a n d c o n s t a n t v e c t o r s , t p p e a r i n t h e e q u a t i o n s , s i m p l i f y i n g t h e n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n s . T h e c h a n g e o f f r a m e s i s c t c c o m p l i s h e d b y u s i n g t h e 3 x 3 r o t a t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n m a t r i c e s , w h i c h g i v e t h e 1 - , . m e m a t i c r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e l i n k s . 4 6 l ! 1 1 . 3 x 3 r o t a t i o n m a t r i x i - 1 R , t r a n s f o r m s r o t a t i o n o f a n y v e c t o r w i t h r e f e r e n c e t o f r a m e { i } w t 1 1 c f r a m e { i - 1 } . T h e r o t a t i o n m a t r i x , _ 1 R , i s t h e u p p e r l e f t 3 x 3 s u b - m a r t o f '- 1 ~. T h a t 1~ 1 7 \ I ' i f i l • c e , - S e , C a , s e i s a , a , c e , . s e c e , c a i - C e , S a ; a , S e , ~[ ~':~ , _ , I D , l : I 0 S a , C a , d , 0 0 0 1 l e e ; - s e . , c a , · - I R = s e c e c I I I a , 0 S a ; S B , S a , J l a , C e , J - C~,Sa, ; a n d a , S e , C a , d , R ) - 1 = ' R = ( ' - 1 R ) r I 1 - \ I ( 6 . 1 9 ) I t c a n b e s h o w n t h a t f r o m b a s i c r o b o t i c s t h e o r y , ( 6 . 2 0 ) T!w~. u s i n g t h e r o t a t i o n a l t r a n s f o r m a t i o n m a t r i c e s , i t i s p o s s i b l e t o e x p r e s s t h e v e c t o r s r e l a t e d t o l i n k i w i t h r e s p e c t t o l i n k f r a m e { i } i n s t e a d o f b a s e f r a m e { 0 } . T h i s g i v e s c o i h t a n t v e c t o r s i n s t e a d o f v a r i a b l e v e c t o r s , s i m p l i f y i n g t h e n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n s . 1 \ p p l y i n g t h i s , t h e v e l o c i t y a n d a c c e l e r a t i o n r e l a t i o n s h i p s o f e q u a t i o n s ( 6 . 1 6 ) , ( 6 . 1 7 ) a r e m u d i t i e d f o r t h e o u t w a r d i t e r a t i o n a s b e l o w . A l l t h e v a r i a b l e s i n t h e s e e q u a t i o n s a r e n o w r e l l ' r r e d t o t h e i r o w n f r a m e . ' R , _ I , _ l v , _ 1 + ' d J ; x ( ' R 0 , _ 1 D , ) + ' m , [ ; m , x ( ' R 0 i - I D , ) ] ( 6 . 2 1 ) I h e l i n e a r a c c e l e r a t i o n s o f t h e c e n t r e o f m a s s i s g i v e n b y , - , - 1 • I I ( ' ) v , + m , x r , + m , x m , x r , ( 6 . 2 2 ) l l 1 c m a t r i x p r o d u c t s ( ' R 0 , _ 1 D , ) i n e q u a t i o n ( 6 . 2 1 ) a r e s i m p l i f i e d , u s i n g e q u a t i o n ( 6 . 1 9 ) a n d ( 6 2 0 ) . t o y i e l d / \ ) l c 1 - 1 D , = - S , C a , S , S a , S ; C , C a , - C ; C a , 0 ~ l a ; C , : l a , J S a , a , S , = d , S a , C a ; d , d , C a , \ \ 1 t n C , = c e , = c o s B ; a n d S , = S e , = s i n e , ( 6 . 2 3 ) 4 7 l . q u a t i o n s ( 6 . 2 1 ) t o ( 6 . 2 3 ) g i v e f o r w a r d N e w t o n E u l e r e q u a t i o n s . T h e f o r w a r d i t e r a t i o n ' i t a r t s a t t h e b a s e , t h a t i s i = 0 . T h e i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r f o r w a r d N E r e c u r s i o n f o r a f i x e d 1 m t e r t i a l ) b a s e o f m a n i p u l a t o r a r e = 0 I < 1 = 0 , · l o = 0 ' ' ' n = 0 I i11.~ e f f e c t o f g r a v i t y c a n b e i n c l u d e d b y c o n s i d e r i n g t h e l i n e a r ' " ' a c c e l e r a t i o n s o f t h e b a s e t r : 1 m e a s l ; o = g = [ g , g y g o ] r I ! 1 c g r a v i t y l o a d i n g o n e a c h l i n k i s t h e n a u t o m a t i c a l l y p r o p a g a t e d t h r o u g h t h e l i n k s b y t h e t , , r w a r d r e c u r s i o n . t . . - 1 A p p l i c a t i o n o f N - E R e c u r s i v e i t e r a t i o n t o b i p e d r o b o t ! ' ) a p p l y t h e f o r w a r d i t e r a t i o n t o b i p e d r o b o t l o w e r b o d y i t i s n e e d e d t o s e p a r a t e t h e r o b o t h u d y a s ( 1 ) S w i n g L e g ( 2 ) S t a n c e L e g h . - U N e w t o n E u l e r F o r w a r d I t e r a t i o n f o r S w i n g L e g y v r B a s e - - - - - - - - - - - - 8 1 v , L t 8 2 ~ ~ F i g u r e 6 . 7 : I n i t i a l p o s i t i o n o f t h e s w i n g l e g 4 8 I . e t u s c o n s i d e r t h e s w i n g l e g , a s a s e r i a l m a n i p u l a t o r a n d i t s h i p a s t h e b a s e . I n t h i s c a s e t h e b a s e o f t h e m a n i p u l a t o r i s n o t f i x e d , a s d e s c r i b e d i n p r e v i o u s c h a p t e r i n o n e g a i t c y c l e h i p i s m o v e d b y h a l f o f s t e p l e n g t h . I n p r e v i o u s d e r i v a t i o n i n i t i a l c o n d i t i o n s s t a t e d a s : 0 ' 0 1 ' 1 1 = V o = B u t , i n t h i s c a s e , 1 ' 1 1 7 : - 0 a n d 0 v o : : J : - 0 a n d i n i t i a l c o n d i t i o n a s s e l e c t e d b e l o w : l l 0 0 0 . l v x J V o = V~. ; W o = W o = W o = 0 o v = ( ) V x ( v y - g ) 0 . . W h e r e v " a n d v Y - i n i t i a l v e l o c i t y o f t h e h i p i n x a n d y d i r e c t i o n r e s p e c t i v e l y F o r i t e r a t i o n f o l l o w i n g t e r m s a r e a l s o r e q u i r e d , l c l I R = - s 1 - J I 0 s · ' I ~j c l 0 ~ c l 2 ' R " ~ l ~ ~" s l 2 ~j c l 2 0 4 9 U s i n g t h e e q u a t i o n ( 6 . 2 3 ) , 1 R 0 ° D 1 = rd 1 :~1 j = [~ l d 1 c a 1 0 J W h e r e L 1 a n d L 2 a r e t h e l i n k s l e n g t h s o f s w i n g l e g . 'R,'D,~m " " I t e r a t i o n s t a r t - i = 1 l J s i n g t h e e q u a t i o n ( 6 . 2 1 ) a n d s u b s t i t u t i n g i = 1 w e c a n g e t , I R 0 . I I R O D I [ I ( I R O D ] : = 0 V o + ( ( ) I X 0 1 + ( ( ) I X ( ( ) I X 0 I B y s u b s t i t u t i n g t h e a b o v e t e r m s a n d i n i t i a l c o n d i t i o n s t o t h e e q u a t i o n ( 6 . 2 4 ) , [ c l s l O l v x [ o l [ L i l [ o l { [ O l [ L i l } i , ~ - ; , ~ ~J ( V , O - g ) + ~t ~ r ~t x ~tx ~ J 1 3 y s i m p l i f y i n g w e c a n e n d u p , v x C 1 + ( v y - g ) s 1 - L ( N v l x \ ' I vxS\+(v;~g)C 1 +LB 1 i=iv~ ( 6 . 2 4 ) ( 6 . 2 5 ) ! ' h i s i s t h e a c c e l e r a t i o n a t t h e o r i g i n o f t h e l i n k , b u t w e n e e d m a s s c e n t e r a c c e l e r a t i o n , i s g i v e n b y u s i n g t h e e q u a t i o n ( 6 . 2 2 ) 5 0 I \ ' I · I I - I I l - \ ' 1 + ( 1 ) 1 x r 1 + ( 1 ) 1 x ( ( 1 ) 1 x r 1 ) I o l ~- 1 ! 2 L I l I o l J l o l ~- L l ; 2 l l I ' I + l ~ O 1 x l ~ n ~t x l l ~ O x l ~ f \ ' 1 + ( v , - g ) S 1 - 1 1 2 L / J 1 2 1 I X I . \ ' , + ( v , - g ) C 1 + 1 1 2 L 1 B I i = i . Y 1 1 ( 6 . 2 6 ) " ' 0 Z I \ \ n e r e X 1 a n d y 1 a r e t h e l i n e a r a c c e l e r a t i o n o f l i n k 1 i n x a n d y d i r e c t i o n r e s p e c t i v e l y I \ ' l i n d l i n e a r a c c e l e r a t i o n s f o r l i n k - 2 w e n e e d t o c o n t i n u e t h e i t e r a t i o n , s u b s t i t u t i n g i = 2 . R e c a l l i n g , e q u a t i o n ( 6 . 2 1 ) a n d u s i n g t h e e q u a t i o n ( 6 . 2 6 ) w e c a n g e t ' I . 7 · 7 I 2 [ ' 7 I ] - R I V I + - ( J ) 2 x ( - R o D 2 ) + ( 1 ) 2 X - ( 1 ) 2 X e - R a D 2 ) " ' " ' ' m , ~[~}8,+0,); ' a , , ~[~}b,+B,) i \ s 2 0 s 2 c 2 0 ~j ( 6 . 2 7 ) I c 7 s ) 0 l V I x l o l I L ) l l o l J l o l I L ) l l o r ~2 c~ ~J (V~,) + l ~ r + i i , x l~ n~r+B,) x ll~ ( 8 , + 1 i , ) x l ~ J f l h s i m p l i f i c a t i o n t o e q u a t i o n \ " ) • . 2 V~t C 2 + v 1 y S 2 - L 2 ( B 1 + B 2 ) - v 1 x S 2 + v 1 y C 2 + L 2 ( B 1 + B 2 ) 0 5 1 T h e s e a r e t h e a c c e l e r a t i o n s a t t h e o r i g i n o f t h e l i n k 2 . B u t , w e n e e d a c c e l e r a t i o n s a t m a s s c e n t r e o f t h e l i n k 2 . 0 • ) • ) - ) [ ) ) - ] 1 · 2 = - v 2 + - o ) 2 x - r 2 + - ( J ) 2 x - ( J ) 2 x - r 2 r - l 7 I 2 J B y s u b s t i t u t i n g 2 ~2 = ~ a n d s i m p l i f y i n g v 1 , C 2 + v 1 v S 2 - L 2 ( 8 1 + 8 2 ) 2 + 1 I 2 L 2 ( 8 1 + 8 2 ) 2 - v l x S 2 + v 1 v \ ' - I . X 2 " , - c 2 + L 2 c e I + e 2 ) - 1 1 2 L 2 c e I + e 2 ) • = I Y 2 ( 6 . 2 8 ) 0 z 2 . t 2 , j i 2 a r e t h e l i n e a r a c c e l e r a t i o n s o f l i n k 2 o f t h e s w i n g l e g a t i t s m a s s c e n t r e a l o n g X a n d Y d i r e c t i o n s . I t e r a t i o n s t o p p e d , F i n a l R e s u l t s f o r l i n e a r a c c e l e r a t i o n s o f s w i n g l e g . t 1 = v x C 1 + ( v y - g ) S 1 - l / 2 L 1 8 1 2 Y 1 = v x S 1 + ( v y - g ) C 1 - 1 1 2 L 1 B I . t 2 = v 1 x C 2 + v 1 y S 2 - 1 ! 2 L 2 ( 8 1 + 8 2 ) 2 _ i ' · 2 = -v~x S 2 + v 1 1 C 2 + 1 1 2 L 2 ( B 1 + B 2 ) , · , , a n d , ; 1 a r e t h e h i p a c c e l e r a t i o n s a l o n g x a n d y d i r e c t i o n r e s p e c t i v e l y a n d w i l l b e o b t a i n e d i n s t a n c e l e g v e l o c i t y d e r i v a t i o n s . 5 2 6 . - L 2 N e w t o n E u l e r f o r w a r d r e c u r s i v e i t e r a t i o n f o r s t a n c e l e g H i p trajec_t~I_"L J 5 · U L . · 8 , , e F i g u r e 6 . 8 : I n i t i a l a n d f i n a l p o s i t i o n o f t h e s t a n c e l e g d u r i n g o n e g a i t c y c l e I i i t h i s c a s e t h e a n k l e o f s t a n c e l e g i s c o n s i d e r e d a s t h e b a s e . _ , T h i s c a s e d i f f e r s f r o m r r n ' i o u s i t e r a t i o n d u e t o s t a t i o n a r y b a s e ( a n k l e ) . T h e r e f o r e , t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r t h i s i t \ ? r a t i o n a s , 0 0 ' 0 = { ( ) o = O J o = [ ] ) ' \ = 0 , - g 0 l · l l l o w i n g t e r m s a r e r e q u i r e d t o s t a r t t h e i t e r a t i o n " m g t h e e q u a t i o n ( 7 . 2 3 ) a n d a 3 = L 2 a n d a 4 = L 1 1 c 6 s 1 ( = l - ~65 s 6 s c 6 s 0 1 : , ' - ' D , ~ ~ d , : a , l l d , c a , J ~j ; 4 3 l L 2 j l L 1 j 1 < , D 3 = ~ a n d R 3 • D 4 = ~ I R , _ l I . • ' R I - 1 D I [ i ( i R i - l D ) ] v I + O J I X 1 - 1 I + O J , X O J ; X i - 1 i I t L ' r a t i o n s t a r t , I : !~\ s u b s t i t u t i n g a b o v e t e r m s a n d i n i t i a l c o n d i t i o n s w e c a n o b t a i n , 5 3 r c 6 s 6 O j [ 0 l [ o l [ L 2 j ,,~'R, ' V , + ' t b , x ' R , ' D , + ' w 3 x [ ' w , x ( ' R , 'n,)]~ -~, c~ ~ - : r ~ i i , x ~ + [~ja,x{[~jo{~ j } H y s i m p l i f y i n g - g s - L ( J 2 6 2 6 . . L = 1 - g c 6 + L 2 ( ) 6 0 I h i s i s t h e l i n e a r a c c e l e r a t i o n a t t h e o r i g i n o f t h e l i n k . B u t , w e n e e d a c c e l e r a t i o n a t t h e m a s s c e n t r e o f t h e l i n k . I h e n t h e a c c e l e r a t i o n a t m a s s c e n t r e o f t h e l i n k i s g i v e n b y i n e q u a t i o n ( 6 . 2 2 ) a s , ' ; \ ' 3 + ' " 3 w 3 x 3 v 3 + 3 0 ) 3 x [ 3 0 ) 3 x 3 r , ] B y s u b s t i t u t i n g a n d s i m p l i f y i n g x 3 - g s 6 - L 2 e~ ( 6 . 2 9 ) \ ' , = 1 + L 2 { j 6 ; = . h · ' - g c 6 0 I I Z 3 l h e s e a r e t h e l i n e a r a c c e l e r a t i o n s o f l i n k 3 o f s t a n c e l e g i n t h e d i r e c t i o n o f x , y , z r . : s p e c t i v e l y I r e r a t i o n c o n t i n u e s , , = 4 . " R 3 . 4 . 4 R 3 D 4 [ 4 ( 4 R 3 D ) l 1 ' - 1 = 3 V 3 + O J 4 X 3 4 + 0 J 4 X O J 4 X 3 4~ I ~v s u b s t i t u t i n g v a l u e s , 5 4 ' ' J : ; , + 2 ~l l 0 0 d - g s - L e 2 6 2 6 - g c 6 + L 2 B 6 0 + l~}e•+ e , ) l ~ J + l~}e,+ O , ) x {l~}Oc+ e , ) x l ~ j } H \ s i m p l i f y i n g . . . 2 ' . • 2 • . L 2 8 6 S 5 - L 2 B 6 C 5 - L 1 8 6 - L 1 B 5 - 2 L 1 8 6 B s - g S 6 5 ' . L 2 8 6 C s + L l B 6 + L l B s + L 2 e~ S s - g C 6 5 " 0 \ \ h e r e S 5 = S i n B 5 , C 5 = C o s B 5 , C 6 5 = C o s ( B 6 + B 5 ) a n d S B 6 5 = S i n ( B 6 + B 5 ) I h c s e a r e t h e l i n e a r a c c e l e r a t i o n s o f t h e e n d e f f e c t o r o f t h e s t a n c e l e g . I n t h i s c a s e w e - - · , m s i d e r t h e e n d e f f e c t o r b e i n g h i p . T h e r e f o r e , t h i s i s t h e l i n e a r a c c e l e r a t i o n o f h i p i n x a n d ' d i r e c t i o n s r e s p e c t i v e l y . I n s w i n g l e g f o r w a r d i t e r a t i o n w e c o n s i d e r t h e i n i t i a l l i n e a r . t . . : . . : e l e r a t i o n o f h i p a s V x a n d V y a s . . • 2 . 2 . 2 . . L 2 e 6 s 6 - L 2 B 6 c s - L 1 B 6 - L 1 B 5 - 2 L 1 e s B 6 - g s 5 6 - L 2 B 6 c 6 + L 1 B 6 + L 1 B s + L 2 i J ~ S 5 - g c 5 6 ( 6 . 3 0 ) 0 : t ' l u s t a k e t h e s e a c c e l e r a t i o n s a s V 4 x V 4 y V 4 o I ' h e a c c e l e r a t i o n s a t t h e m a s s c e n t r e o f t h e l i n k i s c a l c u l a t e d u s i n g ' 4 . 4 . 4 - 4 [ 4 4 - ] ' ' 1 = v 4 + W 4 X V 4 + w 4 x w 4 x v 4 ' - . u b s t i t u t i n g t h e v a l u e s a n d s i m p l i f y i n g 5 5 X 4 L · · 2 V 4 x + _ t _ ( B s + B 6 ) 2 . L I . . . . y 4 I = 1 v 4 , - 2 ( e 5 + e 6 ) ( 6 . 3 1 ) Z 4 0 6 . 5 D y n a m i c s t a b i l i t y a n a l y s i s f o r r o b o t l o w e r b o d y A . . l l t h e t e r m s t h a t n e e d t o b e c a l c u l a t e d Z M P , h a v e n o w b e e n d e r i v e d . B y u s i n g t h e s e e q u a t i o n s , t h e Z M P c a n b e o b t a i n e d i n d i f f e r e n t t i m e i n t e r v a l s . T h e g r a p h , Z M P v s t i m e , c a n b e o b t a i n e d b y u s i n g m a t h l a b s o f t w a r e . U t i l i z i n g t h e F i g u r e ( 6 . 1 1 ) t h e d y n a m i c s t a b i l i t y c a n b e a n a l y z e d f o r l o w e r b o d y b y c o n s i d e r i n g d y n a m i c b a l a n c e d m a r g i n [ 2 ] . 6 . 5 . 1 D y n a m i c b a l a n c e m a r g i n T h e d y n a m i c b a l a n c e m a r g i n ( D B M ) c a n b e d e f i n e d a s b e l o w . F o r s i n g l e s u p p o r t p h a s e f~----- _ _ _ _ . . . ~w-·•"'~-- ~ _ . . . . . . - - - - - - - - - - - \ " ' - - C i 1 + - - - - + 1 D B M F i g u r e 6 . 9 : D B M f o r s i n g l e s u p p o r t p h a s e R e f e r r i n g t h e f i g u r e ( 6 . 9 ) t h e D B M c a n b e d e f i n e d a s - ( f ; c o s a ) I 2 a n d C J ; c o s a ) I 2 ) T h e r e f o r e t h e r e q u i r e m e n t f o r r o b o t t o m a i n t a i n d y n a m i c s t a b i l i t y i n s i n g l e s u p p o r t p h a s e i s - - U ; I 2 c o s a ) I 2 ~ Z M P ~ ( f ; c o s a ) I 2 W h e r e , . t ; i s t h e f o o t l e n g t h . I n s i n g l e s u p p o r t p h a s e , t h e Z M P c a n e a s i l y b e m o v e d t o t h e o u t s i d e o f t h i s m a r g i n . T h e r e f o r e , m u c h a t t e n t i o n i s n e e d e d o n b a l a n c i n g i n t h i s p h a s e . ( s i n c e o n l y o n e f o o t t o u c h e s t h e g r o u n d ) 5 6 I n d o u b l e s u p p o r t p h a s e , t h e b a l a n c e o f t h e r o b o t i s n o t a c r i t i c a l p r o b l e m a s t h e g r o u n d i s t o u c h e d b y b o t h f e e t . T h e r e q u i r e m e n t f o r s t a b i l i t y c a n b e s h o w n i n F i g u r e ( 6 . 1 0 ) - . . - - - - - - - ~OEM " ; / _ _~.-.-: F i g u r e 6 . 1 0 : D B M f o r d o u b l e s u p p o r t p h a s e l h e D B M f o r t h i s c a s e c a n b e o b t a i n e d a s , - f ; I 2 c o s a ) : : : : ; Z M P : : : : ; [ C x 2 - x 1 ) + . ! ; 1 2 ] c o s a I h i s i s a l a r g e m a r g i n c o m p a r e d t o D B M i n s i n g l e s u p p o r t p h a s e . h . 5 . 2 S i m u l a t i o n r e s u l t o n s t a b i l i t y - r o b o t l o w e r b o d y l t i l i z i n g t h e d e r i v e d e q u a t i o n s f o r Z M P a n d D B M , t h e v a r i a t i o n o f Z M P i n o n e g a i t c y c l e ' a n b e p l o t t e d ( 2 2 ] a s f o l l o w s w i t h t h e a i d o f m a t h l a b s o f t w a r e . l 1 g u r e 6 . 1 1 s h o w s t h e v a r i a t i o n o f Z M P w i t h r e s p e c t t o t i m e o f R o b o t ' s l o w e r b o d y , w i t h i n ' m e g a i t c y c l e . T h e t a b l e 6 . 1 i n t r o d u c e d t h e s e l e c t e d p h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n . T h e z o n e b e t w e e n t h e t w o r e d l i n e s i n F i g u r e 6 . 1 1 i s t h e d y n a m i c b a l a n c e d m a r g i n o r D B M . I f Z M P l i e s o u t s i d e o f t h i s z o n e a n d w i t h i n t h i s a r e a t h e r o b o t i s n o t d y n a m i c a l l y b a l a n c e d . m d i s n o t c a p a b l e t o m a i n t a i n i t ' s s t a b i l i t y a n d t h e r e f o r e , i t f a l l s o n t h e g r o u n d . T h e b l u e 1 i n e r e p r e s e n t s t h e v a r i a t i o n o f c o m p u t e d Z M P f o r l o w e r b o d y . T h e F i g u r e 6 . 1 1 s h o w s t h e , i c s i g n e d r o b o t ' s l o w e r b o d y w h i c h i s u n s t a b l e i n w h o l e g a i t c y c l e e x c l u d i n g t h e f i n a l s t a g e . 5 7 ! P a r a m e t e r V a l u e A n g l e o f 5 0 S l o p e L l 4 6 0 m m L 2 4 8 0 m m m l 5 K g m 2 5 . 2 K g " T a b l e 6 . 1 : S e l e c t e d P h v s i c a l P a r a m e t e r s f o r L o w e r B o d v S i m u l a t i o n = I , ' F . : : : . : r - : · ; _ : ·.~· : : : J , . . · : · ; G . j ~'( : t : : : i : , ' " 3 ! ~~r " ' ~·~ ;~: F i g u r e 6 . 1 1 : V a r i a t i o n o f Z M P V s T i m e o f l o w e r b o d y f o r o n e g a i t c y c l e 5 8 C h a p t e r 7 Z M P C a l c u l a t i o n A f t e r A d d i n g T o r s o 7 . 1 M o d i f i c a t i o n o f Z M P A c c o r d i n g t o t h e c h a p t e r 6 , t h e Z M P o f t h e l o w e r b o d y o f t h e r o b o t i s o u t o f t h e D B M . T h a t m e a n s t h e r o b o t i s u n b a l a n c e d d u r i n g t h e g a i t c y c l e . T h e r e f o r e , i t i s n e e d e d t o m o d i f y t h e r o b o t s t r u c t u r e t o m a i n t a i n i t s s t a b i l i t y b y i m p r o v i n g Z M P . ~ 7 . 1 . 1 M e t h o d f o r i m p r o v i n g t h e Z M P B y u s i n g t h e f o l l o w i n g m e t h o d s i t c a n b e s e e n t h a t t h e Z M P c a n b e i m p r o v e d . ( i ) B y a d j u s t i n g l i n k l e n g t h ( i i ) B y a d j u s t i n g l i n k w e i g h t ( i i i ) B y a d j u s t i n g s t e p l e n g t h ( i v ) B y a d j u s t i n g c y c l e t i m e ( v ) B y a d d i n g o f t o r s o t o l o w e r b o d y a n d a d j u s t i n g t o r s o a n g l e C o n s i d e r i n g t h e a b o v e m e t h o d s , i t c a n b e s e e n t h a t t h e l a s t o n e i s t h e m o s t e f f e c t i v e m e t h o d t o i m p r o v e Z M P . 7 . 2 C a l c u l a t i o n o f i m p r o v e d Z M P I n t h e c h a p t e r 6 , i t i s n o t e d t h a t t h e Z M P i s c a l c u l a t e d o n l y f o r l o w e r b o d y o f t h e r o b o t b y c o n s i d e r i n g t h e t o t a l n u m b e r o f l i n k i s 4 . A f t e r a d d i t i o n o f t h e t o r s o t h e n u m b e r o f l i n k i s i n c r e a s e d t o f i v e . T o c a l c u l a t e i m p r o v e d Z M P , t h e f o l l o w i n g a d d i t i o n a l t e r m s a r e n e e d t o b e c a l c u l a t e d . • I n e r t i a t e r m - I 5 • T o r s o m a s s c e n t r e c o o r d i n a t e s - ( x 5 , y 5 ) • A n g u l a r a c c e l e r a t i o n t e r m - B 1 • T o r s o l e n g t h a n d m a s s o f t h e t o r s o ( L r ) , ( m r ) • L i n e a r a c c e l e r a t i o n s o f t o r s o ( . X 5 , j i 5 ) T h e c a l c u l a t i o n o f t h e a b o v e t e r m s i s s a m e a s p r e v i o u s , e x c e p t c a l c u l a t i o n o f t h e l i n e a r a c c e l e r a t i o n t e r m 5 9 ( a ) I n e r t i a t e r m H e r e a l s o s l e n d e r b a r h a s b e e n u s e d f o r T o r s o a n d i t s i n e r t i a I r i s b e e n g i v e n b y l r = 1 1 1 2 m L i , ( b ) A n g u l a r a c c e l e r a t i o n t e r m B 7 T h i s i s t h e c o n t r o l p a r a m e t e r t o m a i n t a i n t h e s t a b i l i t y o f t h e r o b o t . B y c o n t r o l l i n g t h i s a n g l e t h e Z M P c a n b e m o v e d t o a s t a b l e r e g i o n w h e n t h e r o b o t c a n n o t m a i n t a i n t h e s t a b i l i t y . T h e a n g u l a r a c c e l e r a t i o n a s s u m e d t o b e s m a l l c o m p a r e d t o t h e l i m e a c c e l e r a t i o n s , a n d a l s o i t i s n o t p r a c t i c a l t o m o v e t h e t o r s o i n e a c h i n s t a n t b e c a u s e t h e Z M P w i l l v a r y i n a w i d e r m a r g m . ( c ) T o r s o l i n k w e i g h t a n d t o r s o l i n k l e n g t h L r T o r s o l i n k l e n g t h L r a n d t o r s o w e i g h t m r a r e s e l e c t a b l e a n d f i x e d v a l u e s . 7 . 2 . 1 C a l c u l a t i o n o f L i n e a r a c c e l e r a t i o n t e r m s X 5 , j i 5 I n c h a p t e r 6 , t h e N e w t o n E u l e r i t e r a t i o n c o n t i n u e d u p t o i = 4 f o r s t a n c e l e g . B y a s s u m i n g t h e t o r s o i s t h e 5 1 h l i n k o f s t a n c e l e g , t h e s a m e i t e r a t i o n c a n b e c o n t i n u e d u p t o i = 5 . I t e r a t i o n s t a r t s f r o m i = 5 5 . 5 R 4 • 5 . ( 5 R 4 D ) 5 [ 5 ( 5 R 4 D ) ] V 5 = 4 V 4 + C 0 5 X o 5 + C 0 5 X C 0 5 X 0 5 ( 7 . 1 ) ; R 0 H D ; = [d;~a;] d ; C a ; f C ( ) i - I R = S ( ) l I I 0 - S B ; C a ; C B ; C a ; S a ; B y s u b s t i t u t i n g i = 5 S B ; S a ; l - C B ; S a ; C a ; [ c o s B 7 4 R 5 = s i n O B 7 - s i n B 7 c o s ( ) 7 0 O J I c o s ( ) 7 ~ , ' R , r • : 0 1 U s i n g e q u a t i o n ( 7 . 1 ) a n d 5 R 4 , s i n B 7 c o s B 7 0 ~l 6 0 [c e 7 5 v 5 = S~ 7 - S B 7 C B 7 0 O J V 4 x [ 0 ] [ L r l ~ v~y + ~ ( B 6 + B 5 + B 1 ) x ~ + [~}o•+ B , + o , l x { [ H e , + o , + o , l x [ L~ ] } B y s i m p l i f y i n g , ( v 4 x c o s B 7 - v 4 y s i n B 7 ) 5 V 5 = I ( V 4 x s i n B 7 + V 4 y c o s e 1 ) I + 0 • • • 2 - L r ( B 6 + 8 5 + B 1 ) 0 0 • • • 2 ( v 4 x c o s B 7 - V 4 y S i n B 7 - L r ( B 6 + B 5 + B ? ) 5 v 5 = i - ( v 4 x s i n B 7 + V 4 y c o s B 7 + L r ( B 6 + B 5 + B 7 ) 0 , t T h e s e a r e t h e a c c e l e r a t i o n a t t h e o r i g i n o f t h e t o r s o . B u t w e n e e d a c c e l e r a t i o n a t t h e m a s s c e n t e r o f t h e t o r s o . U s i n g t h e e q u a t i o n ( 6 . 2 2 ) a n d s u b s t i t u t i n g i = 5 w e c a n g e t , X 5 • • • 2 V 5 x + L r / 2 ( 8 6 + 8 5 + B 1 ) 5 v 5 = I y 5 I = I v 5 y - L T I 2 ( e 6 + e 5 + e 7 ) . . 0 Z 5 • • • • • 2 X 5 = V 4 x s i n B 7 - v 4 y s i n B 7 - 1 / 2 L r ( B 6 + 8 5 + B 1 ) Y 5 = V 4 x S i n B 5 + V 4 y C O S B 7 + 1 1 2 L r ( B 6 + B 5 + B 1 ) ( 7 . 2 ) ( 7 . 3 ) 6 1 W h e r e L T i s t h e l e n g t h o f t h e t o r s o , a n d 0 5 i s t h e t o r s o a n g l e w i t h m e a s u r i n g f r o m s e c o n d l i n k o f t h e s t a n c e f o o t . B y s u b s t i t u t i n g t h e s e t e r m s t o t h e o r i g i n a l Z M P e q u a t i o n a v e r y c o m p l e x s e c o n d o r d e r n o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n c a n b e o b t a i n e d a s , Z M P = f ( B 7 , m T > L T ) T h e t o r s o w e i g h t a n d t o r s o l e n g t h a r e s e l e c t a b l e a n d f i x e d v a l u e s . T h e o n l y v a r i a b l e o f t h i s f u n c t i o n i s 0 7 • U t i l i z i n g t h i s f u n c t i o n t h e o p t i m u m t o r s o a n g l e c a n b e o b t a i n e d t o m a i n t a i n t h e Z M P w i t h i n t h e s a f e m a r g i n w h i l e w a l k i n g t h e r o b o t . , t T h e v a r i a t i o n o f Z M P , s e l e c t i o n o f p a r a m e t e r s a n d , c o n t r o l o f t o r s o a n g l e t o . m a i n t a i n d y n a m i c s t a b i l i t y c a n b e o b t a i n e d b y s i m u l a t i n g t h e m o d e l b y u s i n g t h e m a t h l a b s o f t w a r e . 7 . 3 S t a b i l i t y A n a l y s i s f r o m s i m u l a t i o n r e s u l t s T h e v a r i a b l e s f o r t h i s s i m u l a t i o n a r e : 1 . T o r s o a n g l e ( B 7 ) n . S l o p e a n g l e ( a ) 1 i i . S t e p l e n g t h ( x 2 - x 1 ) i v . M a s s o f t o r s o ( M T ) v . L e n g t h o f t o r s o ( L T) v i . S t e p t i m e ( t ) v i i . M a s s o f l i n k s L 1 a n d L 2 ( m 1 a n d m 2 ) B u t , t h e t o r s o a n g l e i s t h e o n l y v a r i a b l e t h a t c a n b e v a r i e d o v e r s t e p t i m e . O t h e r p a r a m e t e r s a r e s e l e c t a b l e a n d f i x e d . 6 2 7 . 3 . 1 Z M P v a r i a t i o n w i t h s l o p e a n g l e P a r a m e t e r l v a l u e A n g l e o f 5 0 S l o p e L 1 4 6 0 m m L 2 [ 4 8 0 m m L T 8 0 0 m m m l 5 K g m 2 5 . 2 K g S t e p l 7 0 0 m m L e n g t h m T 1 3 5 K g f a b l e 7 . 1 : P h y s i c a l 1 a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 1 P a r a m e t e r V a l u e A n g l e o f 1 0 0 S l o p e ~1 4 6 0 m m ~2 ~80mm L T 8 0 0 m m m l 5 K g m 2 5 . 2 K g i S t e p L e n g t h I 7 0 0 m m m T 1 3 5 K g T a b l e 7 . 2 : P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 2 Z I I P v l l ' l l l l o n w t 1 1 1 T o r s o I n g l e 5~,---,----.---,----~---r---T----~--~~-r---, - 1 0 d e g - 1 S d e g 5 0 0 1 - l - 2 0 d e g - 2 5 d e g - 3 0 d e g ~ L s o 0 . : 1 N 4 0 0 6 0 0 5 5 0 0 . 5 1 . 5 F i g u r e 7 . 1 : V a r i a t i o n o f Z M P w i t h t o r s o a n g l e a t s l o p e a n g l e e q u a l t o 5 o Z I I P V a r i l t i o n w i l h T o r s o a n g l e ~~ 5 0 0 0 d e g - 1 5 d e g i f - · · · - 2 5 d e g ; : - 4 5 0 3 0 d e g ~ - 3 S d e 4 0 0 3 0 0 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u F i g u r e 7 . 2 : V a r i a t i o n o f Z M P w i t h t o r s o a n g l e a t s l o p e a n g l e e q u a l t o 1 0 o 6 3 7 . 3 . 1 Z M P v a r i a t i o n w i t h s l o p e a n g l e P a r a m e t e r ! V a l u e A n g l e o f s o S l o p e L 1 f 4 6 0 m m i L 2 f 4 8 0 m m 1 ~T 8 0 0 m m ~1 5 K g ~2 5 . 2 K g S t e p 7 0 0 m m ~ength ~T 3 5 K g T a b l e 7 . 1 : P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 1 P a r a m e t e r V a l u e A n g l e o f 1 0 0 S l o p e ~1 4 6 0 m m l £ . , 2 4 8 0 m m l t , T 8 0 0 m m ~1 5 K g ~2 5 . 2 K g S t e p L e n g t h f 7 0 0 m m ! ~T ~5Kg T a b l e 7 . 2 : P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 2 Z l l l ' v 1 1 1 1 t 1 o n w 1 1 1 1 T o n o 1 n g 1 t 550r---,---~----.----.----r---.---~~--~r--,---, - 1 0 d e g 5 0 0 1 - - 1 5 d e g l - 2 0 d e g - 2 5 d e g - J O d e g ~ L s o I I . J N 4 0 0 I ~I 5 5 0 . ~ il~?~-~ 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 F i g u r e 7 . 1 : V a r i a t i o n o f Z M P w i t h t o r s o a n g l e a t s l o p e a n g l e e q u a l t o 5 o Z I I P V a r i l l i o n w i t h To n o q l e ~ 5 0 0 g - 1 5 d e g - f - . . . ~ - 2 5 d e g ; : - 4 5 0 3 0 d e g ~ - 3 5 d e 4 0 0 3 0 0 0 M 1 U 2 U 3 U 4 U F i g u r e 7 . 2 : V a r i a t i o n o f Z M P w i t h t o r s o a n g l e a t s l o p e a n g l e e q u a l t o 1 0 o 6 3 a l u e 5 K g 5 . 2 K g T a b l e 7 . 3 : P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 3 Z I I P Y l r l l l l o n w i t h T O I I O a n g l e ~~~~----~~~~--~--~~~~--~~--~----~--~ n u ~ u ' u F i g u r e 7 . 3 : V a r i a t i o n o f Z M P w i t h t o r s o a n g l e a t s l o p e a n g l e e q u a l t o 1 5 o F i g u r e ( 7 . 1 ) , ( 7 . 2 ) , ( 7 . 3 ) s h o w t h e Z M P v a r i a t i o n w i t h s l o p e a n g l e a n d , b y u t i l i z i n g t h e s e s i m u l a t i o n s i t c a n b e n o t e d t h a t t h e d y n a m i c s t a b i l i t y c a n b e m a i n t a i n e d b y v a r y i n g t o r s o a n g l e b e t w e e n 1 0 - 2 0 d e g r e e s i n a l l t h r e e c a s e s . 7 . 3 . 2 Z M P v a r i a t i o n w i t h s t e p l e n g t h a l u e T a b l e 7 . 4 : P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 4 Z M P Y W 1 I t l o n w i t h T o r s o a n g l e 5 5 0 r - - - - - . - - - . - - . - - - r - - - - - r - - - . - - , . - - - r - - : , - - - - ; - - - - , - - 1 0 d e g - - 1 5 d e g 5 0 0 1 - l - - 2 0 d e g i 4 5 0 C l . : : E N 4 0 0 - - 2 5 d e g - - 3 0 d e g 3 5 d e g 4 . 5 T i m • l c , . , . l F i g u r e 7 . 4 : Z M P v a r i a t i o n w i t h t o r s o a n g e l w h e n s t e p l e n g t h i s 7 0 0 m m 6 4 a l u e T a b l e 7 . 5 : P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 5 ! P a r a m e t e r V a l u e [ A n g l e o f 5 0 S l o p e I L l 1 4 6 0 m m ! I L 2 1 4 8 0 m m m l 5 K g m 2 5 . 2 K g S t e p L e n g t h 1 5 0 m m L T 1 3 5 K g T a b l e 7 . 6 : P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 6 I . . I N ZMP v a r i a t i o D w i t h T o n o a u g l e ~Or---------.---------.---------.----------r---------, ~~-------------------------------r-----------------1 32 0 F i g u r e 7 . 5 : Z M P v a r i a t i o n w i t h t o r s o a n g l e w h e n s t e p l e n g t h i s 3 5 0 m m Z M P v ar i a t i o n w i t h t o n o a n g t e F i g u r e 7 . 6 : Z M P v a r i a t i o n w i t h t o r s o a n g l e w h e n s t e p l e n g t h i s 1 5 0 m m W i t h t h e a i d o f F i g u r e ( 7 . 4 ) , ( 7 . 5 ) , ( 7 . 6 ) i t c a n b e s u m m a r i z e d t h e t o r s o a n g l e v a r i a t i o n a s : 1 . A t f u l l s t e p - T o r s o a n g l e v a r i a t i o n i s 1 0 - 2 0 d e g r e e t o m a i n t a i n d y n a m i c s t a b i l i t y , m a x i m u m a n g l e b e i n g 3 5 d e g r e e s . 2 . A t h a l f s t e p - T o r s o a n g l e v a r i a t i o n i s 3 0 - 3 3 d e g r e e s t o m a i n t a i n d y n a m i c s t a b i l i t y . T h e m a x i m u m a n g l e c a n b e 4 0 d e g r e e s . 3 . A t q u a r t e r s t e p - T h e t o r s o a n g l e c a n b e v a r i e d b e t w e e n 3 3 - 4 0 d e g r e e s . T h e m i n i m u m t o r s o a n g l e c a n b e 6 0 d e g r e e s . 6 5 7 . 3 . 3 Z M P v a r i a t i o n w i t h m a s s o f t o r s o ! P a r a m e t e r V a l u e ~gleof 1 0 0 S l o p e ~1 ~60mm ~2 ~80mm ~1 5 K g ~2 5 . 2 K g L T 8 5 0 m m S t e p L e n g t h 1 5 0 m m T a b l e 7 . 7 : P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 7 5 6 0 5 4 0 5 2 0 5 0 0 4 8 0 ! 4 6 0 . . . : 1 N 4 4 0 4 2 0 - 1 0 K g - 1 5 K g - 2 0 K g - 2 5 K g - 3 0 K g 3 5 K g - 4 0 K g - 4 5 K g - 5 0 K g - 5 5 K g - & O K Z U P ' V a r t a l l o n w i t h 1 1 1 1 1 1 o r T o r s o 2 . 5 T i m e ( a e c ) 3 . 5 4 4 . 5 F i g u r e 7 . 7 : V a r i a t i o n o f Z M P w i t h d i f f e r e n t v a l u e s o f t o r s o w e i g h t 5 F i g u r e ( 7 . 7 ) s h o w s t h e Z M P v a r i a t i o n w i t h r e s p e c t t o d i f f e r e n t v a l u e s o f t o r s o w e i g h t ; w h e n i n c r e a s i n g t h e t o r s o w e i g h t t h e d y n a m i c s t a b i l i t y i s a l s o i m p r o v e s . B u t , a f t e r a c e r t a i n p o i n t , t h e i n c r e m e n t o f t o r s o w e i g h t i s n o t m u c h a f f e c t e d t o t h e d y n a m i c s t a b i l i t y 7 . 3 . 4 Z M P V a r i a t i o n w i t h t o r s o l e n g t h a l u e 5 . 2 K g 8 5 0 m m S t e p L e n g t h 1 5 0 m m T a b l e 7 . 8 : P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 8 Z M P v a r i a t i o n w i t h L e n g t h o f T o r s o 5 6 0 5 4 0 - - 4 0 0 m m ~f - - 5 0 0 m m - - & O O m m 5 0 0 - - 7 0 D m m B O O m m 4 8 0 - - o o o m m - - 1 0 0 0 m m I 4 6 0 ! ! 4 4 0 N ~ - 0 u u 3 u 4 u F i g u r e 7 . 8 : V a r i a t i o n o f Z M P f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f t o r s o l e n g t h F i g u r e ( 7 . 8 ) s h o w s t h e v a r i a t i o n o f Z M P w i t h t o r s o l e n g t h . T h e d y n a m i c s t a b i l i t y c a n b e i m p r o v e d b y i n c r e a s i n g t h e t o r s o l e n g t h b u t , t h e r e a r e p r a c t i c a l l i m i t a t i o n s . 6 6 7 . 3 . 5 V a r i a t i o n o f Z M P w i t h s t e p t i m e ! P a r a m e t e r V a l u e ~gle 0 5 0 S l o p e ~1 ~60mm ~2 ~80mm m 1 5 K g m 2 5 . 2 K g L T 8 5 0 m m S t e p L e n g t h 7 0 0 m m T a b l e 7 . 9 : P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 9 Z M P V a r i a t i o n V e S t e p T i m e 7 0 0 r - ; : = = = = c : ; - - - - , - - - - , - - - - - , - ; _ _ - - - - , - - - - - - , - - - , - - 1 0 s e c 1 5 0 1 0 0 5 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 S 1 e p L e n g t h ( m m ) F i g u r e 7 . 9 : V a r i a t i o n o f Z M P w i t h d i f f e r e n t s t e p t i m e i n t e r v a l s F i g u r e ( 7 . 9 ) s h o w s t h e v a r i a t i o n o f Z M P i n d i f f e r e n t s t e p t i m e i n t e r v a l s . A c c o r d i n g t o t h i s s i m u l a t i o n r e s u l t , i t c a n b e n o t i c e d t h a t t h e d y n a m i c s t a b i l i t y i m p r o v e s i n f a s t w a l k i n g . 7 . 3 . 6 Z M P v a r i a t i o n w i t h l i n k l e n g t h L 1 a n d L 2 a l u e 5 K g 5 . 2 K g T a b l e 7 . 1 0 : P h y s i c a l p a r a m e t e r s f o r s i m u l a t i o n 1 0 Z M P v a r i l l l l o n w i t h M u 1 e 1 o f L 1 & L 2 700r-~==~~-r--~--~--~--~--~~--~ 8 5 0 6 0 0 5 5 0 F I ~~-~~ ::-~. I : : ; > . c : a : ; ; ; > . , . . . . . . - : ; ; ; > ~ _ 5 0 0 . L s o 200~--~~--~--~~--~--~~--~----~----~--~~~ 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 • T i m e ( s e c ) F i g u r e 7 . 1 0 : V a r i a t i o n o f Z M P w i t h d i f f e r e n t v a l u e s o f L t a n d L 2 F i g u r e ( 7 . 1 0 ) s h o w s t h e Z M P v a r i a t i o n w i t h L 1 a n d L z . A c c o r d i n g t o t h i s s i m u l a t i o n r e s u l t , i t c a n b e s e e n t h a t t h e d y n a m i c s t a b i l i t y i m p r o v e s u p t o s o m e l i m i t o f L r a n d L z . 6 7 7 . 4 A p p l i c a t i o n o f s i m u l a t i o n r e s u l t s T h e a b o v e m e n t i o n e d s i m u l a t i o n r e s u l t s [ 7 . 3 . 1 t o 7 . 3 . 6 ] a r e h e l p f u l i n s e l e c t i n g p r o p e r p a r a m e t e r s f o r t h e r o b o t t o m a i n t a i n t h e d y n a m i c s t a b i l i t y . T h e p a r a m e t e r s a r e , t o r s o l e n g t h , t o r s o w e i g h t , s t e p t i m e a n d s t e p l e n g t h . T h e s l o p e o f t h e t e r r a i n c a n b e m e a s u r e d . W i t h t h e a i d o f t h e s e p a r a m e t e r s , a n o t h e r s i m u l a t i o n c a n b e p e r f o r m e d t o f i n d o u t t o r s o a n g l e . T h i s s i m u l a t i o n w i l l s h o w t h e w a y t o c o n t r o l t h e t o r s o a n g l e t o m a i n t a i n t h e d y n a m i c s t a b i l i t y . T h e s e v a l u e s a r e c o m p u l s o r y f o r f a b r i c a t i o n o f t h e r o b o t . ~ C h a p t e r 8 C o n c l u s i o n S . l D e r i v e d K i n e m a t i c m o d e l 1 - . : . i n e m a t i c s i s t h e b a s i c r o b o t i c t h e o r y t h a t c a n b e a p p l i e d t o m o d e l t h e b i p e d a l w a l k i n g . I n t h i s r e s e a r c h s t u d y , a k i n e m a t i c m o d e l i s d e v e l o p e d f o r r a m p c l i m b i n g b i p e d a l r o b o t b y u s i n g D i r e c t k i n e m a t i c , I n v e r s e k i n e m a t i c , L i n k t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x , H o m o g e n e o u s t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x a n d t h e D H n o t a t i o n . ; I h i s i s a n e f f o r t t o a p p l y t h e b a s i c r o b o t i c s t h e o r i e s t o s o l v e r e a l w o r l d p r o b l e m . A l s o , t h i s c l p p l i c a t i o n i s a d i r e c t a p p r o a c h r a t h e r t h a n u s i n g i n d i r e c t m e t h o d s a s a r t i f i c i a l i n t e l l i g e n c e - . : o n c e p t s . i ! t i l i z i n g t h e a b o v e t h e o r y i n c h a p t e r ( 3 ) t h e e q u a t i o n s f o r j o i n t a n g l e s o f s w i n g l e g h a v e h e e n d e r i v e d . T h a t i s t h e e q u a t i o n s f o r t h i g h a n g l e , k n e e a n g l e , a n d a n k l e a n g l e v a r i a t i o n i n s w i n g l e g . I n t h i s f o r m u l a t i o n t h e s w i n g l e g w a s c o n s i d e r e d a s p l a n n e r m a n i p u l a t o r a n d d e f i n e d i t s h a s e a n d e n d e f f e c t o r a s h i p a n d a n k l e r e s p e c t i v e l y . T h e s a m e e q u a t i o n s f o r k n e e a n g l e a n d a n k l e a n g l e o f s t a n c e l e g h a v e b e e n d e r i v e d i n c h a p t e r ( 5 ) , b y u t i l i z i n g t h e s a m e t h e o r y b u t c o n s i d e r i n g b a s e a n d e n d e f f e c t o r a s a n k l e a n d h i p r e s p e c t i v e l y . B u t t h e r e i s a c o n t r a d i c t i o n d u e t o h i p m o v e m e n t a n d t o a v o i d t h i s , a n o t h e r c o - o r d i n a t e f r a m e i s i n t r o d u c e d t o h i p a n d m o d i f y t h e s w i n g l e g k i n e m a t i c s t o m a t c h w i t h t h e m o v i n g b a s e m a n i p u l a t o r k i n e m a t i c s . ! ' h e a s s u m p t i o n w a s m a d e i n d e r i v a t i o n o f s t a n c e l e g k i n e m a t i c s a s " T h e h i p m o v e m e n t t r a j e c t o r y i s a s t r a i g h t l i n e p a r a l l e l t o t h e s l o p e " . I n t h i s c h a p t e r , a n i m p o r t a n t i n v e n t i o n i s m a d e r e g a r d i n g t h e h i p m o v e m e n t , t h a t i s t h e h i p m o v e m e n t d i s t a n c e i s e q u a l t o h a l f o f t h e s t e p l e n g t h w i t h i n o n e g a i t c y c l e . T h i s i s m u c h s i m i l a r t o h u m a n w a l k i n g . A c c o r d i n g t o t h i s c o n c e p t i t i s n e e d e d t o c o m p l e t e t w o g a i t c y c l e t o m o v e h i p i n o n e s t e p l e n g t h . f h e c o r r e c t n e s s o f t h e k i n e m a t i c m o d e l i n g h a v e b e e n c h e c k e d b y c o m p u t e r s i m u l a t i o n . B e f o r e t h e s i m u l a t i o n , t h e d a t a f i l e f o r t h a i a n g l e , k n e e a n g l e , a n k l e a n g l e o f s w i n g l e g a n d k n e e a n d a n k l e a n g l e s o f s t a n c e l e g w a s g e n e r a t e d b y u s i n g t h e s e t o f e q u a t i o n s o b t a i n e d . R o b o w o r k s i m u l a t i o n t o o l h a s b e e n u t i l i z e d s i n c e i t s u p p o r t s d a t . F i l e s . B y u t i l i z i n g t h e a b o v e s i m u l a t i o n r e s u l t s , t h e s m o o t h n e s s o f t h e j o i n t a n g l e v a r i a t i o n a n d l e v e l o f a c c u r a c y o f t h e d e r i v a t i o n c a n b e g u a r a n t e e d . l ' h e d y n a m i c s t a b i l i t y i s c h e c k e d i n c h a p t e r ( 6 ) b y c a l c u l a t i n g Z M P f o r l o w e r b o d y . M e t h o d f o r c a l c u l a t i o n o f Z M P f o r b i p e d a l r o b o t w a s i n c l u d e d i n t h i s c h a p t e r , a n d t h e s t e p s n f c a l c u l a t i o n s a r e c l e a r l y s h o w n . T h e d y n a m i c s t a b i l i t y f o r l o w e r b o d y i s a n a l y z e d b y 6 9 l l s i n g m a t h l a b s o f t w a r e a n d t h e g r a p h Z M P V s t i m e w a s p l o t t e d . U s i n g t h e g r a p h a n d t h e ( O n c e p t D B M , i t i s p r o v e d t h a t t h e r o b o t l o w e r b o d y i s u n s t a b l e . T h a t m e a n s t h e p o s i t i o n o f I M P i s i n u n s a f e z o n e . T h e m e t h o d s f o r m o v i n g Z M P t o s a f e z o n e a r e s t a t e d i n c h a p t e r ( 7 ) L m d t h e b e s t m e t h o d i s f i n a l i z e d a s a d d i t i o n o f t o r s o a n d c o n t r o l l i n g t h e t o r s o a n g l e . F u t u r e W o r k I . I n t h i s r e s e a r c h t h e p r o p o s e d m o d e l c o n t a i n e d o n l y t o r s o f o r u p p e r b o d y . A s a r e s e a r c h e x t e n s i o n , a d d i t i o n o f s h o u l d e r s c a n b e c o n s i d e r e d t o a n a l y z e t h e d y n a m i c s t a b i l i t y . t h i s r e s e a r c h o n l y t h e k i n e m a t i c m o d e l i s d e v e l o p e d . T h e d y n a m i c m o d e l o r E q u a t i o n o f M o t i o n ( E O M ) c a l c u l a t i o n s t e n d t o d e r i v a t i " 6 n o f j o i n t t o r q u e e q u a t i o n s . T h e c o n t r o l o f b i p e d a l w a l k i n g c a n b e i m p l e m e n t e d b y C T C l i k e c o n t r o l m e t h o d a s a f u t u r e w o r k i n t h e f a b r i c a t i o n s t a g e . T h e f o o t r e a c t i o n f o r c e i s n o t c o n s i d e r e d i n t h i s r e s e a r c h . B y c o n s i d e r i n g t h e f o o t r e a c t i o n f o r c e a n d f r i c t i o n f o r c e e x e r t e d b y t h e t e r r a i n , t h e m a x i m u m i n c l i n a t i o n o f t h e s l o p e c a n b e e s t i m a t e d . T h i s i s t h e m a x i m u m a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e t e r r a i n t h a t t h e r o b o t c a n w a l k w i t h o u t s l i p p i n g . - 1 - . T h i s m o d e l c a n b e m o d i f i e d t o i n v e s t i g a t e t h e w a l k i n g p a t t e r n w h e n a l t e r i n g t h e e n v i r o n m e n t . A s a n e x a m p l e , m o d e l i n g o f " u n d e r w a t e r w a l k i n g r o b o t " b e i n g t h e l a t e s t i d e a . . . , T h e f i n a l e q u a t i o n i s a v e r y c o m p l e x , n o n l i n e a r , s e c o n d o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n . . T o h a n d l e t h i s p r o b l e m t w o m e t h o d s a r e p r o p o s e d : i . T r i a l a n d e r r o r m e t h o d W e c a n c h e c k t h e Z M P u s i n g t h e a b o v e e q u a t i o n b y s u b s t i t u t i n g s e v e r a l t o r s o a n g l e s a t s e v e r a l t i m e i n s t a n t s . I f Z M P i s n o t a s a f e m a r g i n a t a n y i n s t a n t t h e t o r s o a n g l e i s n e e d e d t o b e c h a n g e d t o s h i f t t h e Z M P t o t h e s a f e r e g w n . i i . U s i n g A r t i f i c i a l I n t e l l i g e n c e A p p l i c a t i o n s T h i s t y p e o f p r o b l e m s c a n b e h a n d l e d b y u s i n g A r t i f i c i a l I n t e l l i g e n c e T e c h n i q u e s . F o r a n e x a m p l e , a s a n e x t e n s i o n o f t h e r e s e a r c h , t h e o p t i m i z e d t o r s o a n g l e c a n b e o b t a i n e d b y u s i n g g e n e t i c a l g o r i t h m b y c o n s i d e r i n g t h e Z M P e q u a t i o n a s t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n 7 0 R e f e r e n c e s : l l ] R o l a n S i g h e w a r d , I l l a h R . N o u r b a k h s h , " I n t r o d u c t i o n t o A u t o n o m o u s M o b i l e R o b o t s , " A t e x t b o o k o f R o b o t i c T e c h n o l o g y , p p 1 - 1 9 , 2 0 0 5 . [ 2 ] P a n d u R a n g a V u n d a v i l l i , D i l l i p K u m a r P r a t h i h a r , " S o f t C o m p u t i n g - b a s e d G a i t P l a n n e r s f o r a D y n a m i c a l l y B a l a n c e d B i p e d R o b o t N e g o t i a t i n g S l o p i n g S u r f a c e s , " A p p l i e d S o f t C o m p u t i n g J o u r n a l P a p e r , A p r i l 2 0 0 8 . [ 3 ] E i r k V . C u e v a s , D a n i e l Z a l d i v a r , R a u l R o j s , " B i p e d a l R o b o t D e s c r i p t i o n , " T e c h n i c a l R e p o r t , J a n u a r y 2 0 0 5 _ . [ 4 ] T . K a t o , A . T a k a n i s h i , H . J i s h i k a w a , a n d I . K a t o , " T h e r e a l i z a t i o n o f t h e q u a s i - d y n a m i c w a l k i n g b y t h e b i p e d w a l k i n g m a c h i n e , " i n F o u r t h S y m p o s i u m o n T h e o r y a n d P r a c t i c e o f R o b o t s a n d M a n i p u l a t o r s , p p . 3 4 1 - 3 5 1 , P o l i s h S c i e n t i f i c P u b l i s h e r s , 1 9 8 3 . [ 5 ] A . T a k a n i s h i , M . I s h i d a , Y . Y a m a z a k i , a n d I . K a t o , " T h e r e a l i z a t i o n o f d y n a m i c w a l k i n g b y t h e b i p e d w a l k i n g r o b o t W L - 1 0 R D , " i n I C A R ' 8 5 , p p . 4 5 9 - 4 6 6 , 1 9 8 5 . [ 6 ] H . M i u r a a n d I . S h i m o y a m a , " D y n a m i c w a l k o f a B i p e d , " I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f R o b o t i c s R e s e a r c h , v o l . 3 , p p . 6 0 - 7 4 , 1 9 8 4 . [ 7 ] M . H . R a i b e r t , " B a l a n c e d L e g g e d R o b o t s , " C a m b r i d g e , M A : M I T P r e s s , 1 9 8 6 . [ 8 ] 1 . H o d g i n s , J . K o e c h l i n g , a n d M . H . R a i b e r t , " R u n n i n g e x p e r i m e n t s w i t h a p l a n a r b i p e d , " i n R o b o t i c s R e s e a r c h : t h e 3 r d I n t . S y m p o s i u m , p p . 3 4 9 - 3 5 5 , M I T P r e s s , 1 9 8 6 . [ 9 ] S . K a j i t a , T . Y a m a u r a , a n d A . K o b a y a s h i , " D y n a m i c w a l k i n g c o n t r o l o f a b i p e d r o b o t a l o n g a p o t e n t i a l e n e r g y c o n s e r v i n g o r b i t , " I E E E T r a n s a c t i o n s o n R o b o t i c s a n d A u t o m a t i o n , p p . 4 3 1 - 4 3 8 , A u g . 1 9 9 2 . [ 1 O J A . T a k a n i s h i , H . - o . L i m , M . T s u d a , a n d I . K a t o , " R e a l i s a t i o n o f d y n a m i c b i p e d w a l k i n g s t a b i l i z e d b y t r u n k m o t i o n o n a s a g i t a l l y u n e v e n s u r f a c e , " i n P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 9 0 I E E E I n t . W o r k s h o p o n I n t e l l i g e n t R o b o t s a n d S y s t e m s ( I R O S ) , p p . 3 2 3 - 3 3 0 , 1 9 9 0 . j 1 1 ] J . - i . Y a m a g u c h i , A . T a k a n i s h i , a n d I . K a t o , " D e v e l o p m e n t o f a b i p e d w a l k i n g r o b o t c o m p e n s a t i n g f o r t h r e e - a x i s m o m e n t b y t r u n k m o t i o n , " i n P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 9 3 I E E E / R S J I n t . C o n f e r e n c e o n I n t e l l i g e n t R o b o t s a n d S y s t e m s ( I R O S ) , p p . 5 6 1 - 5 6 6 , J u l y 1 9 9 3 . 1 1 2 ] T . M c G e e r , " P a s s i v e d y n a m i c w a l k i n g , " I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f R o b o t i c s R e s e a r c h , v o l . 9 , p p . 6 2 - 8 2 , 1 9 9 0 . 7 1 1 1 3 ] M . G a r c i a , A . C h a t t e r j e e , A . R u i n a , a n d M . C o l e m a n , " T h e s i m p l e s t w a l k i n g m o d e l : S t a b i l i t y , c o m p l e x i t y , a n d s c a l i n g , " t o a p p e a r i n A S M E J o u r n a l o f B i o m e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g , 1 9 9 8 . 1 1 4 ] P . I . D o e r s c h u k , V . D . N g u y e n , a n d A . L . L i , " N e u r a l n e t w o r k c o n t r o l o f a t h r e e - l i n k l e g , " i n P r o c e e d i n g s o f t h e I n t . C o n f e r e n c e o n T o o l s w i t h A r t i f i c i a l I n t e l l i g e n c e , p p . 2 7 8 - 2 8 1 , 1 9 9 5 . [ 1 5 ] P . I . D o e r s c h u k , V . N g u y e n , W . S i m o n , a n d F . K w o n g , " I n t e l l i g e n t b a l l i s t i c c o n t r o l o f a j o i n t e d l e g , " i n P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 9 6 I E E E I n t . J o i n t S y m p o s i u m o n I n t e l l i g e n c e a n d S y s t e m s , p p . 1 1 7 - 1 2 4 , 1 9 9 6 . " ' 1 1 6 ] W . T . M i l l e r I I I , " R e a l - t i m e n e u r a l n e t w o r k c o n t r o l o f a b i p e d w a l k i n g r o b o t , " I E E E C o n t r o l S y s t e m s , p p . 4 1 - 4 8 , F e b . 1 9 9 4 . 1 1 7 ] A . K u n a n d W . T . M i l l e r I I I , " A d a p t i v e d y n a m i c b a l a n c e o f a b i p e d u s i n g n e u r a l n e t w o r k s , " i n P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 9 6 I E E E I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n R o b o t i c s a n d A u t o m a t i o n , p p . 2 4 0 - 2 4 5 , A p r i l 1 9 9 6 . i 1 8 ] R . K . M i t t a l , I . J . N a g r a t h , " R o b o t i c s a n d C o n t r o l , " A t e x t b o o k o f R o b o t i c s T e c h n o l o g y , p p . 0 1 - 1 8 6 , 2 0 0 3 . ! 1 9 ] T a e s i n H a , C h o n g - H o C h o i , " A n E f f e c t i v e T r a j e c t o r y G e n e r a t i o n M e t h o d f o r B i p e d a l W a l k i n g , " R o b o t i c s a n d A u t o m a t i o n J o u r n a l , J u n e 2 0 0 7 ; 2 0 ] P . L . M u e n c h , J . A l e x a n d e r , S . H a d l e y , S . S t a r k e y , " B i p e d a l W a l k i n g , " A R e s e a r c h P a p e r , F e b r u a r y 2 0 0 2 . 2 1 J M i o m i r V u k o b r a t o v i c , B r a n i s l a v B o r o v a c , D r a g o l g u b S u r d i l o i c , " Z e r o - M o m e n t P o i n t - P r o p e r I n t e r p r e t a t i o n , " U S C N e u r o s c i e n c e J o u r n a l P a p e r , p p 1 - 7 , J a n u a r y 2 0 0 4 2 2 1 S . M . W e l i h i n d a , " S i m u l a t i o n a n d B e h a v i o r a l A n a l y s i s o f B i p e d R o b o t s , " M a s t e r T h e s i s U n i v e r s i t y o f M o r a t u w a S r i L a n k a , D e c e m b e r , 2 0 0 9 : ~3] S t u a r t R u s s e l l , P e t e r N o r v i g , " A r t i f i c i a l I n t e l l i g e n c e - A M o d e r n A p p r o a c h , " A t e x t b o o k , 2 0 0 7 i . 2 4 ] A . A g r a w a l a n d S . K . A g r a w a l , " A n a p p r o a c h t o i d e n t i f y j o i n t m o t i o n s f o r d y n a m i c a l l y s t a b l e w a l k i n g , " A S M E T r a n s . M e c h a n i c a l D e s i g n , v o l . 1 2 8 , p p . 6 4 9 - 6 5 3 , P , 2 0 0 6 . 1 2 5 ] M . Y . Z a r r u g h a n d C . W . R a d e l i f f e , " C o m p u t e r g e n e r a t i o n o f h u m a n g a i t k i n e m a t i c s , " J B i o m e c , v o l . l 2 , p p . 9 9 - 1 1 1 . 7 2